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标题: 中外著名的数学家 [打印本页]

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:31
标题: 中外著名的数学家
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格里高利·佩雷尔曼

格里戈利·佩雷尔曼(Grigori Perelman，俄语：Григорий Яковлевич Перельман，1966年6月13日——)，男，俄罗斯数学家。他是一位Ricci流的专家，成功破解著名的“庞加莱猜想”。这位俄罗斯的数学奇才，拒绝数学界最高荣誉“菲尔茨奖”........

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欧几里得

辽宁师范大学梁宗巨

　　欧几里得(Euclid，拉丁文为 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大．数学．
　　欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements，以下简称《原本》)闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而对于他的生平，现在知道的却很少．他生活的年代，是根据下列的记载来确定的．雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注，写了一个《几何学发展概要》，常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)，简称《概要》，是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一．另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection)，下面简称《汇编》．《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，约公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说．他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，约公元前417—前369年)的成果，可能他也是这个学派的成员．《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题，可见他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)．
　　通过亚里士多德(Aristotle)的著作，也可以核对欧几里得的年代．《原本》中建立公设、公理，显然受到亚里士多德逻辑思想的影响．亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”，和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同，也没有提到欧几里得．可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的，他的活动年代应在亚里士多德之后．
　　另一方面，欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane，约公元前300年)《运行的天体》(On moving sphere)的命题．而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus，约公元前315—前241年，曾是柏拉图学园的导师)的老师．
　　此外，帕波斯在《汇编》(卷7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起．这说明欧几里得在亚历山大教过学．
　　综上所述，欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后．　　《概要》还记述了这样一则轶事：托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答道：

这句话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言．斯托比亚斯(Stobaeus，约公元500年)的记载略有差异，他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话：“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”现多数学者取前说．理由是在门奈赫莫斯的时代，几何学尚未形成严整的独立学科．
　　斯托比亚斯还记载另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利”．由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的独创．而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得．
　　除《原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传．几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures)，此外还有光学、天文学和力学等，多已散失．

《原本》产生的历史背景

　　欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．
　　《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有 300多年的历史(见［11］)．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．
　　接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．
　　希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心．雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆．问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能划直线的尺)和圆规．希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题．这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步．作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oeno－pedes，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律．
　　智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)，孕育着近代极限论的思想．后来经过欧多克索斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法，较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2．(见［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．)
　　埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题．无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾．例如卷Ⅸ命题20说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多．只说直线可任意延长而不是无限延长．
　　原子论学派的德谟克利特(Democritus，约公元前410年)用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的 1/3，后来也是《原本》中的重要命题．
　　柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
　　这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量．《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作．
　　柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件．
　　到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了．
　　建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，约公元前460年)，勒俄(Leo或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius，公元前4世纪)等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．

《原本》的版本和流传

　　欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius，约公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世纪前半叶)等人都注释过．最重要的是赛翁(Theon of Alexandria，约公元 390年)的修订本，对原文作了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础．赛翁虽生活在亚历山大，但离开欧几里得已有7个世纪，他究竟作了多少补充和修改，在19世纪以前是不清楚的．
　　19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去．其中有两种欧几里得著作的手抄本，以后为 F．佩拉尔(Peyrard， 1760—1822)所得．(见［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版，一种就是《原本》，另一种是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本．《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中，无论是圆心角或圆周角，两角之比等于所对弧之比)．赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明．而梵蒂冈本没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得原著．
　　9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世纪)译；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)译，后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，约826—901)所修订，一般称为伊沙格-塔比本；(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)译．
　　现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)从阿拉伯文译过来的．后来杰拉德(Gerard ofCremona，约1114—1187)又从伊沙格-塔比本译出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文．两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书．在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上．从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物．它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》．
　　15世纪以后，学者们的注意力转向希腊文本，B．赞贝蒂(Zamberti，约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文，1505年在威尼斯出版．
　　目前权威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麦人)、 H．门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia”(《欧几里得全集》，1883—1916出版)，是希腊文与拉丁文对照本．最早完整的英译本(1570)的译者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．现在最流行的标准英译本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英国人)译注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《欧几里得几何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修订版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是欧几里得研究的历史总结，又对每章每节都作了详细的注释．对其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种，此书导言均有所评论．
　　中国最早的汉译本是1607年(明万历35年丁未)意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci， 1552—1610)和徐光启(1562—1633)合译出版的．这是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门．所根据的底本是德国人C．克拉维乌斯(Clavius，1537—1612)校订增补的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV”(《欧几里得原本 15卷》， 1574初版，以后再版多次)．徐、利译本只译了前6卷，定名为《几何原本》，“几何”这个名称就是这样来的．
　　有的学者认为元代(13世纪)《原本》已经传入中国，根据是元代王士点、商企翁《元秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽列的四擘算法段数十五部》的书目，其中兀忽列的应是Euclid的音译．(见[15]，p．139；[16]．)但也有可能仍是阿拉伯文本，只是译出书名而已．后说似更可信．
　　克拉维乌斯本是增补本，和原著有很大出入．原著只有13卷，卷XIV，XV是后人添加上去的．卷XIV一般认为出自许普西克勒斯(Hypsicles，约公元前180)之手，而卷XV是6世纪初大马士革乌斯(Damascius，叙利亚人)所著．(见［12］，p．119，182．)
　　利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后，徐光启“意方锐，欲竟之”，利玛窦不同意，说：“止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余．”三年之后，利玛窦去世，留下校订的手稿．徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改，重新刊刻传世．他对未能完成全部的翻译而感遗憾，在《题＜几何原本＞再校本》中感叹道：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟焉．”
　　整整250年之后，到1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie， 1815—1887)和李善兰(1811—1882)共同译出．但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本．伟烈亚力在序中只提到底本是从希腊文译成英文的本子，按照英译本的流传情况，可能性最大的是I．巴罗(Barrow，1630—1677，牛顿的老师)的15卷英译本，他在1655年将希腊文本译成拉丁文，1660年又译成英文．
　　李、伟译本(通称‘清译本”)至今已有100多年，现已不易看到，况且又是文言文，名词术语和现代有很大差异，这更增了研读的困难，因此重新翻译是十分必要的．
　　徐、利前6卷的译本(通称“明译本”)在“原本”之前加上“几何”二字，称译本为《几何原本》．清译本的后9卷沿用这个名称一直到现在．这“几何”二字是怎样来的？目前有三种说法：(1)几何是拉丁文geometria字头geo的音译．此说颇为流行，源出于艾约瑟(Joseph Edkins，1825—1905，英国人)的猜想，记在日本中村正直(1832—1891)为某书所写的序中．(2)在汉语里，“几何”原是多少、若干的意思，而《原本》实际包括了当时的全部数学，故几何是“mathematica”(数学)或“magnitude”(大小)的意译．(3)《原本》前6卷讲几何，卷Ⅶ—Ⅹ是数论，但全用几何方式来叙述，其余各章也讲几何，所以基本上是一部几何书．内容和中国传统的算学很不相同．为了区别起见，应创新词来表达．几何二字既和“geometria”的字头音近，又反映了数量大小的关系，采用这两个字可以音、意兼顾．这也许更接近徐、利二氏的原意．

《原本》内容简介

　　明、清译本因为是修订增补本，和现行的希思英译本有相当大的出入，下面以希思本为主，兼顾明、清译本，作一简要的介绍．
　　卷1首先给出23个定义．如1．点是没有部分的(A point isthat which has no part)； 2．线只有长而没有宽(A line is bread－thless length)，等等．还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．前7个定义实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到．
　　明译本(即克拉维乌斯增补本)在原文的基础上加入很多说明，将23个定义拆成“界说三十六则”．一开头还对“界说”加以界说：“凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说．”下面指出几何研究的对象：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度．”可见在明译本中，几何(几何学)研究的是由点、线、面、体构成的图形，和数学研究的对象不同，两者有广狭之分．但在别的地方，几何就是“大小”、“多少”的意思，即通常所说的“量”，和“数”是有区别的．如卷Ⅴ第2界：“若小几何能度大者，则大为小之几倍”，现可译为“当一个较大的量能被较小的量量尽时，较大的量叫做较小量的倍量(multiple)”．
　　定义之后，是5个公设，头3个是作图的规定，第4个是“凡直角都相等”．这几个都是显而易见的，没有引起什么争论，第5个就很复杂：“若一直线与两直线相交，所构成的同旁内角小于二直角，那么，把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交”．这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．
　　公设后面，还有5条公理，如1．等于同量的量彼此相等；5．整体大于部分；等等．以后各卷不再列其他公理．在《原本》中，公设(postulate)主要是关于几何的基本规定，而公理(axiom)是关于量的基本规定．将两者分开是从亚里士多德开始的，现代数学则一律称为公理．
　　由于平行公设不象其他公理那么简单明了，人们自然会怀疑，欧几里得把它列为公设，不是它不可能证明，而是没有找到证明．这实在是这部千古不朽巨著的白璧微瑕．从《原本》的产生到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这唯一的“污点”，最后导致非欧几何的建立．
　　这一卷在公理之后给出48个命题．前4个是：
　　1．在已知线段上作一等边三角形．
　　2．以已知点为端点，作一线段与已知线段相等．
　　3．已知大小二线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等．
　　4．两三角形两边与夹角对应相等，则这两三角形相等．
　　这里两三角形“相等”，指的是“全等”，但在这一卷命题35以后，相等又有另外的含义，它可以指面积相等．现在已把图形全等(congruent)与等积(equiareal或equivalent)区分开来，而在《原本》中是用同一个字眼(equal)来表示的．不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来运算，面积相等是“拼补相等”．
　　命题5颇有趣：等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等．
　　现在通常是用引顶角平分线来证明的，但作角的平分线是命题9，这里还不能用，只能用前4个命题以及公设、公理来证．
　　证法是延长AB至D，AC至E［公设2］，在AD上任取一点B＇，在AE上截取AC＝AB＇［命题3］，连接B＇C，BC＇［公设1］．接着证△AB＇C≌△ABC＇［命题4］，故知B＇C＝BC＇，∠BB＇C＝∠CC＇B，又BB＇＝CC＇，于是△BB＇C≌△BC＇C．由此就不难推出命题的结论．

　　中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到命题5，觉得线和角很多，一时很难领会，因此这个命题被戏称为“驴桥”(pons asinorum，asses’ bridge，意思是“笨蛋的难关”)
　　后面的命题包括三角形、垂直、平行、直线形(面积)相等等关系．
　　命题44：用已知线段为一边，作一个平行四边形，使它等于已知三角形，且有一个角等于已知角．
　　设AB是已知线段，S是已知三角形，α是已知角．

　　延长AB，作∠EBC=α，根据43命题，可作一个

EBCD=S．过A作 FA∥EB交 ED的延长线于 F，连FB并延长之，交DC的延长线于G(因∠EDC与∠DEB互补，但∠EFB＜∠DEB，故∠EDC＋∠EFB小于二直角，按平行公设，FB与DC延线必相交)，过G作GN∥BC交 EB，FA的延长线于 M，N．因

AM=

EC=S，故

AM即为所求．
　　欧几里得的术语是“将平行四边形AM贴合到线段AB上去”．普罗克洛斯评注《原本》时指出，“面积的贴合”(application of areas)是古希腊几何学的一种重要方法，它是毕达哥拉斯学派发现的．(见［2］，vol．I，p．343．)
　　如果已知角α是直角，则所求的平行四边形是矩形，矩形另一边未知，设为x．命题化为解一次方程ax=S的问题，或用几何作图进行除法S÷a运算的问题．
　　命题47就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．”这里相等仍然是指拼补相等，不牵涉到长度、数的关系．本卷最后一个命题(命题48)是勾股定理的逆定理．
　　卷Ⅱ包括14个命题，用几何的形式叙述代数的问题，即所谓“几何代数学”(geometrical algebra)．一个数(或量)用一条线段来表示，两数的积说成两条线段所构成的矩形，数的平方根说成等于这个数的正方形的一边．
　　命题1：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和．

　　相当于恒等式

a(b＋c+d +…)=ab＋ac＋ad＋…

　　命题4：将一线段任意分为两部分，在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两部分线段所构成的矩形的二倍．相当于(a＋b)2=a2＋2ab+b2．
　　命题5是值得注意的，它相当于二次方程的解法．今用现代术语、符号解释如下：
　　设C是线段AB的中点，D是另一任意点，则AD与DB所构成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形．
　　证明］完成□CEFB，连对角线EB，作DG∥CE交EB于H，过H作 KM∥AB，作 AK⊥KM．因

AL=

CM，

CH=

HF，DB=HD，故AD与DB所构成的矩形=

AH=

AL＋

CH=

CM+

HF，同加上CD(=LH)上的正方形□LG，即得命题的结论．
　　1756年，R．西姆森(Simson，1687—1768)注释《原本》的英译本时指出，将本命题(记为Ⅱ5)稍加改变，即相当于二次方程的解法．　　已知线段AB=a，求其上一点D，使AD与DB所构成的矩形等于已知□b2(以b为边的正方形)．设DB=x，列成方程得(a-x)x=b2或x2-ax+b2=0．由Ⅱ5，AD与DB所构成的

AH=□CF-□LG，利用勾股定理(147)，作一个正方形等于二正方形的差是轻而易举的，现□CF，□b2已知，作两者之差即得□LG，由此得CD及x．具体的作法是：取AB中点C，作CE⊥AB，在CE上取O点，使OC=b，以O为心，CB为半径作弧交AB于D，D＇，则 D就是所求的点，由于对

　　Ⅱ5的另一种形式是恒等式

用的恒等式．
　　若令 a=(2n+1)2，b=1，代入上式化简为

(2n+1)2＋(2n2+2n)2=(2n2＋2n+1)2．

可得由毕达哥拉斯求出的勾股数组(用正整数表示直角三角形的三边)：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1．
　　与此相仿，命题6相当于求解另一种类型的方程x2＋ax-b2=0．
　　命题11：分已知线段为两部分，使它与一小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形．相当于解方程x2＋ax-a2=0．这就是将线段分成“中末比”，后来叫做“黄金分割”的著名问题．后面卷Ⅳ命题10“作一等腰三角形，使底角是顶角的两倍”，也就是作出36°及72°角，从而能作出正5边形和正10边形．卷Ⅵ命题30：“截已知线段成中末比”，都是同一问题的不同表现形式．卷

命题9再次提出正10边形、正6边形与中末比的关系，可见欧里几得很重视这个分割．
　　命题12，13是三角学中的余弦定理：

c2=a2＋b2-2abcos C，

　　不过也是用几何的语言来叙述的，没有出现三角函数．
　　卷Ⅲ有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形等．

　　较引人注目的是命题16：过直径AB端点A的垂线AD必在圆外，半圆周ACB与AD之间不可能再插入其他直线，半圆周ACB与AB之间的角比任何锐角都大，剩下的角(

与AD间的角)比任何锐角都小．
　　

与AD间的角究竟算不算角？在历史上有很大争论．在普罗克洛斯的评注中称它为“牛角”(horn－like angle)，这绰号在欧几里得以前早已有，在《原本》中没有使用，也没有说它的值是零．若作一系列切于A点的圆，似乎圆越小，“牛角”越大，但命题的结论并非如此．如果说它的值是零，角边应处处重合，而图形不是这样．这些疑问按现在曲线交角的定义已经解决，“牛角”的值是零．
　　卷Ⅳ有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图．
　　最后一题是正15边形的作图．普罗克洛斯认为和天文学有关，因为在埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276—前195)之前，希腊天文家认为黄赤交角(黄道与天球赤道交角)是24°，即圆周角360°的 1/15．后来埃拉托塞尼测出是180°的11/83，约23°51＇20″．　　卷Ⅴ是比例论．后世的评论家认为这是《原本》的最高的成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在两个正整数m，n使

为A与B无法相比．这样就很难建立关于一切量的比例理论．摆脱这一困境的是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪)，他用公理法重新建立了比例论，使它适用于所有可公度与不可公度的量．可惜他的著作已全部失传，好在还有相当一部分保存在《原本》中，如卷Ⅴ就主要取材于欧多克索斯的工作，当然也有欧几里得本人的加工整理，有的还散见于卷Ⅻ，Ⅵ，Ⅹ，

之中．
　　卷Ⅴ首先给18个定义．定义3：比是两个同类量之间的大小关系．定义4：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”(ratio)．这样就突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制．实际上，如果承认了“阿基米德公理”或“欧多克索斯公理”(在卷Ⅹ命题1正式使用)：“两个有限的同类量，任一个加大适当的倍数后就能大于另一个”，任何两个有限量都有比，不必考虑可否公度．尽管不承认这个“比”是数，仍然不妨碍以此为起点建立适用于一切量的比例论．
　　现在已经有严格建立的实数理论和完整的比例论，如果A∶B=C∶D，则有

A∶nB=mC∶nD

　　(m，n是任意正整数)，从而
　　由mA＞nB可推出mC＞nD，
　　由mA＜nB可推出mC＜nD，
　　由mA=nB可推出mA=nB．
　　这是比例的基本性质．《原本》巧妙地利用这一性质来作比例的定义，即
　　定义4：设有A，B，C，D4个量， A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果

　　则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．
　　这定义是整个理论的基础，由此推出25个有关比例的命题．
　　近代实数理论中的“戴德金分割”实际上受这比例定义的启发．　　

m1A＞n1B，

m2A＜n2B，

于是全体有理数构成一个“戴德金分割”．如果mA=nB，说明

　　看出来，分划的思想和上述比例定义是一脉相承的．尽管两者的思想很接近，但欧几里得始终不把A∶B和数联系起来考虑，因而从来没有出现A∶B与C∶D相加或相乘的情况．这是时代的局限性，无理数理论的产生，足足拖延了两千多年．
　　卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，共33个命题．处理相似直线形中的各种成比例的线段等．其中命题27—30颇重要．
　　命题27：设C是线段AB中点，在AC上作

ACDE [原文的说法是将平行四边形贴合(apply)到AB上]，又在AB的部分线段KB上作

KBFG∽

AD，延长

FG交

CD于P，交AE于H，求证AG＜AD．

　　因

KF∽

AD∽

CM，故对角线BG，BD重合．

KM=

CF=

AP，两端同加上

CG，即知

AG=磬折形PCBMLG＜

CM=

AD．本题给出求极大极小的一种途径．和代数方法比较：

即

这2次方程有实根的充要条件是判别式非负，即

这正是命题的结论．x=b时S取最大值．　　

是矩形，它的周长是常数2a．于是推出有相同周长的矩形中，以正方形面积最大的结论．
　　命题29相当于某种类型的2次方程解法：作

ADFC贴合到AB上，使其等于已知面积S，且AC边超出AB的部分BC上的

BEFC与已知

P相似．

　　作法是取AB中点G，在GB上作

GBMK∽

P，另作

QR，使其面积等于

GM与S之和(根据Ⅵ，25)，延长KM至N，KG至H，使KN=LR，KH=LQ，完成

KHFN，连对角线KF，完成

BEFC，

ADFC．因为

BN=

HB=

DG，又

HN=

QR=

GM＋S，故知磬折形GHFNMB=S=

HC+

BN=

HC＋

DG=

DC．故

DC即为所求．

本命题就是这2次方程的几何解法．　

个词，命题27所作的平行四边形未占满整个线段，这叫做“不足”

罗尼奥斯用到圆锥曲线上，希腊文“不足”转化成 ellipes(椭圆)，“过剩”转化为 hyperbola(双曲线)，“贴合”变成parabola(抛物线)．
　　卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ是数论，分别有39，27，36个命题，讨论正整数的性质与分类．数被看作是线段，两数的乘积叫做平面(pla－ne)或平面数(定义16)，这两个数叫做平面的边．三个数的乘积叫做立体(solid)或立体数(定义17)，这三个数叫做立体的边．
　　这一卷许多内容和卷Ⅴ相同，欧几里得为什么不把卷Ⅴ的结论直接搬过来用，而非要重新论证一遍不可？这大概是他不把数看作普通的量，因为卷Ⅴ中讨论的量包括可公度和不可公度量，而这一卷只牵涉到有理数．也可能他认为数论可以建立在较简单的基础上，所以单独处理．
　　卷首共给出22个定义．定义20：如果第1数之为第2数的某个倍数或某个部分，与第3数之为第4数的某个倍数或某个部分相同，则这4个数成比例．这定义完全回到毕达哥拉斯学派可公度量的比例论上去．
　　定义22：一个数等于它自身的部分(即真因子)之和，这数叫做完全数．
　　命题1，2就是“欧几里得辗转相除法”(Euclidean algorithm)的出处．两数辗转相除，最后得到最大公约数，如最大公约数是1，则两数互素．命题4—20是数的比例问题，命题21—32是关于素数的问题．
　　命题30：某素数能整除两数之积，则此素数至少能整除两数之一．这在数论中是很重要的．
　　命题31：任何合数必被某一素数整除．在证明中提出“任何正整数集必有最小数”(现在叫做良序性)的假定．
　　命题33—39讨论最小公倍数．
　　卷Ⅷ讲连比例(实际就是等比数列)，平面数、立体数的性质．
　　卷Ⅸ有几个命题是值得注意的．命题14：如果某一数是被某些素数所整除的数中之最小者，则这一数不能被这些素数以外的任何素数整除．这就是算术基本定理：合数的素因子分解是唯一的．
　　命题20：素数的个数比任意给定的素数都多．证明是用反证法，设 A， B， C是给定的素数，则 ABC+ 1者是素数或者含有异于A，B，C的素因子，两者都可以推出有多于A，B，C的素数存在．
　　命题35导出等比数列的求和公式，在形式上和现在常见的不同．
　　设a1，a2，a3，…，an，an+1是等比数列，命题结论是

　　如将数列改写为a，ar，ar2，…，arn-1，arn，前n项和记作Sn，上式即化为常见的形式

　　接着命题36证明了数论中一个有名的定理：若2n-1是素数，则(2n-1)2n-1是完全数．
　　事实上，设等比数列1，2，22，…，2n-1的和P=1+2+22+…+2n-1=2n-1是素数，则2n-1P被下列各数整除：1，2，…，2n-1，P，2P，…，2n-2P且不被任何其他小于它自身的数整除，而这些因子的和正好等于2n-1P，
　　1＋2+…+2n-1+P+2P+…＋2n-2P
　　=P＋P(2n-1-1)=(2n-1)2n-1．
　　现在形如2n-1(n是素数)的素数叫做“梅森素数”，因M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾深入研究而得名．有一个梅森素数就相应有一个完全数．前4个完全数6，28，496，8128已为希腊人所知．　　卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，约占全书的1/4，和其他各卷不很相称．包含115个命题，有的版本是117个命题(如清译本)．主要讨论无理量

　　即2次或4次不尽根，这只是无理量的极小一部分，欧几里得使用“有理”、“无理”的术语，和现代的意义不同．“有理”的原文是

的”(rational)．如果给定一个叫做有理的线段A，若另一线段B和A有公度，就说B是“线段可公度有理量”．用现代的术语来说，就是设A是有理量(线段)，m是任意有理数，则mA是“线段可公度有理量”．但

“正方形可公度”(commensurable in square)是《原本》的特殊用语．“线段可公度有理量”显然都是“正方形可公度有理量”，但反过来，“正

种情形特别叫做“仅正方形可公度有理量”．不管那一种情形，都叫有

　　本卷将无理量分为13大类，各给专门的名称．当时没有符号，叙述起来相当困难．用现代的眼光看，这种分类没有多少用处，甚至可以说是“作茧自缚”，它没有推进无理量的发展．
　　这一卷命题1非常重要：给定大小两个量，从大量中减去它的一大半，再从剩下的量中减去它的一大半，这手续重复下去，可使所余的量小于所给的小量．
　　这是极限论的雏形，也是“穷竭法”的理论基础，和后面各卷有密切关系．在证明中实际默认了阿基米德公理．
　　有的版本最后还有命题117，证明正方形一边与对角线不可公度，有时叫做“欧几里得奇偶数证法”，经考证这是后人搀入的，所以后来的校订注释者只将它放入附录中．
　　卷Ⅺ是立体几何，讲空间中的平面、直线、垂直、平行、相交等关系，还有多面角、平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题，共39个命题．

　　卷Ⅻ是穷竭法(method of exhaustion)的应用．这是希腊人创造的强有力的证明方法，一般认为经欧多克索斯的手而臻于完善，以后被收入《原本》的卷Ⅻ中．
　　命题2是相当典型的，从中可以看到穷竭法的基本精神．要证明的是：圆与圆之比等于其直径平方之比．
　　作圆内接□AC，外切□EF，因□EF=2□AC，又□EF大于圆，故□AC包含圆而积的一半以上．取

中点 M，完成

AMB，因

AMB=2△AMB，又

AMB大于弓形AMB，故△AMB包含弓形AMB一半以上．□AC的每一边都加上这样的△，就得到内接正8边形，它包含□AC以及圆与□AC之差的一半以上．同理作正16边形，它包含正8边形及圆与正8边形之差的一半以上．重复这个手续，每次边数加倍，根据卷Ⅹ命题1，可得到一个边数足够多的内接正多边形，与圆面积之差小于任给的小量．
　　现有圆面积S1，S2，直径各为d1，d2，要证明
　　

　　设等式不成立而有

　　S3是大于或小于S2的某一面积．不妨设S3＜S2，作S2的边数足够多的内接正多边形P2，使得S2-P2＜S2-S3，即S3＜P2＜S2．在S1内作与 P2相似的内接正多边形P1，根据卷Ⅻ第1命题，

　　于是有

P1∶P2=S1∶S3

　　或

P1∶S1=P2∶S3，

　　但S1＞P1，故S3＞P2，与前面不等式P2＞S3矛盾．同理可证若S3＞S2也一样产生矛盾．
　　下面用类似的方法证明了“锥体体积等于同底等高的柱体的1/3”(命题7，10)，“球体积的比等于直径立方的比”(命题 18)等．全卷共18个命题．
　　卷

是最后一卷，共18个命题．前一部分研究了中末比的若干性质，最后6个命题讨论5种球内接正多面体的作图法．

《原本》的一些存在问题

　　(一)公理化结构是近代数学的主要特征．而《原本》是完成公理化结构的最早典范，它产生于两千多年前，这是难能可贵的．不过用现代的标准去衡量，也还有不少缺点．首先，一个公理系统都有若干原始概念或称不定义概念．点、线、面就属于这一类．而在《原本》中一一给出定义，这些定义的本身就是含混不清的．例如卷Ⅰ的定义4：“直线是这样的线，在它上面的点都是高低相同地放置着的”就很费解，而且这定义在以后的证明中完全没有用到．其次是公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观．此外，有的公理不是独立的，即可以由别的公理推出(如第4公设“凡直角都相等”)．这些缺陷直到1899年D．希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)([14])出版才得到了补救．尽管如此，毕竟瑕不掩瑜，《原本》开创了数学公理化的正确道路，对整个数学发展的影响超过了历史上任何其他著作．
　　(二)全书的组织安排也是可以改进的．如卷Ⅴ已建立了一般量的比例论，而且在卷Ⅵ中已用之于几何，但后面的卷Ⅶ的数论却没有用它．这几卷数论基本上是毕达哥拉斯学派的成果，在理论水平上远逊于卷Ⅴ．其实卷Ⅱ已提出几何代数学，接下去讲数论是顺理成章的．
　　卷Ⅹ份量过于庞大，而且大部分和前后没有联系，现在证明其用处甚微．整个《原本》并不企图将当时已有的几何知识纳入其中(例如三角形三个高交于一点这样普通的定理也未收入)，只是精选最基本的命题作为《原本》的内容．本着这种精神，卷Ⅹ应大大压缩．
　　(三)有的书指出，《原本》的证明常常是以偏概全的，即对一般性定理只给出特例的证明，或者只用了某些具体数据而忽略了普遍性，这种情况的确比比皆是．不过批评者可能不了解欧几里得的用意．《原本》当时是作为教科书或讲义来使用的，如果一个问题有若干种情形，证明了其中一种之后，其余的留给学生自证，这在今天也是司空见惯的．以卷Ⅰ命题7为例，从线段AB的两端分别作一直线交于一点C，则在同一侧不可能再有交于另一点D的两线段AD，BD，使得AC=AD，BC=BD．证明是用反证法，设D点落在△ABC之外，由此推出矛盾．而D点落在△ABC内的情形就没有讨论．后世有的注释者如克拉维乌斯认为不够全面，把所有可能情形都增补上去(见明译本)，包括D点落在AC或BC的延长线上以及△ADB完全被包含在△ABC之中等等．希思译本保留了原书的面貌，只在注释中加以说明．
　　还有一种以偏概全的情形是只用某个具体的数字来证明一般性的结论．如卷Ⅸ命题20：素数的个数比任意给定的素数都多．证明时只给定A，B，C三个素数，由此推出还有别的素数存在．现在的严格证法无非是将三个改为任意n个，这在方法上并没有什么区别．

《原本》对我国数学的影响

　　中国传统数学最明显的特点是以算为中心．虽然也有逻辑证明，但却没有形成一个严密的公理化演绎体系，这也许是最大的弱点．明末《原本》传入，应该是切中时弊，正好弥补中算之不足．可是实际情况并不理想．
　　徐光启本人对《原本》十分推崇，也有深刻的理解．他认为学习此书可使人“心思细密”．在译本卷首的《几何原本杂议》中
　　说：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也．”在他的大力倡导下，确实也发挥一定的作用，可惜言者谆谆，听者藐藐，要在群众中推广，仍然有很大的困难，他在《杂议》中继续写道：“而习者盖寡，窃意百年之后，必人人习之．”他只好把希望寄托于未来．
　　明末我国正处在数学发展的低潮，《原本》虽已译出，学术界是否看到它的优点，大有疑问．事实上，明清两代几乎没有人对《原本》的公理化方法及逻辑演绎体系作过专门的研究．康熙以后，清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策．知识分子丧失了思想、言论自由，为了逃避现实，转向古籍的整理和研究，以后形成以考据为中心的乾嘉学派．徐光启之后，数学界的代表人物是梅文鼎(1633—1721)，他会通中西数学，对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献，然而却没有认识到公理方法的重要性．他认为西方的几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西．他在《几何通解》中写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也．故其最难通者，以勾股释之则明．……信古《九章》之义，包举无方．”又在《勾股举隅》中说：“勾股之用，于是乎神．言测量至西术详矣．究不能外勾股以立算，故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也．”类似的说法还有多处．他见到的只是几何的一些命题，至于真正的精髓——公理体系及逻辑结构，竟熟视无睹．梅文鼎这种“古已有之”的观点，也是妄自尊大和保守思想的反映．由于他当时的威望，确实产生了一些消极的影响．

其他著作

　　欧几里得还有好几种著作，可惜流传下来的不多．
　　(一)《已知数》(The data)是除了《原本》以外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，包含94个命题，后来被收入帕波斯的《分析荟萃》(Treasury of Analysis)中．内容和《原本》卷Ⅰ—Ⅵ相仿，但问题的提法不同．例如开头所给出的定义，是解释何谓“已知的”．定义1：面积、线段、角叫做已知的，如果可以作出和它们相等的同类量．定义5：一个圆叫做已知的，如果它的半径已知．等等．
　　全篇的中心内容是指出图形内的某些元素若为已知，则另外的元素也是已知的(即可以确定)．如命题84：若两条线段以一定的夹角构成一个已知面积，又两线段的差已知，则两线段即为已知．这相当解联立方程

y－x=a

xy=b2

　　或2次方程

x2＋ax-b2=0．

　　(二)《图形的分割》(On divisions of figures)是另一本几何著作，但不是希腊文本．现有的两种存本都来自阿拉伯文本．第一种的拉丁文本由J．迪伊(Dee，1527—1608)发现并于 1570年出版，这种版本不甚完整．另一种为F．韦普克(Woepcke，1826—1864)在巴黎所发现，于1851年出版，现有英译校订本(［3］)．此书的中心思想是作直线将已知图形分为相等的部分、成比例的部分或分成满足某种条件的图形．共36个命题．如命题1：作平行于底边的直线将三角形分成相等的两部分．命题4：作平行于上下底的直线将梯形分为相等的两部分．命题29：作二平行弦将已知圆分成给定的比例．
　　(三)下面几种几何著作已失传．《纠错集》(Pseudaria，或Book of fallacies)目的在指出初学几何者常见的错误，引导他们走上正确的道路，普罗克洛斯曾提到此书．《推论集》(Porisms)是一部较高级的几何学，在帕波斯的《分析荟萃》中有较详细的描述．“Porism”这个词有双重意义，一是普通的推论(corollary)，二是指某些与定理不同的命题，定理一般要求证明某个结论，而“porism”是要找出某种事物而不仅仅证明它成立或存在．如要根据给定条件找出圆心等．按帕波斯的说法，欧几里得曾写了四卷的《圆锥曲线》(Conics)，它是后来阿波罗尼奥斯8大卷《圆锥曲线论》的基础．另一本失传的著作《曲面轨迹》(Surface loci)是讨论轨迹的问题．
　　(四)几本应用数学著作．《观测天文学》(Phaenomena)是一本几何天文学，最先使用地平圈(Horizon)，子午圈(meridian)等术语，参考了奥托利科斯的工作及不知名作者的球面几何学．《光学》(Optics)是希腊文的第一本透视学，从12个假设(公设)出发推出61个命题．假设1是“人看到物体，是光线从眼睛出发射到所看的物体上去”．这是从柏拉图以来的传统观点．命题6是“处于平行位置，大小相同但距离不同的物体，在眼中看到的大小并不与远近成比例”．这相当于证明了当α＜β＜π/2时

　　此外，欧几里得还写过音乐和力学的书．看来他是很博学的，不象人们通常认为的那样，欧几里得的贡献只是初等几何．不过经过两千多年的历史考验，影响最大的仍然是《原本》．

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:32
本帖最后由 extras 于 26.4.2010 20:36 编辑

欧拉

　欧拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学．
　　欧拉的祖先原来居住在瑞士东北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城——林道．16世纪末，他的曾祖父汉斯·乔治·欧拉(HansGeorg Euler)带领全家顺莱茵河而下，迁居巴塞尔．这个家族几代人多为手艺劳动者．欧拉的父亲保罗·欧拉(Paul Euler)则毕业于巴塞尔大学神学系，是基督教新教的牧师．1706年，保罗与另一位牧师的女儿玛格丽特·勃鲁克(Margarete Brucker)结婚．翌年春，欧拉降生．1708年，保罗举家迁居巴塞尔附近的村庄——里亨(Riehen)．欧拉就在这田园静谧的乡村度过他的童年．
　　欧拉的父亲很喜爱数学．还在大学读书时，他就常去听雅格布·伯努利(Jakob Bernouli)的数学讲座．他亲自对欧拉进行包括数学在内的启蒙教育，并盼望儿子成为教门的后起之秀．贤惠的母亲为了使欧拉及时受到良好的学校教育，把他送到巴塞尔外祖母家生活了几年，入那里的一所文科中学念书．可是，这所学校不教数学．勤勉好学的欧拉独自随业余数学家J．伯克哈特(Bu-rckhart)学习．欧拉聪敏早慧，酷爱数学．他曾下苦功研读C．鲁道夫(Rudolf)的《代数学》(Algebra，1553)达数年之久．
　　1720年秋，年仅13岁的欧拉进了巴塞尔大学文科．当时，约翰·伯努利(Johann Bernoulli)任该校数学教授．他每天讲授基础数学课程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座．欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众．他勤奋地学习所有的科目，但仍不满足．欧拉后来在自传中写道：“……不久，我找到了一个把自己介绍给著名的约翰·伯努利教授的机会．……他确实忙极了，因此断然拒绝给我个别授课．但是，他给了我许多更加宝贵的忠告，使我开始独立地学习更困难的数学著作，尽我所能努力地去研究它们．如果我遇到什么障碍或困难，他允许我每星期六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……无疑，这是在数学学科上获得成功的最好的方法．”约翰的两个儿子尼吉拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II)、丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)，也成了欧拉的挚友．
　　1722年夏，欧拉在巴塞尔大学获学士学位．翌年，他又获哲学硕士学位．但授予这一学位是在1724年6月8日的会议上正式通告的．此前，他为了满足父亲的愿望，于1723年秋又入神学系．他在神学、希腊语、希伯莱语方面的学习并不成功．他仍把大部分时间花在数学上．尽管欧拉后来彻底放弃了当牧师的念头，但他却终生虔诚地信奉基督教．
　　欧拉18岁开始其数学研究生涯．1726年，他在《博学者》(Acta eruditorum)上发表了关于在有阻尼的介质中的等时曲线结构问题的文章．翌年，他研究弹道问题和船桅的最佳布置问题．后者是这年巴黎科学院的有奖征文课题．欧拉的论文虽未获得奖金，却得到了荣誉提名．此后，从1738年至1772年，欧拉共获得巴黎科学院12次奖金．
　　在瑞士，当时青年数学家的工作条件非常艰难，而俄国新组建的圣彼得堡科学院正在网罗人才．1725年秋，尼古拉第二和丹尼尔应聘前往俄国，并向当局力荐欧拉．翌年秋，欧拉在巴塞尔收到圣彼得堡科学院的聘书，请他去那里任生理学院士助理．然而，故土难离．欧拉开始用数学和力学方法研究生理学，同时仍期望在巴塞尔大学找到职位．恰好，这时该校有一位物理学教授病故，出现空席．欧拉向学校教授评议会递交了“论声音的物理学原理”(Dissertatio physica de sono，1727)的论文，争取教授资格．在激烈的竞争中，未满20岁的欧拉落选了．1727年4月5日欧拉告别故乡，5月24日抵达圣彼得堡．从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起．他再也没有回过瑞士．但是，出于对祖国的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍．
　　欧拉到达圣彼得堡后，立即开始研究工作．不久，他获得了在真正擅长的领域从事研究工作的机会．1727年，他被任命为科学院数学部助理院士．他撰写的关于圣彼得堡科学院学术会议情况的调查报告，也开始在《圣彼得堡科学院汇刊(1727)》(Comme－ntarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae)第二卷(St．Petersburg，1729)上发表．尽管那些年俄国政局动荡，圣彼得堡科学院还处在艰难岁月之中，但周围的学术气氛对发展欧拉的才华特别有利．那里聚集着一群杰出的科学家，如数学家C．哥德巴赫(Goldbach)、丹尼尔·伯努利，力学家J．赫尔曼(Hermann)，三角学家F．梅尔(Maier)，天文学家和地理学家J．N．德莱索(Delisle)等．他们同欧拉的个人情谊与共同的科学兴趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，欧拉成为物理学教授．1733年，丹尼尔·伯努利返回巴塞尔后，欧拉接替了他的数学教授职务，担负起领导科学院数学部的重任．这对亲密的朋友，以后通信40多年，促进了科学的竞争和发展．是年冬，欧拉和科学院预科学校的美术教师、瑞士画家G．葛塞尔(Gsell)的女儿柯黛林娜·葛塞尔(Katharina Gsell)结婚．翌年，其长子约翰·阿尔勃兰克(Johann Albrecht)降生．1740年，卡尔(Karl)出世．恬静、美满的家庭生活伴随着欧拉科学生涯的第一个黄金时期．
　　还在圣彼得堡科学院建成之初，俄国政府就责成它除了进行纯科学研究之外，还要培养、训练俄国科学家．为此，科学院建立了一所大学和预科学校，大学办了近50年，预科学校一直办到1805年．俄国政府还委托科学院制定俄国的地图，解决各种具体技术问题．欧拉积极参与并领导了科学院的这些工作．从1733年起，他和德莱索成功地进行了地图研究．从30年代中期开始，欧拉以极大的精力研究航海和船舶建造问题．这些问题对于俄国成为海上强国，是具有重大意义的．欧拉是各种技术委员会的成员，又担任科学院考试委员会委员．他既要为科学院的期刊撰稿、审稿，还要为附属大学、预科学校准备讲义、开设讲座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在数学研究上．
　　在圣彼得堡的头14年间，欧拉以无可匹敌的工作效率在分析学、数论和力学等领域作出许多辉煌的发现．截止1741年，他完成了近90种著作，公开发表了55种，其中包括1936年完成的两卷本《力学或运动科学的分析解说》(Mechanica sive motus scie－ntia analytice exposita)．他的研究硕果累累，声望与日俱增，赢得了各国科学家的尊敬．欧拉从前的导师约翰·伯努利早在1728年的信中就称他为“最善于学习和最有天赋的科学家”，1737年又称他是“最驰名和最博学的数学家”．欧拉后来谦逊地说：“……我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件．”
　　由于过度的劳累，1738年，欧拉在一场疾病之后右眼失明了．但他仍旧坚韧不拔地工作．他热爱科学，热爱生活．他非常喜欢孩子(他一生有过13个孩子，除了5个以外都夭亡了)．写论文时往往膝上抱着婴儿，大一点的孩子则绕膝戏耍．他酷爱音乐．在撰写艰深的数学论文时，他的“那种轻松自如是令人难以置信的”．
　　1740年秋冬，俄国政局再度骤变，形势极不安定．欧拉此时与圣彼得堡科学院粗鲁、专横的顾问J．D．舒马赫尔(Schuma－cher)也产生了磨擦．为了使自己的科学事业不受损害，欧拉希望寻求新的出路．恰好这年夏天继承了普鲁士王位的腓特烈(Frederick)大帝决定重振柏林科学院，他热情邀请欧拉去柏林工作．欧拉接受了邀请．1741年6月19日，欧拉启程离开圣彼得堡，7月25日抵达柏林．
　　柏林科学院是在G．W．莱布尼茨(Leibniz)的大力推动下于1700年创立的，后来它衰落了．欧拉在柏林25年．那时，他精力旺盛，不知疲倦地工作．他鼎力襄助院长P．莫佩蒂(Maupe－rtuis)，在恢复和发展柏林科学院的工作中发挥了重大作用．
　　在柏林，欧拉任科学院数学部主任．他是科学院的院务委员、图书馆顾问和学术著作出版委员会委员．他还担负了其他许多行政事务，如管理天文台和植物园，提出人事安排，监督财务，以及历书和地图的出版工作．当院长莫佩蒂外出期间，欧拉代理院长．1759年莫佩蒂去世后，虽然没有正式任命欧拉为院长，但他实际上一直领导着科学院的工作．欧拉和莫佩蒂的友谊，使欧拉能对柏林科学院的一切活动，尤其是在选拔院士方面，施加巨大影响．
　　欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金等问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，设计改造费诺运河(1749年)，曾主管普鲁士皇家别墅水力系统管系和泵系的设计工作．他和德国许多大学的教授保持广泛联系，对大学教科书的编写和数学教学起了促进作用．
　　在此期间，欧拉一直保留着圣彼得堡科学院院士资格，领取年俸．受该院委托，欧拉为其编纂院刊的数学部分，介绍西欧的科学思想，购买书籍和科学仪器，同时推荐研究人员和课题．他在培养俄国的科学人才方面起了重大的作用．他还经常把自己的学术论文寄往圣彼得堡．他的论文约有一半是用拉丁文在圣彼得堡发表的，另一半用法文在柏林出版．另外，他还先后当选为伦敦皇家学会会员(1749年)、巴塞尔物理数学会会员(1753年)及巴黎科学院院士(1755年)．
　　柏林时期是欧拉科学研究的鼎盛时期，其研究范围迅速扩大．他与J．K．达朗贝尔(D’Alembert)和丹尼尔·伯努利展开的学术竞争奠定了数学物理的基础；他与A．克莱罗(Clairaut)和达朗贝尔一起推进了月球和行星运动理论的研究．与此同时，欧拉详尽地阐述了刚体运动理论，创立了流体动力学的数学模型，深入地研究了光学和电磁学，以及消色差折射望远镜等许多技术问题．他写了大约380篇(部)论著，出版了其中的275种．内有分析学、力学、天文学、火炮和弹道学、船舶建造和航海等方面的几部巨著，其中1748年出版的两卷集著作《无穷分析引论》(Introdu－ctio in analysin infinitorum)在数学史上占有十分重要的地位．
　　欧拉参加了18世纪40年代关于莱布尼茨和C．沃尔夫(Wolff)的单子论的激烈辩论．欧拉在自然哲学方面接近R．笛卡儿(Descartes)的机械唯物主义，他和莫佩蒂都是单子论的“劲敌”．1751年，S．柯尼格(K

nig)以耸入听闻的新论据，发表了几篇批评莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．欧拉翌年撰文反驳，并同莫佩蒂用更浅显的语言来解释最小作用原理．除了这些哲学和科学的争论以外，对于数学的发展来说，欧拉参加了另外三场更重要的争论：与达朗贝尔关于负数对数的争论；与达朗贝尔、丹尼尔·伯努利关于求解弦振动方程的争论；与J．多伦(Dollond)关于光学问题的争论．
　　1759年莫佩蒂去世后，欧拉在普鲁士国王的直接监督之下负责柏林科学院的工作．欧拉同腓特烈大帝之间的关系并不融洽．1763年，当获悉腓特烈想把院长的职务授予达朗贝尔后，欧拉开始考虑离开柏林．圣彼得堡科学院立即遵照卡捷琳娜(Catherine)女皇旨意寄给欧拉聘书，诚挚希望他重返圣彼得堡．但是达朗贝尔拒绝长期移居柏林，使腓特烈一度推迟就院长入选作最后的决定．“七年战争”之后，腓特烈粗暴地干涉欧拉对柏林科学院的事务管理．1765年至1766年，在财政问题上，欧拉与腓特烈之间引发了一场严重的冲突．他恳请普鲁士国王同意他离开柏林．1766年7月28日，欧拉重返圣彼得堡，他的三个儿子和两个女儿也回到俄国，伴于身旁．
　　欧拉的家安置在涅瓦河畔离圣彼得堡科学院不远的舒适之处．他的长子阿尔勃兰克这年成为科学院院士、物理学部教授，三年后又被任命为科学院的终身秘书．1766年，欧拉父子还同时当选为科学院执行委员．欧拉的工作是顺心的，然而，厄运也接二连三地向他袭来．回到圣彼得堡不久，一场疾病使欧拉的左眼几乎完全失明．这时，他已经不能再看书了．只能勉强看清大字体的提纲，用粉笔在石板上写很大的字母．1771年，欧拉双目完全失明．这一年，圣彼得堡的一场特大火灾又使欧拉的住所和财产付之一炬，仅抢救出欧拉及其手稿． 1773年 11月，欧拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父异母的妹妹莎洛姆·葛塞尔(SalomeGsell)成为欧拉的第二个妻子．
　　欧拉晚年遭受双目失明、火灾和丧偶的沉重打击，他仍不屈不挠地奋斗，丝毫没有减少科学活动．在他的周围，有一群主动的合作者，包括：他的儿子阿尔勃兰克和克利斯朵夫(Christoph)； W．L．克拉夫特(Krafft)院士和A．J．莱克塞尔(Lexell)院士；两位年轻的助手N．富斯(Fuss)和M．E．哥洛文(Golovin)．欧拉和他们一起讨论著作出版的总计划，有时简要地口述研究成果．他们则使欧拉的设想变得更加明确，有时还为欧拉的论著编纂例证．据富斯自己统计，七年内他为欧拉整理论文250篇，哥洛文整理了70篇．欧拉非常尊重别人的劳动．1772年出版的《月球运动理论和计算方法》(Theoria motuum lunae， nova methodoPertractata)是在阿尔勃兰克、克拉夫特和莱克塞尔的帮助下完成的，欧拉把他们的名字都印在这本书的扉页上．
　　重返圣彼得堡后，欧拉的著作出版得更多．他的论著几乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《积分学原理》(Institutiones calculi integralis， 1768—1770)和《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》(Lettresà une princesse d’AllemagneSur divers sujets de physique et de philosophie， 1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者产生于欧拉给普鲁士国王的侄女的授课内容．这本文笔优雅、通俗易懂的科学著作出版后，很快就在欧洲翻译成多种文字，畅销各国，经久不衰．欧拉是历史上著作最多的数学家．
　　欧拉的多产也得益于他一生非凡的记忆力和心算能力．他70岁时还能准确地回忆起他年轻时读的荷马史诗《伊利亚特》(Iliad)每页的头行和末行．他能够背诵出当时数学领域的主要公式和前100个素数的前六次幂．M．孔多塞(Condorcet)讲述过一个例子，足以说明欧拉的心算本领：欧拉的两个学生把一个颇为复杂的收敛级数的17项相加起来，算到第50位数字时因相差一个单位而产生了争执．为了确定谁正确，欧拉对整个计算过程进行心算，最后把错误找出来了．
　　1783年9月18日，欧拉跟往常一样，度过了这一天的前半天．他给孙女辅导了一节数学课，用粉笔在两块黑板上作了有关气球运动的计算，然后同莱克塞尔和富斯讨论两年前F．W．赫歇尔(Herschel)发现的天王星的轨道计算．大约下午5时，欧拉突然脑出血，他只说了一句“我要死了”，就失去知觉．晚上11时，欧拉停上了呼吸．
　　欧拉逝世不久，富斯和孔多塞分别在圣彼得堡科学院和巴黎科学院的追悼会上致悼词．孔多塞在悼词的结尾耐人寻味地说：“欧拉停止了生命，也停止了计算．”
　　欧拉的菩作在他生前已经有多种输入了中国，其中包括著名的、1748年初版本的《无穷分析引论》．这些著作有一部分曾藏于北京北堂图书馆．它们是18世纪40年代由圣彼得堡科学院赠给北京耶稣会或北京南堂耶稣学院的．这也是中俄数学早期交流的一个明证．19世纪70年代，清代数学家华蘅芳和英国人傅兰雅(John Fryer)合译的《代数术》(1873)和《微积溯源》(1874)，都介绍了欧拉学说．在此前后，李善兰和伟烈亚力(Alexander Wylie)合译的《代数学》(1859)、赵元益译的《光学》(1876)、黄钟骏的《畴人传四编》(1898)等著作也记载了欧拉学说或欧拉的事迹(详见文献［32］)．中国人民是很早就熟悉欧拉的．欧拉不仅属于瑞士，也属于整个文明世界．著名数学史家A．П．尤什凯维奇(Юшкевич)说，人们可以借B．丰唐内尔(Fontenelle)评价莱布尼茨的话来评价欧拉，“他是乐于看到自己提供的种子在别人的植物园里开花的人．”
　　在欧拉的全部科学贡献中，其数学成就占据最突出的地位．他在力学、天文学、物理学等方面也闪现着耀眼的光芒．　
数学
　

　　欧拉是18世纪数学界的中心人物．他是继I．牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一．在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起．他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法．欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因．其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想．因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述．他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子．欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点．现代版的《欧拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷(74部分；近况详见文献［1］)中有29卷属于纯粹数学．
　　欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一．但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学．这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关．欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础．他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域．他被同时代的人誉为“分析的化身”．
　　欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比．他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法．只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足．他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性．欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者．
　　这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解．譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
　　欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师．他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现．但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的．他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的．
　　欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示

号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今．
　　在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19世纪最著名的数学家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．
　　罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路．
+ n% p, K7 I u　　1．数论
　　古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，P．de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．
　　欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760

要的发现是二次互反律．它表述在1783年的一篇论文中，但未给予证明．这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意．二次互反律是18世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现．后来，A．M．勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它．高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801年发表了二次互反律的完整的证明．他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”．二次互反律后来引起了许多数学家，如E．E．库默尔(Kummer)、D．希尔伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作．1950年，I．R．沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律．
　　欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研究．费马重新发现了求解方程x2-Ay2=1的问题(其中，A是整数但非平方数)，J．沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题．欧拉在1732—1733年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了．1759年，

后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)开始对这个问题进行全面研
　　究．对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明 n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如

　　(Vollst

ndige Anleitung Zur Algebra， 1770，德文版)一书中详尽地叙述了这个证明．此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。
　　欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河．他利用调和级数

　　的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：

函数ζ(s)．1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有

　　黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ函数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家．19世纪和20世纪，ζ函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿达马(Hadama- rd)等人关于素数分布的研究中更是如此．
　　欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题．J．H．兰伯特(Lambert)1768年证明e和π是无理数时，曾用连分数表示e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的．1873年，C．埃尔米特(Hermite)证明e是超越数．1882年，F．林德曼(Lindemann)应用欧拉公式eiπ=-1 (欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题．欧拉常数

　　的超越性的猜测，则至今尚未解决． 2 z. I$ o% m* a
　　2．代数
　　17世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对G．卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有n个形如a＋bi的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19世纪有了更精确的证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于19世纪和20世纪代数学教科书的编写产生极大影响．
/ l6 Z: t0 C: {% ?* v- X5 Y　　3．无穷级数
　　在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题

　　伯努利兄弟、J．斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它．1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数2K＞0，

ζ(2K)=a2kπ2k，

　　这里a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示．欧拉还给出了当2K＋1是前面几

性质至今尚不清楚．
　　欧拉大约在1732年发现了上述求和公式，他于1735年给出了证明．C．马克劳林(Maclaurin)不谋而合地在几年后又独立地发现了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．这个公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特灵奠基的．欧拉的《微分学原理》(Introductio calculi differentialis， 1755)是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子．借助于这个求和公式，1735年，欧拉把前述的欧拉常数γ的值计算到小数点后第16位

γ=0.57721566…．

　　欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：

　　它发表在1755年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗1759年的相应工作．
　　欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的．
　　形式观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对19世纪末、20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响．
* p4 m. X8 e( T- s$ H: r: l　　4．函数概念
　　18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中．这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此．专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹．

图1 《无穷分析引论》的扉页，洛桑，1948年

　　《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极其重要．
　　在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利等许多数学家卷入的关于弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论．它促使欧拉去推广自己的函数概念．1755年，欧拉在《微分学原理》一书中给函数下了一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数．”不过，在《无穷分析引论》中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述． ' S/ l' N5 }( { x) g& L
　　5．初等函数
　　《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论．其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式

e±xi=cosx±isinx

　　的一个推导．虽然R．柯特斯(Cotes)在1714年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用．欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式

　
　　虑了正自变量的对数函数．1751年，欧拉发表了完备的复数理论．他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的．欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前1747—1748年在莱布尼茨和约翰·伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争论．但他的工作当时并未被人们接受．
' }* |& v5 |) G; `# ?　　6．单复变函数
　　通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747—1751年间先后得到了(用现代术语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论．他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展．1752年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数u(x，y)＋iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程．177年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程

　　其要点是借助于虚代换z=x＋iy，利用实函数去计算复函数的积分，展

　　欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究．他在1768年的一篇论文中，利用复变函数，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法．1775年，他又证明球面不可能全等地映入平面．这里，他再一次用了复变函数而且讨论了相当一般的保角表示．
　　欧拉的这些思想，19世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展．譬如，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的．
3 T7 L2 `3 M `1 m) G# \　　7．微积分学
　　欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支．
　　在《微分学原理》中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式．他在1734年的一篇论文中证明，若z=f(x，y)，则

　　导出了函数f(x，y)恰当微分的必要条件．1736年，他又揭示了关于齐次函数的定理，即若z是x和y的n次齐次函数，则

　　他还就函数f(x)和f(x，y)的极值问题，得到许多重要的结果．
　　欧拉在《积分学原理》第一卷中，用相当现代的方式叙述了不定积分的方法．他创造了“欧拉代换”等许多新方法．他计算了许多困难的定积分，进一步奠定了特殊函数论的基础．例如，1729年欧拉就研究了序列1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函数和Γ函数，继而还发现了B函数和Γ函数的许多性质，如：

　　在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理．1770年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序．
　　《微分学原理》和《积分学原理》是欧拉那个时代的标准课本．他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上．这至少为后来基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路．
% i* h2 G# K; L　　8．微分方程
　　《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现．他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科．
　　在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名词．1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低．欧拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法．他在1734—1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在1768—1770年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程．欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究．1768年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法．这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件x=x0，y=y0的方程

　　的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程．这个现称“欧拉折线法”的方法，为19世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径．
　　欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分方程的研究．他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的．数学物理中的许多问题都可以归结为二阶线性方程．弦振动问题是一个著名的例子．1747年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程

　　得到形如两个任意函数之和的解：

　　欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究．他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法．于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)发表为止．其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了．欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程．例如，位势方程

　　最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中．1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解．

. F `: l5 v) f$ d' I　　9．变分法
　　欧拉从1728年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题．然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广泛使用了几何论证．书中系统地总结了欧拉在18世纪30年代和40年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分

　　取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程

　　以及大量应用的例子．这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程．
　　18世纪50年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”(the calculus of variation)． 1770年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值．
3 Y* b# G5 O( i; n9 v$ J* W　　10．几何学
　　18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程．
　　在微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪60年代和70年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件．1775年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论．

4 {8 V. M: Z, N% x- L& ~7 k- w

　　欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平．1735年，欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图3，有7座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏．)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质．其中，有一条是：如果用V，E和F分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有V-E＋F=2．次年他给出了这条性质的一个证明．尽管100年后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识V-E＋F这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉．他之所以对这一关系感兴趣，是要用它来作多面体的分类．欧拉示性数V-E＋F以及由H．庞加莱(Poicaré)提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点．”他用图形(图4)表示了这种关系．　
力学
　

　　欧拉在1736年的《力学》导言中，概述了对这门科学各个分支的巨大研究计划．与其前辈采用综合法、几何法来研究力学不同，欧拉第一个意识到把分析方法引入力学的重要性．欧拉系统而成功地将分析学用于力学的全面研究．他的《力学或运动科学的分析解说》(图5)的书名就清楚地表达了他的这一思想．欧拉在力学的各个领域都有突出贡献，他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人．

- S" [) W6 u+ X, R% Q# Q　　1．一般力学
　　《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动．欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”．他所提供的基本概念和定律接近我们今天所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义．
　　1765年，欧拉的著作《刚体运动理论》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅(Ковaлескaя)于1888年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题． 2 z# B: O' r2 N/ ^
　　2．流体力学
　　欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752年至1755年，欧拉相继写了“流体运动原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流体运动的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流体运动理论续篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．这三篇论文于1757年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题．
　　除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔·伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用．　
天文学
　

　　对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关．这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金．
　　17世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745年，克莱罗和达朗贝尔用万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18年，而实际观察则表明它应该是9年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院1752年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753年，他的《月球运动理论》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一书出版．在这部著作中，欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致．
　　欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755年，格丁根大学的天文学家T．迈尔(Mayer)根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过10年的航海实践，1765年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作．
　　1772年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19世纪末，当G．W．希尔(Hill)发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价．
　　欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．　
物理学
　

　　18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
　　1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
　　欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
　　欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
　　欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr

ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:34
魏尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)，德国数学家。生于德国西部威斯特伐利里的小村落奥斯滕费尔德，卒于柏林。父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断，14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。从预科学校一毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把他送到波恩大学学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。卡尔对法律和商业毫无兴趣，在波恩大学他把相当一部分时间用在数学上，他和阿贝尔（Abel，Niels Henrik，1802.8.5-1829.4.6）一样，“直接向大师们而不是他们的学生学习”，他常常独自钻研拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749.3.23-1827.3.5）的《天体力学》、雅可比（Jacobi，Carl Gustav Jacob，1804.12.10-1851.2.18）的《椭圆函数新理论基础》等著作。大学四年，卡尔没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。在他家的一位朋友的建议下，1839年5月卡尔被送到蒙斯特学院学习，以准备教师资格考试。在蒙斯特学院，卡尔遇到一位不可多得的良师—古德曼（Gudermann，Christoph，1798.3.25-1852.9.25)，古德曼还指导他作出了关于把椭圆函数表示成幂级数的商的成果，这是椭圆函数理论的一个重要发现。1841年，卡尔取得了教师正式证书。26岁的维尔斯特拉斯从此开始长达15年的中学教书生涯，其中包括30岁到40岁这一段通常被认为是科学发明创造的黄金岁月。1842年，卡尔到普鲁士一个偏僻小村的一所大学预科学校预备班任数学和物理的助理教师，不久晋升为正式教师。除了数学和物理，他还教德文、地理、书法和体操。白天，他忙着上课、批改作业，一到晚上，他就关上房门，点起蜡烛，通宵达旦地在数学之宫神游，攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中一篇《阿贝尔积分理论》一文，发表在当时德国中小学发行的一种不定期刊物“数学简介”上。如果这篇文章有机会让德国专业数学家看到，肯定会引起巨大反响。1848年，卡尔调到勃朗斯堡大学预科学校任教。直到1853年，卡尔将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克列尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（简称《数学杂志》），才使他时来运转。第二年也就是1854年第47卷上，杂志全文刊登了卡尔的这篇论文，随即引起了轰动。哥尼斯堡大学的理查劳斯教授敦促哥尼斯堡大学授予卡尔博士学位，并立即启程亲自把证书送到勃朗斯堡。1856年，经库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）荐举，卡尔被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选为柏林科学院院士，他后来又转到柏林大学任教授，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄。

　　魏尔斯特拉斯热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦。他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。

主要贡献　　1、在解析函数方面

　　他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。

　　2、在椭圆函数方面

　　椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。

　　3、在代数领域

　　1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。

　　4、在变分学方面

　　1879年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。

　　5、在微分几何方面

　　魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。

　　6、在数学分析方面

　　他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。他改进了波尔查诺（Bolzano，Bernard，1781.10.5-1848.12.18）、柯西、阿贝尔的方法，早在1841年至1856年，作中学教师的魏尔斯特拉斯，就给出了今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义（ε-δ定义），以及完整的一套类似的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。

　　为了说明直觉的不可靠， 1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。

　　早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。

　　1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。

　　另外，魏尔斯特拉斯还研究了天文学中的n体问题和光的理论。

　　魏尔斯特拉斯不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家，他高尚的风范和精湛的艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。他培养了一大批有成就的数学人才，其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15-1891.2.10，俄国女数学家、作家、政论家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法国数学家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法国数学家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典数学家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法国数学家）、L.柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法国数学家）等。

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:37

牛顿

　　牛顿，I．(Newton，Isaac)1643年1月4日(儒略历1642年12月25日)生于英格兰林肯郡格兰瑟姆镇沃尔索普(Woolsthorpe)村；1727年3月31日(儒略历1727年3月20日)卒于伦敦肯辛顿．数学、力学、物理学、天文学、化学、自然哲学．
　　依萨克·牛顿出身于农民家庭．祖父罗伯特·牛顿(RobertNewton)是一位富裕的农庄主．父亲(亦名依萨克·牛顿)继承了田庄，但与牛顿的母亲汉娜·埃斯库(Hannah Ayscough)结婚不到半年即病故．牛顿是遗腹子，而且早产，生后勉强存活．牛顿3岁时，母亲改嫁给邻村牧师B．史密斯(Smith)，牛顿被留在沃尔索普由外祖母抚养．大约从5岁开始，牛顿被送到附近斯吉林顿和史托克走读小学读书．1653年，母亲汉娜再度守寡，携牛顿的三个异父弟妹回到沃尔索普村．两年后，牛顿进入格兰瑟姆中学．少年牛顿不是神童，在校成绩并不突出．但他喜欢读书．在沃尔索普的农舍里保存有近200本牛顿少年时代读过的书籍．牛顿从中学起就有作读书笔记的习惯．有一本又大又厚的笔记本，原是史密斯牧师的神学摘记，牛顿将它继承下来并称之为“废书”(Waste Book)．“废书”后又被带到剑桥用作力学与数学笔记，其中记录了牛顿早年研究万有引力与微积分的心得，是牛顿早期科学发现的重要见证．
　　作为中学生的牛顿还酷爱玩具制作．他所制作的玩具实际上是各种机械模型，包括风车、木钟、日晷以及折叠式提灯(冬日清晨上学路上照明用)等等．在格兰瑟姆牛顿寄宿的克拉克药店卧室里，堆满了这类自制的玩具．
　　1659年，17岁的牛顿被母亲召回沃尔索普管理田庄．但牛顿对务农不感兴趣．一有机会，仍埋首书卷．在这种情况下，有两个人对他的前途起了决定性作用．牛顿的舅父W．埃斯库(Ays－cough)和格兰瑟姆中学校长J．史托克斯(Stokes)先生竭力劝说汉娜让牛顿复学．史托克斯校长对牛顿母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”他甚至答应减收学费并让牛顿到自己家里用餐．他们终于说服了牛顿的母亲．1660年秋，牛顿在辍学九个月后又回到格兰瑟姆，为升学作准备．
　　1661年6月，牛顿入剑桥大学，成为三一学院的减费生(Su－bsizar)．入学前，牛顿已阅读过威廉舅舅送给他的一本桑德生(San－derson)《逻辑学》，这对他顺利掌握大学头二年的逻辑与哲学课程大有裨益．这一时期，牛顿还阅读了亚里士多德(Aristotle)的《工具篇》、《伦理学》，R．笛卡儿(Descartes)的《哲学原理》(Prin－cipia philosophiae)以及 T．霍布斯(Hobbes)、J．马吉卢斯(Magirus)等人的哲学著作．从三年级起，牛顿开始接触大量自然科学著作，其中包括G．伽里略(Galilei)的《恒星使节》(Side－reus nuncius)、《两大世界体系的对话》(Dialogo dei massimi－systemi)，J．开普勒(Kepler)的《光学》(Astronomiae parsOptica)以及P·伽桑逖(Gassendi)的哥白尼天文学概述等．
　　根据J．康杜德(Conduitt)和 A．德·莫阿弗(De Moivre)的记述，牛顿在数学上很大程度是依靠自学．1663年，牛顿从斯图布里奇集市购得一本占星书，因缺乏三角知识看不懂其中的天象图，遂又买来三角课本和欧几里得(Euclid)《几何原本》(Ele－ments)阅读．但他的注意力很快被其他数学著作所吸引．下面是牛顿本人的回忆：“1664年圣诞节前夕，当时我还是一个高年级生，我买到了范·舒滕(van Schooten)的《杂论》(Miscellanies)和笛卡儿的《几何学》(La géométrie)(半年前我已读过笛卡儿的《几何学》与w．奥特雷德(Oughtred)的《数学入门》(Claviemathematicae))，同时借来了J．沃利斯(Wallis)的著作．”根据三一学院保存的牛顿读书笔记，可以进一步了解到牛顿大学时代数学阅读的范围，涉及的作者还有：F．韦达(Viéte)、P．费马(Fermat)、 C．惠更斯(Huygens)、J．德维特(de Witt)、F．德博内(de Beaune)、J．胡德(Hudde)和 H．范·休雷特(van Heuraet)等．在所有这些著作中，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》(Arithmetica Infinitorum)的影响是决定性的，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿的领域——解析几何与微积分．
　　牛顿在广泛阅读的同时也听取大学的各种课程，特别是I．巴罗(Barrow)1664年后开设的卢卡斯(Lucas)讲座．牛顿后来追溯流数概念的来源时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题．”
　　1665年1月，剑桥大学评议会通过了授予牛顿文学士的决定．同年8月，大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡．随后两年里，除偶尔回校及到邻镇布思比小住外，牛顿都是在家乡沃尔索普度过．这段时间成为牛顿科学生涯中的黄金岁月：制定微积分，
　　发现万有引力，提出光学颜色理论……，可以说描绘了他一生大多数科学创造的蓝图．
　　1667年复活节后不久，牛顿回到剑桥，但对自己的重大发现却未作宣布．这年 10月他被选为三一学院初级院委(minor fe－llow)；翌年4月，获硕士学位，同时成为高级院委(major fe－llow)．
　　1669年10月，牛顿继巴罗任卢卡斯教授．牛顿大学毕业后，曾作过巴罗的助手并协助修改后者的《几何与光学讲义》(Lec－tiones opticae et geometricae，1669)．巴罗认识到牛顿的才华，他自动辞去卢卡斯教授之职而给牛顿以机会．巴罗让贤，在科学史上一直被传为美谈．
　　作为卢卡斯教授，牛顿自1670年起主持了一系列重要的科学讲座．1670—1672年光学讲座，总结了牛顿的光学研究，其讲义经修订后于1704年正式出版，这就是著名的《光学》(Opticks)；接着牛顿用了整整十年(1673—1683)时间讲授代数；1684—1685年的卢卡斯讲座主题是运动学，这是由1684年8月E．哈雷(Ha－lley)的一次访问引起的．哈雷专程到剑桥向牛顿请教在引力服从反平方律时行星的轨道．不久牛顿将答案写成论文寄给皇家学会，同时将论文扩充为《论运动》(De motu corporum)的讲义，即1684年秋季开始的卢卡斯讲座内容，并且也是《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica)第一卷的初稿．此后便是牛顿全力创作《原理》的时期，至1687年春，《原理》第三卷“宇宙体系”告成，“宇宙体系”也是这一年卢卡斯讲座的题目．在哈雷的敦促与资助下，《原理》于同年夏正式出版．这部划时代的巨著奠定了牛顿在科学史上的不朽地位．
　　在任卢卡斯教授期间(1669—1701)，除了上述领域外，牛顿继续致力于改进完善自己早年的微积分工作以及其他方面的数学研究，同时还花费了大量的精力探讨化学及炼金术．
　　1680年代末，牛顿一度卷入政治斗争．他曾作为剑桥大学九人委员会成员之一，在抵制国王詹姆士二世派遣一名亲信的天主教徒到剑桥任职的行动中起了重要作用．牛顿因此于1689年1月当选为代表剑桥大学的议员而进入了国会．1701年又再度当选．
　　1693年秋，长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的忧郁症，病虽经治愈，但他从此结束了剑桥宁静的学者生活．1696年，牛顿通过他的学生、财政大臣C．蒙塔古(Montague)的关系而谋得伦敦造币局总监之职，遂移居伦敦，并指定W．惠斯顿(Whi－ston)代理卢卡斯教授．1699年，牛顿因督办铸币有方而升任造币局长，这促使他于1701年10月下决心最终辞去卢卡斯教授之职．牛顿晚年就在伦敦度过．除了造币局的工作，他于1703年起出任皇家学会会长(牛顿早在1672年就已当选为皇家学会会员)．1705年，牛顿被女王安娜封爵，达到了他一生荣誉之巅．1727年3月31日，牛顿在患肺炎与痛风症后溘然辞世，葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷厅隆重举行．当时参加了牛顿葬礼的F．M．A．伏尔泰(Voltaire)“看到英国的大人物们都争抬牛顿的灵柩”，感叹说：“英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王．”据说这位法国作家禁不住虔诚地从牛顿所戴的桂冠上摘下一片叶子珍藏纪念．诗人A．波普(Pope)三年后在为牛顿所作墓志铭中写下了这样的名句：“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中．上帝说：‘让牛顿出世！’于是一切都豁然明朗．”剑桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身雕像，供世人瞻仰．
　　在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位，这不仅是因为这些成就开拓了崭新的近代数学，而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法实现了自然科学的一次巨大综合而开拓了近代科学．
　　二项定理的发现 牛顿数学生涯中第一个创造性成果乃是关于任意次幂的二项展开定理．根据牛顿本人回忆，他是在“ 1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积(或计算

　　牛顿对二项定理的原始推导，写在他1664—1665年间的一本读书笔记上而被保存至今．但牛顿迟至1676年才在致皇家学会秘书H．奥尔登堡(Oldenburg)的两封信中正式公布这项发现，这两封信是为了答复G．W．莱布尼茨(Leibniz)的有关询问而写．在《前信》(epistola prior，1676年6月13日)中，牛顿写道：“由于他(莱布尼茨)很想了解英国人在这一领域的工作，而我本人若干年前曾钻研过这一理论，所以我将自己得到的一些结果寄给您，以满足(至少部分满足)他的要求．”牛顿接着便以下列形式首次叙述了二项定理：

　　并指出“此处P＋PQ表示要求其根或任意次幂或幂的根的量；P表示该量的首项，Q则是首项相除后的余项，m/n 是 P＋PQ的幂指数，不论其是整数还是分数、正数还是负数”，而“在计算过程中要求的各商项用A，B，C，D等来表示，即第一项Pm/n记作A；第二项

　　莱布尼茨复函要求进一步说明二项定理的来源．牛顿于是在《后信》(epistola posterior，1676年10月24日)中追述了自己发现二项定理的思路．
　　如所周知，沃利斯在《无穷算术》中考虑数列

沃利斯影响但却采取了崭新的途径：他不是考虑数列而是考虑一函数序列

的插值．当n为偶数时，牛顿利用沃利斯

　　f0(x)＝1(x)，
　　

　　…
　　

　　牛顿试图对上述级数序列的系数插值，当n＝1时就将得到四分之一的单位圆面积．为此他注意到上述序列中所有级数的第一项都是x，第二项(0/3)x3，(1/3)x3，(2/3)x3，(3/3)x3则构

牛顿指出当n为偶数时，诸系数amn构成帕斯卡三角，且满足关系am，n+2＝am-1,n＋am，n．牛顿接着便利用类比推理假定对奇数n，插值后的am，n此关系仍成立，由此便可从已得到的a0n＝1，a1n＝n/2而逐步推算出其余的amn来．如牛顿算出f1(x)的前七项am1之值为

% a5 @+ ~4 i$ L# y3 t6 k

　　由此看出amn的一般形式

结果逐项微分便立即得到二项定理：

　　其中

　　牛顿在关于二项定理的早期研究中，根据同样的思路用插值法计算

　　这实质上是对数级数的最早推导．牛顿又通过逐项微分进而得到几何级数

　　在后来的文献中牛顿便抛弃了插值法而将此类展开看作是二项定理当指数取负值时的特例，如在《前信》中，牛顿给出了例子

等等．
　　在牛顿之前，正整数幂的二项展开早为人们熟知．牛顿将其推广到正负有理数幂的情形，这是从有限向无限的飞跃，这一飞跃为无穷级数研究开辟了广阔的前景．寻找一些熟知的函数的无穷级数表示，是牛顿同时代数学家们的热门课题．牛顿凭借自己发现的二项定理而能得到其它一系列函数的无穷级数．例如就在发

正弦级数

　　同样还得到了 arc tanx的级数展开．稍后，他运用反演法从已知的 logx与 arc sin x的无穷展开推出指数级数、正弦级数以及余弦级数：

　　等等．牛顿为能发现这么多函数级数而自豪．在17—18世纪，无穷级数是微积分不可缺少的工具．
　　微积分的制定 微积分的发明、制定是牛顿最卓越的数学成就．
　　微积分所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大、极小值问题等，在牛顿之前即已受到人们的研究，有的(如求积问题)甚至可以远溯古代．17世纪上半叶，天文、力学与光学等自然科学的发展使这些问题的解决越益成为燃眉之急．当时几乎所有的科学大师都竭力寻求有关的数学新工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法，并且正是在牛顿诞生前后的一个时期内，取得了迅速的进展，其中最重要的如开普勒的旋转体体积计算法(1615)、费马求极大极小值的方法(1629)、B．卡瓦列里(Cavalieri)的“不可分量原理”(1635)、笛卡儿的解析几何及切线构造法(1637)、沃利斯的分数幂积分(1655)、巴罗的微分三角形(1664—1665)等等．这一系列前驱性的工作，对于求解各类具体无穷小问题作出了宝贵贡献，但却缺乏一般性，尚不能满足当时科学的普遍需要．牛顿超越前人的功绩是在于，他能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分与积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的也是最关键的一步，并为其深入发展与广泛应用铺平了道路．
　　流数论的初建 牛顿对微积分的研究始于1664年秋．当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生了兴趣并试图寻找更好的方法．就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量．在1665年夏瘟疫迫使他离开剑桥前不久，牛顿接连写了几份手稿，致力于笛卡儿、费马、胡德等人算法的改进．其中5月20日手稿引进了一种带双点的字母记号：对于量a，记号

相当于导数的齐

流数记号混为一谈．
　　1665年夏至1667年春牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续研究微积分并取得了突破性进展．据他自述，1665年11月发明正流数术(微分法)，次年5月又建立了反流数术(积分法)．1666年10月，牛顿着手整理前两年的研究而写成一篇总结性论文，此文现以《1666年10月流数简论》(The october 1666 tract on fluxions)著称，当时虽未正式发表，却曾在牛顿的朋友与同事中传阅．《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献．
　　牛顿在《流数简论》中，事实上以速度形式引进了流数概念，但未使用“流数”这一术语．他提出流数计算的基本问题如下：
　　(a)“设有二个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…．已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系．”
　　(b)“已知表示线段x和运动速度p，q之比p/q的关系方程式，求另一线段y．”
牛顿对多项式情形给出(a)的解法：“将所有的项移至方程一边，

　　相等的倍数．(若还有更多的未知量，则依此类推．)令所有乘积之和等于零，此方程就给出了速度p，q，r，…的关系式．”这就是说，对多项式f(x，y)＝Σaijxiyi＝0问题(a)的解为

　　为了“证明”上述结果，牛顿采用了时间t的无穷小瞬o的概念，并指出：“正如速度为p的物体A在某一瞬描画的无穷小线段为p×o，速度为q的物体B在同一瞬内将描画出线段q×o……，这样．若在某一瞬已描画的线段是x和y，则至下一瞬它们将变成x＋po和y＋qo．”牛顿分别以x＋po和y＋qo代换方程中的x和y，例如在方程x3－abx＋a3－dyy＝0中作这样的代换后，牛顿利用二项展开得

x3＋3pox2＋3p2o2x＋p3o3－dy2

－2dqoy－dq2o2－abx－abpo＋a3＝0，

　　消去和为零的项(x3－abx＋a3－dyy＝0)，剩下
　　3px2o＋3p2xo2＋p3o3－2dqoy－dq2o2－abpo＝0，
　　以o除之得

3px2＋3p2xo＋p3o2－2dqy－dq2o－abp＝0．

　　此时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略之得3px2－abp－2dqy＝0即欲求证的解．
　　对于问题(b)，牛顿给出的解法实际上是问题(a)的解的反运算．特别重要的是，《流数简论》中有一个问题讨论了如何借助于这种反运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”．
　　牛顿是这样推导微积分基本定理的：如图1，设 ab＝x，△abc＝y为已知曲线 q＝f(x)下的面积．作 de∥ab⊥ad∥be＝p＝1，当垂线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积□abed＝x，

　　在牛顿以前，面积总是被看作无限小不可分量之和．牛顿却从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积．面积计算可以看成是求切线的逆过程，这事实以往虽然也曾被少数人(如牛顿的老师巴罗)模糊地猜测到，但只有牛顿有足够的敏锐与能力将这种互逆关系作为一般规律明确揭示出来．不仅如此，牛顿在《流数简论》中还指出：“一旦(反微分)问题可解，许多问题也都将迎刃而解”．《流数简论》的其余部分就用大量篇幅讨论正、反微分运算的各种应用，处理了求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等共16类问题，展示了牛顿的算法的普遍性与系统性．

　　向不可分量观点的摇摆《流数简论》标志着系统的微积分算法的诞生，当然它在许多方面是不成熟的．在完成这部著作后，牛顿于1667年春返回剑桥，从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，《分析学》是这条道路上的第一个脚印．
　　1669年7月，正当巴罗考虑辞去卢卡斯教授职位之际，牛顿交给他一篇题为《用无限多项方程的分析学》(De Analysi per Ae－quationes Infinitas，简称《分析学》)的论文手稿．巴罗阅后立即函告当时皇家学会的数学顾问J．柯林斯(Collins)道：“此间一位朋友数日前交给我一篇文章，其中提出了计算量的幂次的方法，与N．墨卡托(Mercator)先生处理双曲线的方法相仿但却更为一般；……这位朋友是研究这方面问题的卓越天才．”几天后，巴罗便将这份手稿寄给了柯林斯，柯林斯复制的副本从此保存在皇家学会，但《分析学》直到1711年才正式发表．
　　《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作．1668年9月，苏格兰学者墨卡托发表了《对数技术》(Loga－rithmotechnia)一书，其中陈述了对数级数，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果．与此同时，牛顿在《分析学》中利用这些级数来计算面积、积分、流数以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数方法紧密结合的特点．
　　关于微积分本身，牛顿在《分析学》中不失时机地对自己的方法作了简短说明．论文一开始就叙述了计算曲线y＝f(x)下面积的法则．其

　　牛顿取x(而不是时间t)的无究小瞬o，并以x＋o代x，以z＋oy代z，则

　　用二项定理展开后，以o除方程两边，略去含o的项即得y＝axm/n．
　　

了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理．
　　与1666年10月《流数简论》不同，牛顿在《分析学》中迴避了流数概念及其运动学背景．《分析学》使用的无穷小瞬o的概念在性质上是含糊的，牛顿有时直截了当地令其为零，因而带上了浓厚的不可分量色彩．
　　成熟的流数法 《分析学》是急就篇．两年后牛顿又写成了一部论述流数法的专著——《流数法与无穷级数》(The method offluxions and infinite series，简称《流数法》)．《流数法》可以看作是1666年10月《流数简论》的直接发展．牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对于以物体运动速度为原型的流数概念作了进一步提炼．正是在这部著作中，牛顿首次使用了“流数”(fluxion)这一术语．他后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释：
　　“我把时间看作是连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长．我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬．”(原始文献［9］，Vol．Ill，p．17．)
　　《流数论》以清楚的流数语言表述微积分的基本问题为：“已知流量间的关系，求流数关系”，以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”．与《流数简论》类似，牛顿从时间的无穷小瞬o出发来推导其流数算法．
　　流数语言的使用使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功．以极大、极小值的确定为例，牛顿借流数概念给出了下述法则：“一个量在取极大或极小值的一瞬，它既不向前也不向后流动；因为如果它向前流动或增加的话，那么它就比原来大，并将变得更大；反之，若它向后流动或减少的话，情况恰好相反．因此，(用前述方法)求出它的流数，并且令此流数等于零”，这相当于通过方程f′(x)＝0来求函数f(x)的极值点．
　　《流数法》虽脱稿于1671年，但直到1736年才正式发表，当时牛顿已经去世．该书原用拉丁文写成，第一版却是英文本，由J．科尔森(Colson)根据W．琼斯(Jones)的拉丁文抄本译出．需要指出的是，琼斯的抄本在符号上没有忠于原作．《流数论》拉丁文原稿中并未出现带点流数记号，而是仍以字母l，m，n，r等表示变量v，x，y，z等的流数．这种表述形式使流数方法不易被读者理解，故琼斯抄本便将原稿中所有表示流数的字母统统换成当时已广为使用的标准点记号

了琼斯的做法，这酿成了后人以为牛顿本人在《流数法》中已引进标准流数记号的误解．
　　《曲线求积术》与首末比方法 无论是《分析学》还是《流数法》，都是以无穷小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：在《流数法》中变量x，y的瞬p×o，q×o随时间瞬o而连续变化，而在《分析学》中变量x，y的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无穷小微元．大约到80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出．首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》中公布，其详尽的分析表述则是在《曲线求积术》(De quadratura curvarum)中给出的．在牛顿所有的微积分论文中，《曲线求积术》写作最晚但发表最早．关于其具体撰写日期，过去一般认为是在1676年，现已弄清，牛顿是在1691年才写成这部著作，最初拟作为他的未完成著作《几何学》(Geometria)的第二卷，后来改变计划而作为《光学》的附录于1704年公诸于世．
　　《曲线求积术》可以看作是牛顿最成熟的微积分著述．在这里，牛顿迴避了无穷小量并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬o的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说，它们构成初生增量的最初比，但可用任何与之成比例的线段来表示．”接着牛顿借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．他举例说明自己的新方法如下：为了求y＝xn的流数，设x变为x＋o，xn为(x＋o)n＝

　　然后“设增量o消逝，它们的最终比就是1/nxn－1，”这也是x的流数与xn的流数之比．
　　这就是所谓“首末比方法”，它相当于求函数自变量与应变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．　　牛顿在《曲线求积术》中第一次引进了后来被普遍使用的流数记号：“用字母x，y，x，v表示不定量，并用带点的同样字母

或变化率，可称之为相同量z，y，x，v的二次流数，并记作量

著名的记法曾于1693年首先公布在沃利斯的《代数学》(De algebra tractatus)新版本中．
　　《原理》与微积分牛顿微积分方法的第一次公开表述，出现在1687年《自然哲学的数学原理》之中．
　　《原理》中并没有明显的分析形式的微积分运算．整部著作是以综合几何的语言写成．但牛顿在第一卷第一章开头部分通过一组引理(共11条)建立了“首末比方法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中“首末比方法”本身亦强烈地诉诸几何直观．

　　第一卷引理Ⅰ“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终亦变为相等”，可以看作是初步的极限定义．在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积：如图2，在曲线acE与直线Aa，AE围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab，Bc，Cd，…，同时作矩形aKbl，bLcm，cMdn，…．牛顿首先设所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时，……内接形AKbLcMdD、外接形AalbmcndoE与曲线形AabcdE相互的最终比是等量比．”然后指出当矩形之宽互不相等(如图设最大宽度为AF)但都无限缩小时，上述最终比仍是等量之比．牛顿还

而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”，等等．
　　牛顿在第一卷第一章评注中说他“提出这些引理作为前提，以避免古代几何学家所使用的烦琐的归谬法”．另一方面牛顿又阐明了首末比法与不可分量法的区别：虽然“此处所做的事情与用不可分量法所做的一样，但现在这些原理是经过证明的，我们可以更放心地使用它们．所以，如果我偶尔将量看作由许多微小元素组成，或是用微小的曲线来代替直线的话，我的意思不是指不可分量，而是指消逝的可分量；不是指确定部分的和与比，而是指和与比的极限”．
　　牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评，并意识到争论的焦点将在于“最终比”概念．为了答复这类批评，他在前述引理的评注中对于什么是“最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量的比所趋向的极限．它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它．”
　　尽管《原理》表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向，但并不意味着牛顿已完全摒弃无穷小观点．在第二卷第二章中，人们可以看到无穷小瞬方法的陈述．该章引理Ⅱ指出：“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各边的瞬乘以这些边的幂指数及系数并逐项相加．”此处所谓“生成量”，即雏形的函数概念．牛顿说明这类量的例子有“积、商、根……”等，并把它们看成是“变化的和不定的”；生成量的瞬则是指函数的微分．因此，上述引理实际上相当于一些微分运算法则．例如，牛顿分别以a，b，c，…表示任意量 A， B， C，…的瞬，他

　
早年一般流数法的基础．
　　《原理》在创导首末比方法的同时保留了无穷小瞬，而其中对“瞬”概念的解释所使用的语言仍然是含混的——牛顿说：“有限元素不是瞬，而是瞬所生成的量．我们应把它们想象成有限量的初生元．”牛顿的这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议．实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机还远不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同的解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度．
　　《原理》将几何形式的微积分用于引力、流体阻力、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力，为微积分的应用开辟了广阔前景．牛顿在这样做时实际上获得了一些微分方程的解，后来有一批数学家致力于将牛顿的动力学工作翻译成分析的形式，推动了18世纪常微分方程的研究．牛顿本人在个别场合也曾以分析形式处理过若干微分方程．
　　优先权争论在微积分的发明上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉．莱布尼茨从1684年开始发表微积分论文．当牛顿1687年在《原理》中首次公布流数方法时，曾加有这样一段评注：
　　“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值与极小值、作切线及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，……这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法写给我看了．他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别．”
　　然而在1726年《原理》第3版中，牛顿却删去了这段文字，原因是其间他与莱布尼茨关于优先权问题发生了争执．争端最先是由瑞士数学家 N．法蒂奥·德迪勒(Fatio de Duillier) 1699年寄给皇家学会的一本小册子引起的，其中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”“曾从牛顿那里有所借鉴”．莱布尼茨对此作了反驳，并在1705年为《教师学报》(Acta erudi－torum)所写对牛顿《光学》的匿名评论中含蓄地批评牛顿在《曲线求积术》中“用流数偷换莱布尼茨的微分”．随着争论的展开，皇家学会遂于1712年指定一个专门的委员会进行调查，并于翌年初公布了著名的《通报》(Commercium Epistolicum)．《通报》宣布“确认牛顿为第一发明人”，并说“那些将第一发明人的荣誉归于莱布尼茨先生的人，他们对他与柯林斯和奥尔登堡先生之间的通信一无所知”．直到最近才弄清，这份《通报》完全是牛顿本人的手笔．鉴于委员会主要是由牛顿的朋友E．哈雷、W．琼斯、B．泰勒(Taylor)和A．棣莫弗(De Moiver)等人组成，莱布尼茨向皇家学会申诉了调查对他“不公”．作为回答，他于同年7月起草、散发了一份《快报》(Charta Volans，牛顿讥之为“飞页”)，气愤地指责牛顿“想独占全部功劳”．《快报》还引用一位“领头数学家”的判断说牛顿70年代所发明的只是无穷级数而不是流数法．所谓“领头数学家”指的是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)，他是追随莱布尼茨卷入争论的欧陆国家数学家的主要代表．当相互指控越演越烈时，一些中立的学者试图进行调解．据牛顿本人称：汉诺威选侯(后英王乔治一世)访问英国时，莱布尼茨的一些朋友想充当和事佬，但“他们未能使我屈服”．莱布尼茨1716年去世后，由于法国数学物理学家P．瓦里克农(Varignon)再三斡旋，伯努利首先表示愿意和解，年迈的牛顿此时对争论亦已感到厌倦，终于在1722年重印《通报》的最后关头发出了停战信号：他听从瓦里克农的劝告删去了伯努利的名字和一些过激言辞．这场延续了20余年的优先权之争虽然从此逐渐平息，但对18世纪英国与欧陆国家数学发展上的分道扬镳产生了消极的影响．
　　莱布尼茨1676年10月访问伦敦期间，曾在皇家学会借阅了牛顿《分析学》手稿抄本并作了摘录．这成为他涉嫌剽窃的主要事实．但从后来公布的莱布尼茨笔记本获知，莱布尼茨当时仅摘录到有关级数的部分．他也不可能从牛顿在《原理》评注中提到的《后信》中了解流数法的奥秘，因为牛顿在信中只以字谜形式隐述了流数法的基本问题．而在1693年10月牛顿致函莱布尼茨向他揭露谜底以前，后者始终不解其云．现有充分的资料证实：牛顿和莱布尼茨是各自独立完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿先于莱布尼茨，但就发表而言，莱布尼茨则早于牛顿．值得补充的是，尽管发生了纠纷，两位学者从未怀疑过对方的科学才能．有一则记载说，1701年，在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王后问到对牛顿的评价时，莱布尼茨回答道：“纵观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作．”
　　《普遍算术》与代数 1683年秋，牛顿将自己的卢卡斯代数讲义存入了剑桥大学图书馆．牛顿原打算随即加以修改、发表，但1684年夏哈雷的访问打断了这一计划，其后牛顿便将主要精力投入《原理》的写作．直到1707年，牛顿的代数讲义才经他本人同意由W．惠斯顿整理出版，定名《普遍算术》(Arithmeticauniversalis)．《普遍算术》初版(拉丁文)含有许多错误，牛顿本人颇不满意，遂亲加校订并于1722年出版了修订本．
　　《普遍算术》主要讨论代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用．书中首先陈述了代数基本概念与基本运算，接着便用大量实例显示了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行深入探讨，引出了方程论方面的丰富结果．
　　像A．吉拉尔(Girard)和笛卡儿等人一样，牛顿未加证明地叙述了代数基本定理．但《普遍算术》对于虚根(牛顿称之为“不可能根”)的出现却作了更深入的考察，这使牛顿在许多场合能走得比前人远．
　　G．卡尔达诺(Cardano)曾猜测代数方程的虚根必然成对出现，牛顿则是第一个对此事作出明确论证的人．牛顿在《普遍算术》中使用了连续性原理，来说明两个互不相等的根如何连续变化为相等根然后又变为虚根．他通过几何实例来解释自己的论证：设圆CDEF与椭圆ACBF相交于点C，D，E，F (图3)，由交点向已知直线AB引垂线CG，DH，EI，FK，若通过求任一垂线之长得到一方程，则在圆与椭圆相交的四点，该方程应有四个实根(即四条垂线之长)．但若圆心保持不动而圆径逐渐缩减，当点E与F趋于重合时，圆与椭圆变为相切，则表示现已重合的垂线EI和FK的两根亦将变为相等．若圆进一步缩小而不再在点E/F处与椭圆接触，而仅在另二点C、D处与其相交，那么四根中表示现已变得不可能的垂线EI和FK的那两个根亦将相应地成为不可能．牛顿将这种例证推而广之，指出“在所有方程中，通过这样地增加或减小它们的项，两不相等根起先趋于相等，然后变成不可能．结果是：不可能根的数目将永远是偶数”．

　　牛顿对笛卡儿符号法则的推广亦在于对虚根情形的分析．笛卡儿法则是说：一方程正根最多个数等于系数变号的次数，负根最多个数则等于两个+号或两个-号连续出现的次数．正如牛顿指出的那样，若方程有虚根，则上述法则既不能给出真正的正、负根个数，也不能给出虚根的实际个数．于是牛顿便在《普遍算术》中提出了他自己的改进法则．
　　牛顿的法则由两部分组成．第一部分用来确定虚根个数，即所谓“不完全法则”(imcomplete rule)：

将其中每项分数除以前项分数，所得分数置于方程中间各项上方，若一中间项平方与其上方分数的乘积大于左右二项之积，就在该项下方记以+号，否则记以-号，同时在首项与末项下方皆记以+号，那么虚根个数恰等于下方所记符号变号的次数．例如方程

x3+px2+3p2x-q=0，

　　按上述法则操作得：

x3+px2+3p2x-q=0

+ - + +

　　下标的符号序列+，-，＋，+中包含两次变号，故方程有二个虚根．
　　牛顿法则的第二部分即所谓“完全法则(complete rule)，可借以进一步确定方程正负根的个数．根据笛卡儿法则可以判别方程正根的最多个数．牛顿认为这中间可能“隐藏”着虚根，并称其为“不可能正根”．同样地可以定义“不可能负根”．牛顿完全法则是说：在“不完全法则”中得到的方程下标符号序列中，考察变号上方诸项的符号，不可能正根的个数恰等于这些项本身的变化次数，而不可能负根的个数则等于不变号的次数．例如方程：

x5-4x4+4x3-2x2-5x-4=0

+ + - + + +

　　按“不完全法则”操作得到的下标符号序列中变号者为+，-，＋，这说明有两个不可能根，而上方诸项-4x4+4x3-2x2变号二次，标志着二个不可能正根．但因方程本身各项系数符号序列+，-，＋，-，-，-中共有三次变号，故最多正根个数为3，其中“隐藏”两个不可能根，结果方程计有一个真正的正根，二个负根和二个虚根．
　　根据现存的牛顿手稿可知，牛顿早在1665—1666年间就已发现了他的符号法则．牛顿法则的证明相当困难，直到1865年才由J．西尔维斯特(Sylvester)给出第一个严格的证明(西尔维斯特证明了包含牛顿法则为特例的更普遍的定理)．
　　《普遍算术》中有关方程论最突出的贡献或许是表述方程根与系数关系的幂和公式，这公式现以牛顿的名字命名，它为代数方程根的对称函数理论奠定了基础．对于方程

a0xn+a1xn-1＋a2xn-2＋…+an-1x＋an＝0，

　　作n个根x1，x2，…，xn的i次幂和Si=xi 1 ＋…+xi n (i=1，2，…，n)，牛顿公式相当于
　　a0S1＋a1=0，
　　a0S2＋a1S1+2a2=0，
　　………
　　a0Sn+a1Sn-1＋a2Sn-2+…＋nan=0．
　　牛顿在《普遍算术》中运用上述公式来推算方程的根限．他给出的法则中最重要的一条可用现代语言表述如下：若有方程

f(z)=a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an=0(a0＞0)，

　　则每一个使f(z)及导数f′(z)，f″(z)，…，fn-1(z)皆为正的数z=L必为f(z)=0的正根的上限．类似地可以求出方程负根的下限，牛顿进而讨论了如何通过这些根限公式去逼近方程的数值根．
　　《普遍算术》对于代数本身的见解也有重要的意义．牛顿在前言中写道：“人们或者像在通常算术中那样用数字进行计算，或者像分析数学家习惯的那样借助普遍变量(species，直译“类”)来进行计算．这两种运算都依赖于同样的基础并服务于同样的目标，算术采用确定的和特殊的方法，而代数则采用不定的和普遍的方法，以致由这种运算得到的所有结论几乎都可以称作为定理．”在这里，牛顿像F．韦达一样将代数看作是“变量算术”(Arithme-tica specisa)，而将通常算术看作是“数字算术”，但他在代数中更加自由地运用变量，并主张代数与算术相互结合而形成数学的基础：“在算术中，问题的解决是从已知量出发逐步推算出未知量．代数却相反，把未知量当作已知量，并由之出发去反推已知量，好象这些已知量是要求的量，最终通过某种方式达到某种结论—也就是说某个方程，而从这方程则可解出真正的未知量．这正是代数的优越性．运用这种技巧，一些极困难的问题可以迎刃而解，而这些问题的解决单靠算术是无济于事的．不过，算术运算对代数来说又必不可少．二者似应相互结合而形成统一的完善的计算科学”——这就是牛顿“普遍算术”的真谛．牛顿的观点在当时英国反响不大，却很快吸引了欧洲大陆数学家的注意(这同微积分情形形成对照)．1707年11月间约翰·伯努利致函莱伯尼兹说他“正急切地盼望能读到一本书，…此书篇幅不大，但却大大胜过了法国出版的同类巨卷著作”．伯努利指的就是刚出版的《普遍算术》．《普遍算术》后来成为发行最多的牛顿数学著作，对于18世纪数学中代数与分析方法优势的确立颇有影响．
　　几何研究 牛顿对解析几何与综合几何两方面都有贡献．
　　1664年秋，牛顿在学习掌握笛卡儿《几何学》时，即已面临大多数同时代数学家所关心的问题：描绘大量尚属未知的曲线并研究它们的性质．这方面的探讨导致了他在解析几何领域最重要的工作．
　　自阿波罗尼奥斯(Apollonious)时代起，希腊数学家已对圆锥曲线作了透彻的研究，笛卡儿在《几何学》卷2中将希腊人的综合工作翻译成了解析语言．然而对于高次曲线，无论古希腊人还是笛卡儿却都知之不多．希腊人将所有高于二次的曲线统称为“线性曲线”(linear line)，对此他们只给出了个别实例如蚌线(conchoid)、蔓叶线(cissoid)．笛卡儿向他的同时代人展示了三叉线(trident)和叶形线(folium)，其后数十年间，数学家们新认识的三次曲线总共只增添了二种，即沃利斯的立方抛物线与W．尼尔(Neile)的半立方抛物线．在牛顿之前，也没有人能够像把非退化二次曲线分成椭圆、双曲线与抛物线那样对三次曲线分类．牛顿从1664年起试图追随笛卡儿按方程次数对曲线分类的思路来解决这一课题．1667—1668年和1678—1679年间，他又两度回到高次曲线的研究并获重大进展．但如其一贯所为，牛顿迟疑于结果的发表，直到1695年，他才将以前的结果总结成专论《三次曲线枚举》(Enumeratio linearum tertii ordinis)并作为《光学》的附录发表(1704)．
　　《三次曲线枚举》首先根据平面曲线与直线相交所产生的交点数来定义曲线的阶，同时指出圆锥曲线的许多概念与性质可以被推广至高次曲线．例如牛顿提出了适合高次曲线的一般直径理论(在这理论中n次曲线的直径被定义为该曲线与一平行直线簇中每一条的n个交点的重心轨迹)和一般渐近线理论等．《三次曲线枚举》的这个引论部分以著名的“牛顿定理”为高潮，牛顿定理相当于说：平面上的点关于一三次曲线的三个纵坐标之积与相应的三横坐标之积保持常数比．
　　在上述一般性讨论之后，牛顿便转向其理论的精粹——三次曲线分类．他注意到任一三次曲线至少有一个实渐近方向，取与此方向平行的直线为坐标轴之一，牛顿导出了三次曲线方程的四类基本形式：
　　(i)xy2＋ey=ax3＋bx2+cx＋d，
　　(ii)xy=ax3＋bx2＋cx＋d，
　　(iii)y2=ax3＋bx2+cx+d，
　　(iv)y=ax3＋bx2＋cx＋d．
　　它们分别相应于一般立方双曲线、笛卡儿三叉线、发散抛物线(牛顿用语)和立方抛物线．牛顿并未证明这四类方程穷举了一切可能(1729年法国数学家F．尼科尔(Nicole)证明了这一点)．对第(i)和第(iii)类情形牛顿又区分出许多子类，结果他总共列举了72种三次曲线．对此后来J．斯特林(Stirling，1717)、G．克莱姆(Cramer，1746)等人又追加了6种．数学家们还发现了其他不同的对高次曲线分类的原则．
　　除了分类，牛顿在《三次曲线枚举》中还将圆锥曲线的射影定义推广到高次曲线．他大胆地指出：“正像所有的圆锥曲线都可看作是圆的投影一样，所有的三次曲线都可以看作是五种发散抛物线(即由方程y2=ax3＋bx2＋cx+d确定的曲线)的投影．”这个重要的事实到1731年才由A-C．克莱罗(Clairaut)严格证明．
　　《三次曲线枚举》是解析几何发展新的一页．以往只了解少数特例的三次曲线，现在可以从整体上进行分类并考察其性质，这激发了包括克莱姆、欧拉直到19世纪的J．普吕克(Plücker)等人对高次代数曲线的系统研究．

　　牛顿关于解析几何的工作在他的《流数法》一书中也有大量记述(该书拉丁文本最初甚至用名《解析几何》)，其中最重要的是各种坐标系的采用．牛顿在用流数法计算切线问题时指出：“作切线可用不同的方法，这取决于曲线与直线的不同关系”，他所说的“曲线与直线的不同关系”，意味着不同的坐标系．事实上，牛顿在《流数法》中引进了9种不同的表示曲线上任意点D的坐标“模式”(mode)，其中“模式3”与“模式7”分别为双极坐标系与一般极坐标系．以一般极坐标为例，牛顿是在求作所谓“机械曲线”(mechanical curve，即超越曲线)的切

AG为半径的圆弧，牛顿将曲线ADE看作是当AG绕中心A旋转时其上

方f(x，y)=0确定，于是可用流数法求出x与y的流数关系并据以确定切线DT的位置(实际上，借助一些初等几何的推导，牛顿获得流

由此可确定Gt，而切线DT∥Gt)．很清楚，这

角与矢径．他还以极坐标形式给出了阿基米德螺线和费马螺线的方程：

的创始人．极坐标后又为雅各·伯努利(Jakob Bernoulli)独立引进(1691)．
　　牛顿对古典几何的研究则开始较晚．在70年代后期，牛顿表现出探索古希腊几何宝库的巨大热情．这方面的具体背景尚待探明，D．怀特赛德(Whiteside)认为主要是受到笛卡儿《几何学》中关于帕普斯问题的论述(牛顿在准备卢卡斯代数讲义过程中又重研了笛卡儿《几何学》)以及费马对两部失传希腊几何著作—阿波罗尼奥斯《平面迹线》(Plane loci)和欧几里得《衍论》(Porisms)的考证论文(1679)的激励．这导致了牛顿古典几何研究的高产时期(特别是1678—1679年间)．从现存牛顿手稿看，这一时期最有代表性的作品是《古代立体轨迹问题求解》(Solutio problem atisveterum de loco solido，以下简称《立体轨迹》)．
　　《立体轨迹》是一篇由13个命题组成的短论，其中心结果是关于帕普斯问题的解答．所谓帕普斯问题是说：
　　已知三［或四］条直线，求一点之轨迹，使由该点向这些直线所引与其成已知交角(不同直线可有不同交角)的三［或四］线段中，二线段之乘积与另一线段之平方[或另二线段之乘积]成定比．此轨迹习称三

　　交比P(ACDB)．)
　　帕普斯和阿波罗尼奥斯都已猜测到三-四线轨迹为圆锥曲线，但未能作出证明．笛卡儿在《几何学》中用解析方法证实了希腊人的猜测，而牛顿《立体轨迹》则在历史上第一次用综合法确立了三-四线轨迹与圆锥曲线的等价性(命题1，2)．利用此种等价性，牛顿以全新的本质上是射影的方式重新定义圆锥曲线．《立体轨迹》命题5证明了：圆锥曲线上四点A，B，C，P，过P作PQ∥AC，PS∥AB且分别交AB，AC于Q，S，若对曲线上任何第五点D，连接DB，DC分别交PQ，PS于R，T，则PR与PT之比恒为常数．反之，若PR与PT成定比，则点D必落在过A，B，C，P之圆锥曲线上(图6)．不难看出，这相当于将圆锥曲线定义为两个分别会聚于确定极B与C的线束B(D)与C(D)的交点D的轨迹，而线束B(D)，C(D)通过某作平行移动的直线(l)与已知角UPQ两边相交所得的点偶(R，T)．对此，《立体轨迹》命题12又作了基本的推广：一轨迹线是圆锥曲线，当且仅当它能作为二线束(分别具有确定极)的交点集画出，这二线束可通过某种“单几何”(simple geometry)来相互确定．牛顿所谓的“单几何”，实质是点集与点集、点集与线集之间的一一对应．《立体轨迹》的其他一些命题用相当篇幅讨论了这种一一对应理论．牛顿后来对高次曲线的射影分类即以此为基础．他将那些可在射影下相互交换的图形看成一类，并提供了相应的作图技巧(这方面的内容后构成《原理》中专门的一节——第一卷引理XXII“将图形变换成同类的其他图形”)．

　　牛顿的上述工作超越了他的时代，预示着19世纪以J．V．彭斯列(Poncelet)、J．施泰纳(Steiner)和M．沙勒(Chasles)等为代表的综合射影几何的复兴．牛顿本人并未意识到这一点，他像大多数前辈一样将自己所获得的结果纳入欧几里得几何的框架．《立体轨迹》并未正式发表，但其中绝大部分命题后来都被载入《原理》(第一卷第五章“论焦点均未知时求轨道之法”)．《原理》还包括了牛顿关于古典几何的其他许多优美的定理．这些纯几何的结果成为《原理》数学论证的基础．
　　90年代初，牛顿曾想集一生几何研究之大成而编纂三卷本专著《几何学》(Geometria)，整个计划未能实现，但一、二卷有手稿留下．牛顿无疑是一位几何学大师，在这方面，相对于其他领域而言，人们对他的工作了解尚不充分．
　　数值分析、概率论、挑战问题 除了微积分、代数与几何以外，牛顿的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多的领域．
　　现今任何一本数值分析教程都不能不提到牛顿的名字——牛顿-高斯公式、牛顿-斯特林公式、牛顿-拉弗森公式……，这反映了牛顿对该领域广泛而卓越的贡献．
　　牛顿的插值法研究有两个来源．第一个来源是追随沃利斯《无穷算术》寻求内插求积公式的努力，如前所述这导致了二项定理的发现．第二个来源是函数表的计算，这把他引向了有限差分插值理论．
　　由于实际需要，17世纪的数学家们热衷于各种函数表的编制．他们遇到的一个典型问题是如何根据函数二已知值来计算中间值，即插值．1675年春，一位叫J．史密斯(Smith)的学者致函牛顿求教自然数1—10000的平方根、立方根及四次方根表的编算，激起了牛顿对此问题的兴趣．他在给史密斯的复信(1675．5．8)中制定了一种计算开方根表的方案：先算出每组100个根

(100p)1/k，1≤p≤100(k=2，3，4)，

　　然后利用一、二、三次调整差分算出每二个值之间的其他99个值．在其后撰写的两份手稿中，牛顿提出了一系列差分插值公式．这两份手稿是：《差分法则》(Regula differentiarum)和《差分方法》．(Methodus differentialis)初稿．据D．怀特赛德考均完成于1676年左右．
　　在《差分法则》中，牛顿重新发现了所谓布里格斯(Briggs，1624)关系即等间距向前差分公式，并将其推广到了不等间距情形．牛顿的推导是以“调整差”(adjusted differences)为基础．如图7所示，对插值结点A，B，C，D，E，F，G，…，牛顿作下列量：　　

　　(式中以A，B，C，D，…代替相应纵坐标p，q，r，s，…)．此即n次调整差的递推定义，用现代记号表示为：
　　

　　于是可知f(x)之n阶调整差为常数．牛顿接下去的做法相当于从n阶调整差出发逆推，逐项展开差分而得：

(x-xn)△n(x0，x1，…xn)+…．

　　这就是调整差形式的牛顿一般插值公式，其等间距情形有时又称牛顿-格雷戈里(Gregory)公式(J．格雷戈里1670年曾独立发现)．
　　在《差分方法》初稿中，牛顿则建立了中心差分公式．他首先讨论了两种等间距情形．
　　情形1．奇数插值点．牛顿导出的公式相当于：

(δα0，α=1，2，…表中心差分)．

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:37
此式后为J．斯特林重新获得(1719)，故又名牛顿-斯特林公式．
　　情形2．偶数插值点．导出的公式相当于：
　　

　　现以牛顿-贝赛尔(Bessel)公式著称，R．科茨(Cotes)1708年也独立发现此式．
　　《差分方法》初稿接着便将上述中心差分公式推广到不等间距情形．值得注意的是，牛顿在《差分方法》初稿中放弃调整差而定义了均差(divided difference)：

　　在此后的有关著述中，牛顿便一概使用均差语言．
　　根据《差分法则》与《差分方法》初稿的内容，如果说牛顿在1676年左右已奠定了近代差分插值理论的基础，那并不夸张．但这两份手稿当时都没有发表．大约10年后，牛顿才在《原理》中首次将《差分法则》所获得的结果公诸于世．《原理》第三卷引理Ⅴ(“求作一抛物线使经过若干已知点”)以均差形式陈述了牛顿一般插值公式：

f(x)=f(x0)十(x-x0)f(x0，x1)＋(x-x0)(x-x1)

f(x0，x1，x2)+…＋(x-x0)(x-x1)…

(x-xn)f(x0，x1，…xn)十…．

　　牛顿唯一正式发表的关于差分插值法的系统论文《差分方法》，是以上述1676年初稿为基础修改而成．修改工作迟至1710年才进行，1711年与《分析学》等同时刊载于W．琼斯编辑的牛顿数学短篇论文集(原始文献［4］)．与初稿不同的是，正式发表的《差分方法》首先概要证明了牛顿一般插值公式，然后作为特例给出牛顿-斯特林公式和牛顿-贝塞尔公式．这体现了牛顿建立统一的差分插值理论的努力．牛顿早在《差分法则》中就表达过这种统一的意向，他在该文最后写道：“还可以提出其他这类法则，但我希望用一个一般的法则来概括所有这些公式．”
　　代数方程数值求解的迭代方法如今也以牛顿的名字命名．这方法最先在《原理》第一卷命题XXXI中作为解开普勒方程的工具正式公布，但早在1669年前已被发现．牛顿《分析学》中有一例三次方程y3-2y-5=0，牛顿的解法如下：首先观察得根的整数部分为2，作代换y=2＋p，获方程p3＋6p2＋10p—1=0，略去高次项得p≈0.1，再作代换p=0.1＋q，获方程

q3＋6.3q2＋11.23q+0.061=0，

　　略去高次项，得q≈-0.0054，继续此步骤至下一步q=-0.0054+r，求得r≈-0.00004853，此时y≈2.09455147(末位数应为8．牛顿后在《流数法》中作了更正)．容易看出，牛顿的解法相当于对方程f(x)=0给出迭代程序
　　Ei(=xi+1-xi)=-f(xi)/f′(xi) (i=1，2，…)，
　　其中xi为逐次近似根．牛顿的公式后被J．拉弗森(Raphson)在形式上加以改进并发表在《一般方程分析》(Analysis aequa-tionum universalis，1690)一书中，拉弗森的程序相当于

xi+1=xi-f(xi)/f′(xi)，

　　这就是所谓牛顿-拉弗森公式．
　　虽然牛顿并未留下任何概率论专作，但在他的许多著述中却不乏概率论的思想与方法．牛顿早期数学手稿中就有关于概率定义的讨论，特别是他1664—1666年间对惠更斯《赌博计算》(De-ratiociniis in ludo aleae)所作的一份注记中，已出现几何概率概念，牛顿写道：
　　“当机会之比…是无理数时，仍可用同样的方法计算期望值，设半径ab，ac，将水平圆面bcd分成abec和abdc两部分(如图8)，其面

　　我赢得a；若它落在另一部分，则赢得b，此时期望值等于

　　这说明牛顿引用了几何概率来处理机会的无理数比，可能是目前所了解的关于几何概率的最早记载．此外，牛顿在编年学研究(《古代王国修正编年》，Chronology of ancient kingdoms amen-ded， 1728)中借概率原理从考古数据来推断古代王朝年代，其方法触及大数律基础．在牛顿的天文和光学著作中，还有大量与误差理论有关的论述．牛顿在古典概率论方面的工作对同时代的棣莫弗和后来的拉普拉斯等人不无影响．

　　牛顿1696年到造币局任职后，基本上停止了创造性的数学研究活动．即使这样，他身上仍然闪耀着伟大数学家智慧的光华．牛顿晚年曾两次面对波及全欧的数学挑战．第一次是约翰·伯努利于1696年6月在《教师学报》(Acta eru-ditorum)上提出的．问题有两个，第一问题即最速降落线问题：求一曲线AEG使重物在自身重力作用下将沿此曲线由已知点A最速降落至点G．问题提出后半年仍未解决，伯努利遂于1697年元旦发表著名的“公告”(Programma)，再次向“全世界最能干的数学家”挑战．1月29日牛顿从造币局下班回到寓所，发现一封法国来信，转达了伯努利的挑战．牛顿利用晚饭后的时间一举解决了两个问题，并将结果写成短文匿名发表在《哲学汇刊》(Philosophical Transaction，1697，No．224)上．伯努利读后惊呼“从这锋利的爪我认出了雄狮”．对最速降落线问题牛顿从几何上解答为摆线．三年后他又给出一个分析证明．此证明记载在D．格雷戈里的回忆录中，如图设AB=x，BE=y，牛顿对无限小增量BC=CD=o考虑无限小降落E→N→G，他求出从E→N，从N→E的时间分别为：

　　其中2p=GL=2yo＋2yo2，q=FN，牛顿然后固定x，o，p而令q变动，寻求N在水平线FC上的位置使降落E→N→G所需时间(R＋S)最少，并给出了作为局部极小条件的流数方程．

　　牛顿对最速降落线问题的解答与伯势利、莱布尼茨和法蒂奥·德迪勒(Fatio De Duillier)等人的结果一起推动了变分法的早期发展．
　　另一次挑战涉及所谓“等交曲线”问题，即求一曲线(或曲线簇)与已知曲线簇相交成给定角．一个重要的特例是交角为直角的情形即“正交轨线”．这问题最先也是由约翰·伯努利提出．1715年莱布尼茨又重新提出来对准英国数学家主要是牛顿挑战．年逾古稀的牛顿也是用一个晚上作出了解答．这一次当伯努利看到《哲学汇刊》(1716)上刊出的匿名解答后却说“未见雄狮利爪”，他以为作者是泰勒．牛顿的解答是

解的存在性，但除列举特例外，未能给出一般解．
　　数学方法 在数学方法上，牛顿的思想存在着不同的侧面，并且是随着他一生不同的时期而变化、发展．
　　在牛顿的早期数学研究中，演绎倾向显然无足轻重．牛顿发明微积分，主要是依靠了高度的归纳算法的能力，并没有多少综合几何背景．从现在仍保存在三一学院的牛顿大学时代读过的《几何原本》上可以看到他当时对该书的评语——trivial(平易无聊)，以致于他1664年参加津贴生考试(巴罗主考)时因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过．而几乎在同时他开始研究微积分问题，并且不到一年就做出了基本发现．牛顿后来对早年未学好欧氏几何颇感后悔，认为“不该先让自己致力于笛卡儿和其他代数学家的著作”，“欧几里得作为一个杰出的作家本来是应该首先受重视的”．对于数学史来说，幸运的是牛顿实际并没有像这样倒过来做，但上述自白反映了他思想上的转折．70年代以后，牛顿对演绎方法益趋重视，其结果如前所述，是他在古典几何领域的丰收和《原理》中演绎的力学体系．牛顿在《原理》第一版序言中赞美几何演绎的作用，认为“从极少数原理出发，而能推出如此丰富的结果，这正是几何学的光荣”．
　　牛顿在《原理》中不遗余力给微积分披上几何外衣，使流数术带上了僵硬呆板的弱点，在客观上阻碍了18世纪英国分析的发展．但这决不意味着牛顿主观上对分析方法有任何贬抑．相反，他在1704年《光学》中谈到分析方法时说：“在自然哲学中也像在数学中一样，对于困难事物的研究，总是首先使用分析方法，然后再用综合方法．”牛顿后来曾多次说明《原理》中命题的分析来源，特别是在他1710年代末撰写的《原理》新序言(手稿，未发表)中可以看到这样的典型论述：
　　“分析有助于发现真理，而发现的确定性则应通过综合证明来体现，…本着上述理由，我在《原理》中采用了综合方法去证明各卷中的命题，而这些命题原先是我通过分析途径发现的．…对于当今通晓代数的数学家来说，这种综合的论证方式确有令人不快之处，原因也许是太烦琐、太泥古了；或者因为它不能充分揭示发现的奥秘．当然，我也完全可以用分析方式来叙述那些本来就是通过分析发现的事实，而不必像现在这样绞尽脑汁．但本书是为那些对几何原理造诣颇深的学者而写，旨在奠定物理学的几何证明基础．”(原始文献［9］，Vol．VIII．)
　　考虑到牛顿早先的分析发现，似乎没有理由怀疑他的自述．况且除了几何模式，《原理》中确实有意保留了“分析方法的样板”，即第一卷命题XLV及第二卷命题X．牛顿还指出“通过对命
　　题综合证明的逆推，也可以对发现这些命题的分析方法有所了解”．
　　牛顿有时被认为“爱几何方法甚于纯分析方法”，他甚至说过“代数是数学愚人的分析学”(研究文献［3］)．另一方面，牛顿又常遭批评说他过分强调分析与归纳的作用．其实正如I．B．科恩(Cohen)所说，对牛顿的一些说法不能断章取义．牛顿的思想是复杂的，有时确实是矛盾的．但全面考察仍然可以找到主旋律．事实上，牛顿比他的任何同时代人都更加强调数学方法的“双重性”．他曾明确说过：“数学科学的方法是双重的，即综合与分析，或称合成与分解．”(原始文献[9]，Vol．VIII．)在《普遍算术》中他竭力提倡算术与代数“作为综合与分析”二者应“结合在一起研究”．而关于代数与几何，他的看法是：“这两门科学不应混淆．古人不遗余力地将它们截然分开，以致在几何中从未使用过算术名词．近人则相反，将二者混淆起来而丧失了体现几何美的简单性”，也就是说他既反对将代数与几何“混淆起来”，也反对二者的“截然分开”．认识分析与综合的区别，致力于二者的结合，这种双重方法也被牛顿推广于整个自然哲学而显示出巨大功效．诚如R．科茨(Cotes)在《原理》第二版序中指出的：“这是哲学探讨的无可比拟的最好方法，我们的著名作者(指牛顿)最先正确地掌握了这个方法，并且认为只有这个方法才值得他用他的卓越劳动去加以发扬光大．”
　　几乎所有的牛顿传记都把他描写成一个心不在焉、沉迷于科学研究的人．据他的助手回忆，牛顿忘记吃饭是常事．他的仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动．牛顿偶尔上食堂用餐，有时出门便陷入思考，兜个圈子又回到家里，竟把吃饭一事置之脑后．他不倦地工作，往往一天伏案写作18至19小时．当他在花园中散步，常会突然想起什么而急忙跑回书房往正在构思的论文上写下几行．在艰深的研究之后，他有时阅读或撰写一些较轻松的东西作为休息．W．惠威尔(Whewell)在《归纳科学史》(Hi-story of inductive sciences)中写道：“除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别．当有人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：‘老是想着它们’．另一次他宣称：如果他在科学上做了一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考，‘心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明’．”
　　牛顿总是谦逊地将自己的科学发现归功于前人的启导．他在谈到他的光学成就时曾说过这样的名言：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上”(1676．2．5致胡克的信)．临终前他对友人说：“我不知道世人将怎样看我．我自己认为我不过是一个在海边玩耍的小孩，偶然拣到一些比寻常更光滑的卵石或更美丽的贝壳并因此沾沾自喜．而在我面前，却仍然是一片浩瀚未知的真理的海洋．”
　　牛顿对于发表自己的科学著作极度谨慎．除了两篇光学论文外，牛顿绝大多数著作都是在朋友们再三敦促下才发表．这或许反映了他内心的矛盾：一方面为自己的科学发现感到骄傲，希望获得公众承认．另一方面又担心自己的思想超越大多数同时代人太远、惧怕批评而不愿发表结果．这种心理僵局导致他许多重要论著长年湮没无闻，同时也招来优先权的麻烦，成为他与莱布尼茨、R．胡克(Hooke)、J．弗拉姆斯提德(Flamsteed)等人一系列争端的部分缘由，而在这些争端中，牛顿有时表现出偏执、不公．
　　可能是因为早年经历所致，牛顿性格沉郁内向．但幸而这没有妨碍他后来在造币局与皇家学会的职位上显示出行政能力．牛顿不善于在公众场合表达自己的思想，但作为皇家学会会长，他却能赢得多数会员拥护，连选连任领导这个最高学术机构长达四分之一世纪．牛顿初任会长时，针对学会面临的学术与财政困难，制订了一份“皇家学会振兴计划”，计划将“自然哲学”分成五个主要领域——数学与力学；天文与光学；动物、解剖与生理学；植物学；化学．对每个领域指定一位公认的专家负责，主持每周的学术讨论．“计划”还声明皇家学会只任命在科学上有建树的人．在牛顿任职期间，皇家学会吸收了大批年轻有为的会员，其中包括C．麦克劳林(Maclaurin)、R．科茨、W．琼斯、H．彭伯顿(Pemberton)等，他们形成牛顿学派的中坚．牛顿推动理事会通过一项向会员捐款的规定，从而克服了学会的债务危机．牛顿是个一丝不苟的人，他甚至命令学会职员H．亨特(Hunt)守在大门前向会员募捐．也是在牛顿的奔波努力下，皇家学会在建院50年之际从破旧的格雷沙姆学院搬进了克兰大院(Crane Court)新址．牛顿始终如一认真对待皇家学会的工作．据学会记录，他出席了任职期间总共177次理事会中的167次，直到临终前不久还抱病在伦敦主持了一次会议．
　　牛顿一生过着近乎清教徒式的简朴生活，即使成为贵族后亦未变其本色．但他对于公益事业和亲友的困难，常能慷慨解囊．牛顿有许多亲戚，他们中几乎每个人都分享到他的慷慨．他的异父妹妹安娜丈夫去世后，牛顿为其三个孩子买了保险年金，并将外甥女凯瑟琳(Catherine Barton)接到伦敦居住、接受教育．格兰瑟姆的克拉克先生回忆说：有一次牛顿给了他一张数目可观的支票，作为他一位远房侄女的嫁妆，后来这位女士不幸守寡，牛顿还一直接济她和她母亲的生活．牛顿还经常向剑桥大学、皇家学会捐款．
　　牛顿待人接物带着一种自然的尊严和彬彬有礼，同时也富有人情．林肯郡的肖特(Short)先生说一次他“携全家到伦敦塔拜访依萨克爵士，并参观铸币，受到他盛情款待，每人获赠金质纪念章一枚以作纪念”．牛顿有时会出席亲友的婚礼，每当此种场合，他“通常拿出100英镑给新娘作贺礼”，并“一反平日的严肃，而显得轻松愉快、和蔼可亲”．
　　牛顿终身未娶．晚年由外甥女凯瑟琳协助管家．凯瑟琳教养有素，在伦敦社交界颇有名气．当年侨居英国的伏尔泰记道：“牛顿有一位非常迷人的外甥女，就是现在的康杜德夫人．她曾经征服了哈里发克斯大臣(即财政部长蒙塔古)．在这方面，如果没有一个漂亮的外甥女，流数术和万有引力也将无济于事．”伏尔泰与凯瑟琳本人有直接交往，后者曾亲口告诉他那个现已家喻户晓的苹果落地故事①．凯瑟琳的丈夫康杜德亦是牛顿的崇拜者，平时细心记录牛顿的言论、轶闻，牛顿有许多事迹即借以留传下来．对科学史来说尤为重要的是，在牛顿去世后，康杜德夫妇在亲属们围绕遗产的纠纷中不惜代价保全了牛顿的手稿．这些手稿后又传给了他们的后代朴茨茅斯(Portsmouth)伯爵家族，在汉普郡朴茨茅斯庄园沉睡了近一个世纪，直到1888年，朴茨茅斯家族将部分科学手稿赠送给剑桥大学，世称“朴茨茅斯手稿”．其余的手稿则于1936年在伦敦公开拍卖而分散到世界各地的图书馆与博物馆里．现存的牛顿手稿中，仅数学手稿(不包括《原理》)就有5000多页，最近已全部整理、注译出版(原始文献［9］)．它们是牛顿数学思维的伟大记录，正如A．爱因斯坦(Einstein)在纪念这位科学巨匠诞生300周年时所评价的那样：“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历好多个世纪而继续发出光和热．”

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:38

傅里叶

　

　　傅里叶，J．B．J．(Fourier，Jean Baptiste Joseph)1768年3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎．数学、物理学．
　　傅里叶出身平民，父亲是位裁缝．9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好．他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭到拒绝．后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究．可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教．
　　在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱．出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象．1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教，协助J．L．拉格朗日(Lagrange)和G．蒙日(Monge)从事数学教学．这一年他还讽刺性地被当作罗伯斯庇尔(Robespierre)的支持者而被捕，经同事营救获释．1898年，蒙日选派他跟随拿破仑(Napoleon)远征埃及．在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动，但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究．
　　1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学校，但因拿破仑赏识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员．由于政声卓著，1808年拿破仑又授予他男爵称号．此后几经宦海浮沉，1815年，傅里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究．但是，失业、贫困以及政治名声的落潮，这时的傅里叶处于一生中最艰难的时期．由于得到昔日同事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究．
　　1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员．初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十八所拒．后来，事情澄清，于1817年就职科学院，其声誉又随之迅速上升．他的任职得到了当时年事已高的 P．S．M．de 拉普拉斯(Laplace)的支持，却不断受到 S．D．泊松(Poisson)的反对．1822年，他被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职位．1827年，他又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员．
　　傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他们的忠诚爱戴，并成为他们的至交好友．在他帮助过的科学家中，有知名的 H．C．奥斯特(Oersted)、P．G．狄利克雷(Dirichlet)、N．H．阿贝尔(Abel)和 J．C．F．斯图姆(Sturm)等人．有一件令人遗憾的事，就是傅里叶收到

．伽罗瓦(Galois)的关于群论的论文时，他已病情严重而未阅，以致论文手稿失去下落．
　　傅里叶去世后，在他的家乡为他树立了一座青铜塑像．20世纪以后，还以他的名字命名了一所学校，以示人们对他的尊敬和纪念．
　　傅里叶的科学成就主要在于他对热传导问题的研究，以及他为推进这一方面的研究所引入的数学方法．早在远征埃及时，他就对热传导问题产生了浓厚的兴趣，不过主要的研究工作是在格勒诺布尔任职期间进行的．1807年，他向科学院呈交了一篇很长的论文，题为“热的传播”(Mémoire sur la propagation de la chaleur)，内容是关于不连结的物质和特殊形状的连续体(矩形的、环状的、球状的、柱状的、棱柱形的)中的热扩散(即热传导，笔者注)问题．其基本方程是

　　这是三维情形．
　　在论文的审阅人中，拉普拉斯、蒙日和 S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)都是赞成接受这篇论文的．但是遭到了拉格朗日的强烈反对，因为文中所用如下的三角级数(后来被称为傅里叶级数)

　　表示某些物体的初温分布与拉格朗日自己在19世纪50年代处理弦振动问题时对三角级数的否定相矛盾．于是，这篇文章为此而未能发表．不过，在审查委员会给傅里叶的回信中，还是鼓励他继续钻研，并将研究结果严密化．
　　为了推动对热扩散问题的研究，科学院于1810年悬赏征求论文．傅里叶呈交了一篇对其1807年的文章加以修改的论文，题目是“热在固体中的运动理论”(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，文中增加了在无穷大物体中热扩散的新分析．但是在这一情形中，傅里叶原来所用的三角级数因具有周期性而不能应用．于是，傅里叶代之以如下的积分形式(后来被称为傅里叶积分)：

　　这篇论文在竞争中获胜，傅立叶曾获得科学院颁发的奖金．但是评委——可能是由于拉格朗日的坚持——仍从文章的严格性和普遍性上给予了批评，以致这篇论文又未能正式发表、傅里叶认为这是一种无理的非难，他决心将这篇论文的数学部分扩充成为一本书．他终于完成了这部书：《热的解析理论》(Théorie anatylique de la chaleur)，于1822年出版．他原来还计划将论文的物理部分也扩充成一本书，名为《热的物理理论》(Théorie physiquede la chaleur)．可惜这个愿望未能实现，虽然处理热的物理方面的问题也是他的得奖论文中的重要内容，而且在他的晚年的研究工作中甚至是更重要的内容．
　　《热的解析理论》，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过的重要历史文献，在数学史，乃至科学史上公认是一部划时代的经典性著作．然而，对于傅里叶在数学上和数学物理上工作的具体评价，历来众说纷坛．有些人只注意了傅里叶级数和傅里叶积分本身的推导，从非时代的严格性标准来要求他．实际上，要全面地理解傅里叶的成就，还应该注意到以下两个方面：一是他把物理问题表述为线性偏微分方程的边值问题来处理．这一点，连同他在单位和量纲方面的工作，使分析力学超出了I．牛顿(Newton)在《原理》(Principia)中所规定的范畴．二是他所发明的解方程的强有力的数学工具产生了一系列派生学科，在数学分析中提出了许多研究课题，极大地推动了19世纪及以后的数学领域中的第一流的工作，并且开拓了一些新的领域(见后文)．况且，傅里叶的理论和方法几乎渗透到近代物理的所有部门．
　　傅里叶在《热的解析理论》这部基本著作中，写进了他的差不多所有有关的工作，而且在此书的各个版本中几乎丝毫未加更动．因此，把这些内容与其他没有发表的、为人引述的、散见于各处的资料联系贯串起来，就可以切实地概现他的全部研究成果，以及他表述和处理问题的风格．同时，通过这些材料，也可以看出，在某些关键之处，傅里叶未能克服的困难和他失败的原因．
　　傅里叶在热的分析理论方面的第一件工作中，采用了这样的模型：热是由分立粒子间的穿梭机制传送的，其物理理论是简单的混合过程，所用数学属于18世纪50年代．在他所从事研究的问题中，其一是关于排列在一圆环上的n个粒子．他获得在n为有限的情形下的完全解．他想把结果推广到连续的情形，未能成功，因为当n无限增大时，指数上的时间常数趋于零，从而使所得的解与时间无关．后来他才明白应如何修正他的传输模型以避免这一反常的结果．此外，在他集中注意于完全解及其困难时，他未能意识到，当t=0时，他的解给出一个内推公式，可用以得到连续情形下的傅氏级数．(拉格朗日前此之所以未能发现傅氏级数也可类似地来解释，而并非象通常所认为的那佯，是由于顾虑到严格性所致．)
　　傅里叶成功地建立的热传导方程可能是得益于 J．B．毕奥(Biot)早先关于金属条中的稳定温度的工作，毕奥区分了体内传导和体外辐射．但是毕奥的分析，由于用了一个错误的物理导热模型而导出一不正确的方程．傅里叶则因构建了较好的物理模型而克服了困难，容易地获得一、二维情形下充分显示与时间的关系的类似于(1)这一型的方程．
　　傅里叶的杰作是选择这样一种情形的问题来应用他的方程的，即一条半无穷的带，一端是较热的均匀温度，沿其边则是较冷的均匀温度；具有极其简单的、导源于伯努利兄弟(Bernoullis)和L．欧拉(Euler)的分析力学传统中的物理意义．稳定情形无非就是笛卡儿坐标下的拉普拉斯方程．傅里叶可能试用过复变函数方法(这样的解见于他的《热的解析理论》一书)．但其后就用分离变数法得到了级数解和以下边界条件的方程

　　用无穷矩阵的方法来求方程(4)的解，并将它推广到任意函数f(x)，这一工作曾屡次遭受评议．但不应忘记，这一工作是在柯西-魏尔斯特拉斯(Cauchy-Weierstrass)的正统理论建立之前几十年做的．傅里叶不是一个头脑简单的形式主义者；他精于处理有关“收敛”的问题，在他讨论锯齿形函数的级数表示时就显示出了这种能力．有关傅里叶级数的收敛性的几种基本证明，例如狄利克雷的证明，其主要思想均可在傅里叶的著作中找到．而且，比任何人更早，他已看到，在计算傅氏级数的系数时，对一给定的三角级数逐项积分，是不能保证其正确性的．
　　傅里叶的三角级数展开的使人震惊之处在于，他示明一种似乎是矛盾的性质：在一有限区间内，完全不同的代数式之间的相等性．对于很广泛的一类函数中的任何一个函数，都可以相应地造出一个三角级数，它在指定的区间内具有与这函数相同的值．他用例子说明，那给定的函数甚至可以在基本区间内分段有不同的代数表示式．虽然三角级数展开和任意函数两者都曾为其他人(包括泊松)用过，但前者只限于有关周期现象的问题，而后者，当作为偏微分方程的解出现时，由于其性质，是假定不可能用代数式表示的．
　　关于傅里叶这一首次成功的研究结果的早期记载，说明了这个结果的生命力和他本人对此成果的惊异．在他的工作中，有受到蒙日影响的痕迹，如用曲面表示解，以及确定方程的解的边界值的分离表示．此后，傅里叶满怀信心地进入了新的领域．在三维情形遇到了一些困难，但把原方程分为两个方程就解决了．这两个方程，一个与内部传导有关，一个则与表面上的温度梯度所产生的辐射有关．应用于球体时运用球坐标，结果是一非谐的三角级数展开，其中的本征值是一超越方程的诸根．傅里叶运用他关于方程式论的知识，论证了这些根的实数性．当然，这一问题曾使他困惑了多年．在圆柱体的热传导问题中他又作了进一步的推广，其傅里叶解就是如今所称的贝塞耳(Bessel)函数．所用的技巧由傅里叶后来的同事 J． C．佛朗索(Francois)、斯图姆和 J．刘维尔(Liouville)全面地予以普遍化．
　　在研究沿一条无穷长的线上的热传导问题时发展出来的傅里叶积分理论，可能是基于拉普拉斯把热扩散方程的解表示为一任意函数的积分变换的思想，这函数表示初始的温度分布．傅里叶通过对有限区间中级数展开的推广，分别导出了对原点是对称的和反对称的情形之下的余弦和正弦变换．逐渐地他才认识到，把一给定的函数分解为偶函数和奇函数的普遍性．
　　傅里叶在这方面的创造性工作于1817—1818年间又最后一次绽发光辉，他成功地洞察到积分变换解与运算微积之间的关系．当时，傅里叶、泊松、柯西之间形成了三足鼎立之争．后二人于1815年已开始运用这样的技巧，但是傅里叶针对泊松的批评给予了摧毁性的反击．他展示了几个方程的积分变换解，这几个方程是长期以来未能得到分析的，同时他还指出了导至系统理论之门径．其后，柯西运用复变函数中的残数(residue)理论也获得了同样的结果．
　　作为一位数学家，傅里叶对于实际问题中的严格性的关心，不亚于除柯西和阿贝尔以外的任何人．但他未能想到极限理论本身的重要意义．在对他1811年获奖论文的评议中，关于缺乏严格性和普遍性的批评，长久以来是被误解了．那些批评，其动机有许多是带有非学术成分的．泊松和毕奥，是在热扩散理论方面被他超过的劲敌，多年来总是力图贬低傅里叶的成就．关于严格性的批评，可能是根据泊松的观点，即认为在球形问题中出现的本征值未能证明是实数，而复数根将导致在物理上是不可能的解．(泊松自己在数年后为傅里叶解决了这一问题．)所谓傅里叶级数解(2)缺乏普遍性，可能是将它同拉普拉斯早先得到的积分解对比，而在后者中，被积函数清楚地含有任意函数．
　　傅里叶的机智在于分析力学方面．他对分析技巧和符号表示极为精

观力，使他的研究能够获得成功．在他之前，分析力学中出现的主要方程常是非线性的，所用解法都是专设的近似法．当时，微分方程领域也象是一个尚无通路的丛林．傅里叶为解偏微分方程创造了和说明了一种连贯的方法，即可以把一个方程及其级数解按照不同的物理情况清楚地分离为不同的分部来加以分析．我国数学家、微分方程方面的著名学者申又枨教授(1901—1978)曾经说：傅里叶的创造，是给各种类型的偏微分方程(波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程等)提供了一种统一的求解方法，就好比从前解“四则问题”时，各种难题有各种解法，而运用代数方程以后，就有了统一的简便的解法．这个比喻，很好地形容了傅里叶的方法在微分方程领域的重要意义和广泛的实用价值．事实上，傅里叶的方法是如此之强有力，以致过了整整一个世纪，非线性微分方程才重新在数学物理学中突起．
　　对傅里叶来说，每一数学陈述(尽管不是形式论证中的每一中间阶段)都应有其物理含意，包括展示真实的运动和能够(至少原则上)被测量两个方面．他总是如是地说明他的解，使所得到的极限情况能为实验所检验，而且一有机会他就自己动手来作实验．
　　傅里叶早年草设的物理模型虽很粗糙，但在他1807年所写的文章里，就已全面地把一些物理常数揉进他的热传导理论中．对物理意义的关注，使他看到在他的形式技法中所存在的潜力，能检验在傅里叶积分解的指数上出现的成群的物理常数的相关性．由此出发，他得出了关于单位和量纲的全面理论，虽然其中一部分是L．卡诺(Lazare Carnot)曾预期到的．这是自伽利略以来在物理量的数学表示理论方面第一个有成效的进展．与他同时代的人，如毕奥，在同一问题上的混乱情形相比，就更显示出傅里叶的成就．
　　虽然傅里叶多年从事热的物理理论的研究．但是他最初基于热辐射现象方面的贡献却未能存在长久．他对他的理论的各种应用都很关心，诸如对温度计的作用和房间供暖问题的分析，以及最重要的、对地球年龄下限首次作出的科学的估算等．令人不解的是，傅里叶相信热作为宇宙中的首要媒介的重要性，但他似乎对于热作为一种动力方面的问题却不感兴趣，以致对 S．卡诺(Sadi Carnot，是 L．卡诺的儿子)有关热动力问题的著名论文毫无所知．
　　和傅里叶的著名的热传导问题的成就相比，他在数学的其他方面的工作就鲜为人知了．首先是他对方程式论有着长时间的浓厚兴趣．早在16岁时他就作出了对笛卡儿正负号法则的一个新证明．这一法则可表述如下：
　　设f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am，则f(x)的诸系数具有一系列正负号．如果把同号的两相邻系数称为“不变”，异号的称为“变”，那么 f(x)的正(或负)根的数目最多等于序列中“变”(或“不变”)的数目．
　　傅里叶的证明方法是这样的：以(x+p)乘f(x)，得一新的多项式，它比 f(x)多了一个系数，使系数序列中多了一个正负号，同时多了一个正(或负)根 p；并且可以看出系数序列中“变”(或“不变”)的数目至少增加1个．因为傅里叶的这一成果很快就成为标准的证法，所以证明的详情可见于任何一本讲述这一法则的教科书，虽然人们未尝知道这一证法的发明者就是青年傅里叶．
　　傅里叶还把笛卡儿法则推广到估计在一给定区间[a，b]内f(x)的实根数，并于1789年向科学院递交了一篇文章，其中有他对自己的定理的证明，可惜文章在巴黎那革命动荡的年代里丢失了．大约30年后这篇文章才得以发表．由于另有一位兼职数学家比当(Ferdinand Budan de Bois-Laurent)也发表过类似的结果，所以关于在给定区间内n次代数方程的实根数的判定法，后来被称为傅里叶-比当定理．直到傅里叶逝世之前，他始终没有中断过方程式论方面的研究，并且计划写出一部七卷本的专著：《方程判定之分析》(Analyse des équations déterminées)．他已写出头两卷，但他预感到生前大概不可能完成这部著作，于是写了一个全书提要．1831年，即他逝世的第二年，由他的友人纳维(Navier)将这部未完成的著作编辑出版．从全书提要中，可以看出傅里叶对方程式论有过十分广泛的研究．其中最重要的是各种区分实根和虚根的方法，对牛顿-拉夫逊(Raphson)求根近似法的改进，对D．伯努利求循环级数中相继项之比的极限值的法则的推广，等等．由于傅里叶还有线性不等式的求解法和应用方面的工作以及他对这一问题的出众的理解，因而也被后人称为线性规划的先驱．
　　在傅里叶的最后的岁月里，当他支持统计局的工作时，他的研究接触到概率和误差问题．他写下了一些关于根据大量观测来估计测量误差的重要文章，发表于1826年和1829年的统计局报告上．
　　傅里叶对力学问题也作过相当多的探讨，他曾发表过关于虚功原理的文章．
　　纵观傅里叶一生的学术成就，他的最突出的贡献就是他对热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就为数学物理学的前进开辟了康庄大道，极大地推动了应用数学的发展．从而也有力地推动了物理学的发展．
　　傅里叶大胆地断言：“任意”函数(实际上是在有限区间上只有有限个间断点的函数)都可以展成三角级数，并且列举大量函数和运用图形来说明函数的三角级数展开的普遍性．虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创出“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念．l837年狄利克雷正是研究了傅里叶级数理论之后才提出了现代数学中通用的函数定义．1854年 G．F．B．黎曼(Riemann)在讨论傅里叶级数的文章中第一次阐述了现代数学通用的积分定义．1861年魏尔斯特拉斯运用三角级数构造出处处连续而处处不可微的特殊函数．正是从傅里叶级数提出来的许多问题直接引导狄利克雷、黎曼 G．G．斯托克斯(Stokes)以及从 H．E．海涅．(Heine)直至 G．康托尔(Cantor)、H．L．勒贝格(Lebesque)、F．里斯(Riesz)和E．费希(Fisch)等人在实变分析的各个方面获得了卓越的研究成果，并且导致一些重要数学分支，如泛函分析、集合论等的建立．傅里叶的工作对纯数学的发展也产生了如此深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且，这种影响至今还在发展之中．
　　傅里叶之所以能取得富有如此深刻内容的成就，正如撰写过傅里叶传记的两位作者所说：这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到．从傅里叶的著作中，我们看到：他坚信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学发现的最富饶的源泉”．这一见解是傅里叶一生从事学术研究的指导性观点，而且已经成为数学史上强调通过研究实际问题发展数学(包括应用数学和纯粹数学)的一派数学家的代表性格言．
　　傅里叶的研究成果又是表现数学的美的典型，傅里叶级数被一些科学家称颂为“一首数学的诗”．他的工作还引起了他的同时代的哲学家的重视．法国哲学家、实证主义的创始人 A．孔德(Comte)在《实证哲学教程》(Cours de philosophie positive，1842)中，把牛顿的力学理论和傅里叶的热传导理论都看作是实证主义基本观点在科学中的重要印证．而辩证唯物主义哲学家 F．恩格斯(Engels)则把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家 G．W．F．黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论，他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗．

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笛卡儿

　　笛卡儿，R．(Descartes，René)1596年3月31日生于法国图赖讷省拉艾镇(现名拉艾-笛卡儿镇)；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩．科学方法、自然哲学、数学、物理学、生理学．
　　笛卡儿的父亲若阿基姆·笛卡儿(Joachim Descartes)是布列塔尼省伦诺地方法院的评议员，按现代术语讲，他既是律师又是法官．当时涉及法律事务的职位在很大程度上是世袭的；从事这一职业的人在社会上有相当的独立性和一定的特权，属于所谓的穿袍贵族阶层，其地位介于贵族和资产者之间．其母让娜·布罗沙尔(Jeanne Brochard)出身同一社会阶层，1597年去世，给笛卡儿留下一笔遗产，使他在此后的一生中有了可靠的经济保障，得以从事自己喜爱的工作．
　　有关笛卡儿早年生活的资料很少，只知他幼年体弱，丧母后由一位保姆照料；他对周围的世界充满好奇心，因此父亲说他是“小哲学家”．8岁(1604年)时入拉弗里舍镇的耶稣会学校读书，校方出于对他健康的关心，特许他不受校规约束，早晨可躺到愿意去上课时为止．据说他因此养成了清晨卧床长时间静思的习惯，几乎终生不变．该校的教学大纲规定，学生在前五年学习人文学科(即拉丁语、希腊语和经典作家的作品)、法语(包括写作诗歌与散文)、音乐、表演和绅士必备的技艺——骑马和击剑．后三年课程的总称是哲学，包括逻辑学(亚里士多德(Aristotle)的三段论演绎法)、一般哲学(对亚里士多德的《尼寇马克(Nicomach)的伦理学》的详尽分析)、物理、数学、天文学及形而上学(指托马斯·阿奎那(Thomas Aquinas)的哲学和天主教学者对此所作的注释)．在涉及科学的课程中，只有数学和天文学含有较新的研究成果．笛卡儿曾对诗歌怀有浓厚的兴趣，认为“诗是激情和想象力的产物”，人们心中知识的种子犹如埋在燧石中，哲学家“通过推理”使之显露，“而诗人靠想象力令其迸发火花，因而更加光辉．”(见于他的早期著作《奥林匹克》．)笛卡儿后来回忆说，这所学校是“欧洲最著名的学校之一”，但他对所学的东西颇感失望，因为教科书中那些看来微妙的论证，其实不过是些模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，唯一给他安慰的是具有自明推理的数学．这所学校对笛卡儿的另一个影响是使他养成了对宗教的忠诚．他在结束学业时暗下决心：一是不再在书本的字里行间求学问，而要向“世界这本大书”讨教，以“获得经验”；二是要靠对自身之内的理性的探索来区别真理和谬误．
　　1612年他从拉弗里舍的学校毕业；1616年获普互捷大学的法律学位．此后，笛卡儿便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路．当时正值欧洲历史上第一次大规模的国际战争——30年战争时期(1618—1648)，他从1618年起开始了长达10年的漫游与军旅生活．他曾多次从军，在一些参战的王公贵族麾下听命．他从戎的目的主要是为了弥补学校教育的不足，并无明显的宗教或政治倾向．他1618年参加了信奉新教的奥伦治王子的军队，一年半后又到对立的信奉天主教的巴伐利亚公爵手下服务．笛卡儿自己评论这段生活的用词是“太空闲，太放荡”．看来，他不大可能实地参战，因而有足够的时间思考．在这期间有几次经历对他产生了重要影响．1618年他与荷兰哲学家、医生兼物理学家I．皮克曼(Beeckman)相识；据说因笛卡儿在短时间内独立解决了几道公开求答的数学难题而引起皮克曼对他的注意．他向笛卡儿介绍了数学的最新进展，包括法国数学家F．韦达(Viète)在代数方程论方面的工作；给了他许多有待研究的问题，特别是有关声学与力学的课题．与皮克曼的交往，使笛卡儿对自己的数学与科学能力有了较充分的认识，他开始认真探寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍适用性的方法，以期获取真正的知识．1619年3月26日，他在给皮克曼的信中说，他脑中第一次闪现出“一种全新的科学，它可能用一种一般化的方法解决所有与量有关的领域中的问题，不论这种量是连续的还是数值的”．笛卡儿在1637年出版的《方法论》中，描述了他在1619年11月10日经过独立思考得出的两个结论：第一，如果要发现真正的知识，必须靠自己去实行整个研究计划，正如一件上好的艺术品或一幢完美的建筑，总是出自一个能人之手；第二，在方法上，必须从怀疑当时的哲学的所有内容为出发点，并寻找自明的确定的原理，在此基础上重新构作出一切科学．据笛卡儿的第一位传记作家、17世纪的A．巴耶(Baillet)说，那天笛卡儿“充满激情”，当晚做了三个梦，增强了他创立新学说的信心：在第一个梦中，笛卡儿由于右脚无力而被一阵狂风吹得立足不稳；第二个梦境是他被刮到一间风力不能施威的屋内被一声霹雳唤醒，周围充满火花；第三个梦里，他先是拿着字典，后在一本书中读到“我将追求什么样的生活道路？”这样的字句，最后，一位陌生人给了他几首拉丁文诗句，他认出那是奥索尼乌斯(Ausonius)的两首诗的开头几句．据称笛卡儿醒来之前已圆了梦，第一梦提醒他过去的错误，第二梦表示真理降临其身，第三梦为他开辟了通向真正的知识的道路．梦后笛卡儿为感谢上苍，立愿去洛雷塔朝拜圣母像(1624年他如愿以偿)．有些学者把这一天定为解析几何的诞生日．
　　1626—1628年间，笛卡儿居留法国，结交了许多科学界的朋友，深受M．梅森(Mersenne)神父和贝吕勒主教(Cardinal deBérulle)的影响．梅森神父博学多才，他所在的修道院是当时科学家们聚会之所，又是探讨科学问题的信件的传递中心．梅森把笛卡儿的科学思想与著作介绍出去，并收集各地学者的反映与批评转告给他，成为笛卡儿最忠实的朋友和顾问．贝吕勒是位颇有影响力的主教．据巴耶说，笛卡儿在一次有主教参加的聚会上，用简明的类似于数学证明的方法，严格区分真正的科学知识和那些仅仅为可能成立的命题，从而驳倒一位与会者的“一种新哲学”．贝吕勒深有感触，专门召见笛卡儿，以上帝代表的身份劝导他应献身于一项神圣的事业，即用他的充分而完美的方法去研究医学和力学．为顺应天意，笛卡儿决定避开战争、远离社交活动频繁的城市，寻找一处适于研究的环境．1628年秋，他移居荷兰，开始长达20年的潜心研究和写作生涯，这期间除短期出访外一直在荷兰各地隐居．
　　1628—1630年间，他撰写了第一篇方法论的论文：《指导思维的法则》(未最终完稿，1701年刊于他的选集中)；1630—1633年间，他从事多个学科的研究，涉及光的本质、折射现象、物质的性质与结构、数学、生理学与解剖学．他的目标在于用他的方法建立一个包罗万象的知识框架，为此他准备出版一本定名为《世界体系》(Le monde)的书，计划写“论光”(Le lumièse)和“论人”(L’ho mme)两部分．1633年初稿即将完成之际，梅森写信告诉他 G．伽里略(Galilei)因宣传N．哥白尼(Copernicus)的学说而遭天主教宗教裁判所的审判；笛卡儿遂取消了出版该书的打算，因为书中显然含有哥白尼的观点，他甚至未按惯例把手稿全部寄给梅森．其实笛卡儿并没有放弃自己的基本主张，其后三年中，他专心论证他的新方法具有坚实的哲学基础，相信自己的形而上学原理最终能被神学家所接受．1637年，笛卡儿发表了《方法论》(Discoursde la méthode)．这部著作一反当时学术界的常规，用法文而不用拉丁文撰写，以便普通人也能阅读．该书正文占全书篇幅的约七分之一，包含了未发表的《世界体系》中的重要内容，简要阐述了他的机械论的哲学观和基本研究方法，以及他的经历．书的其余部分给出了三个应用实例，现一般称为三个“附录”，它们都可独立成篇，是笛卡儿最主要的科学论著．它们是《折光》(La dioptrique)，其中提出了折射定律；《气象》(Les météores)，用于阐释与天气有关的自然现象，提出了虹的形成原理；《几何学》(La géometrie)，用于清晰地表明他的方法的实质，包含了解析几何的基本思想．这部著作的出版引起了一些学者(包括费马)和他的争论．1638—1640年间，笛卡儿进一步探究其学说的哲学方面，用拉丁文撰写了《形而上学的沉思》(meditationes de prima philosophia)，其论点大体在《方法论》中出现过，只是有的观点更激烈．梅森收集到不少对该书的批评(包括来自英国哲学家T．霍布斯(Hobbes)和法国数学家兼哲学家P．伽桑逖(Gassendi)的)．1640年，笛卡儿正式发表此书，并加进了各种批评意见和他的简要的辩驳．这本书使笛卡儿作为哲学家的名声大震，也招致了涉及宗教的纷争．他被谴责为无神论者；地方行政当局甚至要传讯他．后经有势力的朋友斡旋，才使事态平息．其后九年间，笛卡儿试图把他的哲学与科学理论完善化、系统化，以期获得神学界的支持．1644年，他的《哲学原理》(Principiae philosophiae)问世，该书除重述其哲学信条外，还试图把一切自然现象(包括物理的、化学的和生理的)纳入一种符合逻辑的机械论模式．其历史功绩在于排除科学中的神学概念和目的论解释．他的研究纲领是用力学概念解释一切物理和生理现象，同时将力学与几何相联系，这种借助某种力学模型研究自然的方式，体现了现代科学的精神．但由于机械论的局限，书中的具体结论不少是错误的，或者很快就过时了．
　　笛卡儿的《哲学原理》题献给伊丽沙白公主——信奉新教的波希米亚国王腓特烈五世的女儿．他们在1643年相识后成了好友，经常通信，内容涉及从几何到政治学，从医学到形而上学的广阔领域，特别谈到人的机体与灵魂的相互作用问题以及笛卡儿的一种并不系统但已初具轮廓的伦理学观点．这些通信的价值不亚于笛卡儿跟梅森神父，以及跟法国神学家A．阿尔诺(Arnauld)之间的通信．
　　1649年，笛卡儿出版了一本小书《激情论》(Traité despassions de l'

me)，探讨属于心理生理学的问题，他认为这是他的整个知识体系中不可或缺的部分．同年秋天，笛卡儿很不情愿地接受了23岁的瑞典女皇克里斯蒂娜(Christina)的邀请，到斯德哥尔摩为女皇讲授哲学．晨思的习惯被打破了，每周中有三天他必须在清晨五点赶往皇宫去履行教师的职责．1650年2月1日，他受了风寒，很快转为肺炎，10天后便离开了人世．他的著作在生前就遭到教会指责，他死后的1663年，更被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中．但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡儿成为17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一．
　　笛卡儿是欧洲近代哲学的主要开拓者之一，黑格尔称他是“现代哲学之父”；同时又是一位勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域有值得称道的创见，而其建立解析几何的数学成就在科学史上有划时代的意义．其主要学术贡献可归纳如下．
　　方法论 16—17世纪欧洲社会中新旧思想的对立和斗争十分尖锐．科学领域不断涌现的新发现和新理论，成为新兴阶级向旧秩序斗争的武器．哥白尼的“日心说”世界体系，J．开普勒(Kepler)的行星运动理论和实验光学，W．吉尔伯特(Gilbert)的磁力说，A．维萨里(Vesalius)的人体解剖学，W．哈维(Harvey)的血液循环学说，伽里略的力学是各专门学科领域中最杰出的成就．而F．培根(Bacon)和笛卡儿则是提出科学方法论的两位代表人物．培根稍早于笛卡儿提出必须从根本上

除经院哲学的旧传统，要对整个认识体系重新加以研究；他主张把科学建立在实验的基础上．笛卡儿赞同培根彻底破除旧哲学体系的观念，但强调以理性为主导的认识自然的方法．
　　笛卡儿的方法论跟他的哲学研究紧密相联．他把哲学看成一种完整的知识体系，并形象地比喻成一棵大树：树的干是物理学，研究客观物质世界的形成与本质，属于自然哲学的范畴；树的根是形而上学，研究心智(或者说灵魂)、上帝及作为一切推理的出发点的所谓“第一原理”；树的枝叉代表其它科学，最重要的有医学、机械学(即力学)和伦理学．笛卡儿认为“我们不是从树根、树干而是从其枝叉上采集果实的”，因此哲学的最终目的在于对具体科学的了解，从而使人类成为“自然的主人”．笛卡儿在对他的哲学的各个组成部分的探索中，发展起他的方法论体系．
　　笛卡儿指出当时流行的经院哲学及其所属的知识体系有致命的弊病：它们的结论往往是推测性的，既不清晰又缺乏统一性；造成这种状况的根源有二：所使用的概念模糊，缺少普遍适用的统一的研究方法．
　　为了从根本上给科学奠定牢固的基础，笛卡儿提出一种批判的怀疑方法．他在《方法论》中写道：“在我的一生中，必须有一次严肃地把我以前接受到心里的一切见解统统去掉，重新开始从根本做起．”他论证说经院中的科学和书本上的学问往往互相冲突，纷乱而无根据，它们只是靠经院的权威和影响强施于人的；由习惯形成的见解往往始于初次的印象或儿时的信仰，虚妄可疑之处比比皆是；由感官获得的印象常常用假象欺骗人们；人的肌体本身的活动同样可能在梦中经历，因此无法准确判定某个对象是梦中幻影还是醒时的经验所得．笛卡儿的怀疑终止于“我思故我在”这一著名的命题：“当我把一切事物都想成是虚假的时候，这个进行思维的‘自我’必然非是某种东西不可；我认识到‘我思故我在’这条原理十分牢靠、十分确实，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻．于是，我断定我能毫不犹豫地承认它是我所探求的哲学中的第一原理．”以此为出发点，笛卡儿使用诸如“结论中所含的完善性决不能多于原因中所含的完善性”等属于经院哲学范畴的准则，推证出完善的上帝的存在；再通过上帝这一媒介，推出物质世界是不依赖“自我”的客观存在．笛卡儿认为“自我”是一种精神实体，其基本特性是能思维，但无广延性，不占据空间；外在客观世界(包括人的肉体)是一种物质实体，具广延性而无思维功能．此即笛卡儿二元论哲学的精髓．
　　笛卡儿的怀疑方法只施于知识领域而不触及社会问题，他为自己规定了服从法律，笃守宗教信仰及遵照明哲之士共同接受的意见办事等行为准则，理由是“除了我的思想，没有一件东西完全在我的能力范围之内”，同时也为了“能够尽可能地过最幸福的生活”．
　　笛卡儿的怀疑方法具有很强的主观主义特征，把“自我”这种精神实体的确实性(或者说存在性)放在物质的确实性之前．但正是由于他突出强调了“自我”这种具有理性思维特质的本体在认识中的作用，对后世哲学家注重认识论的研究有极大的影响．
　　在建立自己的知识体系时，笛卡儿提出了以数学为楷模的理性演绎方法．他认为人们能完全弄清楚的东西，“即便是形体，真正说来也不是为感官或想象力所认识，而只是为理智所认识；它们之被认识，并不是由于被看见或摸到了，而只是由于被思想所理解或了解了”(《形而上学的沉思》)．在研究各门科学时，无例外地要使用所有人共有的同一种理性，这是存在普遍适用的方法的基础．问题在于如何运用理性，只要能找到并应用能正确指导理性思维的方法，就必然能创立一门协调统一的科学．他强调数学所展示的由最少的极清晰的概念，经确定的推理得到大量确凿结论的方法，同样可以在其它科学中实行．他的这一观念推翻了自亚里士多德以来否认在数学以外的科学中能得到如数学一样的确实性的观念．在《方法论》中，他提出四条推理准则：“一、决不把任何我没有明确地认识其为真的东西当作真的加以接受，即小心避免仓促的判断和偏见，只把那些十分清楚明白地呈现于我的心智之前，使我根本无法怀疑的东西放进我的判断之中；二、把我所考察的每一个难题，都尽可能地分成细小的部分，直到可以而且适于加以圆满解决的程度为止；三、按照次序引导我的思想，以便从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点上升到对复杂对象的认识，即便是那些彼此间并无自然的先后次序的对象，我也给它们设定一个次序；四、在探求和审视过程中遇到困难时，应尽量把一切情形都列举出来，使我确信毫无遗漏．”按笛卡儿的理想，任何具体问题的解答都应从完全确实的概念出发演绎而得．但是在他从事具体的科学研究时，笛卡儿承认了两种推理模式的合法性，一种是众所周知的几何式的证明，另一种是在力学、光学和天文学中使用的论证．在回答关于他讨论折射问题的文章是否不失为一种证明时，他写道：“要求我对依赖于客观世界的事作几何的论证，等于要求我做不能做到的事．如果限制我使用‘证明’这个词仅指几何证明，那么人们将不得不说阿基米德(Archimedes)没有证明任何力学问题，威特洛(Vitellio)没有证明任何光学问题，托勒密(Ptolemy)没有证明天文学问题等等，这当然不是大家所主张的．”这种非几何论证的特点是“事先假定某些东西，它们跟经验没有明显的矛盾，作者就可以进行前后一致的论证而不犯逻辑错误，即使他们的假设不是绝对真实的”．这里，笛卡儿实际上提出了用假设模型作系统研究的设想．他本人在对宇宙及人的研究中就采用了这种方法．为了给这种方法确立理论依据，他提出人造物体和自然界的事物具有同一性．笛卡儿在《哲学原理》中写道：“机械学中成立的法则肯定在自然界也成立，……(所有人造的东西同时也是自然的)：由这样或那样一些齿轮构作的时钟并不比一棵树(它是从这一颗或那一颗种子生长出来结出特殊果实的东西)更少自然的成份．”由此他确认：正象可以根据所见的某种机器或其一部分推论出如何制造未见过的机器或其一部分，他能从自然事物的可见的部分或结果出发，推断出未见到的部分或原因．他的这一观念跟当时流行的亚里士多德的看法相悖，后者认为自然之物(无论是有生命还是无生命)跟人造物是绝对不同质的．
　　实验方法在笛卡儿的以理性判断为最高准则的认识论体系中占有重要地位．他用许多年时间研究解剖学，对狗、猫、兔子、鳕鱼、鳍鱼作活体解剖，又从屠宰场搞来牲畜的眼、肝和心脏进行研究；他描述过关于测量空气重量及振动弦的实验；他记述了对虹、霓以及其它光学现象的观察．他把许多实践活动和经验知识收进他的科学体系．对于实验方法的意义，他认为“自然的力量如此广大”，作为推理出发点的“原则又如此简单和一般，以至我很难观察到一种特殊结果，它不能直接由那些原则以几种不同的方式推断出来”，“我最大的困难在于去找出该结果倒底依哪一种方式依赖于那些原则”(《方法论》)．他的结论是，实验能帮他方便地作出选择．在《哲学原理》的序言中，笛卡儿不无遗憾地写道：“假如我能做一切必要的实验来论证和支持我的理论，我一定会努力去完成整个计划，…不过，做这些事费用浩大，若无公家资助，以我个人的家产实在难以实现，…我想我因而未能为后人的切身利益效力，他们是会原谅我的．”
　　笛卡儿对经由他的方法得到的知识的真理性建立了一条基本准则，他说“凡是我们极清楚、极明白地设想到的东西都是真的”，而且“只要严格地把我的意志限制在我的认识限度以内，使它只对理智向他清楚明白地提出的东西作判断，我就绝不会犯错误”．另一方面，在具体的科学领域，他也把理论的应用过程作为检验该理论真理性的一种途径．他说在他的《折光》、《气象》中，一开始就提出若干假设，这不会使他的证明失效而丧失真理，因为推理过程前后紧密交织在一起，前面的东西也被作为其结果的后面的东西所论证，而“经验对绝大多数这类结果作出非常肯定的判决”．
　　自然哲学 笛卡儿应用他的方法研究自然界，建立了宇宙万物形成和运行的机械模式，提出了对空间与物质的基本特性的看法，冲破了经院哲学宇宙观的完全神秘的观念的羁绊．
　　他认为就物质实体的本质属性而言，我们能清楚明白理解的只有广延性，即物体得以占据空间的性质；这种广延性体现在物体的形态、体积和运动中．同时，我们也能清楚地理会形态、体积和运动三者发生变化的原理和规则，“人类的自然知识，皆由这些根源而来”．笛卡儿自始至终运用的原理仅涉及空间和运动两类．
　　在笛卡儿眼里，自然界中的所有物体都是同质的，每一具体事物保有各自恒定的广延量，它不会因形态或运动状态的改变而变化．同一物体的体积从广延的角度看既不会膨胀也不会缩小，我们通常所见到的物体膨胀或收缩，只是组成物体的可分的具广延性的各部分之间的距离加大或缩小造成的．宇宙间的任何一部分空间，对由什么东西来占据它不起任何作用，它对占据者及其接替者是绝对“中立”的．在笛卡儿的体系中，空间与物质等同，因此不存在纯粹的真空．接着，笛卡儿试图用机械运动这一简单运动形式来解释世间千变万化的物体的共性与个性．为了给运动以无限的活动舞台，他假定物质(即空间)的无限可分性，否定了物质由不可再分的原子组成的观念．由于笛卡儿没有假定运动是物质本身的属性，所以必须借助上帝的力量．他认为上帝在创世时一次把运动赋予了物质，同时确定了“自然规律”；以后自然界在这些规律支配下便永恒地运动下去，宇宙间的运动总量也永远不再改变．
　　关于什么是运动，笛卡儿定义说：“运动是指物体的位移，从当时跟它直接相触的物体旁转移到当时不直接与它接触的物体旁．”他又认定一个物体在某一瞬间的位置应是相对于同一时刻另一个被认为是静止的物体而言的，所以运动和静止都是相对的概念．
　　根据上述空间与运动的性质，一个物体的运动必然引起一连串物体的运动，它们形成一个封闭的环路．据此，笛卡儿描述了宇宙形成的主要轮廓．太初时期，弥漫整个空间的原始物质必呈庞大的旋涡状运动形式，其中有的原始物质因摩擦逐渐成粉尘状的火，形成太阳和恒星；有的磨损成小球状，成为气或以太，是构成星际空间的原料；在宇宙形成过程中，环绕每一物质团有次一级的旋涡状流，如月球就在地球周围的旋流中运行．在旋涡中，重的物质向旋涡中心靠拢，轻的物质朝边缘散开，…，笛卡儿的旋涡理论盛行将近一个世纪，直到1牛顿(Newton)的宇宙模型取而代之才消声匿迹．
　　笛卡儿还提出了三条运动定律．1．物体的运动或静止状态的改变需要有原因，如不发生跟另一物体的接触而受到作用，原物体的状态保持不变；2．运动的基本形态是直线运动，作曲线运动需要在原来使物体作直线运动的原因之外持续附加另外的原因．这两条定律合起来，相当于40年后牛顿得到的运动的惯性定律．3．碰撞定律．“一个运动物体碰上另一物体，如它沿直线继续运动的量小于另一物体阻止它前进的量，则它并不损失运动，而只是改变运动方向；如果前者使另一物体运动的量大于后者阻止它前进的量，则它要失去一些运动，失去的正好等于它给予另一物体的．”由于笛卡儿拒绝引入他认为是超自然的质量概念，而在实际上用体积代替了质量，使他无法研究物体的动力学性质．他甚至错误地坚持，一个硬物撞上另一个体积比它大的静止物体时，将被反弹回去而不损失任何运动．这是导致他的具体的力学研究成果甚微的原因．
　　笛卡儿在研究自然界中的有生命物时，全部采用解释无生命物体时使用的原理，把它们看成是自然界中的机器，如蜘蛛只是一种自然的织机，鼹鼠则是一种自动挖掘机，只不过它们的活动比人造的机器更复杂更多样罢了．对于人，笛卡儿认为这是一种精神与物质的联合体：即由具广延性而无思想的肉体(包括脑)和有思想而无广延的“自我”(居住在脑中松果腺内)结合而成，它们之间的相互关系成为笛卡儿生理学的研究对象．但就肉体而言，它只是一部受机械运动原理支配的机器．
　　笛卡儿的机械论自然观在历史上起过重要的启蒙作用．在他生活的时代，流行的自然观把自然界的事物看成是异质的，它们分成各种等级，处于宇宙边缘的上帝是至高无上的，接着是位于天上的各种等级的天神天使，下面是地上的各种不同等级的人、动物、植物和矿物．笛卡儿强调无机界与有机界的同质性，为破除关于自然界的等级观念，客观地研究自然奠定了基础．另一方面，中世纪的人们普遍认为上帝参与宇宙每日每时的活动，派各级天使推动天体运行，随时观察并指导地球上的一切事件，极大阻碍了去科学地了解自然．笛卡儿明确地、一贯地坚持自然界在整体上由规律所支配，因而推动了真正的自然科学研究．
　　数学笛卡儿的数学成就与他的数学观有密切联系．他对数学的看法散见于他的哲学与方法论著作，而其主要数学成果则集中于《几何学》．
　　笛卡儿认为，希腊人的综合几何只研究一些非常抽象而看来无用的问题；它过于依赖图形，束缚了人的想象力；它虽给出了大量真理，但并未告诉人们“事情为什么会是这样的，也没说明这些真理是如何发现的”．对于当时流行的代数，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学．他对三段论逻辑的评价是它不能产生任何新的结果．因此，他在《方法论》中提出必须把逻辑、几何、代数三者的优点结合起来而丢弃它们各自的缺点，从而建立一种“真正的数学”，“普遍的数学”．他发现在帕普斯(Pappus)和丢番图(Diophantus)的著作中有这种数学的踪迹．笛卡儿明确指出数学应研究“一切事物的次序和度量性质”，不管它们是“来自数、图形、星辰、声音或其它任何涉及度量的事物”，因而在实际上提出了科学数学化的任务．
　　关于具体数学对象的本质，笛卡儿接近柏拉图(Plato)的观点．以三角形为例，他说：“我想象一个三角形的时候，虽然在我以外的世界的任何地方也许没有这样一种形态，甚至从来没有过，但是这种形态毕竟具有明确的本性、形式或本质，这种本性是不变的、永恒的，不是我捏造的，而且不以任何方式依赖我的心灵”，三角形的性质如三内角和等于两直角等是“如此清楚，因此不会是纯粹的虚无，而具有真实性．”
　　笛卡儿的具体数学研究，首先着力于寻求有普遍适用性的符号推理形式．韦达在笛卡儿之前引入了符号化的代数，并应用代数方法解几何问题．但他的符号代表的只是数；同时，为了保持方程中各项的几何意义，他书写的方程必须是齐次的．笛卡儿引进了本质上可代表任何一种量的符号体系．在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a，b，c等代表已知量；x，y，z等代表未知量，这种用法一直延续至今．
　　为了使代数方法在几何中顺利应用，他设计了一种办法最终取消了要求方程必须是齐次的限制．他用数字上标代替过去数学家们使用的“平方”、“立方”这些词语表达法．他认为这样做避免了“平方”、“立方”这些词语在维数方面的内涵给运算带来的困难：因为在几何中，平方这个词指面积，立方指体积，它们跟直线有质的不同；而对于一个量而言，其平方或立方跟该量本身并无质的区别．他先引进所谓的单位量和比例式1∶x=x∶x2=x2∶x3= …，他说在这个式子中，x只通过一个“关系”(指比)跟单位量联系在一起，x2则要通过两个“关系”与单位量发生关系，其余依此类推．因此数字上标仅表示跟单位量联系所需的“关系”的数目，而不再具有维数方面的意义．据此，他毫不犹豫地把算术语言引进几何，定义了直线段的加、减、乘、除、乘方和开方．以线段相乘为例．对于两根线段a，b的积，过去的数学家只把它理解为以a和b为边的矩形；而笛卡儿可用“关系”概念把a·b仍看成一个线段：选定一单位长，其它的长度可以此为参照画出，据1∶a=b∶ab，立即可作出两个相似三角形而得到a·b的长度(图1)．

　　在《几何学》的第一部分中，笛卡儿利用上述观念解答“仅需直线和圆的作图问题”．办法是先假定解已得到，并赋予作图时所用到的每一条线段一个符号(不论它们是已知的还是未知的)；然后不区分已知与未知线段，“用最自然的方法表出这些线段间的关系，直到能找出两种方式表达同一个量，这便得到一个方程．”在导出方程解的表达式后，再用几何办法画出解所对应的线段．这部分内容在韦达及其他一些学者的工作中已出现过，只是笛卡儿用的符号和他的观念更先进．
　　笛卡儿在《几何学》的第二部分中，用“不确定的”代数方程表示并研究几何曲线．这是他于1631—1632年间研究三线和四线帕普斯问题时形成的重要方法．四线帕普斯问题可简述如下：设给定四条直线AB，AD，EF和GH，要求找出满足下列条件的点C的轨迹：从C引与四条已知直线成给定交角(四个交角不一定要相等)的直线CB，CD，CF和CH，使得CB·CF=CD·CH(见图2)．

　　笛卡儿的解法包含了解析几何的主要思想．他假定C点已找到，并令AB为x，CB为y；经过对各线段间几何关系的分析，用已知量表出CD，CF和CH，代入CB·CF=CD·CH，就得到形如y2=Ay+Bxy+Cx+Dx2的方程，其中系数是由已知量组成的简单代数式，于是，任给一个x的值，可用直线和圆规画出对应的y．当x变化时，相应直线段y的端点C就画出一条曲线．笛卡儿在这个问题中为确定C点位置，选直线AB为基线(相当于一根坐标轴)，取点A为度量线段长的起点(相当于坐标原点)，x的值是从A沿基线量出的线段长，y值表示另一根线段的长，该线段从基线上出发与基线成给定的交角(相当于另一坐标轴)，具体位置随x的改变而平移．这是一种斜角坐标系．在《几何学》中，笛卡儿根据问题特点选用他的轴系，但没有出现过标准的现称笛卡儿坐标的直角坐标系．
　　笛卡儿顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系的选取应使曲线对应的方程尽量简单；定义几何曲线为那些可用x和y的有限次代数方程表出的曲线；据代数方程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方法等．笛卡儿的这些成就为牛顿、G．W．莱布尼茨(Leibniz)等一大批数学家的新发现开辟了道路．
　　笛卡儿对方程的纯代数理论也有重要贡献．在《几何学》的第三部分中，他把方程中所有的项移至等号的一侧，另一侧则为0．相当于把方程记作P(x)=0的形式．他经由归纳得出如下结论：每一个n次方程皆可表成(x-a)(x-b)…(x-s)=0，其中a，b，…，s是方程的根，由于每个根必出现在其中的某个二项式因子中，为使x的最高次幂为n，就要求有n个这样的因子，笛卡儿在这里相当于提出并直观论证了代数基本定理——n次方程有n个根(A．吉拉尔(Girard)首先于1629年叙述过该定理)．他还首次给出了一般形式的求代数方程正根和负根个数的法则(现称笛卡儿符号法则)．在一系列的例子中，他说明如何能改变一个方程的根的符号，怎样使方程增根或减根，并给出消去n次方程中xn-1项的方法．
　　笛卡儿的数学观也造成了他在具体研究中消极的一面．他坚持亚里士多德关于“直”和“曲”有本质区别的观念，因而拒绝任何求曲线长度的探索，认为费马的极大极小方法和切线法则违反了严格的演绎推理的要求．
　　物理学 16—17世纪物理学的发展主要集中于力学、光学、磁学等领域，笛卡儿重点涉足光学与力学研究．
　　笛卡儿的光学理论与应用主要见于《论光》、《方法论》及其三个附录中．他在1619年读了开普勒的光学著作后，一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射律以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．
　　笛卡儿认为光是一种“运动趋势”，一种“瞬动的冲击”，靠充满宇宙间可见物体之间的微粒传到人的眼睛，这种传递是沿直线在瞬时内实现的．他把光的传播比喻为盲人的手杖：凡它触到的对象所发出的作用和压力，能立即传给盲人，使他“看”到对象本身．这是接近光的波动说的一种解释．但是在探讨光的反射和折射现象并试图作定量描述时，笛卡儿又采用运动中的球碰撞平面这种光的粒子模型．他首先区分了刻画球的运动的两个因素，一是“速度”(相当于我们现称的速率)；二是与速度相伴的所谓“限定量”．这后一概念本身是含糊的，笛卡儿借助它讨论“速度”的方向与分解，因此他在对速度进行具体运算时，实际上把速度看成为向量．

　　笛卡儿这样分析光的反射机制．想象一个球在点A离开球拍，沿直线匀速运动至B，与坚硬且保持不动的物体表面CD相撞(图3)．由于表面不动，因此球不损失“速度”，经过跟从A到B所需的相同时间t1，必将到达以B为心、AB为半径的圆周上．又因物体表面不能穿透，球必反弹．至于朝那个方向反弹呢？笛卡儿考虑运动球在碰撞前的“限定量”可分解成两部分，一部分与CD面垂直(即AC)，一部分与CD面平行(AG)，碰撞后只有垂直分量发生改变，水平分量仍等于AH，故经时间t1球还应到达直线EF上(与BH的距离正好等于AH的直线)．由此推出，球应到达圆周与EF的一个交点F处．据相似三角形性质知，入射角ABH等于反射角HBF．
　　当光线射到透明物体上时，笛卡儿采用球穿过碰撞面损失一部分“速度”的模型分析折射现象(图4)．他设球在碰撞前后的“速度”比为p∶q．由于始终保持匀速运动，球从B再次到达圆周上的时间跟经过AB所需的时间之比亦为p∶q，即要花费较多的时间才能到达圆上，故笛卡儿考虑碰撞后的“限定量”的水平分量应比碰撞前的长，即FH∶AH=p∶q．由此推出球到圆周的精确位置应是圆与直线EF的交点I．

　　当碰撞介面两边的介质密度不同时，笛卡儿认为光通过稠密介质的能力强．就光的模型而言，若碰撞面下的介质比上面的更稠密，则球在碰撞时象又被球拍击了一下，因而获得了额外的“速度”．根据与上面类似的论证，球将发生偏离现象．
　　总之，无论上述哪种情形，碰撞前后的“速度”比依赖于介质的相对密度，就固定的两种介质而言，p∶q等于常数．由FH∶AH=BE∶BC=p∶q，得

　　于是有

　　这就是著名的折射定律．由于笛卡儿使用“限定量”这种不明确的概念，他的分析很难令人信服，但结论是正确的．笛卡儿倒底如何得到他的折射定律仍是值得探讨的谜．W．斯耐尔(Snell)曾在1621年发现了折射定律的结论，笛卡儿在他的结果发表前很久就得到了自己的这条定律(1626年)．
　　笛卡儿的其它光学研究包括：对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形；设计了矫正视力的透镜；根据太阳光在球状水滴中的折射与内部反射，解释了主虹与副虹形成的原理，并用定量方法导出虹出现的条件；设计了能完全聚焦的透镜，透镜所呈曲面由现称笛卡儿卵形线的曲线旋转而得．
　　笛卡儿对力学的主要贡献是提出了宇宙的机械运动模式(见自然哲学部分)．对于日常所遇见的力学现象，笛卡儿由于缺少实验与定量研究，只依据他的某些自然哲学原理作判断，导致了若干错误的结论．如由于他否认真空的存在，进而否定了伽里略关于真空中的摆与自由落体运动的定律．他本人曾根据他的碰撞律，阐述了弹性体沿同一直线运动并相撞时的七条定性法则．其中只有第一条是显然的：两个大小相等的同样的坚硬物体，以相同速度接近并相撞，每一物体将沿直线反弹回去而不损失“速度”．其余六条都和经验不符．
　　笛卡儿的力的概念是指引起运动的作用；他定义摆心为摆动物体上力达到平衡的点；他把离心力解释为物体保持其“限定量”的一种趋势．这些概念在科学上没有价值，但为像C．惠更斯(Huygens)这样的科学家提供了研究课题和超越前人的舞台．
　　笛卡儿还研究过一些静力学问题，像如何用较小的力举重物．他认为将a磅物体提升b英尺所需的力能将na磅的重物提升b/n英尺．
　　生理学 15—16世纪解剖学(包括人体解剖)的发展为生理学研究奠定了实验基础．用机械原理解释人体局部功能的科学家也不乏例证：L．达·芬奇(da Vinci)把动物骨骼的运动视为杠杆运动；哈维把血液运动归于心脏肌肉收缩这一机械原因等．笛卡儿则系统地把动物和人体看作一种生物机器，这一观念对17世纪生理学研究产生过直接的重要影响．他关于动物和人的功能的主要见解载于《法则》、《论人》、《方法论》、《哲学原理》和《激情论》等著作中．
　　笛卡儿特别关注对人的研究，他认为人是具广延性的肉体和不具广延性但能思想的“自我”的联合体，是动物中最复杂的一类．但因为他“对动物还没有充分的认识”，说不准其发生、成长的全过程，于是他只研究一种模型，一种上帝制造的世间机器．它像真人一样有由心脏、脑、胃、血管、神经、骨骼组成的肉体，它们是用像制造钟或水磨一样的原理制造的，不过更加精密和完善；这种“人”还有居于脑中松果腺内的非物质的心灵．
　　笛卡儿用机械论的观点仔细分析了“人”的生理过程．他认为一种无光的发热的“火”是人体的原动力，它能经由呼吸得到不断的更新．空气在进入心脏的“左凹处”之前与血液混合，使它的热增加；接着血液通过连续不断的循环把能量带给身体的各部分．身体各部分还需要营养，营养物微粒在所经过的路径碰到适合它进入的细孔，便进入相应的器官．“人”的神经遍布全身，是一种中空的细丝状管道，内部充满一种他称为“动物精气”的极精微的物质．这种精气能流入肌肉，此时肌肉便胀大，拉紧两端，引起肌肉收缩．
　　在讨论外界刺激与“人”的知觉的关系时．亦即“人”对客观世界的认识时，笛卡儿表明他在某种程度上主张反映论的观点．他说“除非外界对象在我们神经中引起某种局部运动，我们便无从知觉它们．”即使极远的恒星亦如此．以视觉为例，笛卡儿认为外界物体的光经晶状体到达由视神经末端组成的视网膜，接着，能产生光和色的感觉的微粒引起神经末端轻微的晃动，这种晃动经神经传到脑部，引起脑内部的晃动，从而导致脑中某种精气流的发生，居于松果腺内的心灵能辨认出精气流的模式，便形成有关形状、颜色、远近等知觉．此时，心灵又独立地控制松果腺中精气的运动，使它沿另外的神经引起肌肉的运动，从而对外界刺激作出反映．笛卡儿还用相似的办法解释了“人”如何知觉人体内部各器官所产生的自然欲望(如饥、渴等)以及情感上的喜、怒、哀、乐等．
　　按照严格的二元论哲学，精神与物质这两种不同质的本体是不能相互作用的．当笛卡儿不得不解释人与客观世界的关系时，他承认了它们的相互作用．但笛卡儿并没说明这种作用的细节．他曾说：“我们可以发现自我与肉体的结合，但却无法理解它．”
　　为了使生理学的机械理论趋于完善，笛卡儿曾对动物的繁衍十分注意．他的一些通信及手稿表明，他甚至试图通过解剖来了解动物的生殖问题．在去世前不久，他完成了“胎儿的形成”一文(1664年发表)．文章阐述的机制十分含混，很少科学价值，但确实反映了笛卡儿彻底的机械论世界

作者: extras 时间: 23.4.2010 22:40

哈密顿

　哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力学、数学、光学．
　　哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算木；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
　　哈密顿自幼喜欢算术，计算很快．1818年遇到美国“计算神童”Z．科耳本(Colburn)后对数学产生了更深厚的兴趣．1820年再相逢时，哈密顿已阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并对天文学有强烈爱好，常用自己的望远镜观测大体；还开始读P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天体力学》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此书中的一个错误．同年开始进行科学研究工作，对曲线和曲面的性质进行了系列研究，并用于几何光学．他的报告送交爱尔兰科学院后，R．J．布林克莱(Brinkley)院士评论说：“这位年轻人现在是这个年龄(17岁)的第一数学家．”
　　1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖．他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视．
　　1827年6月10日，年仅22岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授．
　　哈密顿有兄弟姐妹八人，家庭负担很重；为减轻父亲经济压力，他毕业后带着三个妹妹住到敦辛克天文台．哈密顿不擅长天文观测，在天文台工作的五年中，仍主要从事理论研究；但因与外界很少联系，工作成果并未引起重视．
　　1832年，哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家．他从S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作《纯理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响．
　　1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．
　　在对复数长期研究的基础上，哈密顿在1843年正式提出了四元数(quaternion)，这是代数学中一项重要成果．
　　由于哈密顿的学术成就和声望，1835年在都柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为主席，同年被授予爵士头衔．1836年，皇家学会因他在光学上的成就而授予皇家奖章．1837年，哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院院长，直到1845年．1863年，新成立的美国科学院任命哈密顿为14个国外院士之一．
　　哈密顿的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒绝，哈密顿却终身不能忘情．在恋爱生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海伦·贝利(Helen Bayly)结婚．虽然生育二子一女，终因感情不合而长期分居．哈密顿经常不能正规用餐，而是边吃边工作．他去世后，在他的论文手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物．
　　哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得．仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿．
　　他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献． % i; x" p. _$ O' O8 n; j, _. h
　　1．经典力学的新里程碑
　　经典力学自牛顿创立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力学”(1788)之前，称为牛顿力学；1788年以后称拉格朗日力学；1834年，哈密顿的著名论文“一种动力学的普遍方法”发表后，又称为哈密顿力学，它是力学发展中的新里程碑，在现代力学和物理学中有广泛应用．哈密顿的贡献主要有下列三个内容．
　　(1)哈密顿原理哈密顿在1824—1832年间对几何光学的系列研究基础上，认为可找到一种普遍原理，他认真研究了L．欧拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函数

L=T-V，(1)

　　建立了等式

　　其中T，V为所讨论的力学系统总动能和势能．势能V不仅为广义坐标qi的函数，还依赖广义速度qi(=dqi/dt)和时间t．当V只依赖于广义坐标时，S就可化为拉格朗日原理中的作用．另外，哈密顿认为力学系统的实际运动不一定使作用S为最小；故哈密顿提出的原理叫做稳定作用原理．由S的一阶变分为0，可导出力学系统的运动方程．虽然方程中的函数有改变，但仍称为拉格朗日运动方程：

　　(2)哈密顿正则方程组从哈密顿原理求出的运动方程(3)是二阶常微分方程组．1835年，哈密顿利用广义动量

　　作为另一组变量，并引入一个新的函数

　　H是pi，qi，t的函数．用H可把运动方程(3)式化为一阶方程组：

　　这样的方程组后来被称为哈密顿正则方程组，函数H则称为哈密顿函数；pi，qi称正则共轭变量．
　　哈密顿在提出正则方程组(5)时指出，可选择适当的变换，使变换后的新变量仍为正则共轭变量，但新哈密顿函数可能少包含某些新坐标——循环坐标．每增加一个循环坐标，运动方程可降低二阶，由此可作为正则方程组的一种原则解法．这种使运动方程保持正则方程组形式的变换，称为正则变换．后来有很大发展，并有广泛应用．
　　(3)哈密顿-雅可比方法哈密顿结合作用和正则方程组的定义，引入辅助函数W

　　对于满足正则方程组(5)式的解qi，pi有

　　由此可把W表示为广义坐标qi和n个任意常数ai以及时间t的函数，而且满足关系

　　(8)式实际上是函数W=W(qi，αi，t)对自变量qi，t的一个偏微分方程．这样就把正则方程组(2)式的解与偏微分方程(8)式的解联系起来了．
　　后来经过C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正则变换使新哈密顿函数等于0，也得到偏微分方程(8)；而且证明，对(8)式的任意一个完全解(即解出的函数W包含全部n个广义坐标qi，n个独立积分常数ai和时间t)，

W=W(qi，αi，t)，(9)

　　由相应关系

　　解出的

pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11)

　　就是原正则方程组(2)式的通解，其中βi为另外n个独立积分常数．
　　这就给出了正则方程组的另一种原则解法，叫做哈密顿-雅可比方法；偏微分方程(8)就称为哈密顿一雅-比方程．积分常数ai，βi称为正则常数．这些成果不仅推动力学的发展，也在变分法和微分方程的发展中有重要作用．
　　哈密顿的力学贡献很快在天体力学中广泛应用，用哈密顿正则方程组和正则变换建立天体运动方程及相应解法，促使天体力学在19世纪后期形成了发展高潮．
　　但在19世纪的数学界，对哈密顿力学有争议．例如著名数学家F．克莱因(Klein)就说过：哈密顿的结果很漂亮，但没有用．以后的情况否定了这种看法．
　　20世纪以来，在现代物理学各分支，如波动力学、量子力学、相对论、原子物理学的建立过程中，哈密顿力学都起了重要作用．量子力学

理学的基石．50年代以后，一批数学和力学家们用现代数学提高了哈密顿力学的深度，其中代表作是苏联著名力学家B．И．阿诺德(ApHoлЬД)所著的《经典力学的数学方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英译本)．该书在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密顿力学，使哈密顿力学现代化．
　　人们还发现，哈密顿正则方程组在计算方法上有特殊优点，只要适当建立相应的数值积分方法，可使误差积累很慢，适用于计算步数很大的课题．中国计算数学家冯康等建立的辛积分法，符合哈密顿方程组的特点，计算效果很好，受到国际上的重视．
0 K! h/ n2 E' F7 l　　2．四元数的创立者
　　哈密顿研究四元数花的时间最多，前后约30年．早在1827年，他就开始研究复数性质，到1837年正式提出复数

　　不是a与bi的和，而是实数a，b的有序偶(a，b)．只要明确有序偶的运算规则，就可不用i而建立全部复数理论．由此诞生复数代数．
　　复数可以表示平面上的向量，但实用向量应是三维的，是否有“三维复数”？1830年后，不少著名数学家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密顿在弄清复数之后，仍按实数性质探求这种具有三个分量的“复数”．他终于成功了，可是所得的新数只能是四个分量，而且不符合乘法交换律．哈密顿在1843年把所得的新数命名为四元数，它的一般形式为

p=a＋bi+cj+dk， (12)

　　其中a，b，c，d是实数；a称为四元数的数量部分，另三项是向量部分．i，j，k称定性单元，类似于三维坐标轴方向的单位向量；b，c，d为某点在三维坐标系中的坐标，即四元数的向量分量．研究成果载于他的《四元数讲义》(Lectures on quaternion，1853)．
　　哈密顿定义四元数的和差即为数量部分及各向量分量的和差；四元数的乘积中，各分量相乘仍用实数乘法规则，但定义

　　这样，四元数的乘法不符合交换律，但符合结合律．
　　哈密顿还引进了四元数P的逆

p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14)

　　而

N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15)

　　称为四元数P的模．
　　另外，哈密顿还提出了以后通用的微分算子

　　对于任一函数u(x，y，z)，有

哈密顿创立四元数后非常高兴，自认为与微积分一样重要，会成为数学和物理学中的一种关键工具．虽然这种估计有点过分，但四元数的创立，对后来代数学的发展确有重大作用，因为人们可以脱离实数和复数的传统规则，根据需要自由地创造各种数系，建立相应的代数学．不久后发展起来的向量代数和线性结合代数(linear associative algebra)都受到四元数的直接推动．
6 k: z! }/ ]" z! C　　3．几何光学的重要贡献
　　哈密顿的第一个研究课题就是几何光学，早在进大学前就开始了，所花的时间仅次于四元数．他的主要贡献是用数学分析方法来研究几何光学，并把所得结果推广到动力学，从而提出哈密顿原理，大多数结果载于1827年发表的论文“光束理论”(Theoryof systems of rays)及后来的补充中，具体贡献如下．
　　(1)等作用曲面点光源射出的光束经曲面镜反射或折射后，存在与光线正交的曲面族．哈密顿证明多次反射或折射后同样存在这种曲面族．在证明过程中，用到他本人发展了的最小作用原理，认为起点在垂直于光线的曲面上变化，经多次反射或折射后，相应的终点定出了垂直于光线的一个曲面．哈密顿称这些曲面为等作用面．把光当作微粒或波时，结论都相同．这就把几何光学与力学中最小作用原理联系起来，哈密顿后来称这种原理为变作用原理(prnciple of varying action)
　　(2)特征函数根据多次反射(或折射)后的光束与一曲面族正交，将坐标为(x，y，z)的光线方向余弦记为α，β，γ，它们应为x，y，z的函数．哈密顿认为，方向余弦必须是某函数的梯度，即存在函数V=V(x，y，z)，有：

　　因此V应满足偏微分方程：

　　哈密顿称此方程的解V(x，y，z)为特征函数．显然，若在均匀各向同性介质中，V代表光源到(x，y，z)处的光线长度，则是一个解．哈密顿宣称：“特征函数包含了几何光学的全部．”
　　在1832年发表的“光束理论”第三个补充中，哈密顿把特征函数推广到能用于初始点变化，以及不均匀和各向异性介质的情况．这样，利用特征函数可把光学系统表示为初始和最终光线有关变量的函数；用最小作用原理可定出两固定点之间的光程，于是特征函数就把光学长度表示为变初始点和终端点的函数．哈密顿还把特征函数用于其他领域，取得下列重要结果．
　　①哈密顿在第三个补充中，用特征函数研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后发现：在双轴晶体情况，存在四个劈锥状尖点，他由此预言：单光线以适当方向射入双轴晶体后，在晶体内折射成一个锥面，射出晶体后成为一个窄柱面；光线聚焦成一锥面射入双轴晶体后，在晶体内与单光线一样，射出晶体后成为一个窄锥面．这个预言在1832年底，由三一学院的H．洛依德(Lloyd)用实验证实．
　　②光线作为粒子运动时，与质点的力学运动相似．哈密顿从1833年起，用特征函数研究动力学课题．最初把特征函数作为一质点从初始点到终端点运动过程的作用，后来才推广到n个质点系统的情况，从最小作用原理到变作用原理，终于形成了著名的哈密顿原理．相应的特征函数V具体表示为V=tH+S．(18)
　　其中t为时间，H为n体系统的哈密顿函数，S即(2)式定义的作用．
　　另外，哈密顿的研究工作还涉及数学力学和光学的广泛领域，提出了不少新的看法．例如，他由动力学普遍方法引伸出所谓主关系算法(calculus of Principal relation)，用变分法解某些全微分方程；提出用速端曲线(hodograph)表示轨道运动；又提出不仅研究光的动力学，还要研究光在晶状介质传播中黑暗的动力学，并命名为暗动力学(skotodynamics)；他对光在介质中传播的研究导致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的区分．可惜这些工作未能深入开展下去．

作者: 零下68度 时间: 23.4.2010 23:12
长见识了！

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:39

莱布尼茨

　　微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列

0，1，4，9 16，…

　　的性质，例如它的第一阶差为

1，3，5，7，…，

　　第二阶差则恒等于

2，2，2，…

　　等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．

　　1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和

　　莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：

　　初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献．

　　对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值．

　　利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：

　　(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．

　　(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．

　　有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”．

　　根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将图1中特征三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)如图2，其中 ds2=dx2+dy2．

　　利用特征三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式

　　这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积．

　　1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式

　　同时，他还给出了曲线长度公式

　　在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式

　　1676年11月，他得出了公式

　　其中n是整数或分数(n≠-1)．

　　莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的． L1 c" N2 F+ Q4 ~" c& E

　　由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度，因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系，认识到要从y回到dy，必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系．

　　莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)

(A为曲线f下的图形的面积，图3．)

　　于1693年给出了这个定理的证明．以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．

　　莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．

　　早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则：

　　“如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx；

　　加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx；

　　乘法 y=vx，dy=vdx+xdv

　　在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x)，当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，对于曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是极大值(或极小值)”，他详细讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取极大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．

　　以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等．

　　他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：

　　其中

n！=1×2×3×…×(n-1)×n．

　　莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．

　　品中出现了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语，并给出了曲率ρ公式：

　　其中R为曲率半径．

　　1692年和1694年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在

　　中消去α．实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．

　　无穷级数 在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．

　　在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式(图4)：

　　9 @* [. n) F; z. S- x
　　5 n: H; M. T1 L4 P* t% y
　　

　　1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．

　　
( c1 u% x$ `& a# o% p" ^, Q9 a无穷级数展开式，得到了如下的式子：

　　$ k: v4 `1 {% y6 W
9 v% |5 D, T; d" `7 w

5 A: s9 k3 b. c2 t' b, u y误的．直到1734—1735年，L．欧拉(Euler)才得到

　　在1713年10月25日写给约翰·伯努利(John Bernoulli)的信中，莱布
/ b }0 C K# m+ D“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数还相当混乱．

　　微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx，dy)的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．

　　1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如

　　型方程的求解问题．方法是，先写成

　　然后两边积分．

　　这一年，他还提出了求解一次齐次方程

　　的方法：

　　因此经过这种变换，原来的一次齐次方程就变成了

　　1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年，他和约翰·伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解．

　　1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程/ a& B) J/ j% G$ F2 A+ n
变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程

a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0

　　进行简化．

　　通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题．例如，1686年，他解决了这样的问题：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出，

　　
- _; e* ?& h' S2 v" u证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质．此外，他还考虑过概率方程．这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程：

　　1691年，他给出了自达·芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为

　　1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题：

　　求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短(图5)；其中摩擦和空气阻力都忽略．

　　这是约翰·伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L’Hospital)、约翰·伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程

　　表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究．

　　数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有

　　此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．

　　在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数
* o) j! h& ~; X& L$ P5 u

用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介．

　　在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：

　　此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

二进位制

　　莱布尼茨发明二进位制的时间，大约是在1672—1676年的巴黎时期．1679年3月15日，莱布尼茨写了题为“二进位算术”(De I’arthmetique binaire)的论文．文中对二进位制进行了相当充分的讨论，与十进位制进行了比较：

　　给出了将二进位数改写成十进位制数的法则：

　　1011000(二进位制)写成十进位制数就是

　　26+0+24+23＋0＋0＋0

　　=64＋16＋8

　　=88．

　　下面就是1679年3月15日手稿的一页(见183页)．

　　莱布尼茨不仅完整地解决了二进位制的表示问题，而且给出了正确的二进位制加法与乘法规则．例如，他给出以下这类实例：

+ s( u( J* q) ~, \3 X$ u) R: ]

　　1695年5月莱布尼茨与鲁道夫·奥古斯特(Rudolphus Au-gustus)大公的一次谈话中，大公对他的二进位制非常感兴趣，认为一切数都可由0与1创造出来这一点，为基督教《圣经》所讲的创世记提供了依据．这是因为唯一完美的上帝是从无到有创造了世界，这与一切数的根源来自0与1的这种体系是对应的．莱布尼茨由此激起热情，试图以大公的这一想法来争取人们对他的二进位制的关注．1697年他在致大公的信函中，就将他创造设计的象征二进位制的纪念章图章当作新年礼品奉献给大公．纪念章正面是大公图象，背面的设计是这样的(见图7)：水面上笼罩着一片黑暗，顶部光芒四射——象征创世的故事；中间排列着二进位、十进位制数字对照表，两侧是加法与乘法的实例．

　　莱布尼茨希望能用二进位制证明圆周率π的超越性．

　　1701年，莱布尼茨将自己的二进制数表给了法国在中国的传教士白晋(F．J．Bouvet)，同时又将自己关于二进制的论文送交巴黎科学院，但要求暂不发表．同年11月白晋把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位两个图给了莱布尼茨．莱布尼茨对白晋提供的材料欣慰异常，发现中国古老的易图可以解释成0—63的二进制数表．莱布尼茨因为从二进制数学理解了六十四卦图(邵雍的六十四卦方圆图，图8)而高兴地说：“几千年来不能很好被理解的奥秘由我理解了，应该让我加入中国籍吧！”1703年，他将修改补充的论文“关于仅用0与1两个记号的二进制算术的说明，并附其应用以及据此解释古代中国伏羲图的探讨”(Explication de l’arthmetique binaire，quise sent des seuls caracteres 0 et 1，avec des remarques Surson utilite，et Sur ce quelle donne Le Sens des aneiennes fi-gures Chinoises Fohy，1703)再送巴黎科学院，要求公开发表．自此二进制公之于众了．

　　根据上述历史事实，表明莱布尼茨并不是受易图的启发而发明二进制的，而是他发现了易图结构可以用二进制数学予以解释．应该说，莱布尼茨的二进制数学能被用来理解古老的中国文化．自他发现了二者之间的这种关系后，在世界范围内兴起了对易学的数理研究，使人们对易学的兴趣日增．

　　莱布尼茨所进行的计算机设计，程序自动化、程序设计的思想，再加上二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础．

　　尽管莱布尼茨本人为计算机的设计、二进制的发明感到自豪，但他却没有将二进制用于计算机，没有使二者结合起来．在当时条件下，一个二进位制的机器只会增加技术上的困难，只有随着电子技术的发展，人们才能将二者有效地结合起来．那种认为他是为计算机而引进二进位制的说法是违背历史事实的．

逻辑学

　　莱布尼茨的逻辑学研究包括两个方面：数理逻辑与形式逻辑．

　　数理逻辑 莱布尼茨决心构造一门基本学科，这门学科在某些方面象数学，但也包括传统逻辑中一些尚未发展的研究内容．他注意到了传统逻辑与数学的共性，发现逻辑及其词项、命题和三段论与代数中的字母、方程式和变换，具有某种形式上的相似，因此他决心把逻辑表示成一种演算，这种演算研究非数量的抽象关系或形式关系，他曾称之为普遍数学．他希望建立一种哲学语言(lingua philosophica)或普遍语言(characteristica universalis)，这种语言不仅有助于思想交流，而且有利于思想本身．莱布尼茨力图发明一种对概念进行演算的理论，使得概念也能象数一样进行代数演算．

　　1679年，莱布尼茨开始进行了这方面的研究．他的思想是：每一个简单的词项用一个素数表示，每一个合成词项用素数乘积来表示．如用3表示“能思维的”，7表示动物，人是能思维的动物则可用21表示，写成21=3.7．一个全称肯定命题，如果主项的数能被谓项的数整除，则该命题为真．

　　1686年，莱布尼茨发展了关于概念相等和概念包含的理论，其中引入了词项a，b，c，…，运算符号—(non，表示“非”)．四个关系
2 A3 M3 Z% T7 ?$ u+ f1 s8 a

　　利用这种演算，他成功地将亚里士多德的四种类型的一般命题，表示成了符号公式形式，从而使得用符号表示逻辑命题成为可能．他所考虑的方案和表达方式是：

　　莱布尼茨认为，有可能构造一种符号系统，这种系统可以作内涵的解释也可以作外延的解释．1690年他已经引入了概念的加、减法，用以表示逻辑概念演算及逆运算．他用
2 E* A& g ~3 y* O9 q表示逆运算，例如A—B=C，当且仅当A=B＋C，且B和C没有共同的东西．

　　意义．以此为基础，他建立了一套全新的理论体系．他的体系要点主要是公式及一套关于词项、命题的定义与演算规则，如A=B的定义：词项是同一的或一致的，就是说它们能在任何地方，以一个代之以另外一个而不改变任何命题的真值．A=B表示A和B是同一的．

　　这种体系在逻辑上是从未有过的，直到约一个世纪以后才由G．布尔(Boole)重新给出．可惜的是，莱布尼茨没有发展和写出系统的著作，只留下了大批手稿，其中还有许多是断简残篇，但D．希尔伯特(Hilbert)依然说：“数理逻辑的思想首先是莱布尼茨明显说出的．”而这种数理逻辑还仅仅只是莱布尼茨符号语言的一部分．

　　莱布尼茨符号语言的理想是，使一切推理过程、思维过程、争论过程都像数学一样能够计算，甚至能够交给机器完成．为此，他做了很多工作．

　　形式逻辑 莱布尼茨在形式逻辑方面的主要工作是，关于判断的分析理论，在此基础上的复合概念理论和关于偶然命题的理论，以及“充足理由律”的提出．

　　他不相信一切论证都可以纳入三段论式，因为他了解到条件论证和析取论证不能还原为三段论形式．对于形式证明，他承认经院哲学争论中使用三段论可能堕落为蠢笨迂腐的学究，但他认为不能没有形式化，否则就会丧失严格性．但对亚里士多德的推崇妨碍了他在这方面取得更大的成就．

　　区分和研究两类真理：理性的真理(必然性命题)与事实的真理(偶然性命题)是莱布尼茨整个科学思想体系特别是他的哲学认识论的核心内容．从逻辑方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它们的反面是不可能的，事实的真理是偶然的，它们的反面是可能的．”他又认为推理是建立在两大原则上的：(1)矛盾原则，凭着这个原则，我们判定包含矛盾者为假，与假的相对立和相矛盾者为真；(2)充足理由原则，凭着这个原则，任何一件事如果是真实的或实在的，任何一个陈述如果是真的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，也许这些理由常常不知道．因此他在逻辑学中引入了“充足理由律”，使之成为与传统的同一律、矛盾律、排中律相并列的一条基本思维定律．

物理学、力学、光学

　　1671年，莱布尼茨写下了《物理学新假说》(Hypothesisphysica noua)，其中包括两个部分：具体运动原理(Theoriamotus Concreti)，是奉献给伦敦英国皇家学会的；抽象运动原理(Theoria motus Abstracti)，是奉献给巴黎科学院的．他的具体原理是试图从较简单现象的角度来解释最重要的复杂现象的一种假说，这种原理建立在以太的相对循环的基础上，以太则是通过围绕地球的最初组成状态的物质才起作用的．他认为物体的全部内聚力依靠构成这些物体的微粒的运动，运动的起因是以太微粒的碰撞，它是物体的全部特性的终极原因．莱布尼茨的抽象原理来源于他对连续体的研究和对运动定律的看法，他认为物质的微粒完全处于静止状态时，对一个运动着的物质不存在阻力，只有当微粒构成部分的内在运动时，物体才具有阻力或内聚力．他认为，运动着的物体，不论多么微小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动．

　　他的物理学研究计划是：根据一个审慎的计划和规模，进行某些实验，借以在其上建立一个稳定的和论证的物理学堡垒．他的最终的奋斗目标是为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统．

　　莱布尼茨在物理学上最重要的工作是对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型．

　　1686年，莱布尼茨在《教师学报》上发表了反对笛卡儿关于力的度量的文章“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”(Breuis demonstratio erroris memorabilis Cartesii et aliorum circa Legem naturae)，提出了运动的量的问题，从而开始了与笛卡儿学派关于运动度量的长期争论，并发展成了力学中的两个派别．

　　莱布尼茨指出，如果只用动量(mv，m为物体质量，v为物体运动速度)度量运动，那么“力”(mv2)在自然界不断增加或减少时，就会导致动量(mv)不守恒，因此他认为动量(mv)不能做为运动的度量单位．

　　他把力分为“死力”和“活力”，“死力”是静止物体的“压力”或“拉力”，这种力是外来的，其度量是物体的质量和物体由静止状态到运动状态时具有的速度的乘积，即动量mv．“活力”(vis viva)是内在于物体的力，是物体的真运动．

　　在他看来，“活力”应该由物体的质量和该物体所能上升的高度来测量(mh)，按照伽利略落体定律，莱布尼茨成功地计算出高度h与速度v的平方成正比，“活力”保持不变m1v21=m2v22．因此，1695年他正式称mv2为“活力”(vis viva)，并以mv2作为运动的度量单位，动能的概念就这样被引入到物理学中来了．这是他在《教师学报》上发表的“动力学实例”(Specimen dynamium)中提出的，这篇论文是莱布尼茨力学的结晶，包含了他的大部分研究成果．莱布尼茨第一次认为“活力”mv2是物理学上的终极因，因而可以转化为各种各样的形式，同时还第一次认为mv2的守恒是一个普遍的物理原理，这样他就有充分的理由证明“永动机是不可能”这样的观点．究竟应该以mv2，还是以mv，作为运动的量度，经过长达半个世纪的争论，直到1743年J．R．达朗贝尔(d’Alembert)指出两者都是正确的，不过各自所着眼的角度不同罢了，争论才平息．

　　莱布尼茨反对牛顿的绝对时空观，与牛顿的学生S．克拉克(Clarke)进行了长时期的辩论．在莱布尼茨看来，时空与运动、物质是密不可分的，认为“没有物质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样．可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”．这些思想后来引起了A．爱因斯坦(Einstein)等人的关注．

　　在材料力学方面，莱布尼茨支持马里奥特关于梁受力性质的思想．1684年，他在“固体受力的新分析证明”(Demonstratonsnovae de Resistentia Solidorum)一文中指出，纤维是可以延伸的，它们的拉力与伸长成正比．因此，他提出将胡克定律F=-kx应用于单根纤维，这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特-莱布尼茨理论．

　　在光学方面，莱布尼茨利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律：

　　并尝试用求极值的方法解释光学基本定律．

地质学

　　1693年，莱布尼茨在《教师学报》上发表了一篇论述地球起源的文章，后来扩充为《原始地球》(Protogaea)一书．他认为，地球在早期是一个均匀的、灼热的熔融球体，形成之后开始逐渐冷却、收缩．当外表层冷却到一定程度后，一方面形成了原始的大气，另一方面形成一种玻璃质和熔洼质所组成的波质地壳，地壳由于收缩而形成褶皱．随着地球的进一步冷却，在这些褶皱的地壳上面，周围的水蒸汽便冷凝成汪洋大海，而由于水蒸汽融解了地壳表面的盐，因此海水就变咸了．引起这些地质大变化的原因，有些是地球内部的气体爆发使地壳破裂，有些是地球表面洪水泛滥所起的作用．前一种原因的作用结果形成火成岩，后一种原因的作用结果产生的是沉积岩层．

　　莱布尼茨进一步认为，在地壳不断变化，厚度增加的过程中，地表下形成了大量的气泡和空穴，当这些气泡和空穴由于重力等的作用而使其顶部发生坍陷时，地面上的水注入地下洞穴，从而使得原始海洋的水平面降低，因此就出现了山脉，地壳表面上也就有了大陆和海洋之分．同时，地壳表面由于海水的运动就形成了大规模的洪水，洪水对岩石造成了浸蚀，在冲刷、浸蚀的过程中，使得海水越来越咸，岩石碎片逐渐堆积，形成沉积岩．这种过程在地球的历史中多次进行，造成了各种沉积岩石和火成岩石交互出现的现象．在每一次大的运动之后，这些作用又达到新的平衡，从而又开始一个新的稳定时期．用这种观点，莱布尼茨成功地解释了岩石中含有动物遗迹以及含有年代不同的岩石碎块的沉积物这一现象．

　　对于石煤、合硫物质、石油等易燃物质，莱布尼茨认为火山爆发与地震是形成的原因．对于地层中的生物化石，有些甚至在今天的生物界中还没有找到与这些化石相应的生物，他认为，这些化石反映了生物的不断发展，这种现象的最终原因是自然界的变化而非偶然的神迹．

　　他的地球成因学说，尤其是他的宇宙进化和地球演化的思想启发了J．B．拉马克(Lamarck)、C．赖尔(Lyell)等人，促进了19世纪的地质学理论的新进展．

其他领域

　　莱布尼茨在化学、生物学、气象学、心理学等领域也做了重要的工作．

　　在化学方面，1677年，他写成《磷发现史》(Geschichte derErfindung der phosphois)，对磷元素的性质和提取作了论述，促进了磷元素的发现．他还提出了分离化学制品和使水脱盐的技术．

　　在生物学方面，他从哲学角度提出了有机论方面的多种观点，认为存在介乎动物、植物之间的生物，水螅虫的发现证明了他的观点．

　　在气象学方面，他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况的观察．

　　1696年，莱布尼茨提出了心理学方面的身心平行论(para-llelism)．他强调统觉(apperception)作用，与笛卡儿的交互作用论、B．D．斯宾诺莎(Spinoza)的一元论构成当时心理学三大理论．他还提出了下意识理论的初步思想．

　　1691年，他还曾致函D．帕潘(Papin)，提出了蒸汽机的基本思想．

　　1700年前后，他最早提出了无液气压机原理，其中完全省掉了液柱．

　　莱布尼茨一生中，总是希望在学术和政治活动的各个领域都出人头地，他呕心沥血地工作和学习，善于吸收别人的思想，无论何时，只要他抓住一个新课题，就查阅所能找到的与此有关的一切材料，从不囿于传统的观念，而是希望产生与他具有的天才相当的创造性作品．为此，他对于要发表的作品总是不厌其烦地反复推敲．

　　他善于用访问和通信的方式与人们讨论问题，阐发自己的观点，一生中曾与千余人有过书信交往，留下了一万五千多封信件．与他通信的有各种各样的人士，既有牛顿、沃利斯、伯努利家族、A．阿尔诺(Arnauld)、N．De马勒伯朗士(Melebranche)等科学界、哲学界的知名学者，也有欧洲各国的王侯皇妃，距离远至远东的中国．信件的内容广泛，涉及历史学、哲学、语言学、数学、逻辑学、化学、生物学、物理学、工程技术等等．这些信件记载着他的思想、见解和各种研究成果，有的信件其实就是学术论文．他的许多著作生前未发表，大量的手稿和书信现在还存放在汉诺威图书馆中．有许多学者陆陆续续编纂出版过莱布尼茨著作集．第一次世界大战前，柏林科学院曾计划编莱布尼茨全集四十卷，这一工作至今仍未能完成．法国科学院则准备在20世纪末编辑出版莱布尼茨全集．

　　莱布尼茨一生涉猎了各个不同的学术领域，都留下了深深的印记，并且对后世产生了不同程度的影响．他处于文艺复兴时期的整体主义和活力论的世界观与18，19世纪的新原子论和机械论唯物主义的交接时期，他的观点，对他那个时代来说是激进的，超前的，许多重要思想以后才为人们所接受和重新发现，他的有些工作和观点无疑还包含着至今尚未认识到的潜力．正如他自己所说的那样：“我有非常多的思想，假如别人比我更深入透彻地研究这些思想，并把他们心灵的美好创造同我的劳动结合起来，那么，这些思想总有一天会有某些用处的．”

　　作为哲学家，他在哲学史上与亚里士多德齐名，他的学说与其弟子C．沃尔夫(Wolf)的理论结合，所形成的莱布尼茨-沃尔夫体系极大地影响了德国哲学的发展，尤其是影响了I．康德(Kant)的哲学思想．他开创了德国的自然哲学，以后经过沃尔夫、康德、J．W．V．哥德(Goethe)，到G．W．F．黑格尔(Hegel)得到了长足的进展．莱布尼茨集科学研究与哲学研究于一身，科学思想与哲学思想相互联系和相互促进．例如他的单子论与其数学研究中的微分概念是相通的，他的单子概念和有机论自然观现在仍然受到人们的重视．他与英国哲学家J．洛克(Locke)在认识论方面的创造性的辨论以及他的名著《人类理解新论》(Nouveaux Essais Sur L Entendement Humain)丰富了哲学认识论，同时也加深了欧洲哲学两大派——经验主义与理性主义的对峙，而莱布尼茨则被认为是理性主义的重要代表人物之一．V．L．费尔巴哈(Feuerbach)曾经说：“近代哲学领域内继笛卡儿和斯宾诺莎之后，内容最为丰富的哲学乃是莱布尼茨．”他的逻辑学思想直接推动了20世纪B．罗素(Russell)等人对数理逻辑的研究和发展．

　　作为一位数学家，莱布尼茨对欧洲大陆数学的发展有着直接的重要的影响，突出地表现在欧洲大陆数学家宁愿采用他的d符号(微分符号)而成为“d主义”者，并与英国数学家的“点主义”展开了长达一个多世纪的抗争，使英国数学由于长期拒绝运用先进的符号和思想而落后于欧洲大陆的数学．直到19世纪英国的C．巴贝吉(Babbage)等青年数学家为改变这种状况而成立了一个数学分析学会，为反对“点主义”拥护“d主义”而奋斗，终于采用了莱布尼茨的微分符号．

　　莱布尼茨建立科学院的思想，直接促进了世界上几个著名科学院的建立；他的关于所有学科进行综合研究的观点，英明地预见了科学发展的趋势．在他的一生中，关心过各种各样的科学文化和社会政治问题，鼓吹和平与团结的济世胸怀贯穿始终，一刻也不懈怠地致力于旨在推动社会进步的学术、文化活动．

　　可以说，当今在各个学术领域都或多或少地看到他的影响．不过，许多情况是这样：只有在他的思想重新被发现以后，人们才开始注意到他在这些方面的“优先权”．

　　莱布尼茨一生没有结婚，一生没有在大学当教授．他平时从不进教堂，因此人们送给他一个绰号：Lovenix，即什么也不信的人．他去世时教士以此为借口，不予理睬，而宫庭也不过问，无人前来吊唁．弥留之际，陪伴他的只有所信任的大夫和他的秘书J．G．V．艾克哈特(Eckhark)．艾克哈特发出讣告后，巴黎科学院秘书B．L．B．封登纳尔(Fontenelle)在科学院例会时向这位外国会员致了悼词．1793年左右，在汉诺威为他建立了纪念碑；1883年，莱比锡的一个教堂附近竖起了他的一座立式个人雕像．1983年，汉诺威照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，以供后人瞻仰

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勒让德

　勒让德，A．M．(Legendre，Adrien-Marie)1752年9月18日生于法国巴黎；1833年1月9日卒于巴黎．数学.
　　勒让德出身于一个富裕家庭，就读于巴黎的马扎林(Maza-rin)学院．他受过科学教育，特别是数学方面的高等教育．他的数学老师 J．F．M．阿贝(Abbè)是一个小有名气并且在宫庭中受到尊敬的数学家．1770年勒让德18岁时，就在阿贝的主持下通过了数学和物理方面的毕业论文答辩．他的经济条件足以使他全力以赴地从事科学研究工作．但尽管如此，他还是在1775年到1780年在巴黎的军事学校教过数学．他的研究工作受到科学界的注意，并在1782年获得柏林科学院的奖励．1783年3月30日，他取代 P．S．拉普拉斯(Laplace)作为一名力学副研究员被选进科学院，1785年被提升为合作院士．
　　1787年，他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作，并参加了皇家学会．1790年前后，与一位19岁的姑娘玛格丽特·库塞(Marguerite Couhin)结婚．1791年4月13日，他被任命为一个三人委员会的委员，设置该委员会的目的是解决为确立标准米而进行的天文运算和三角测量问题．1793年科学院被查禁，他一度被迫隐居，由他的年轻妻子帮助他创造了一个安静的环境继续从事研究工作．他们一直没有子女．
　　1794年，巴黎行政区的公众教育委员会任命勒让德为马拉(de Marat)专科学校的纯粹数学教授．不久该校解散，他又担任公众教育国家执行委员会第一办公室主任，领导处理度量衡、发明创造以及对科学工作者的奖励等事宜，不久成为该委员会的高级秘书．1799年，他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学校担任研究生答辩的数学主考人，1815年辞职，得到一笔3000法郎的养老金．1813年，J．L．拉格朗日(Lagrange)去世，由勒让德取代了他在经度局的位置，并在那里终其余生．
　　勒让德在数学方面的贡献，首先表现在椭圆函数论．有许多理由足以说明他是椭圆函数论的奠基人．在他之前，C．麦克劳林(Maclaurin)和 J．R．达朗贝尔(d'Alembert)曾研究过可以用椭圆或双曲线的弧表示的积分．G．C．法尼亚诺(Fagnano)在1716年曾证明，对任意给定的椭圆或双曲线，可以用无穷多种方法指定两条弧，使得其差等于一个代数量．他还证明过，伯努利双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的弧能够像圆弧那样被代数地加以乘、除．这是椭圆积分简单应用的第一个说明．这一积分被勒让德记作F(x)，他认为用它可以决定所有其他的积分．从法尼亚诺的研究出发，L．欧拉(Euler)着手处理更一般的椭圆积分，并得出了现在称为第一类和第二类椭圆积分的加法定理．1768年，拉格朗日把欧拉的发现纳入通常的分析程序．1775年，J．兰登(Landen)又证明了双曲线的每一条弧能够用一个椭圆的两条弧来度量．1786年，勒让德出版了他的关于椭圆弧的积分的著作．其中第一部分是在他知道兰登的发现之前就已写出的．他避免应用双曲线的弧，而采用作一个适当构造的椭圆弧的表的办法来代替．他给出兰登定理的一个新的解释，并且用同一方法证明了每一个给定的椭圆是一个无限多的椭圆序列的一部分．求出两个任意选定的椭圆的周长，就可以求得所有其他椭圆的周长．有了这条定理，就有可能把一个给定椭圆的求长问题化成两个其他的和圆相差任意小的椭圆的求长问题．
　　不过，这一课题及一般形式的超椭圆函数理论，需要更系统的处理．这正是勒让德在他的“关于椭圆超越性的论文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的．他提出对这一类型的所有函数应进行比较，将其区别归类，把每一个变成可能的最简形式，并利用最容易、最快速的近似法对其求值，进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统．
　　勒让德后来的研究，从几个方面完成了这一理论．1809年，他发表了“各种不同定义的积分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，继续从事对欧拉积分(这一术语是勒让德给出的)，特别是对Г函数的研究．1811年，勒让德在《积分练习》(Exercices de

　
　　第三类积分为

　　其中η为参数．每一个椭圆积分可被表示为这三种超越类型的一个组合．
　　

　
　　定理指出：

　
(μ)可以被一个任意常数(整数或有理数)相乘．经过这样的研究，勒让德对三种类型的积分中的每一种都导出了许多结果．
　　

角．根据兰登定理，他建立了一种变换，后来称之为二次变换，即如果

　　复使用这种变换，勒让德建立了椭圆函数表，于1817年公开发表．
　　1826年，勒让德又出版了《椭圆函数论》(Traité des foncti-ons elliptiques)，在第二卷中列有9张这种表．最后一张表是函数F和E的

时取10位小数，在45°至90°之间时取9位小数．他曾写信给 C．G．J．雅可比(Jacobi)，说他在无任何外力帮助的情况下致力于如此冗长而乏味的工作，但却乐此不疲，并认为这一工作的重要性完全可以和 H．布里格斯(Briggs)的对数表媲美．
　　1827年，雅可比也开始研究椭圆函数．他写信把自己的和N．H．阿贝尔(Abel)的发现告诉给勒让德．面对年轻对手的挑战，勒让德的态度是非常热心和直率的．他在《椭圆函数论》第3卷的序言中赞扬了这位“柯尼斯堡的年轻几何学家”以及阿贝尔．后来又发表了《椭圆函数论》的3个附录．前两个主要介绍了雅可比的工作，也提到阿贝尔，其中包括椭圆函数和勒让德积分的反函数．勒让德以其惯有的略嫌冗长的模式讨论了将椭圆函数推广到复数域和双周期．附录三主要讨论阿贝尔的工作和他的大定理．1832年3月4日，勒让德总结他的工作说：“我们仅接触到这一课题的表面．可以预言它将随数学家的工作而日趋成熟，最终将构成超越函数分析中的一个最漂亮的部分．”
　　数论是勒让德特别关注的第二个重要领域．早在1785年，他所发表的“不定分析的研究”(Recherches d’analyse indétermi-née)一文中即载有二次剩余互反律及其若干应用的一个说明，把数分解成三个平方数的理论的概述，还陈述了一条以后变得很有名的定理：“每一个首项和公比互素的算术级数中都含有无限多个素数．”1798年，他又发表了他的《数论随笔》(Essai sur la théoriedes nombres)一书的第一版．他在这本书里，用更系统和更彻底的方法处理了“不定分析的研究”中的那些论题．该书是18世纪数论学科的主要著作之一．第二版以《数论》(Théorie des nom-bres)为名于1808年出版．在这一版的引言中，勒让德提到要高度注意严密性，这一点是值得赞扬的．在这一版中，他利用和 P．de费马(Fermat)的无穷递减法有关的技巧证明了整数乘积的变换性．作为欧拉和拉格朗日的一个直接追随者，勒让德和他们一样，经常使用连分数的算法，用来解一阶不定方程，并用来证明费马方程x2-Ay2=1 恒有一个整数解．以后他又给第二版增加了两个附录(1816，1825)．第二个附录中含有方程x5+y5=z5不可能有整数解的一个漂亮的证明．接着就是对这条定理的更复杂情形的考察．该书第三版分成两卷，于1830年5月问世．第三版发展了第一版中的内容，并添上一些在很大程度上受到 C．F．高斯(Gauss)影响的新思想．这一版特别有价值．它和高斯的《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)一起同为这门学科中的标准著作．
　　勒让德还追随拉格朗日研究过二次型，在某些方面得到了完善的结果．例如，他证明了每一个非8k+7型的奇数是三个平方数的和．在这一结果的基础上，A．L．柯西(Cauchy)在1812年针对多项式数的情形证明了费马定理．
　　勒让德对数论的主要贡献是提出二次剩余的互反律．这是18世纪数论中最富于首创精神的可能引出最多成果的发现．1785年，他用一个冗长而不完善的说明提出这一定律．1801年，高斯对勒让德的陈述进行了批评，并宣称他是第一个能够严格叙述这一命题的人．1808年，勒让德采用了这位年轻的批评者所给出的证明．他发明了记号(p/q)，令其等于1或-1，以表示p是q的二次剩余或二次非剩余．在这种记号下，二次互反律说，如果p和q是不同的奇素数，那末

(p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4．

　　1830年，他又把他认为是更好的雅可比的证明补充了进去．
　　作为一个非常熟练的计算工作者，勒让德提出了有价值的数表．他编列了二次型的二次和一次的因子以及费马方程x2-Ay2=±1的最小解．后一张表出版于1798年，并在1808年用一种更简略的删节本形式重印．
　　勒让德还是解析数论的先驱者．他在1798年提出了素数分布定律的初步形式，1808年又使其更加精确化，呈现为如下形式：如果y是小于

纳法发现这一定律的．1793年，高斯由直觉看出了素数的渐近分布定律．但是，第一个明确给出这一条非凡定律的，还是勒让德．
　　另一方面，勒让德早在1785年便说明了在每一个算术级数ax+b(此

　　对数论研究开辟了一个十分广阔的园地之后，勒让德在1830年又试图阐述阿贝尔的关于方程代数解的概念．勒让德认为，他已令人信服地证明了对于高于四次的方程来说，求得一般的解是不可能的．他还对研究方程的数值解法表示过兴趣，特别是研究过根的分离和把它们展开成连分数．1808年，他提出了关于代数基本定理的证明，与 J．R．阿尔冈(Argand)在1806年给出的证明十分类似．
　　在他的《几何学原理》(Eléments de géométrie，1794)的附注4(发表于该书的第一版)中，勒让德利用连分数的算法建立了兰伯特定理(1761)：圆的周长和直径的比是一个无理数．他改进了这一结果，证明了这个比的平方也是一个无理数，并补充说：“很可能数π甚至不包含在代数无理数中，但是要严格说明这个命题似乎是非常困难的．”
　　在他整个一生中，勒让德都对数论有着极大的兴趣．他非常了解这个题目的困难．因此在他最后的几年当中，经历了一个对它不再抱希望的过程．例如，他在1828年写信给雅可比说：“我打算奉劝你不要化太多的时间去研究这类问题；它们是非常困难的，而且往往是毫无成效的．”
　　天体力学是勒让德在他早年科学研究生涯中关心过的另一个领域．他年轻时曾从事关于星球的相互吸引问题和它们的平衡方式的研究．1783年1月，他在科学院宣读过一篇关于这一问题的论文，该文发表在《外国博学者文集》(Recueil des savants étran- gers，1785)一书中．他在这篇文章中证明了一条定理：如果旋转体对位于轴的延长线上每一外点的引力为已知，则它对每一外部点的引力也可求得．文章中出现了我们现在所谓的勒让德多项式．对这一多项式的研究引起了以后一系列浩瀚的工作．
　　1784年7月，勒让德在科学院宣读了“关于行星形状的研究”(Recherches sur la figure des planètes)．他在此文中推导出勒让德多项式的一些性质，并将这些性质和其他性质运用到万有引力的问题上．此后不久，他又发表了“关于地球形状结果的三角运算”(Mémoire sur les opérations trigonomètriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre)．在这篇文章中有一个关于球面三角的“勒让德定理”：
　　“当一个(球面)三角形的边相对球半径是很小的时候，它非常近似于一个直线三角形．如果从它的每一个角中减去这三个角之和与二直角(之和)之差的三分之一，则按这一方式所得的角可以被看作是一个直线三角形的角，这个三角形和已知三角形有相等的边长．”
　　1790年，勒让德发表了“论重积分”(Mémoire sur les inté-grales doubles)一文．他在这篇文章里完成了他关于球体吸引的分析、包括对非均匀球体情形的研究，以及某些微分方程的特殊积分的探讨．
　　18世纪末，由R．de普隆尼(Prony)领导的法国勘测局编制了三张数学用表，即：按一直角的每千分之十度计算角的余弦，精确到小数第22位；按一直角的每千分之一百度计算正弦的对数，精确到小数第12位；以及从1到200 000各个数的对数，也是精确到小数第12位．这项工作由以勒让德为首的分析学家们组成的一个小组进行准备，勒让德设计了一些新的公式用以确定正弦的相继的差，并根据一些恒等式对计算出来的结果相互验证．1802年，勒让德写道：“这三张表是用新方法计算出来的，主要是基于差分演算的方法，它们是树立于科学事业中最出色的纪念碑之一．”这些手抄表的抄本被收存在经度局中．有一篇解释性的文章发表在《专科学校论文集》(Mémoires de l'Institut，1801)里．
　　还有一个重要领域是勒让德的著作中所涉及到的，即初等几何——特别是平行线理论．他在这方面的著作《几何学原理》多次再版并被翻译成英文、德文、罗马尼亚文，支配了这门课程的初等教育几乎达一个世纪．附于书中的详细注释至今尚有一定的价值．1793年，公众教育委员会又委托他和拉格朗日合写了一本题为《微分学和几何学原理》(

léments de calcul et de géométrie)的教材．《几何学原理》中的教义式的表述，标志着法国在很大程度上对欧几里得的迷信．在非欧几何学家为了使他们的概念被公众接受所作的斗争中，这本书倍受责难．1832年，勒让德曾回忆起他在1794年至1823年为证明欧几里得平行公理所作的种种努力，他本人从未认识到这一切都是徒劳的．实际上，在他的一个似乎是无可挑剔的证明中，可以找到一个谬误．正如I．牛顿(New-ton)的众多信徒一样，勒让德也笃信绝对空间和直线三角形边的“绝对的量”．遵循拉格朗日在《都灵杂录》(Mémoires de Turin，1761)中所提出的倍受青睐的“量的齐次性法则”，勒让德在1794年建立了三角形的内角和定理．假若给定三角形的一条边a和该边的两个邻角B，C，则此三角形可以唯一确定．第三个角A应为已知各量的函数：

　　认为：“这一结果说明一条边a可以等于一个没有维数的纯粹数量，这是荒谬的．”量的齐次性法则必然使得这个长度在一开始就不能在公式

便容易得到A+B+C=π．
　　直到生命的结束，勒让德从不怀疑这一推理的价值．失败的原因是他在最后的分析中总是依赖那些按欧几里得的观点看来是“显然”的命题．例如：凹向相反的两条凸周线必在有限远处相交；在一个角的内部总可作出一条直线使其与角的两边相交；过不共线的三个点总可以作出一个圆．他在球面几何和球面三角方面的鉴别力并没有使他消除对绝对欧氏空间的盲目信任．他在1832年写道：“这条关于三角形的三个角的和的定理应该认为是那些基本真理之一．这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子．”
　　勒让德的科学活动从大约1770年起到1832年止，在18和19世纪各从事了30年．他是拉格朗日的一位杰出的门徒，也超过了欧拉的所有弟子．他和当时其他数学家一样，既处理抽象数学，也研究数学在宇宙系统中的应用．他的著作是过渡性的，很快就陈旧了．但尽管如此，他仍是一位不平凡的计算工作者，一位熟练的分析学家，而且总的说来，是一位优秀的数学家，特别在椭圆函数论和数论方面做出了杰出的贡献．

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雅格布·伯努利

　伯努利，J．(Bernoulli，Jakob)1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔．数学、力学、天文学．
　　雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)出生在一个商人世家．他的祖父是荷兰阿姆斯特丹的一位药商，1622年移居巴塞尔．他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官．他的母亲是市议员兼银行家的女儿．雅格布在1684年与一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉·伯努利(NikolausBernoulli)是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长．
　　雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位．这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及文法、修辞和雄辩术等七大门类．遵照他父亲的愿望，他又于1676年取得神学硕士学位．同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学．1676年，他到日内瓦做家庭教师．从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》(Meditationes)．1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系．然后他又在法国度过了两年的时光，这期间他开始研究数学问题．起初他还不知道L．牛顿(Newton)和G．W．莱布尼兹(Leibniz)的工作，他首先熟悉了R．笛卡儿(Descartes)及其追随者的方法论科学观，并学习了笛卡儿的《几何学》(La géometrie)、J．沃利斯(Wallis)的《无穷的算术》(Arithmetica Infinitorum)以及Ⅰ．巴罗(Barrow)的《几何学讲义》(Geometrical Lectures)．他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作．1681—1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家，如J．许德(Hudde)、R．玻意耳(Boyle)、R．胡克(Hooke)及C．惠更斯(Huygens)．通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣．这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关彗星的理论(1682年)以及受到人们高度评价的重力理论(1683年)．回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于液体和固体力学的实验讲课，为《博学杂志》(Jounal des scavans)和《教师学报》(Actaeruditorum)写了一些有关科技问题的文章，并且也继续研究数学著作．1687年，雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法”，这些成果被推广运用后，又被作为F．V．斯霍滕(Schooten)编辑的《几何学》(Geometrie)的附录发表．
　　1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究．1685年出版了他最早的关于概率论的文章．由于受到沃利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学．在这同时，他的弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli)一直跟其学习数学．1687年雅格布成为巴塞尔大学的数学教授，直到1705年去世．在这段时间，他一直与莱布尼兹保持着通信联系．
　　1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701年被柏林科学协会(即后来的柏林科学院)接受为会员．
　　雅格布·伯努利是在17—18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族的重要成员之一．他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域．
　　微积分学 雅格布和他的弟弟约翰经常一起研究莱布尼兹的文章，迅速接受了莱布尼兹微积分的学说，并对他的文章大力加工，使之能够较易被人接受．伯努利兄弟也对微积分做了大量的新发展，成为17世纪继牛顿和莱布尼兹之后，最先发展微积分的人．莱布尼兹承认，他们在微积分方面的工作和他一样多．
　　雅格布在微积分方面的工作，同牛顿和莱布尼兹一样，也是从关于求曲线的弧长、曲率、法包线(曲线的法线的包络线)、拐点等基本的微积分课题开始．他把牛顿和莱布尼兹的结论扩展到各种各样的螺线、悬链线和曳物线．1687年，关于“定长悬挂曲线的确定” (The determination of the curve of constant descent)已被莱布尼兹当作一个问题提出．1690年雅格布在《教师学报》中也提出类似的问题：一根柔软而不能伸长的绳子，自由悬挂于两个固定点，求这绳所形成的曲线，即悬链线(catenary)形状的确定问题．莱布尼兹立即指出这个问题的深远意义，并主动解决这个问题，他的结果发表在1691年的《教师学报》上，同期约翰·伯努利、惠更斯也都各自发表了这个问题的解答．雅格布自己当时却没有能解决这个问题，所以使约翰感到莫大的骄傲．1691年与1692年间，雅格布和约翰解决了更普遍的问题，即悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳，以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳的形状的问题．1694年，雅格布也研究了受力细杆(弹性物)所具有的形状问题．对一组端点条件，他发现曲线的方程为

　　这里涉及到无理函数的积分问题．1695年关于悬链线的研究被应用到了悬置桥梁的建筑中．
　　雅格布在1691年获得两项突出的成果．他检验了抛物螺线

　　具有特殊的对称性；对数螺线(logarithmic spiral)在极坐标中为r=aθ，雅格布对对数螺线有深入的研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线．如对数螺线的渐屈线和渐伸线都是对数螺线；自极点至切线的垂足的轨迹也是对数螺线；以极点为发光点经对数螺线反射后得到的无数根反射线，和所有这些反射线相切的曲线叫回光线(catacaustic)，它还是对数螺线．他在惊叹欣赏这曲线神奇巧妙之余，效仿阿基米德(Archi-medes)，在遗嘱里要求他的后人将对数螺线刻在他的墓碑上，作永久纪念，并附以颂词：“虽然改变了，我还是和原来一样”(Eademmutata resurgo)．
　　1694年，雅格布出版了一本论文集《微分学方法，论反切线法》(Specimen caluli differentialis；de methodo tangentiuminversa)．这本著作用通俗易懂的语言去解释微分法的原理，因而使莱布尼兹的微积分思想得到很大范围的普及．
　　微分方程 雅格布在分析学中，使专用术语“积分”第一次被赋予数学意义而使用．他也是用微积分求一阶常微分方程分析解的先驱者之一．1690年5月，他在《教师学报》上发表了关于等时问题的解答．这个问题是：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全的振动都取相等

　　解答：

　　这曲线是摆线．1691年雅格布研究了跟踪曲线问题，导出了跟踪曲线的微分方程．在求解一阶常微分方程时，雅格布在1695年的《教师学报》中提出了求解方程

的问题．这方程后来被称为“伯努利方程”．莱布尼兹在1696年证明了利用变量替换z=y1-n，可以把方程化为线性方程(y和y′的一次方程)来解．雅格布和约翰都各自给出了它的解法．雅格布还研究了船帆在风力下的形状问题，而且导出了一个二阶微分方程：d2x/ds2=(dy/ds)3，这里s为弧长．
　　级数雅格布在级数方面的大量工作，使他在级数理论方面成为当时的权威．1689—1704年间他写了5篇论文，共有60个命题，这些论文中大多数是讨论函数的级数表示的，其目的是求函数的微分和积分，以及求曲线下的面积和曲线的长度．他求级数和的一些方法及判别级数收敛性的方法是值得注意的，例如比较判别法就得到了成功的运用，对级数的研究起了很好的作用．但是这些命题的表述，并没有显现出他的独创性，也出现了一些相悖的结论．
　　在第一篇论文(1698年)中，他讨论了一些无穷级数的和，证明了

　　一项均大于或等于最后一项．但是

　　因此就有

　　他说，这样我们可以把项一组接一组的归并起来，使得每一个组的和大于1，于是我们能够得到有限多个项，其和大于任意指定的正数，从而

是有限数，承认自己还不能求出它的和的精确值(欧拉在1737年首先得到成功)，但是他知道关于优级数

　　可以求出它的前n项和．在命题24中，写出

　　地应用了比较判别法．第二篇论文主要是在三次曲线不完全分类的基础上，根据它们的形态划分成33种不同类型．第三篇论文中的命题，对于双曲线求积分应用对数级数(命题42)，

　　释(命题44)，以及级数对于圆面积和二次曲线的扇形面积的解释(命题45，46)．雅格布1698年以前关于悬链线及有关问题的见解，关于抛物线求长法及对数曲线求长的见解等分别作为命题49、命题41和命题52增补进去．第三篇论文有雅格布对二项式定理的证明，尽管牛顿在1676年曾经陈述过这个定理，并用一些仔细挑选出来的例题说明它，但没有给出任何证明，雅格布所补充的证明是最早的，然而他只限于指数是正整数的情况．大约在60年后，欧拉才想出了一个适用于指数为非正整数的证明．在命题55中出现了待定系数法．命题56—58以及命题60，
　　布尼兹的信中，我们看出在命题59中他应用了J．克里斯托弗(Christophe)、F．D．丢勒(Duillier)的改进收敛性的思想．他的侄子尼古拉第一(1687—1759)把所有这些命题作为雅格布的名著《猜度术》(Ars conjectandi)的附录发表．
　　解析几何 在解析几何方面，1691年雅格布在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为他是极坐标的发明者之一．他引入了“极坐标”的概念，并说明了某些高次曲线应用极坐标可以比较容易地画出来．在研究它们的性质时，用极坐标表示它们的方程比用直角坐标表示更方便．1694年，雅格布在《教师学报》发表的论文中，提出了“伯努利双纽线”(lemniscateof Bernoulli)，并讨论了它的性质．如图，设F1，F2是平面上的两点，且F1F2=2a(a＞0)，平面上一动点P使得

PF1·PF2=b2(b是正常数)

　　成立的轨迹称为一条卡西尼(Cassini)卵形线．当b=a时得双纽线．双纽线在直角坐标系中的方程是

(x2+y2)2=a2(x2-y2)，

　　在极坐标系中的方程是

ρ2=a2cos2θ．

　　它是等轴双曲线的切线与垂直于切线并通过中心的直线的交点之轨迹．双纽线ρ2=a2cos2θ所围成的面积是a2．1691年，雅格布和约翰给出了曲线的曲率半径的公式．雅格布称之为“黄金定理”，并写作

z=dxds∶ddy=dyds∶ddx，

　　其中z是曲率半径，如果用ds2除每一个比的分子和分母，得到

　　雅格布也给出了在极坐标下曲率半径的公式．
　　变分法 1696年约翰向欧洲数学家挑战，提出了一个难题：最速降线问题，雅格布作为还击，1697年5月又提出另一个难题：等周问题．对于这些问题的研究和解决，使他们成为新的数学分支——变分法的重要奠基者．
　　变分法是微分学中处理单变量函数极大极小问题的一种推广．对变分法的产生和发展有巨大影响的有下列几类问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题以及最小旋转面问题．17—18世纪，力学的迅速成长刺激了这类问题的发展．伯努利兄弟与前面三个问题的解决都有关系，特别是最速降线问题的提出和解决，认为是对变分法的创立有决定的意义．1696年约翰提出的最速降线问题是：确定一条连结不在同一铅直线上的两点A和B的曲线，使质点只受重力的作用由A点沿曲线滑向B点，所用时间最短(介质的阻力和摩擦力不计)．这问题的困难之处在于它和普通的极大极小值的求法不同，它是要求出一个未知函数(曲线)，来满足所给条件．这个问题提出后，数学家们立即被它的新颖性所陶醉．雅格布、约翰、莱布尼兹、洛比达和牛顿都研究了这个问题，各用不同的方法得到了相同的答案，这条曲线是旋轮线(亦称圆滚线或摆线)．雅格布的解法是比较浅显的，1700年他在《教师学报》上发表了“等周问题实解”(Solution propria problematis isoperimetrici)一文，文中包括了他对“最速降线”的解答．
　　雅格布在1697年5月的《教师学报》上，提出了一个包含几种情形的相当复杂的“等周问题”，向其弟弟约翰挑战．约翰最初给出的解都没有获得成功，雅格布在1700年的“等周问题实解”一文中，给出了正确的答案．
　　1698年，雅格布在关于变分法的第三个典型问题——测地线问题上，作出了新的贡献，他解决了柱面、锥面和旋转面的测地线问题．
　　概率论 《猜度术》(Arc conjectandi)是雅格布一生中最有创造力的著作，这本书是在他死后8年，即1713年才出版的．这本书的出版是概率史上的一件大事，它是把数学的又一分支——概率论建立在稳固的数学基础上的首次认真的尝试．在这部著作中他提出了概率论中的“伯努利定理”以及在数论中很有影响的“伯努利数”和“伯努利多项式”等基本内容．“伯努利定理”是“大数定律”的最早形式．由于“大数定律”的极端重要性，1913年12月彼得堡科学院曾举行庆祝大会，纪念“大数定律”诞生200周年．
　　早在雅格布的《猜度术》出版之前，P．de费马(Fermat)、E．帕斯卡(Pasccal)以及惠更斯等人就对概率论问题作过一些研究，获得某些成果．雅格布本人也在《教师学报》(1685)上写过一些论文，提出了有关赌博游戏中的输赢次数问题，对这些问题他在《猜度术》中也做出了解答．《猜度术》这部巨著中提出的大数定律是在随机现象的大量重复中往往出现的必然规律的总称，是对大量经验观测中呈现的稳定性的刻划．雅格布对大数定律的陈述与现代的标准概率论著作十分一致，“随着观测数目的不断增加，那记录在案的有利事件与不利事件的比接近真实比的概率也不断增加，以致这概率将最终超过所要求的任意的确定的度”．这一陈述对大量观测的复杂结构提出了一个简明的假设，并且证明了这一假设．如在掷钱币的游戏中，每次出现正面或反面虽是偶然的，但在大量重复时，出现正面次数与总次数之

一．大数定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向更广泛的应用领域的桥梁．
　　“伯努利数”是雅格布在研究求自然数正整数次幂之和的公式时引入的．若

Sn(k)=1n+2n+3n+…+(k-1)n，

　　当n=3时，有S3(k)=13＋23+…+(k-1)3

… …．

　　一般地，雅格布给出公式

　　这里Crn=n(n-1)…(n-r+1)/r！．雅格布对其中的系数B2，B4，B6，…很感兴趣，他计算出

　　而且还给出了计算这些系数的递推公式．现在人们通常把B2，B4，B6，…称为“伯努利数”．设f(x)是一个单变量实函数，在研

& e$ j2 Y% ^) W" K
出现在《猜度术》一书中，被称为“伯努利多项式”．

　　《猜度术》共有四篇，各篇的主要内容是：第一篇基本上是重新提出惠更斯问题；第二篇是排列组合理论的详尽论述．他以V．斯霍滕(Schooten)(1657)、莱布尼兹(1666)、沃利斯(1685)和J．普列斯特(Prestet)的《初等数学》(Elemens de mathematiques)的有关贡献为基础．主要结果是给出了关于指数级数的严格推导．这一篇的第四章和第五章的许多内容，即使拿到近代论著中也无不当之处；第三篇是给出了“机会对策”中所产生的各种各样新问题的解答，共有24个例题，有些例题很简单，也有一些很复杂的例题；第四篇是关于概率论在道德和经济等问题上的应用．“大数定律”就是在这篇中提出的．这部分还包括了雅格布特有的哲学思想，他是为回答匿名嘲笑者关于1686年在诡辩的逻辑问题上争论的需要而写的．《猜度术》一书鼓舞了一些学者研究这门诱人的学问，P．R．de蒙莫尔(Montmort)和A．棣莫弗(de Moivre)使这本书中的问题更加具体．雅格布关于概率论的思想，对于这个领域的进一步发展有决定性的贡献．
　　此外，雅格布·伯努利在物理学上也做了一些工作，如在关于一个半圆镜上平行入射光线的焦散线的研究中，提出了测量法包线的基本步骤；独立地发现了被风鼓起的帆的外形可以用微分方程

图书馆里还收藏有雅格布没有发表的关于固体和液体力学的讲演稿(手稿)，《大学实验学报》(Acta collegii experimen-talis)翻译了其中的一部分．但令人遗憾的是，雅格布对力学的贡献几乎没有在正式文献中提到过．
　　雅格布、约翰经常与莱布尼兹、惠更斯以及其他数学家通信．约翰在格罗宁根工作期间，他们兄弟之间也经常互相通信．通过书信提出问题，研究解决问题，他们经常在相同的领域里工作，也相互争论．伯努利兄弟自悬链线问题上就产生了分歧，以后争论加剧．这些争论无疑会促进科学的发展．但由于双方过分敏感自尊，性格暴躁，相互批评指责又过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快．甚至双方的家庭也都卷入了争论，其后果之一是当雅格布死后，他的《猜度术》的手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年，直到他死后8年(1713年)才得以出版，几乎使这部经典著作的价值受到损害．
　　雅格布·伯努利一生致力于数学研究，他是高等分析的正规方法的最重要的创建者之一，对17世纪下半叶近代数学的发展产生了巨大的影响．

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约翰·伯努利

　　伯努利，J．(Bernoulli，Johann)1667年8月6日生于瑞士巴塞尔；1748年1月1日卒于巴塞尔．数学、力学．
　　约翰·伯努利(Johann Bernoulli)是老尼古拉·伯努利(Nikolaus Bernoulli，1623—1708)的第三个儿子，雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)的弟弟．幼年时他父亲象要求雅格布一样，试图要他去学经商，他认为自己不适宜从事商业，拒绝了父亲的劝告．1683年进入巴塞尔大学学习，1685年通过逻辑论文答辩，获得艺术硕士学位．接着他攻读医学，1690年获医学硕士学位，1694年又获博士学位．
　　约翰在巴塞尔大学学习期间，怀着对数学的热情，跟其哥哥雅格布秘密学习数学，并开始研究数学．两人都对无穷小数学产生了浓厚的兴趣，他们首先熟悉了G．W．莱布尼兹(Leibniz)的不易理解的关于微积分的简略论述．正是在莱布尼兹的思想影响和激励下，约翰走上了研究和发展微积分的道路．
　　1691年6月，约翰在《教师学报》(Acta eruditorum)上发表论文，解决了雅格布提出的关于悬链线的问题．这篇论文的发表，使他加入了C．惠更斯(Huygens)、莱布尼兹和I．牛顿(Newton)等数学家的行列．
　　1691年秋天，约翰到达巴黎．在巴黎期间他会见了G．F．A．de洛比达(L’Hospital)，并于1691—1692年间为其讲授微积分．二人成为亲密的朋友，建立了长达数十年之久的通信联系．洛比达以后成为法兰西最有才能的数学家之一．
　　1691—1692年间，约翰写了世界上第一本关于微积分的教科书，积分学部分于1742年出版，微分学部分直到1924年才出版．
　　1693年约翰开始与莱布尼兹建立了通信联系，信中就一些数学问题交换意见．约翰是莱布尼兹的忠实拥护者，以至被卷入了莱布尼兹与牛顿关于微积分优先权的争论，他极力为莱布尼兹辩护，并猛烈地批评甚至嘲笑英国人．法国巴黎科学院院士P．瓦里尼翁(Varignon)也是约翰的密友，二人之间也进行了通信联系．
　　1695年，约翰获得荷兰格罗宁根大学数学教授的职务．他接受职务后，工作特别努力，一面认真教学，一面在微积分方面做出了许多新的贡献．1705年，约翰的哥哥雅格布去世，他去巴塞尔大学继任数学教授的职务，致力于数学教学，直到1748年去世．
　　由于约翰长期的教学活动和他对数学的贡献，受到当时科学界的高度评价．1699年被选为巴黎科学院的国外院士；1701年被接受为柏林科学协会(即后来的柏林科学院)的会员；1712年被选为英国皇家学会的会员；1724年被选为意大利波伦亚科学院的国外院士；1725年被选为彼得堡科学院的国外院士．他还在巴塞尔担任名誉官职，是地方教育委员会的成员，成为当时巴塞尔的知名人物．
　　约翰由于在力学、天体力学、流体力学方面的研究成果，曾分别于1724年、1730年和1735年三次获得巴黎科学院的奖赏．特别是1735年与他的儿子丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)共同完成的关于行星轨道理论的获奖文章，受到人们的高度重视．
　　约翰生活在17世纪下半叶到18世纪上半叶．这一时期数学上最突出的成就就是微积分的发明与发展．由微积分的创立，又产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法等．18世纪数学家的主要任务是致力于这些学科分支的发展，而要完成这些任务，首先必须发展、完善微积分本身．约翰就是一个对微积分和与其相关的许多数学分支都做过重要贡献的人，是18世纪分析学的重要奠基者之一．
　　 微积分学 约翰首先使用“变量”这个词，并且使函数概念公式化．1698年他从解析的角度提出了函数的概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数”，记作X或ξ，1718年他又改用φx表示x的函数．记号f(x)是欧拉于1734年才引进的．约翰对一些具体函数进行过研究，除一般的代数函数外，他还引入了超越函数，即三角函数、对数函数、指数函数、变量的无理数次幂函数及某些用积分表达的函数．指出对数函数是指数函数的反函数．
　　约翰对微积分的贡献主要是对积分法的发展．他曾采用变量替换来求某些函数的积分，在1699年的《教师学报》上给出了用变量替换计算积分

　
　　约翰在1702年注意到

　　从而立即可以把积分求出．这种方法就是把一个分式分解为部分分式的

　　设p(x)和q(x)都是x的多项式，若p(x)的次数高于q(x)的次

式，多项式部分积分是容易的．对于r(x)/g(x)的积分，约翰有一个重要的发现，首次提出了部分分式的积分方法，即

　　这里a，b，c以及f，q，h等均为常数．于是
　　

　　=aln(x＋f)＋bln(x＋q)+cln(x＋h)+…
　　=ln[(x＋f)a·(x＋q)b·(x＋h)c·…]，
　　这就完成了这个积分．依据这种分析，约翰在1702年的《教师学报》上就断言，任何有理函数的积分，无需包含三角函数与对数函数以外的任何其他超越函数，因为有理函数的分母是x的一个n次多项式．在约翰给莱布尼兹的信中，就曾用部分分式法来求积分

　　但是，由于ax2＋bx＋c的一次因子可能是复数，这就导致了约翰、莱布尼兹及欧拉之间关于复数的对数和负数的对数的争论．这种争论推动了复变函数的发展和欧拉公式的建立．即

　　约翰还提出了现在微积分中的一个著名定理——洛比达定理(或法则)，它是用导数求一个分式当分子和分母都趋于零(或无穷大)时的极限的．这个定理是由他的学生洛比达在1696年编写的一本非常有影响的微积分教材《无穷小分析》(Analyse des infi－niment petits)中引入的，后称为洛比达法则．这个法则实际上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的．
　　1742年约翰出版了他的著作《积分学教程》(Lections mathe－maties de method integralium)，在这本书中约翰汇集了他在微积分方面的研究成果，他不仅给出了各种不同的积分方法的例子，还给出了曲面的求积，曲线的求长和不同类型的微分方程的解法，使微积分更加系统化．这部著作成为微积分学发展中的一本重要著作，在当时对于推动微积分的发展和普及微积分的知识都起了积极的作用．
　　 微分方程 微积分的迅速发展和应用，必然导致了微分方程这门新学科的诞生．其实微分方程的发展是与微积分的发展交织在一起的．约翰在这方面也是一位开拓者．
　　1691年6月约翰在《教师学报》上发表文章，解决了他哥哥雅格布提出的“悬链线”问题，即“一根柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于两固定点，求这绳所形成的曲线”．约翰设法列出了该问题的微分方程

　　其中s是由B点到任一点A之间的弧长，而a是A点处绳的张力在水平方向的分量与单位绳长重力的比值．通过解此方程就得到悬链线的方程
　　

　　在此基础上，约翰与雅格布还在1691—1692年间解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳、以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的形状的问题．

　　约翰和莱布尼兹在1694年引进了找等交曲线族的问题，即找一曲线或曲线族，使得与已知曲线族相交成给定的角．约翰称等交曲线为轨线．他将这个问题作为向雅格布的一个挑战．雅格布只解决了一些特殊的实例，约翰导出了一特殊曲线族的正交轨线的微分方程，并在1698年找到了它的解．这个问题后来由莱布尼兹与雅格布的学生J．赫曼(Jacob Hermann)得到较完美的解决．
　　在求解1695年雅格布给出的“伯努利方程”

y′+P(x)y+Q(x)yn=0

　　时，莱布尼兹采用变量替换法，使方程化为线性方程．而约翰提出了另一种解法，他设想把函数y分解为两个关于x的函数M(x)与N(x)的乘积，即y=M(x)N(x)，于是方程化为

　　函数M(x)，N(x)带有很大的任意性，令

　　即取M=exp［-∫P(x)dx］，则方程又化为

　　这个方程容易求出它的解N(x)，于是就得到了伯努利方程的解y=M(x)N(x)．约翰这种解方程的思想，在求解二阶偏微分方程时，得到了应用．
　　1727年，约翰在一篇论文中研究了弦振动问题，考虑一根无重量的弹性弦，在弦上等间隔地放置着n个等质量的质点，当放置6个质点时，
　　

　　从而证明了在任何时刻弦的形状必定是正弦曲线．这一事实也出现在约翰给他的儿子丹尼尔的信中．约翰后来还解决了一个抛射体在阻力正比于速度的任何次幂的介质中运动的问题，得到它的微分方程为

　　变分法 变分法的产生和发展，最初来自三大问题：最速降线问题，等周问题和测地线问题．约翰在这些问题的研究中都做出了贡献．
　　约翰在1696年6月号的《教师学报》上提出了一个作为向雅格布和欧洲数学家挑战的题目：设不在同一铅直线上的两点A与B，使一质点只在重力的影响下从A点滑向B点，求所需时间最短的途径(摩擦和空气阻力不计)．这就是最速降线问题．对这个问题，牛顿、莱布尼兹、洛比达、雅格布·伯努利和约翰·伯努利都得到了正确的解答．最速降线是一条联结A，B两点的上凹的旋轮线(又称圆滚线或摆线)．他们的答案相同，而解法各异．除雅格布的解法外，其他人的解法都发表在1697年5月号的《教师学报》上．后来欧拉和J．L．拉格朗日(Lagrange)给出了这类问题的一般解法．在这个问题的解决过程中，显示了约翰的才能，他是通过机灵的直觉解决这个问题的．他将这一机械问题，通过已有的费马最小时间原理的分析转化为光学问题，从光的折射定律推出了旋轮线的微分方程．雅格布从另一个角度给出了一个较麻烦但更一般的解法．伯努利兄弟对旋轮线是最速降线问题的解感到惊奇和振奋，约翰说：“我们之所以钦佩惠更斯，是因为他首先发现了在一个旋轮线上的大量质点下落，它们总是同时到达，与质点的起始位置无关紧要．然后，当你听到我肯定说旋轮线就是惠更斯的等时曲线的时候，可能惊讶得简直发呆．等时曲线是最速降线我们看得很清楚．”
　　在1697年5月号的《教师学报》上，雅格布·伯努利提出了一个含几种情形的相当复杂的等周问题(即在给定周长的所有封闭曲线中求一条曲线，使得它所围的面积最大)，作为向约翰的挑战．约翰开始过低地估计了这个问题的复杂性，没有弄清这个变量问题的特性，所以在1697年和1701年两次给出的解答都没有得到成功，这受到了雅格布无情的批评．1700年5月雅格布在《教师学报》上发表了关于等周问题的解，指出这条曲线是一个圆．1718年，约翰继续研究了等周问题，他沿着雅格布的思路，改进了雅格布的解法，在《科学院论文集》(Memoires de l’Académie dessciences)中约翰的论文给出了一个精确的、形式上漂亮的等周问题的解法．这篇论文包含了关于变分法的现代方法的核心，提出了变分法的一些概念，奠定了变分法的基础．
　　约翰与他的哥哥雅格布还对测地线问题进行了研究．测地线是指曲面上两点间长度最短的路径．1697年，约翰在《博学杂志》(Journal des scavans)中，提出了在凸曲面上求两点间的最短弧问题，1698年8月26日，他还写信给莱布尼兹，谈到他觉察到的测地线的特有的性质．1698年，雅格布解决了锥面和旋转面上的测地线问题，1728年约翰又用雅格布的方法取得了一些进展，并且求得了另外几类曲面的测地线．由于在最速降线问题、等周问题及测地线问题的研究中约翰的出色工作，使之成为变分法的先驱者之一．
　　此外，约翰在数学的其他领域，如解析几何等学科中，也做过一些有益的工作．1715年约翰在给莱布尼兹的信中引进了现在通用的用三个坐标平面建立空间坐标系的方法，提出了用三个坐标变量的方程表示曲面的方法．
　　力学约翰不仅在纯数学方面做了大量的工作，而且他在把微积分应用到物理学特别是力学和天体力学方面所作的著述，也有很高的价值．
　　约翰对一些力学上的概念作出了准确的解释．1714年，他发表了《军舰操作技术原理》(Theorie de la manoeuvre des vaisse-aux)，在这本书中，他澄清了笛卡儿理论中关于力与“能量”(当时称为vis viva)的混乱．1715年，他又提出了所谓虚拟(virtual)速度原理，用现代的记法为
　　

到，约翰把这个原理看作力学的第二个一般原理．对于有心力(central force)的二体反问题，他应用了能量(vis viva)方程来解决，第一次用现代形式来表示轨道方程

　　这一结果发表在1710年科学院论文集中．对于在一种有阻力的媒质中的向心加速度运动问题，他给出微分方程

　　ρ为轨道曲线的曲率半径．在v=M(r)N(r)的前提下确定的向心力与惠更斯的公式

　　一致．1727年，他发表了论文“论运动的交换规律”(Discourssur leslois de la communication du mouvement)，在这篇论文中，讨论了行星的椭圆轨道和行星轨道的倾斜度．但是在引力理论方面，由于他的偏见，不支持牛顿的理论，而且为笛卡儿的旋涡理论辩护，推迟了牛顿力学在欧洲大陆的传播．
　　在实验物理方面，他研究了光学现象，提出了焦散面理论．在1692年的《教师学报》中，他得到了某些焦散面方程，例如当一束平行光线投射到球面镜上时，从球面上反射出来的光线的焦散面方程．他还把最速降线问题的研究扩展到了可以确定光线在各种不同密度的介质中所通过的路径．他还研究了弦振动问题及水力学等问题，提出过二阶甚至三阶的方程．
　　约翰·伯努利是17—18世纪在欧洲有影响的数学家．约翰在他的科学生涯中，采用通信等方式与其他科学家建立了广泛的联系，交流学术成果，讨论和辩论一些问题，这是他学术活动的一大特点．他与110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件大约有2500封，这大大促进了学术的发展．约翰一生另一特点是致力于教学和培养人才的工作，他培养出一批出色的数学家，其中包括18世纪数学界中心人物欧拉，这不能不说是约翰·伯努利的功绩之一．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:42
丹尼尔·伯努利

　　伯努利，D．(Bernoulli，Daniel)1700年2月8日生于荷兰格罗宁根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞尔．数学、物理学、医学．
　　丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)是著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二个儿子．丹尼尔出生时，他的父亲约翰正在格罗宁根担任数学教授．1713年丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年获得学士学位，1716年获得艺术硕士学位．在这期间，他的父亲，特别是他的哥哥尼古拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II，1695—1726)教他学习数学，使他受到了数学家庭的熏陶．他的父亲试图要他去当商业学徒，谋一个经商的职业，但是这个想法失败了．于是又让他学医，起初在巴塞尔，1718年到了海德堡，1719年到施特拉斯堡，在1720年他又回到了巴塞尔．1721年通过论文答辩，获得医学博士学位．他的论文题目是“呼吸的作用”(De respiratione)．同年他申请巴塞尔大学的解剖学和植物学教授，但未成功．1723年、丹尼尔到威尼斯旅行，1724年他在威尼斯发表了他的《数学练习》(Exercitationes mathematicae)，引起许多人的注意，并被邀请到彼得堡科学院工作．1725年他回到巴塞尔．之后他又与哥哥尼古拉第二一起接受了彼得堡科学院的邀请，到彼得堡科学院工作．在彼得堡的8年间(1725—1733)，他被任命为生理学院士和数学院士．1727年他与L．欧拉(Euler)一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位．这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学，做出了许多显露他富有创造性才能的工作．但是，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及严酷的天气等原因，1733年他回到了巴塞尔．在巴塞尔他先任解剖学和植物学教授，1743年成为生理学教授，1750年成为物理学教授，而且在1750—1777年间他还任哲学教授．
　　1733年丹尼尔离开彼得堡之后，就开始了与欧拉之间的最受人称颂的科学通信，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉运用杰出的分析才能和丰富的工作经验，给以最迅速的帮助，他们先后通信40年，最重要的通信是在1734—1750年间，他们是最亲密的朋友，也是竞争的对手．丹尼尔还同C．哥德巴赫(Goldbach)等数学家进行学术通信．
　　丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种．1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)．1725—1757年的30多年间他曾因天文学(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁学(1743，1746)洋流(1748)、船体航行的稳定(1753，1757)和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏．特别是1734年，他与父亲约翰以“行星轨道与太阳赤道不同交角的原因”(Quelle est alcause physique de l’inclinaison des plans des orbites des pla－nètes par rapport au plan de léquateur de la révolution du soleilautour de son axe，1734)的佳作，获得了巴黎科学院的双倍奖金．丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而受到了欧洲学者们的爱戴，1747年他成为柏林科学院成员，1748年成为巴黎科学院成员，1750年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚(意大利)、伯尔尼(瑞士)、都灵(意大利)、苏黎世(瑞士)和慕尼黑(德国)等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号．
　　丹尼尔·伯努利的研究领域极为广泛，他的工作几乎对当时的数学和物理学的研究前沿的问题都有所涉及．在纯数学方面，他的工作涉及到代数、微积分、级数理论、微分方程、概率论等方面，但是他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，他被推崇为数学物理方法的奠基人．
　　数学 1724年丹尼尔·伯努利在意大利撰写医学著作期间，发表了《数学练习》，内容涉及法洛(faro)游戏、流体问题、里卡蒂(Riccati)微分方程和由两个弧组成的半月形问题．在《练习》的第一部分，他借助于级数获得了代数方程数值解的近似值．丹尼尔提出循环级数，并将这些级数应用到求代数方程的根的近似计算中

　
该级数的一般项及随后一项为：
　　P=(Aqn＋Bqn+…)zn，
　　Q=(Apn+1＋Bqn+1+…)zn+1．
　　若p比q大得多，那么对充分大的n，P可由Apn近似得到，Q可由

将这种方法应用到无穷幂级数中去．
　　在级数理论方面，丹尼尔主要研究了正弦级数和余弦级数，他曾给出过像

0 _" P8 p! k/ ~7 O' ~1 z- c
N) i6 h$ E. Z, ^9 ]$ P0 B

　　的一类表达式，他认识到级数只在x的某些区间上表示这些函数．
　　在《数学练习》这部著作中，他还针对1724年《教师学报》(Acta eruditorum)上发表的意大利人J．里卡蒂(Riccati)提出的“里卡蒂方程”，拟定了解决的方案．里卡蒂方程为

　　其中A，B，C是x的函数．这是一个具有重要意义的非线性方程，因为它与二阶线性方程密切相关．对于里卡蒂方程的特殊形式

axndx＋y2dx=bdy，

　　丹尼尔指出，当n=-4c/(2c±1)时，可用分离变量法求解．这里c可取全部整数，包括正、负整数和零．这个方法他发表在1724年的《教师学报》上．对于这个方程，里卡蒂本人及约翰·伯努利、尼古拉·伯努利第一和尼古拉·伯努利第二都各自独立地给出了解答．
　　丹尼尔在概率论和人口统计方面做出了重大贡献．早在《数学练习》这部著作中，就已经显露出他对概率问题的兴趣．在彼得堡期间他又认真地研究了这方面的问题，发表了有影响的、有重大价值的论文“关于度量的分类”(De mensura sortis)．在这篇论文中他探讨了资本利润的计算，提出了政治经济学中新型价值理论的数学表述．他研究了财产增值与道德值之间的关系．特别提出，若一个人获得利润g1，g2，g3，…的机会是P1，P2，P3，…，这里P1＋P2＋P3+…=1，那么利润道德值的平均值为

bp1log a(a＋g1)＋bp2log a(a＋g2)+…-bloga，

　　且道德期望为

H=(a＋g1)p1(a＋g2)p2…-a．

　　若利润与此人的原有资产比较是很小的，那么道德期望转化成为数学期望

H=P1g1＋P2g2＋…．

　　紧接着，丹尼尔又将这一研究应用到风险保险业和解决由他哥哥尼古拉第二提出的“彼得堡赌博悖论”．甲先付给乙一笔赌注，然后甲扔硬币，只要第一次出现了正面朝上，赌博就结束，此时乙必须付给甲2n-1元，其中n表示在第n次扔硬币时，首次出现了正面朝上．现在要问：甲预付给乙的赌注应为多少才算公正．根据概率知识，这笔赌注应等于甲将获得的期望值，但是计算一下，这个期望值应等于

　　这就出现了赌博悖论．当时许多人都研究过这个悖论，但没有得出满意的结果．丹尼尔主张用所谓“有节制的道德期望”代替计算结果为无穷大的数学期望来解决这个矛盾．
　　丹尼尔1760年又研究了一类医学统计问题，这类问题涉及在各不同年龄组中天花病的死亡率．运用微分方程，丹尼尔计算出有关的数值表，其数据在24年中是有效的．由丹尼尔提出的已知某些结果的条件，在这些条件下推测出未知原因的逆概率问题，有特别重要的应用价值．这类问题以后由T．贝叶斯(Bayes)等人发展了．丹尼尔还将概率论应用于人口统计，探讨了误差理论，提出了正态分布误差理论，并用这一理论将观察误差分为偶然的和系统的两类，发表了第一个正态分布表，使误差理论更接近现代概念．
　　丹尼尔在研究由椭圆积分产生的一类新的超越函数中，也曾经提出过插值问题；在对偏微分方程解的研究中，丹尼尔引入了某些函数的级数展开式；他还将其高超的数学技巧应用到关于弦的振动、悬重链线的摆动及用空气发声的乐器频率的研究中，提出了有创造性的预见．
　　物理学 18世纪，由于几类物理问题的研究，促进了微分方程理论的发展，其中很重要的就是弹性问题．自1728年，丹尼尔和欧拉就致力于柔性物体和弹性物体的力学研究．他们研究过一端固定的水平弹性带的曲率的确定．由于重物P作用在自由端，而它自身的重力p作用在其重心上，均匀弹性带绕s点的总力矩与曲率半径R的关系，丹尼尔·伯努利用以下方程表示

　　式中s是弧长，x为从自由端处取的横坐标，m为弯曲模量，L是长，R为曲率半径．
　　在1733年，丹尼尔离开彼得堡之前，发表了论文“关于用柔软细绳联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线的振动定理”(Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorumet catenae verticaliter suspensae)，在这篇论文中，他指出上端固定的悬挂链线，本身没有重量，但带等间隔的重荷．当链线振动时，质点系相对于通过悬挂点的垂线作不同模式的小振动，这些模式中的每一个有各自的特征频率，当有n个负荷时，整个系统有n个不同的带有一个特征频率的主要模式．他发现，对于一个均匀的，长度为L的自由悬挂链线，从最低点算起，相距x处的位移为y，它满足方程

　　J0是第一类零阶贝塞尔(Bessel)函数．他指出，α表征振动模式和特征频率．此方程有无穷多个实根，因此这个链线可以表现出有频率
　　

　　(d’Alembert)原理．在此基础上，他又讨论了非均匀厚度的振动链，他引进了微分方程

　
　　他给出了一个级数解

　
　　在1741—1743年间，丹尼尔又研究了关于弹性弦的横向振动问题．在论文“弹性振动的叠加”(De vibrationibus et sono lamina- rum elasticarum)中，他研究了一端钉在竖直墙上的长度为L的水平棒的振动．实际上，早在1734年他就开始了这方面的研究，他导出了一个四阶方程

　
　　18世纪中叶，丹尼尔·伯努利、欧拉、约翰·伯努利、达朗贝尔等人对弦振动和杆振动的研究已经导出了一阶、二阶或更高阶的微分方程，如果把引起弹性振动的惯性力考虑进去，就可以得出弹性体的动力学的基本方程，从这个基本方程出发，可以得出各种情况下的波动方程，欧拉和达朗贝尔就是用偏微分方程

　　来表示弦振动的波动方程．但是丹尼尔却以完全不同的形式即用函数的级数展开式给出弦振动问题的解，从而引起了在丹尼尔、欧拉与达朗贝尔之间的关于弦振动可允许的解的争论，后来J．L．拉格朗日(Lagrange)也参加了这种争论．
　　早在1733年前的论文中，丹尼尔就明确地说明振动的弦能有较高的振动模式．在1741—1743年的振动杆的横向振动的论文中，他又明确地说明了简单振动(基音)和叠合振动(高次谐音)可以同时存在．但是这些思想都是从物理学上加以理解，而没有从数学上加以描述．当他看到欧拉和达朗贝尔的波动方程并给出它的解时，他在1753年又发表文章，断言：振动弦的许多模式(简单的和叠加的)能够同时存在．假定长度为a的弦，从单一的振动

　　出发，它的全部振动可用一个级数形式表示

　　因此他认为这个振动是第一基音、第二谐音、第三谐音……的一切可能的简谐振动的一个叠合．丹尼尔的这个观点是非常重要的，因为他首次提出了将问题的解表示为三角级数的形式，这为将一个函数展为傅里叶(Fourier)级数的纯数学问题奠定了物理基础，促进了分析学的发展．欧拉赞同丹尼尔的关于许多模式能够同时存在，使得一个振动中的弦能发出许多谐音的观点，但是又和达朗贝尔一起反对丹尼尔关于在弦振动中全部可能的初始曲线能表示成为正弦级数的主张．丹尼尔坚持认为有足

　　充分的数学论证，争论长达十几年之久．实际上，这涉及到能用正弦级数表示的函数类的宽窄，直到1773年争论已经过去，丹尼尔自己也才认识到这个问题．
　　正当弦振动问题研究还在进行时，丹尼尔又研究了声音在空气中的传播问题．1762年，丹尼尔发表一篇关于在琴管内(圆柱形管)空气振动的论述，发现了风琴管泛音的频率是基音频率的奇数倍的定理．这篇论文也首次创立了锥形管发声乐器的理论，提出了无穷长锥形管的泛音与基音是和谐的．他通过物理实验证实了他的结论．丹尼尔还研究了不均匀弦的振动，首次解决了从密度分布确定振动弦的频率的振动逆问题；研究了由不同密度和不同长度组成的弦的振动的特殊情况；比较了一个物体挂在柔性链的摆动与绕一固定点的振动这两种情形；1774年还完善了他的关于振动的叠加原理．总之，丹尼尔在弹性振动力学中做出了很大的贡献．
　　丹尼尔除了对刚体振动，柔性物体和弹性物体的力学研究外，还对刚体的旋转运动，固体在对抗媒质中的运动，以及摩擦力问题及“活力”(live force，即动能)守恒问题都分别进行了探讨，先后发表论文10多篇．他也探讨了作用到海船上的风力所产生的结果，以及在海洋中减少船只的横摆和纵摆的稳定性问题，把欧拉研究的关于船的自由振动问题扩充到受迫振动的情况．在天体力学上，他和欧拉等人研究了太阳与潮汐、月亮与潮汐之间的由于引力影响而产生的平衡理论；和他的父亲约翰共同研究了朝向太阳赤道的行星轨道的倾角增加的原因．
　　丹尼尔还和他的弟弟约翰·伯努利第二(Johann Bernoulli II，1710—1790)试图建立关于磁学的理论，1743年，他提出了通过改进罗盘结构，减少罗盘倾角误差的意见．
　　丹尼尔在物理学上的成就，以流体力学最为突出．1738年，出版了他的名著《流体动力学》，这本书的出版，开创了“流体力学”这门学科．书中汇集了他在这方面的研究成果．
　　《流体动力学》一书共有13章．这部著作开头就展现了关于水力学的历史以及对流体静力学的简短的描述，紧接着他用流体的压强、密度和流速作为描写流体的基本物理量，他认真研究了流体流入和流出的水平面变化情况，考察了流体束的初始过程(非静态流)和流束受阻情况，给出了揭示三者之间关系的“伯努利方程”．丹尼尔从实例入手，设一个平放的水管道，管内壁的压力为P，接通一个充水的非常宽的容器，让水从管道以速度v流出，若z为容器中水表面到管道口间的距离，他推得方程

P+z+v2=A=常数．

　　由于丹尼尔的特有的测量方法，这个公式中的常数有其特定的数值．对于密度均匀的水沿着高度z有变化的管道中的定常流的伯努利方程为

　　此处v为水流速度，P为大气压力，ρ为水的密度，gh为重力势能．伯努利方程可由无旋的、无粘性的流体作定常流运动时的欧拉方程

　　沿任意曲线积分得出．伯努利方程不仅对液体(如水)的定常流的运动是成立的，而且对于在高压下自小孔喷出的气体，其运动也可以看作是定常的无旋流动，因此伯努利-欧拉方程也是成立的．
　　在这本著作中，丹尼尔也专门讨论了“弹性流体”即气体的特性及运动，他提出了“流体由于速度增大，而使压力减小”的观点．通过实验证明了分子对器壁的碰撞，并以此解释压强和气体的某些常数，也指出了分子的无规则运动，以及随着温度的增高，气体的压强和运动增加的事实，从而奠定了“气体动力学(分子运动论)”和热学的理论基础．丹尼尔在这部著作中还讨论了流束受阻的反作用力的计算及对作用物体表面的压力的测定问题．
　　丹尼尔在流体力学中建立的“伯努利方程”及“内压”概念是有漏洞的，他的父亲约翰和欧拉在这方面作了改进．
　　丹尼尔·伯努利不仅在数学上和物理学上取得了许多成就，而且在医学领域里也有研究成果．1721年，他的博士论文就是关于呼吸力学的综合理论；1728年，他发表了关于肌肉收缩的力学理论的论文，提出了心脏所作机械功的计算方法；在生理学上，他提出“极大工作”的概念，即一个人在一段持续的时间内(如一个工作日)所能做的工作量．由于他在数学上的兴趣远比医学大，因此他虽然起初成了一名外科大夫，但最终还是转向了数学和力学．
　　丹尼尔·伯努利头脑机敏和富有想象力．他是第一个把牛顿和莱布尼兹的微积分思想连接起来的人．他又是在18世纪以新的无限小数学为主要武器探索由实验揭示的自然现象的数学物理方法的奠基者之一．他同时也对实验物理及仪器设备表现出极大兴趣．
　　丹尼尔在学术研究方面与欧拉、达朗贝尔、拉格朗日及其父兄保持着密切的联系，特别与欧拉有着极深厚的友谊，密切合作，互为辅成．他们经常交流学术上的某些观点，争论一些数学和力学的疑难问题，促进学术的发展．“争鸣”成为丹尼尔治学思想的一个重要内容，这种学术上的争论方式至今仍是科学发展的动力之一．
　　丹尼尔由于在学术研究上涉及的领域极为广泛，有时这也防碍了他某些计划的完成．尤其令人遗憾的是，他未能跟上由于偏微分方程的发现而引起的数学前进步伐，例如在弦和杆的振动问题的研究中，他的物理思想是正确的，但没有用恰当的数学来支持它．尽管如此，丹尼尔丰硕的科学成就完全足以确保他在科学史上持久的地位．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:43

欧拉

号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今．
　　在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19世纪最著名的数学家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．
　　罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路．
& D5 ]" Q0 j3 I6 l1 C　　1．数论
　　古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，P．de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．
　　欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760

　　(Vollst

　　的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：

函数ζ(s)．1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有

　　的超越性的猜测，则至今尚未解决．
& m ?; H, \5 d　　2．代数
　　17世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对G．卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有n个形如a＋bi的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19世纪有了更精确的证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于19世纪和20世纪代数学教科书的编写产生极大影响．
1 T) m2 [9 C+ u# a- @- T# t4 q, i　　3．无穷级数
　　在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题

　　伯努利兄弟、J．斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它．1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数2K＞0，

ζ(2K)=a2kπ2k，

　　这里a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示．欧拉还给出了当2K＋1是前面几

γ=0.57721566…．

　　欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：

　　它发表在1755年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗1759年的相应工作．
　　欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的．
　　形式观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对19世纪末、20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响． " I6 `3 J% G8 i: @; Y* d5 t9 z
　　4．函数概念
　　18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中．这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此．专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹．

图1 《无穷分析引论》的扉页，洛桑，1948年

　　《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极其重要．
　　在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利等许多数学家卷入的关于弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论．它促使欧拉去推广自己的函数概念．1755年，欧拉在《微分学原理》一书中给函数下了一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数．”不过，在《无穷分析引论》中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述．
: L1 F" Q: c+ a' w　　5．初等函数
　　《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论．其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式

e±xi=cosx±isinx

　
　　虑了正自变量的对数函数．1751年，欧拉发表了完备的复数理论．他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的．欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前1747—1748年在莱布尼茨和约翰·伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争论．但他的工作当时并未被人们接受． / H8 L& \2 F% u7 n9 R E
　　6．单复变函数
　　通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747—1751年间先后得到了(用现代术语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论．他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展．1752年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数u(x，y)＋iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程．177年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程

　　其要点是借助于虚代换z=x＋iy，利用实函数去计算复函数的积分，展

　　欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究．他在1768年的一篇论文中，利用复变函数，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法．1775年，他又证明球面不可能全等地映入平面．这里，他再一次用了复变函数而且讨论了相当一般的保角表示．
　　欧拉的这些思想，19世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展．譬如，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的． $ M1 M% `$ s4 H
　　7．微积分学
　　欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支．
　　在《微分学原理》中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式．他在1734年的一篇论文中证明，若z=f(x，y)，则

　　导出了函数f(x，y)恰当微分的必要条件．1736年，他又揭示了关于齐次函数的定理，即若z是x和y的n次齐次函数，则

　　在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理．1770年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序．
　　《微分学原理》和《积分学原理》是欧拉那个时代的标准课本．他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上．这至少为后来基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路． 4 d; y9 {" a; H: q) b+ k
　　8．微分方程
　　《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现．他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科．
　　在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名词．1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低．欧拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法．他在1734—1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在1768—1770年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程．欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究．1768年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法．这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件x=x0，y=y0的方程

　　得到形如两个任意函数之和的解：

　　最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中．1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解．

7 \4 q6 z- g6 X- j4 [5 q. a
　　9．变分法
　　欧拉从1728年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题．然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广泛使用了几何论证．书中系统地总结了欧拉在18世纪30年代和40年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分

　　取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程

　　以及大量应用的例子．这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程．
　　18世纪50年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”(the calculus of variation)． 1770年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值． . \& i/ {. Z6 C- g# L7 H- B
　　10．几何学
　　18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程．
　　在微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪60年代和70年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件．1775年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论．

; ]2 s' m- {. n' Y& V

V6 m, [ ]5 ^& m; [3 `! ?　　1．一般力学
　　《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动．欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”．他所提供的基本概念和定律接近我们今天所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义．
　　1765年，欧拉的著作《刚体运动理论》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅(Ковaлескaя)于1888年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题．
: F' j' p* o: `' J3 b: D　　2．流体力学
　　欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752年至1755年，欧拉相继写了“流体运动原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流体运动的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流体运动理论续篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．这三篇论文于1757年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题．
　　除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔·伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用．　
天文学
　

　　对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关．这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金．
　　17世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745年，克莱罗和达朗贝尔用万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18年，而实际观察则表明它应该是9年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院1752年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753年，他的《月球运动理论》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一书出版．在这部著作中，欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致．
　　欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755年，格丁根大学的天文学家T．迈尔(Mayer)根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过10年的航海实践，1765年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作．
　　1772年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19世纪末，当G．W．希尔(Hill)发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价．
　　欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．　
物理学
　

　　18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
　　1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
　　欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
　　欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
　　欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:43

达朗贝尔

　达朗贝尔，J．L．R．(D'Alembert Jean Le Rond)1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎．物理学、数学．
　　达朗贝尔是私生子，母亲德唐栅夫人(Madame de Tencin)当过修女，当时是一位著名的沙龙女主人；为了她自己的名誉而将出生不久的婴儿遗弃在巴黎的圣·让勒龙(Saint Jean le Rond)教堂的石阶上．后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名．姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的．他的父亲名为谢瓦里叶(Chevalier)，姓德杜歇-卡农(Detouches-Canon)，是骑兵军官．他得到消息后很快把婴儿找回来，寄养于工匠卢梭(Rous- seau)夫妇处．达朗贝尔同养父母的感情很好，47岁以前一直住在他们家中．
　　达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校(由路易十三时代的教皇马萨林创建)，主要学习古典文学、修辞学和数学．他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础；虽然在教会学校中受到很多宗教教育，但后来仍不信神，成为反对宗教的著名启蒙学者和“百科全书派”的主要骨干．
　　达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了I．牛顿(Newton)和当代著名数理科学家们的著作．1739年7月，他完成第一篇学术论文，内容是批评C．雷诺(Reyneau)神父的数学教程．以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告，内容是研究微分方程的积分方法和物体在介质内的阻尼运动．这些报告由A．C．克莱洛(Clairaut)院士回复．经过几次联系后，达朗贝尔于1741年5月正式进入科学院．当时科学院的职称分四个等级：荣誉院士，只有声望很高的人担任；终身院士，每个学部(当时有6个)只有3名；副院士，或称通讯院士；助理院士．严格讲来，只有前两种才是正式院士，但有些文献中把这四种统称为院士．达朗贝尔刚进科学院时任天文学助理院士；1746年提为数学副院士；1754年提为终身院士．
　　在1741年1743年间，达朗贝尔对理论力学的大量课题进行了研究，并在1743年底出版了历史性名著《动力学》(Traité dedynamique)， 1744年又出版《流体的平衡和运动》(Traité del'equilibre et du mouvement des fluides)．1747年发表了两篇重要论文：其中一篇关于喷流反射的文章获普鲁士科学院奖金，文中首先在数学物理中应用偏微分方程；另一篇是关于弦振动的，其中第一次正式采用波动方程．1749年又发表了有关春分点、岁差和章动的论文，对天体力学发展作出重要贡献．
　　达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名．他进入科学院后，就以克莱洛作为竞争对手，克莱洛研究的每一个课题，达朗贝尔几乎都要研究，而且尽快发表．多数情况下，达朗贝尔胜过了克莱洛．这种竞争一直到克莱洛去世(1765)为止．
　　自1750年开始，达朗贝尔中断了数理研究工作，加入了“百科全书派”，与启蒙运动成员一起编辑出版宣传启蒙思想的《百科全书》．由D．狄得罗(Diderot)主编，达朗贝尔任科学副主编，但工作已超出科学范围．达朗贝尔为《百科全书》写的长篇序言，成为启蒙运动的主要文件．在序言中，全面讨论了科学和道德问题，并用唯物主义观点阐明了科学史和哲学史．虽然达朗贝尔为了应付书刊审查员，口头承认宗教的真理性，但在序言中仍然明确指出，科学的基础是实际的感受；道德的基础是激情、同情和倾向等，而这些都是人们自身能够弄清的．正因为如此，序言出版后经常受到攻击．此外，达朗贝尔还撰写了不少数学和其他知识条目，刊载于《百科全书》．
　　由于牵涉到的知识面很广，达朗贝尔在这几年内的著作超出了数理方面的研究．1752年出版的《M．拉莫(Rameau)原理下的音乐理论和实用基础》，属于心理物理学领域；1753年出版的《文学和哲学论丛》两卷集，是关于音乐、法律和宗教的小品文集．
　　1757年，达朗贝尔访问住在瑞士的文学家M．A de伏尔泰(Voltaire)后，写了一个“日内瓦”条目，刊登在《百科全书》第7卷上．他在文中表面赞美，实质上是诅咒这个城市．而《百科全书》正好在瑞士出版，结果被当局吊销了《百科全书》的出版许可证．达朗贝尔这样作违背了《百科全书》的编辑总方针，受到启蒙运动内部人员的攻击．著名哲学家J．J．卢梭(Rousseau)攻击得最厉害．达朗贝尔引咎辞去副主编职务．
　　1760年以后，达朗贝尔继续从事数理研究，主要专著是8卷巨著《数学手册》(Opuscules mathematiques)，到1780年才出齐．1770年以后发表的论文不多，1777年发表的有关流体阻尼的论文，是以合作者A．波苏(Bossut)和J．A．de孔多塞(Condorcet)为主．
　　达朗贝尔终生未婚，但长期与沙龙女主人J．de勒皮纳斯(Lespinasse)在一起．他的生活与当时哲学家们一样，上午到下午工作，晚上去沙龙活动．达朗贝尔很少旅行，最长的一次是1764年应普鲁士国王菲得烈之邀，到柏林王宫住了三个月．虽然国王再三请他移居德国，就任普鲁士科学院院长，达朗贝尔仍婉言谢绝，并推荐L．欧拉(Euler)担任．但国王始终未委任欧拉．1762年，俄皇卡捷琳娜二世曾邀请达朗贝尔任皇太子监护人，被他谢绝．由于他在数理学科中的重要贡献，1772年被选为巴黎科学院的终身秘书，成为影响最大的院士；欧洲多数国家的科学院聘请他为国外院士．达朗贝尔还是青年科学家的良师益友，著名科学家J．L．拉格朗日(Lagrange)和P．S．拉普拉斯(Laplace)在青年时代，都得到他的鼓励和支持．他推荐拉格朗日去普鲁士科学院，推荐拉普拉斯去巴黎科学院，以后还一直进行学术讨论．
　　1765年，达朗贝尔因病离开养父母的家，住到勒皮纳斯小姐处．在她精心照料下恢复了健康，以后就继续住在那里．任科学院秘书后，他组织编辑和出版巴黎科学院已故院士的文集，但因院内意见分歧而进展缓慢．1776年，勒皮纳斯小姐去世，达朗贝尔非常悲痛；再加上工作的不顺利，他的晚年是在失望中度过的．达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市郊墓地，由于他的反宗教表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼．
　　达朗贝尔是多产科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究；论文和专著很多，还有大量学术通信．仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔《文集》(Oeuvres)就有23卷．
　　达朗贝尔作为数学家，同18世纪其他数学家一样，认为求解物理(主要是力学，包括天体力学)问题是数学的目标．正如他在《百科全书》序言中所说：科学处于从17世纪的数学时代到18世纪的力学时代的转变，力学应该是数学家的主要兴趣．他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者．
' R' x0 O$ M4 D; |　　1．力学基础研究
　　(1)动力学基础的建立牛顿力学体系的建立，是18世纪的科学家们完成的．达朗贝尔是这批学者的杰出代表之一．他在力学基础上的贡献，集中反映在他的《动力学》中．
　　《动力学》于1743年出版，1758年再版．全书分为两部分，前面还有很长的哲学序言．该书是他的科学工作中最有名的作品．
　　在哲学序言里，他首先指出科学革命已经发生，需要很多人长期努力才能完成．他自己的任务是把力学这门新科学系统化和公式化．他主张以感觉论的认识论作为科学的基础，但也保留了R．笛卡儿(Descartes)的观点：真理就是明白和简单的．序言中发挥了他对力学的哲学观点，强调基本概念必须符合明白和简单的原则．他认为运动是时间和空间概念的一种组合；他根据物体不能互相穿透的事实，定义物质的不可入性，认为物质由原子组成，原子是坚硬不可入的，原子间由某种弹簧联结．但这些弹簧是什么？不见得比牛顿用的以太(ether)更高明．限于当时的物理学水平，不可能更深入了解物质的结构．
　　《动力学》第一部分中，达朗贝尔提出了自己的运动三大定律：第一定律与牛顿的惯性定律相同，但给出一个几何学证明；第二定律为运动的合成，给出一个利用平行四边形法则的数学证明；第三定律为平衡定律，但不是讲作用力与反作用力，而是用动量在撞击前后的守恒来表示，其中撞击时间为离散间隔．动量守恒中隐含质量定义，而不用力来定义质量．
　　《动力学》第二部分中阐述了著名的达朗贝尔原理，并用不同形式的例子来说明．下面以现代语言和符号简述此原理：
　　作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零．即
　　F＋(-Ma)＋N=0， (1)
　　其中m，a为物体质量和加速度，F为物体受到的直接外力，N为物体受到的约束反作用力(也是外力)．在没有约束时，相应的N=0，(1)式成为
　　F-Ma=0， (2)
　　与牛顿的运动第二定律一致，只是进行了移项．但这是概念上的变化，有下列重要意义：
　　①用(2)式表达的是平衡关系，可以把动力学问题转化为静力学问题来处理．
　　②在有约束情况下，用(1)式非常有利；它与虚功原理结合后，可列出动力学的普遍方程．
　　③用于刚体的平面运动时，可利用平面静力学方法，使问题简化．
　　实际上，达朗贝尔原理还为不久后创立的分析力学打下了基础．
　　(2)流体力学研究流体的力学研究从牛顿开始，但作为一门学科——流体力学，则是18世纪的欧拉，D．伯努利(Bernoulli)，克莱洛和达朗贝尔打下的基础．
　　在提出达朗贝尔原理后，他自已就用于研究流体运动的一些主要问题，包括笛卡儿提出的行星系运动的旋涡理论以及克莱洛的有关地球形状理论．
　　1752年发表的“流体阻尼的一种新理论”(Essai d'un nouvellethéorie de la resistance des fluides)一文，第一次用流体动力学的微分方程表示场，并提出了著名的达朗贝尔佯谬(D' Alembert's paradox)．它实际上是流体力学中的一个定理：物体在大范围的静止或匀速流动的不可压缩、无粘性流体中作等速运动时，它所受到的外力之和为零．这是达朗贝尔从理论上导出的结果，看起来有矛盾，因为物休在流休中运动总会受到阻尼，这是一种耗散力，总和不会为零．达朗贝尔在文中对此未作解释．按现在观点，这个定理并没有错，只是现实中不存在无粘性流体．即使粘性非常小的流体，对其中运动的物体都会起重要的作用，因为粘性使流体在物体表面产生切向应力，即摩擦阻尼．
　　虽然文中还有一些其他问题，如有些假定破坏了连续性定律，后人仍公认该论文对流体力学基础理论有重大贡献．H．劳斯(Rouse)和S．英斯(Ince)曾说：“是达朗贝尔第一次引入了流体速度和加速度分量概念．”
　　达朗贝尔在流体力学上的建树，与当时欧拉、克莱洛、伯努利等齐名．其中欧拉的贡献最大，但其余几人很难排名次，因为他们不断地相互讨论，很难说哪一个想法是谁先提出来的．
　　(3)天体力学的奠基者之一达朗贝尔把力学理论用于研究天体运动，成为天体力学的奠基者之一．其贡献主要集中在两部著作中：一是1749年出版的《分点岁差和地球章动的研究》(Recherches sur la précession des equinoxes et sur la nutationde la terre)，在此书中虽然采用了与克莱洛相似的方法，但在运动方程的积分过程中，用了更多的摄动项，使得结果更符合观测；二是《宇宙体系的几个要点研究》(Recherches sur differénspoints importants du système du monde)，共分3卷，1754年出版前两卷，1756年出第3卷．其中贡献最大的是下面两个课题：
　　一是月球运动理论．在18世纪40年代，欧拉、克莱洛和达朗贝尔几乎同时研究月球运动理论；因为按牛顿理论，已不能解释月球运动的现象，而且理论计算位置和观测之间的差愈来愈大． 1747年，达朗贝尔与克莱洛在同一天向巴黎科学院提交了关于月球运动的报告．他们都解释了月球近地点移动的现象，并在1749年提供了更详细的结果．1754年，他们两人又几乎同时发表了各自的月球运动数值表，成为最早的月球历表之一．达朗贝尔的月球运动研究成果，载于《宇宙体系的几个要点研究》第3卷．
　　二是关于地球形状和自转的理论．这也是达朗贝尔同克莱洛竞争的课题之一，是牛顿时代就存在的老课题．达朗贝尔给出了流体自转时平衡形状的一般结果，克莱洛立即用来研究地球的自转，首先在1743年出版了《地球的形状理论》(Theorie de lafigure de la Terre)．达朗贝尔对克莱洛关于不均匀流体自转时的形状理论进行推广和补充，研究结果载于《宇宙体系的几个要点研究》第2卷．他以此为基础，更准确地研究了岁差和章动现象，以及相似的月球天平动，为天体力学的奠基作出贡献．
# W2 g; D- U0 l$ {　　2．数学分析的开拓者
　　自牛顿和G．M．莱布尼茨(Leibniz)发现微积分后，数学发展到一个新阶段．英国数学界由于坚持几何方法而进展缓慢；欧洲大陆数学家却继续在分析方法上不断探索而迅速发展，进入数学分析的开拓时期．达朗贝尔是重要的开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和D．伯努利(Bernoulli)．
　　达朗贝尔的数学成果后来全部收入《数学手册》．下面介绍其主要贡献．
　　(1)极限概念达朗贝尔在《百科全书》的“微分”条目中写道：“微分学是作为最初比和最终比的方法，即求出这些比的极限的一种方法．”文中还把导数看成极限，并论证0/0可等于任何量．
　　在其他一些文章中，他说极限论是微积分学的真正抽象，不是微分学中无穷小量的一个问题，而是有限量的问题．他给出了极限的较好定义：“一个变量趋于一个固定量，趋近程度小于任何给定量，且变量永远达不到固定量”．但他没有把这种表达公式化．
　　正如C．波义尔(Boyer)指出：达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几乎唯一把微分看成是函数极限的数学家［2］．
　　(2)级数理论无穷级数在18世纪中，形式讨论占主导地位，一般都作为多项式的推广，只有少数人区别开收敛级数和发散级数．达朗贝尔是其中之一，他在《百科全书》中的“级数”条写道：“当级数的项数增加而级数值愈来愈趋向某有限量，则称此级数为收敛级数．”接着他提出了一个判别无穷级数绝对收敛的办法：若级数

u1＋u2＋u3＋…＋un＋…

的相邻两项之比的绝对值|un+1/un|，在n大于某固定正整数N时，永远小于一个与n无关的正数r，且r＜1，则上述级数为绝对收敛．这就是至今仍在应用的著名的达朗贝尔判别式．
　　对于发散级数，当时一般人照样采用，达朗贝尔在1768年出版的《数学手册》第5卷中说：“所有基于不收敛级数的推理，在我看来都是十分可疑的．”可是他的看法在当时并未引起重视．
　　18世纪已出现三角级数，达朗贝尔就是否所有函数都能表示为三角级数的问题，同欧拉和拉格朗日等进行了热烈的讨论，为19世纪建立三角级数理论打下基础．
　　(3)微分方程随着18世纪中的力学和天体力学课题的广泛深入研究，常微分方程得到迅速发展．达朗贝尔在这方面的贡献集中在求解上．
　　解高阶常微分方程的一种基本方法是降阶法，达朗贝尔首先把二阶方程降阶为一般形式的方程

　　并且命名为“黎卡提(Riccati)方程”(1763)．
　　在常微分方程奇解的讨论中，达朗贝尔的贡献是加强了欧拉在1768年提出的判别法，即在未知通解时，从一个特殊积分鉴别奇解的判别法(1769)．
　　在达朗贝尔以前，常微分方程的解只用初等函数表示，欧拉和达朗贝尔开始研究用求积形式的函数作为解．达朗贝尔在1767年指出，椭圆积分可以作为常微分方程的解．
　　达朗贝尔也为偏微分方程的诞生做出了重大贡献．早在1743年出版的《动力学》中，已出现偏微分方程；1746年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线研究》(Recherches des courbes formé parvibration de la corde tendue)中，首先提出了波动方程

　　其中a为常数，与弦的密度和张力有关．达朗贝尔证明了它的解为at＋x的函数与at-x的函数之和，并讨论了这两个函数在初始条件下的关系．
　　1750年，达朗贝尔引入分离变量的方法，把(4)式的解表示为

y(t，x)=g(t)h(x)，(5)

　　代入(4)式后，可化为g(t)和h(x)的两个常微分方程，并证明在弦振动的初始条件下，g(t)，h(x)分别为t和x的周期函数．这是现在仍采用的一种解偏微分方程的基本方法．
　　1763年，达朗贝尔进一步讨论了不均匀弦的振动，得出广义的波动方程

　　在用分离变量求解过程中，出现了常微分方程的边值和特征值问题，但未深入下去．
　　达朗贝尔坚持偏微分方程的解是自变量的解析函数，这就局限了他取得更多的成果；他首先区别了偏微分方程的特解和通解，但认为通解更重要，没有认识到在解决实际问题(如弦振动)时，满足初始和边界条件的特解才有用．
　　达朗贝尔在数学上还有很多其他成果：他是早期研究复数性质的人；还是证明代数学基本定理的最早数学家之一，虽然证明不完全；他对概率论也有研究．
　　由于18世纪的历史特点，达朗贝尔同其他数学家们一样，尽量从力学、天文学、光学和声学的各种课题研究中，开拓出数学分析的各分支．但因未能从严密和系统化方面深入，故在晚年同意拉格朗日的看法，认为数学的思想差不多快穷尽了．实际上，在他们的贡献基础上，19世纪的数学发展得更快．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:44
拉格朗日

　拉格朗日，J．L．(Lagrange，Joseph Louis) 1736年1月25日生于意大利都灵；1813年4月11日卒于法国巴黎．数学、力学、天文学．
　　拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia)．拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico，Lagrangia)．父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚(Francesco Lodovico， Lagrangia)；母名泰雷萨·格罗索(Teresa Grosso)．他曾用过的姓有德·拉·格朗日(De la Grange)，拉·格朗日(La Grange)等．去世后，法兰研究院给他写的颂词中，正式用现在姓名．
　　父系为法国后裔．曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚．父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大．
　　据拉格朗日本人回忆，如幼年家境富裕，可能不会作数学研究．父亲有一条家规：必须有一子继任他的职业，拉格朗日也不反对．但到青年时代，在数学家F．A．雷维里(Revelli)指导下学几何学后，萌发了他的数学天才．17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析．
　　18岁时(1754)，他曾用意大利语写出第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商．寄给数学家G．法尼亚诺(Fagnano)，并用拉丁语写出寄给在柏林的L．欧拉(Euler)．可是当年8月他看到了公布的G．莱布尼兹(Leibniz)同J．伯努利(Bernoulli)的通信，正是这个内容，即后来的莱布尼兹公式．此不幸开端并未使拉格朗日灰心，9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线，并于年底开始研究变分极值问题．
　　拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中，给出了用纯分析方法求变分极值的提要；欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值．他本人也认为这是第一篇有意义的论文，对变分法创立有贡献．此成果使他在都灵出名．9月28日，年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授．从此走向数学研究的道路，逐步成为当时第一流的科学家，在数学、力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献．其学术生涯自然地可分为三个时期．
　　都灵时期(1766年以前)．拉格朗日任数学教授后，积极进行研究．1756年给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题．欧拉把信送交上级P．莫培督(Maupertuis)和科学院院长．莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者、建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授，条件比都灵优越，但拉格朗日谢绝．同年8月，他被任命为普鲁土科学院通讯院士，9月2日选为副院士．
　　1757年，以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家，成立了一个科学协会，即都灵皇家科学院的前身．并从1759年开始，用拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》(Miscellanea Taurine- nsia，法语名Mélanges de Turin)．前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文．其中有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面的成果都是当时最出色的，为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础．此外他在岁差章动，大行星运动方面也有重要贡献．
　　1763年11月，都灵王朝代表去伦敦赴任时，带拉格朗日到巴黎．受到巴黎科学院的热烈欢迎，并初次会见J．R．达朗贝尔(d’Alembert)．在巴黎停留六周后病倒，不能去伦敦．康复后遵照达朗贝尔意见，回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D．伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F．伏尔泰(Voltaire)，他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发．
　　回到都灵后，拉格朗日的声望更高．朝野都认为他在都灵不能发挥才能．1765年秋，达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世，热情赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日一个职位．国王同意后通知拉格朗日．但他回信表示不愿与欧拉争职位．1766年3月，达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林，并请他担任留下的职位．拉格朗日决定接受．待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于8月21日离开都灵．
　　柏林时期(1766—1787)．去柏林途经巴黎时，拉格朗日与达朗贝尔合作两周，于10月27日到达柏林．11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任．他很快就与院内主要骨干友好相处，如J．伯努利(Johann BernoulliⅢ)等．
　　1767年9月，拉格朗日同维多利亚·孔蒂(Vittoria Conti)结婚．他给达朗贝尔的信中说：“我的妻子是我的一个表妹，曾与我家人一起生活很长时期，是一个很好的家庭妇女．”但她体弱多病，未生小孩，久病后于1783年去世．
　　在普鲁士科学院，拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文，内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l'Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin)上发表．他还接受达朗贝尔的建议，经常参加巴黎科学院竞赛课题研究，并获得1772，1774，1776，1780年度的奖金．
　　拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在上述两刊物中发表，少量仍寄回都灵．其中有关月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究．此外，还在概率论、循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献．他还翻译了欧拉和A．棣莫弗(De Moivre)的著作． 1782年给P．拉普拉斯(Laplace)的信中说：“我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique)，但无法出版．”拉普拉斯安排在巴黎出版，出书时已是1788年，拉格朗日已到巴黎了．此书成为分析力学的奠基著作．
　　1783年，老家建立“都灵科学院”，任命拉格朗日为名誉院长．原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l’Acade-mie des sciences des Turin)．拉格朗日也常寄论文回去发表．到1786年8月，因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世，决定离开柏林．他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国．
　　巴黎时期(1787—1813)．拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作．由于他从1772年起就是该院副院土，这次来工作受到了更热情的欢迎，可惜达朗贝尔已在1783年去世．
　　到巴黎的前几年，他主要学习更广泛的知识，如形而上学、历史、宗教、医药和植物学等．1789年爆发资产阶级革命，他只是有兴趣地旁观．1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法，科学院建立相应的“度量衡委员会”，拉格朗日为委员之一．8月8日，国民议会决定对科学院专政，三个月后又决定把A．L．拉瓦锡(Lavoisier)，拉普拉斯，C．A．库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院．但拉格朗日被保留，并任度量衡委员会主席．
　　1792年，丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚，虽未生儿女，但家庭幸福．
　　1793年9月政府决定逮捕所有在敌国出生的人，经拉瓦锡竭力向当局说明后，把拉格朗日作为例外．1795年成立国家经度局，统一管理全国航海、天文研究和度量衡委员会，拉格朗日是委员之一．同年成立的两个法国最高学府：师范学校和综合工科学校中，拉格朗日等为首批教授．在取消对科学院的专政后，1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院，选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主席．此后他才重新进行研究工作，但主要是整理过去的工作，并结合教材编写完成一批重要著作．
　　《分析力学论述》于1788年出版后，拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况．他在1810年前发表的一些论文，
　　如在《法兰西学院文献》(Memoires de l' Institute)中刊登的“关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论”(Memoirs sur
　　la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique，1809年3月宣读)等，都是为修改出第二版作准备．第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique)，分两卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年．
　　他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l'

cole Normale)于1796年出版，后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange，下面简称《文集》)，第七卷的内容他在1812年作过大量充实．
　　1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés)，总结了早年在方程式论方面的成果，并加以系统化，充实后于1808年再版．
　　关于函数论方面他出版了两本历史性著作．一是《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或用在消失的量，或极限与流数等概念，而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits， d'éranouissa-nts， de limites et de fluxions， et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies)，1797年出版，1813年再版；另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions)， 1801年出版，由师范学校讲义改编．
　　1799年雾月政变后，拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员，封为伯爵；还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章．此时拉格朗日已重病在身，终于在4月11日晨逝世．在葬礼上，由议长拉普拉斯代表上议院，院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词．意大利各大学都举行了纪念活动，但柏林未进行任何活动，因当时普鲁士加入反法联盟．　
主要贡献评述
　

　　拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力．全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇．
　　拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期．当对数学、物理学和天文学是自然科学主体．数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学．数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力．当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献．下面就拉格朗日的主要贡献分别评述．
　　数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派．英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法)，进展很快，当时叫分析学(analysis)．拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献．
　　1．变分法．这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果．他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)［2］是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)［3］是用分析方法建立变分法的代表作．发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”(themethod of variation)．欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”(the calculus of variation)．变分法这个分支才真正建立起来．
　　拉格朗日方法是对积分

　　进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线

y(x)＋δy(x)，

　　δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程

　　他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．
　　2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．
　　在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)［22］中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．
　　常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)［8］中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．
　　拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)［21］和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)［23］中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．
　　他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如

　　的非线性方程，化为解线性方程

　　后来又进一步证明了解线性方程

Pp＋Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)

　　与解

　　等价，而解(6)式又与解常微分方程组

　　等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自已在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．
　　3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．
　　他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．
　　拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程

　　这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．
　　4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés［14］和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)［15］中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程

x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)

不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)［16］中得到更一般的费马方程

x2-Ay2=B(B也为整数)(10)

　　的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程

ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)

　　并解决了整数解问题．
　　拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来．在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)［17］中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！＋1能被n整除．
　　拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新．如在证明(9)式

　　研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献．
　　5．函数和无穷级数．同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广．他还试图用代数建立微积分的基础．在他的《解析函数论……》(《文集》Ⅸ)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点．由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展．
　　拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)

　　后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)

　　Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收

题．
　　他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础．
　　最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式

　　直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用．另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
　　除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
　　分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
　　拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
　　他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj·qj和时间t的函数后，定义

　　为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为

　　其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为

　　(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
　　

　　L就取名为拉格朗日函数．
　　拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
　　最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
　　动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
　　拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
　　天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
　　首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)［13］中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖文章中［8］，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
　　在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解［8］，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星［后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588］，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记·天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用．
　　在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)［6］获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文［8］，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)［9］，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文［10，11，12，］其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇［13］．
　　获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)［7］，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
　　拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集)》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
　　总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．　
结束语
　

　　拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具．同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天体力学)更深入发展．由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多的成果．
　　拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世后，法兰西研究院集中了他留在学院内的全部著作，编辑出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主编，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都灵时期的工作，发表在《论丛》第一到第四卷中的论文；第二卷收集他发表在《论丛》第四、五卷及《都灵科学院文献》第一、二卷中的论文；第三卷中有他在《柏林科学院文献》 1768—1769年， 1770—1773年发表的论文；第四卷刊有他在《柏林科学院新文献》1774—1779年， 1781年，1783年发表的论文；第五卷刊载上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年发表的论文；第六卷载有他未在巴黎科学院或法兰西研究院的刊物上发表过的文章；第七卷主要刊登他在师范学校的报告；第八卷为1808年完成的《各阶数值方程的解法论述及代数方程式的几点说明》(Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques)一书；第九卷是1813年再版的《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术》一书；第十卷是1806年出版的《函数计算教程》一书；第十一卷是1811年出版的《分析力学》第一卷，并由J．贝特朗(Bertrand)和G．达布(Darboux)作了注释；第十二卷为《分析力学》的第二卷，仍由上述二人注释，此二卷书后来在巴黎重印(1965)；第十三卷刊载他同达朗贝尔的学术通讯；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，欧拉等人的学术通讯，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作注释．还计划出第十五卷，包含1892年以后找到的通讯，但未出版．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:44

傅里叶

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:45

泊松

　　泊松，S．-D．(Poisson，Siméon-Denis)1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶；1840年4月25日卒于巴黎．数学、力学、物理学．
　　泊松出生于一个普通人家．由于身体孱弱，他母亲曾把他托给一个保姆照料．他父亲当过兵，后来成了地方低职官吏．老泊松不仅是教儿子读书写字的启蒙老师，而且是选择职业的指路人．最初，泊松到巴黎东南面的市镇枫丹白露学外科．但他缺乏外科手术所需的灵巧，于是放弃医学，1796年进入枫丹白露中心学校．泊松在数学的学习上大有进步，1798年以第一名的成绩考入巴黎综合工科学校．J．-L．拉格朗日(Lagrange)刚开始讲授解析函数课程时，便发现这个外地来的学生发表的见解不错．而 P．-S．拉普拉斯(Laplace)则对泊松透彻理解困难问题的能力留下深刻的印象．但是泊松对于 G．蒙日(Monge)为这所新学校安排的重要基础课画法几何，却显得十分笨拙．他在1799—1800年关于方程论和贝祖(Bezout)定理的一篇论文中初露锋芒，表现了在数学分析上的才能．泊松于1800年毕业，在拉普拉斯的支持下，留校任辅导教师．后来，他成了拉格朗日和拉普拉斯的朋友．1817年，泊松跟一个家庭移居英国的孤儿 N．de 巴尔迪(Bardi)结婚．
　　1802年，泊松在巴黎综合工科学校升任副教授，1806年接替J．B．J．傅里叶(Fourier)成为教授．1808年成为法国经度局的天文学家．1809年巴黎理学院成立，泊松出任该校力学教授．1815年，他兼任军事学校的主考官．翌年又兼任巴黎综合工科学校毕业生的主考官．1820年，泊松任大学皇家教育顾问．他于1803年加入科学普及协会．1812年，因

．L．马吕斯(Malus)去世出现空缺，泊松被选入法国科学院物理学部．1826年获彼得堡科学院名誉院士称号．1837年，泊松被封为男爵．
　　泊松是一位数学家、力学家和物理学家．他毕生从事数学的研究和教学．他说过，生活的乐趣就在于这两件事．泊松工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理学问题，并由此得到数学上的发现．他发表过300多篇论文，所著两卷《力学教程》(Traité de mécanique，1811年第一版，1833年增补第二版)在很长的时期内被认为是标准的教科书．
　　泊松在一般力学上的贡献涉及分析力学和天体力学等几个方面．他第一个用冲量分量形式撰写分析力学．求解哈密顿正则方程所用的一种数学符号，后来被称为泊松括号．现在在其他领域如量子力学中，泊松括号也有应用．在 L．欧拉(Euler)等人对刚体在重力作用下绕一定点转动的研究之后，泊松独立地获得轴对称重刚体定点转动微分方程的积分，通常称为拉格朗日的可积情况(拉格朗日的工作在泊松之前，但发表在后)．他推广了拉格朗日和拉普拉斯有关行星轨道稳定性问题的研究结果，所建立的泊松方程成为星系动力学的基本方程之一．现代科学家根据对人造地球卫星运行轨道精确测量的结果，利用泊松的公式，便可知道地球的精确形状．此外，泊松还研究了地球转动对弹道曲线的影响等问题．
　　泊松在固体力学上作过多方面的探讨．在1829年发表的“弹性体的平衡和运动的研究报告”(Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques)中，他用一种分子模型，推导了弹性体平衡和运动的普遍方程，并应用于一些具体问题．泊松发现在弹性介质中可以传播纵波和横波，他从理论上得到各向同性杆件受拉伸时横向与纵向弹性应变之比为一常数，其值等于0.25．这就是有名的泊松比．实验表明，泊松比的数值随材料而异，一般与泊松的理论值有出入．从1812年开始，泊松反复研究了平板问题．他得到圆板弯曲和振动问题的解答．泊松讨论过杆件的纵向、横向和扭转等振动问题，并首先得出了弹性球体径向自由振动的解答．最先用三角级数研究梁挠度曲线的大概也是他．可惜这种非常有用的方法当时未能引起工程界的注意．
　　在流体力学方面，泊松对纳维埃-斯托克斯方程的建立作出了自己的贡献．在1831年发表的“弹性固体和流体的平衡和运动一般方程的研究报告”(Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides)中，他第一个完整地给出了说明粘性流体物理性质的本构关系．此外，他解决了无旋的空间绕体流动的第一个问题(绕球流动问题)；并推动了小振幅波理论的发展．
　　泊松还将数学应用于物理学，涉及电、磁、热、声、光等许多方面．他把引力理论的泊松方程推广应用到电学和磁学的理论，为静电势理论的建立作出了贡献．大约从1815年起，泊松就开始研究热传导问题．1835年出版、两年后又增补再版的《热学的数学理论》(Théorie mathématique de la chaleur)，就是他在这方面的代表作．书中讨论了二维稳态热传导等问题．所导出的理想气体在可逆绝热过程中压强和体积的关系式，现在一般称为泊松绝热方程．对于拉普拉斯修正 I．牛顿(Newton)的声速公式，泊松也做过研究．此外，在《毛细管作用新理论》(Nouvelle théorie de l'action capillaire，1831)一书中，他探讨了毛细现象问题．
　　泊松晚年从事概率论研究，作出了重要贡献．与他通过力学和物理学问题研究数学的惯常做法不同，泊松是从法庭审判问题出发研究概率论的．为了确定一个陪审员在裁定罪行上可能出错的概率，泊松考察了先前的有关著作，并研究了法律条文和刑事法庭的记录．当时陪审团有12个成员，要定罪所需的多数曾有过不同的规定：1831年以前是7∶5，从1831年开始改为8∶4，统计数字表明，在1831年以前，宣判无罪的一直保持在38％至40％之间，每年平均为39％，而以7∶5的票数定罪者为7％．泊松据此指出，即使在1831年之前就可以预料到，执行8∶4的新规定以后，定罪的将占54％，宣判无罪的则变为46％．1831年法庭记录的事实与他的分析相符合．尽管泊松的分析简单明了，但当时却遭到非议．油松在法国科学院宣读论文后，L．潘索(Poinsot)就极力反对这种将演算应用于“伦理学”方面的作法．泊松在《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》(Recherches sur la pro－babilité des jugements en matière criminelle et en matièrecivile，1837)等著作中，提出了描述随机现象的一种常用的分布，即泊松分布．这种分布在工业、农业、商业、交通运输、公用事业、医学、军事等许多领域都有应用．在大量生产中当废品比例预计很小时，泊松分布对于产品检验和质量控制特别有用．它在管理科学、运筹学和自然科学的某些问题中都占有重要的地位．
　　泊松在数学上的研究涉及定积分、有限差分理论、偏微分方程、变分法、级数等许多方面．他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人．他给出了调和分析中的泊松求和公式．欧拉-马克劳林求和公式的余项也是由泊松首先加上去的．由于泊松研究的范围十分广泛而有成效，所以不少数学名词都与他的名字联系在一起．例如，在数学物理方面，有热传导问题中的泊松积分、波动方程柯西问题解的泊松公式、位势理论中的泊松方程等．在概率论方面，除泊松分布外，还有泊松变量、泊松过程、泊松试验、泊松大数定律等．将摄动函数展开成幂级数和三角级数的混合级数，就叫做泊松级数．有时甚至对完全不同的公式采用了同样的“泊松方程”的名称．然而，泊松等大数学家未能赏识E．伽罗瓦(Galois)在群论方面的创始之作，实在是数学史上的一件憾事．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:45

柯西

北京工业大学沈永欢

　　柯西，A．L．(Cauchy，Augustin－Louis)1789年8月21日生于法国巴黎； 1857年5月22日卒于法国斯科．数学、数学物理、力学．
　　柯西之父路易-弗朗索瓦(Cauchy，Louis－Francois)，1760年生于鲁昂，年轻时学习出色，1777年获巴黎大学颁发的会考荣誉奖，毕业后任诺曼第最高法院律师，后任鲁昂总督C．蒂鲁(Thi-roux)的秘书．1785年蒂鲁出任巴黎警察总监，弗朗索瓦成为他的首席幕僚．1794年蒂鲁被处决，弗朗索瓦举家迁居阿尔居埃避风．1799年雾月十八政变中，他积极支持拿破仑，于次年被新设的上议院选为负责起草会议纪要和执掌印玺的秘书，并安家于卢森堡宫．
　　弗朗索瓦亲自对长子柯西进行启蒙教育，教孩子语法、诗歌、历史、拉丁文和古希腊文．弗朗索瓦与P．S．拉普拉斯(Laplace)过从甚密，与J．L．拉格朗日(Lagrange)也交往颇多，所以柯西在童年时就接触到两位大数学家．
　　柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事情，在本上算数画图．这引起拉格朗日的注意．据说在1801年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦办公室当着一些上议员的面说：“瞧这孩子！我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之．” 但他也告诫弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作．
　　1802年秋，柯西就读于先贤祠中心学校，主要学习古代语言．在校两年中，成绩优异，多次获奖．但他决心成为一名工程师．经过一年准备后，于1805年秋考入综合工科学校；1807年10月又以第一名的成绩为道路桥梁工程学校录取，并在1809年该校会考中获道桥和木桥大奖．
　　1810年初，柯西被派往瑟堡，任监督拿破仑港工程的工程师助理。在他的行囊中，装有拉格朗日的《解析函数论》 (Traité desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天体力学》(Mécanique cé-leste)。年底，他被授予二级道桥工程师职务，其工作受到上级嘉奖，然而他把绝大部分业余时间用于钻研数学．在拉格朗日建议下，他研究了多面体，于1811年2月向法兰西研究院递交第一篇论文(文献[1]，(2)1，pp． 7—18)，证明了包括非凸情形在内，只存在9种正多面体．1812年1月，又向巴黎科学院递交第二篇论文(文献[1]，(2)1，pp．26—35)，证明具有刚性面的凸多面体必是刚性的．A．M．勒让德(Legendre)对两文极为欣赏．两个月后，柯西成为爱好科学协会通讯会员．
　　1812年底，由于健康状况下降，柯西返回巴黎，不久向科学院递交了关于对称函数的论文．就在这时，他确定了自己的生活道路：终生献给“真理的探索”即从事科学研究．1813年3月，他被任命为乌尔克运河工程师．1814—1815年拿破仑一世的惨败中断了运河工程，使他有时间潜心研究．他在1814年向法兰西研究院递交的论文中，有关于误差论的研究和标志他建立复变函数论起点的关于定积分的研究．1815年底，他以关于无限深流体表面波浪传播的论文获科学院数学大奖．
　　1815年7月，路易十八重返巴黎．11月，政府禁止L．普安索(Poinsot)在综合工科学校授课；12月初，宣布由柯西以替补教授名义接任普安索，讲授数学分析．
　　1816年3月，王室发布了重组法兰西研究院和巴黎科学院的敕令，清洗了一批院士，L．卡诺(Carnot)和G．蒙日(Monge)也在其中；同时柯西被国王任命为力学部院士．9月被任命为综合工科学校分析学和力学正式教授，为一年级新生讲授数学分析．
　　柯西在综合工科学校的教学内容，集中体现在他写的《分析教程第一编·代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何学中的应用教程》(1826)和《微分学教程》(1829)中．这些论著首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础．1823年，他出任巴黎理学院力学副教授，代替S．D．泊松(Poisson)讲授力学；1824年底出任法兰西学院代理教授，代替J．B．比奥(Biot)讲授数学物理．这些教学工作都持续到1830年．
　　柯西同时积极参加科学活动，经常出席科学院每周一召开的公开会议，在纯粹与应用数学的各种委员会中起重要作用．他在波旁王朝复辟时期写了大约100篇论文或注记．1826年起，他独自编辑出版定期刊物《数学演习》(Exercices de mathématiques)，专门发表自己的论著．
　　1830年7月革命再次推翻了波旁王朝，奥尔良公爵路易-菲力浦(Louis－Philippe)即位．一直激烈反对自由派的柯西，把此事看作国家的灾难．综合工科学校学生在起义中离开校园，率领民众战斗，对柯西刺激很大．内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令，而保王党人(柯西也在其中)认为宣誓就是背叛．起义中发生的一些暴烈行为，使柯西愤慨．所有这些因素，促使柯西下定决心离开法国．
　　柯西先去瑞士的弗里堡，试图筹建瑞士科学院，但未成功．1831年夏迁居都灵，10月在拉格朗日组建的都灵科学院露面．次年初撒丁国王特为柯西在都灵大学重设高级物理即相当于数学物理的教席．在都灵期间，柯西主要从事教学工作．
　　1833年7月，柯西前往布拉格，担任查理十世(路易十八之弟)之孙博尔多公爵(Le duc de Bordeaux)的宫廷教师，每天讲授数学、物理和化学．他尽心尽力，甚至重新编写了算术与几何教本．但王子对数学缺乏兴趣，与柯西关系不甚融洽．1838年10月，公爵年届18，教育告一段落，柯西在家人和朋友劝说下重返巴黎．查理十世授予他男爵封号，柯西对此十分看重．
　　宫廷教学使柯西研究进度放慢，他在布拉格以《数学新演习》(Nouveaux exercices de mathématiques)为题继续出版他的《演习》，撰写了关于光和微分方程的一些论文，以石印形式在小范围内流传．回巴黎后，他首先去科学院，发表了关于光的研究成果．
　　F．J．阿拉戈(Arago)于1836年创办了《巴黎科学院通报》，(Comptes rendu Acad． Sci．Paris)，使院士们能迅速发表成果．柯西充分利用这个有利条件，几乎每周在《通报》上发表一篇论文或注记。不到20年，他在《通报》上发表了589篇文章．他的多产使科学院不得不限制其他人送交论文的篇幅不得超过4页．可是柯西还不满足，1839年9月起又以《分析与数学物理演习》(Exer－cices d'analyse et de physique mathématique)为题继续出版他的《演习》．
　　1839年7月，M．普鲁内(Prony)的去世使天文事务所(与法兰西研究院齐名，事实上的天文科学院)出现一个空缺．柯西于11月当选，但由于他拒绝向路易-菲力浦宣誓效忠而未获任命书．
　　回巴黎后，柯西同耶稣会士一起，参与创建天主教学院，热衷于宣传天主教．这使他与一些同事关系尴尬．
　　1843年5月，柯西竞选由于S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)逝世而空缺的法兰西学院数学教席，但得票极少，败于G．利布里(Libri)．年底在天文事务所新的几何学部委员选举中，他又败于他的对手普安索．这两次失利对他是沉重的打击．他开始离群索居，但仍勤奋工作．
　　1848年2月革命后，宣誓不再成为任命的障碍．1849年3月，柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授．
　　1850年6月，利布里被缺席判处10年徒刑，法兰西学院又出现空缺教席．柯西再次竞选，败于J．刘维尔(Liouville)．
　　1851年12月政变后，新政权要求公职人员宣誓效忠．柯西仍不妥协，致使他在理学院的教学工作停止一年多．1853年，拿破仑三世同意柯西可以例外，使他得以重登理学院讲坛，直至去世．
　　1848年后，他的发表节奏放慢，1853年停止出版《演习》；但继续审读论文，并从事宗教活动．
　　1857年5月12日，柯西患重感冒，21日病情突然恶化，次日与世长辞，享年68岁．
　　除巴黎科学院外，柯西还是18个科学院或著名学术团体的成员，其中有英国皇家学会、柏林科学院、彼得堡科学院、爱丁堡皇家学会、斯德哥尔摩科学院、哥本哈根皇家科学学会、格丁根皇家科学学会、波士顿科学院等．　
数学分析严格化的开拓者
　
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　　分析严格化的需要
　　18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求澄清基本概念，阐明基本原理．
　　已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯(Gauss)批评J．L．达朗贝尔(d'Alembert)关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”．N．H．阿贝尔(Abel)说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．)
　　正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致．” ! \. Y8 J, |9 t q0 S0 n0 D1 ~
　　极限与无穷小
　　柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”［2］从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进．
　　

　
个数”开始，写出一系列不等式来最终完成证明．在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题．
　　其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态．
　　最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论． & B+ S, Q; b, j7 l, d5 V4 l. W" T' k0 P5 H
　　函数及其连续性
　　柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数．” 他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性．
　　柯西给出了连续的严格定义：“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f(x+a)-f(x)的数值随着a无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．” 在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想．
　　在柯西之前，B．波尔查诺(Bolzano)于1817年给出连续的定义，并利用上确界证明了介值定理．但他的工作在很长时间内未引起人们的注意．有人认为柯西读到了波尔查诺的著作，采用了他的思想，但故意不加声明．这种看法缺乏佐证材料．
4 A$ [9 x# h2 k4 y　　微分学
　　柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y′或f′(x)表示．” 这表明他已用崭新的方式考虑问题．他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理．例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理，首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε，δ)的证明，由此推出拉格朗日中值定理．他还得到了“柯西中值定理”

　　柯西关于微分的一种定义也富有独创性．他称f(x)的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程

　　的左端所收敛的极限”．
　　柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性．他证明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0时用f(n)(x0)的符号判断极大、极小的命题．他由自己的中值定理推导出洛必达法则．这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础． 3 A, K/ b3 L9 j! |
　　积分学
　　18世纪绝大多数数学家摒弃G．W．莱布尼茨(Leibniz)关于积分是无穷小量的无穷和的说法，只把积分看作微分之逆．柯西则不同，他假定函数f(x)在区间[x0，X]上连续，用分点x1，x2，…，xn-1把该区间划分为n个不必相同的部分，作和

S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)

+…+(X-xn-1)f(xn-1)，

　　并证明(实际上隐含地用了“一致连续性”)“当各个部分长度变得非常小而数n非常大时，分法对S的值只产生微乎其微的影响”，因而当各个部分长度无限减小时 S具有极限，它“只依赖于f(x)的形式和变量x的端值x0，X0．这个极限就是我们所说的定积分．” 这样，他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性．他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用．他给出了现在通用的广义积分的定义．
　　柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式．他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式．柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点．
& h5 V" T5 }0 f' F- Z5 I　　级数论
　　柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家．他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和．18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论．他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性．对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出∑un与∑2nu2n同时收敛或发散，由此推出一些

ukun-k)对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收

对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式 [后来J．阿达玛(Hadam

一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数(文献［1］，(2)2，pp．276—282)． 8 X* b3 z6 k6 D. z. l; U+ j
　　影响
　　在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系．他的分析教程成为严格分析诞生的起点．无怪乎阿贝尔在1826年说，柯西的书应当为“每一个在数学研究中热爱严谨性的分析学家研读”．柯西的级数论对拉普拉斯的触动是众所周知的：后者读了柯西的论文后，赶快逐一检查他在《天体力学》中所用的级数．柯西对P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影响．
. r+ \: r+ P: N( V$ p0 E( l　　缺陷
　　柯西没有系统使用ε-δ方法，通常更多依赖“充分接近”、“要多小就有多小”这类比较模糊的语言，未能区别逐点收敛与一致收敛(但晚年时已有所觉察)、逐点连续与一致连续，有时不能恰当处理累次极限，因而出现了一些错误的断言及“证明”．例如：连续函数项收敛级数具有连续和并可逐项积分；多元函数对每个自变量分别连续则整体连续；函数f(x，y)在过点(x0、y0)的每条直线上取到极大值则它在该点取到极大值．
　　柯西在证明一些定理时，实际上用了实数系的完备性，例如有界单调数列必收敛，但就像在谈到收敛准则充分性时那样，他认为这些都是不言自明的，未能意识到建立实数理论的必要性．
　　总之，柯西在分析的严格化方面做出了卓越贡献，但尚未完成分析的算术化．　
复变函数论的奠基人
　

　　19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作． ! I4 s2 l# O' M: U6 H
　　复函数与复幂级数
　　《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程．他以形式方法引进复数(“虚表示式”)，定义其基本运算，得到这些运算的性质．他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性．
　　柯西利用实级数定义复值级数的收敛性并证明了一些收敛判别

“按虚表示式z的模小于或大于R而收敛或发散”．他把1/R刻画为“当n无限增加时an的数值的n次根所收

指数函数和三角函数，并讨论了对数函数和反三角函数的多值性．他利用函数方程求出了复二项级数之和．
　　在很长时间中，柯西坚持对复数的形式看法．1847年，他提出用同余等价观念看待复数，把复数的运算解释为模i2＋1的运算，而把i看作“一个实在但不定的量”(文献[1]，(1)10)．到了晚年，他采纳了复数的几何表示(文献[1]，(1)11)． ) o& V. M7 r: ]3 S* C0 v
　　复积分
　　柯西写于1814年的关于定积分的论文(发表于 1827年)是他创立复变函数论的第一步．他在文中批评欧拉、拉普拉斯、泊松和勒让德都用了“基于实过渡到虚的归纳法，……这类方法，即使在使用时十分谨慎，多方限制，仍然使证明显得欠缺”．他宣布自己的目标是“用直接的严格的分析方法建立从实到虚的移植”．文中给出了所谓柯西-黎曼方程(实际上达朗贝尔于1752年，欧拉于1776年即已写出这个方程组；柯西于1841年得到了这个方程组的极坐标形式)；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分．
　　柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作．奇怪的是他本人似乎没有充分看出此文的价值，生前一直未发表．文

当x保持介于界限a与c之间，y保持介于界限b与d之间时为有限且连续，……我们能容易地证明上述积分的值即虚表示式 A＋iB不依赖于函

的“柯西积分定理”．柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽．文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算．
　　应当指出，高斯于1811年致F．W．贝塞尔(Bessel)的一封信中已表述了积分定理，称它为“一条非常美妙的定理”，说他“将在适当时候给出它的一个不难的证明”，但他一直没有发表．
　　柯西于1831年得到关于圆的积分公式

　　由此证明复函数可局部展开为幂级数，并在实际上指明了后者的收敛半径是原点到所给函数最近极点之间的距离(文献［1］，(2)12， pp． 60—61)．他还得到了所得幂级数通项和余项的估计式，后来发展为他独创的“强函数法”．
3 l3 }+ S' k5 H$ S' C/ ^　　残数演算
　　术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中(文献[1]，(2)15)．他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函数，适合于确定定积分值的各种公式，大批级数尤其是周期级数的求和．具有有限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分，拉格朗日级数或其他类似级数，代数或超越方程的解，等等．”
　　他给出了m阶极点x1处的残数公式

　　他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理

∫f(z)dz=2πiEf(z)，

　　其中E表示“提取残数”即求f(z)在区域内所有极点处残数之和．他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数2πi(文献[1]，(2)6，pp．124—145)．
　　1843年，柯西向科学院递交了很多短论，表明残数演算可用于椭圆函数论．次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后，柯西立即指出它可以从残数理论推出并可推广到一般情形．1855年，他证明了

　　其中Z(z)是在区域S中只有孤立极点的函数，积分沿S的边界，N，P分别为Z(z)在S中零点和极点的个数(文献[1]，(1)12，pp．285—292)．他对残数演算的兴趣终生不减，去世前三月还发表题为《残数新理论》(Théorie nouvelle des residues，见文献［1］，(1)12)的论文．残数演算很快引起了同时代数学家的注意，越出了法国国界．1834与1837年在意大利和英国分别出现了有关的综述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了专著《残数理论》(Théorie des residues)．俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年发表的关于残数及其应用的学位论文． : A! A5 e& H6 ^% C
　　复变函数论的建立
　　柯西对复变函数的研究也有不足．首先，对于这一理论的对象，他一直未能明确界定，实际上未能明确建立作为复可微性的解析性概念．其次，他没有区分孤立奇点的不同类型，只注意了极点．最后，他没有区别极点和分支点，未能认识多值函数的本质．在法国，洛朗、刘维尔、V．皮瑟(Puiseux)和C．埃尔米特(Her－mite)紧接着进行了许多研究．C．A．布里奥(Briot)和J－C．布凯(Bouquet)于1859年出版了《双周期函数论》(Théorie desfonctions doublement périodiques et，en particulier，des fonc－tions elliptiques)，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成．
　　J．H．庞加莱(Poincaré)在谈论复变函数论的四位奠基人——高斯、柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯时说：“柯西早于后两位，并为他们指明了道路．” E．皮卡(Picard)在比较高斯与柯西对这一领域的贡献时说：“人们不大可能认为高斯没有抓住高度重要的事物；然而，忠于他的‘少而精’的格言，他无疑一直在等待以使他的作品更加成熟，而柯西这时却公布了自己的发现．因而应当把柯西看作这一开辟了远大前程的理论的真正奠基人．” 　
弹性力学理论基础的建立者
　

" d3 M" V- }9 M+ b　　柯西之前的研究
　　18世纪，理性力学迅速发展，成为微积分学应用的一个特殊领域． 1788年，拉格朗日的《分析力学》(Mécanique analytique)出版．书中不借助几何图形，只从虚位移原理出发推导出全部质点系力学．W．R．哈密顿(Hamilton)曾说这本书是“科学诗篇”．在 1811年的增订第 2版中，拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统，进一步研究了连续固体和流体力学．在此之前，欧拉已建立了流体力学基本方程组．但在当时，固体力学还局限于不可变形的物体．
　　19世纪初，数学家们开始研究弹性面的平衡和运动．S．热尔曼(Germain)和泊松于1815年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程．稍后，C．L．M．H．纳维尔(Navier)于1820年向科学院递交了引人注目的论文，应用拉格朗日和J．B．J．傅里叶(Fourier)的分析方法，研究有负载的弹性板在不忽略其厚度时的微小变形．但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开，假定前者总沿它所作用的截面的法向，而这在一般情况下是不成立的．他于1821年写的论文，使用了分子模型，是弹性论中极富创造性的研究，但此文直到1827年才发表．
　　当时应力和应变概念尚未建立，其特性更未得到数量刻画．由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。柯西于1822—1830年间发表的一系列论文，使用连续物质和应力-应变模型，成功地解决了这些问题．
　　应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力．他认为，对物体内任一闭曲面S，在研究S的外部对内部的作用时，可以忽略物体各部分的相互体力，等价地用定义在S上的应力场来代替．这可使计算大为简化，并为实验证实．由于欧拉已有类似想法，所以现代称它为欧拉-柯西应力原理．
　　对于物体中任一点P，柯西通过点P处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力．分射以σ，σxy，σxz(σyx，σyy，σyz；σzx，σzy，σzz)表示点P处平行于yz(zx，xy)坐标面的截面上的应力的x，y，z分量，柯西得到点P处法向量方向余弦为vx，vy，vz的截面上应力σvy的分量为

σvx=vxσxx＋vyσyx+vzσzx，

σvy=vxσxy＋vyσyy＋vzσzy，

σvz=vxσxz＋vyσyz＋vzσzz，

　　现称为柯西斜面应力公式．由于σxy=σyx，σyz=σzy，σxz=σzx，9个量σxx，…，σzz中只有6个是独立的．用现代语言，这9个量构成一个2阶对称张量——应力张量．σvy沿截面法向的分量为

　　在点P取所有可能的截面，沿法向取长度为σvn的向径，则其端点构成一个二次曲面，现称为柯西应力二次曲面．在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向的截面上，应力垂直于截面．这就是柯西引入的主应力．以这3个轴作为坐标轴，应力矩阵成为对角矩阵．于是，求一点处的应力状态归结为求3个主应力．
4 \+ [/ Z) H6 z　　应变与几何方程
　　柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形．对于微小变形，他用类似于研究应力的方法研究一点处的应变状态，指出它可用6个分量εxx，εyy，εzz，εxy，εyz，εzx描绘，现称为柯西应变张量或小应变张量．设ξ，η，ρ分别为x，y，z方向的位移分量，他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程

　　对于应变，同样可构造应变二次曲面，建立主应变概念． , z$ N6 v" L/ }0 Q1 @9 w8 {8 V
　　应力与应变之间的关系
　　对于微小变形，柯西假定主应力分别沿主应变方向．起初他考虑各向同性情形，此时3个主应力与主应变成等比例，由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式，其中有两个常数．后来他进而研究各向异性情形，此时用ε线性表示σ的公式中有34=81个分量即81个弹性常数．由对称性，他推出其中只有36个是独立的(文献[1]，(2)9，pp． 342—372)．这些公式是胡克定律的推广，现在通称为广义胡克定律． ' K. ~4 r/ Y. o, E
　　弹性体运动和平衡方程
　　在1828年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到

度，他还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程．
　　总之，柯西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础，成为19世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表．　
多产的科学家
　
/ T! N8 P. Q- G/ ], g6 B
　　柯西全集
　　柯西是仅次于欧拉的多产数学家，发表论文800篇以上，其中纯数学约占65％，几乎涉及当时所有数学分支；数学物理(力学、光学、天文学)约占35％．1882年起，巴黎科学院开始出版《柯西全集》，把他的论文按所登载的期刊分类，同一种期刊上的则按发表时间顺序排列．
　　《全集》凡27卷，分两个系列．第一系列共12卷，发行于1882—1911年，包括发表于巴黎科学院刊物上的论文．第二系列共15卷．第1，2两卷是发表于其他科学期刊上的论文；第3，4，5卷是他写的教材；第6至14卷是他个人出版的刊物——51期《数学演习》， 5期《分析概要》(Resumés analytiques)， 8期《数学新演习》和48期《分析和数学物理演习》．第15卷于1974年问世，主要包含他以小册子或石印形式发表的著作．
　　《全集》中有8篇文章谈及教育、犯罪和宗教信仰问题；其他非科学著作未收入《全集》．柯西1824年在综合工科学校讲授第二学年分析的讲义已由C．吉兰(Gilain)编辑出版．他的大部分手稿和信件存放于巴黎科学院档案馆．
　　在柯西生前和身后，不断有人批评他发表过多；事实上他也确实发表了一些价值很小或内容重复的文章，然而他的绝大多数论著都显示了一位多才多艺的学者对科学的卓越贡献．下面介绍他在前述三个领域外的主要工作．
　　常微分方程柯西在历史上首次研究了常微分方程解的局部性态．给定微分方程y′=f(x，y)及初始条件y(x0)=y0，在f连续可微的假定下，他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解，利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界，严格证明了在以x0为中心的一个小区间上逼近解收敛，其极限函数即为所提问题的解．他指出这个方法也适用于常微分方程组．柯西还给出了具有非唯一解的初值问题的例子，表明他已洞察到微分方程论的本质．
　　柯西的另一贡献是他所称的“界限演算”即现在通称的“强函数法”或“强级数法”．他指出，对以前所用的微分方程积分法，“只要人们不提供保证所得级数收敛且其和是满足给定方程的函数的手段，就往往是虚幻的”．在研究f(x，y)在点(x0，y0)的邻域内可展开为幂级数的微分方程y′=f(x，y)时，他用y′=F(x，y)与之比较，其中F满足：如果

f(x，y)=∑ckj(x-x0)k(y-y0)j，

F(x，y)=∑Ckj(x-x0)k(y-y0)j，

　　则对一切k，j有|ckj|≤Ckj．他证明，如果y′=F(x，y)在x0的邻域内有可展开为幂级数的解，则y′=f(x，y)在该邻域内也有可展开为幂级数的解；他并且给出了选取强函数的一般方法(文献［1］，(1)2，6，7)．
　　

　　得到

　　其中C是任一包围F所有零点的围道，φ是任一多项式(文献[1]，(1)4，p．370)．
　　

n维向量，A是给定的n阶矩阵)，他引进S(s)=det(A-sI)(I是单位矩阵)，得到所给方程组在初始条件x(0)=α下的解(文献［1］，(1)5，6)． 8 N2 G ^2 S* f/ s/ F; b' K
　　偏微分方程
　　柯西与J．F．普法夫(Pfaff)同时(1819年)发现了一阶偏微分

PP．399—465)．
　　柯西把傅里叶变换应用于他在研究流体力学、弹性论和光学中遇到的常系数线性偏微分方程．他在 1815年的论文中已正确写出了傅里叶变换的反演公式(傅里叶于1807和1811年已得到这些公式，但直到1824至1826年才发表)．他还引进了积分号下的收敛因子和奇异因子(相当于δ函数)．在大量使用傅里叶变换方面，柯西超过了泊松以至傅里叶本人．
　　1821年后，柯西考虑了写成算子形式的线性偏微分方程

　　其中F是n＋1元多项式．他发现，对于满足F(w1，…，wn，s)

这类指数形式的解迭加，以便用傅里叶变换得到通解．对于波动方程，这就是平面谐波的迭加．当给定初始条件

　　时，他得到了写为围道积分形式的解(文献［1］，(2)1，2)．
　　柯西于1842年考虑了一阶线性偏微分方程组的初值问题：

　
　线性的，wk在该邻域内也解析，则所给问题存在唯一解，并可展开为局部收敛的幂级数(文献［1］，(1)6，pp．461—470)．后来C．B．科瓦列夫斯卡娅(Ковалевская)于1875年重新发现和证明了这个结果．
# m7 b: _ K8 [8 I　　群论
　　E．伽罗瓦(Galois)使代数研究的性质起了根本的变化，而柯西是伽罗瓦的先驱者之一．他在 1812年关于对称函数的论文中证明，n元有理函数能取的不同值的数目，或者不大于2，或者不小于包含于n中的最大素数p．
　　柯西与拉格朗日、P．鲁菲尼(Ruffini)同为最早研究代换群的数学家．柯西定义了代换之积，引进单位代换、逆代换、相似代换、代换的阶以及共轭代换系等概念，证明P与Q相似当且仅当存在代换 R满足Q=P-1RP；任一代换群的阶可被群中任一代换的阶整除；n个变量的代换构成的任何群的阶是n！的—个因子(此点其实已为拉格朗日证明)；当n＞4时，n个变量的一切代换构成的群Sn的子群H在Sn中的指数或者是2，或者至少是n；如果素数p整除一有限群的阶，则在群中存在p阶元．刊载这些结果的论文发表于1845—1846年(文献［1］，(1)9，10及文献[13])，当时即得到广泛传播，对群论的发展有相当大的影响．
7 W% n% W; \$ P; O$ f　　行列式
　　莱布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究过行列式．在19世纪，很大程度上是柯西使它得到持续发展．事实上，détermi－nant(行列式)这个术语就是他引入的．与现在通常的做法不同，柯西于1812年从n个元或数a1，…，an出发，作所有不同元之差的积a1a2…an(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1)…(an-a2)…(an-an-1)；对于这个积中各项所

把这样改写后得到的表示式定义为一个行列式，记作S(±a1·1a2·2…an·n)．然后他把所得式中n2个量排成正方形表

a1·1 a1·2… a1·n

a2·1 a2·2…a2·n

……

an·1an·2…an·n

　　称这n2个量构成一个“n阶对称系”，并用循环代换给出确定各项符号的法则．他引进共轭元、主元等概念，导出行列式的许多性质．他还把行列式用于几何与物理问题，例如求平行六面体体积．在与波有关的问

列式．
3 f: y3 D, i9 j& ]7 ~! d3 Z　　数论
　　柯西在数论中也得出不少结果或给出一些已有结论的新证明．1813年，他给出P．de费马(Fermat)关于每个正整数是m个m角数之和这一论断的第一个证明；他还得到，除4个数外，所有其余的m角数均可取0或1(文献［1］，(2)6，pp．320—353)．1840年，他证明若p是形如 4l＋ 3的素数， A是p的二次剩余， B是p的二次

　　其中 B为伯努利数(文献[1]，(1)3，p．172)．他还得到，如果

余的数目，则

　　其中 a，b大于0小于n且(a/n)=1，(b/n)=-1．对n=4l＋1也有类似公式．他由此得到，对n=4l＋3，

　　其中h(-n)是真本原类的个数．该式称为柯西类数公式(文献[1]，(1)3，p．388)．
" h, m* g* X( s# ~- Y0 L" j9 ^　　解析几何
　　柯西有效地应用了直线和平面的法式方程，给出了空间直线方程的参数形式

　　他研究了二次曲面的分类，完整地讨论了径面和中心问题，完善了欧拉、蒙日和J．N．P．阿歇特(Hachette)的有关工作．他在本质上给出了现在教科书上通用的由标准型二次项系数的符号来分类的结果．他还研究了单叶双曲面的母线(文献［1］，(2)5，8)．
& V' O, O n9 \6 A) V　　微分几何
　　欧拉给出了空间曲线的弧微分公式，柯西进一步用弧长作为参数，使x，y，z的作用对称化．他定义了位于密切平面上的主法线，指出其

于1847年，J．A．塞雷(Serret)于1850年独立于柯西给出了通称的弗雷内-塞雷公式．
　　柯西证明曲面上通过某点的所有曲线在该点的切线位于同一平面上，此即切平面．设曲面方程为u(x，y，z)=0，他写出点(x，y，z)处的切平面方程为

# a2 q4 W0 D1 i3 Q( N9 ]& F
　　误差论
　　拉普拉斯研究了如何使n个观察数据(xk，yk)(k=1，2，…，n)拟合于直线 y=ax+b．柯西在拉普拉斯建议下用类似方法研究了三维数据拟合 z=ax＋by＋c的问题(文献［1］，(2)1，2)，他提出使一组观察数据拟合于多项式 u=ax＋by＋cz＋…，其中项数依赖于拟合的优度，在计算过程中确定．他假定误差εk=uk-axk-byk-czk-…具有概率密度f，并采用了一些不大可靠的假设，结果得出一个著名的概率密度：若f满足他所作的假设，则它具有傅里叶变换φ(ξ)=eαξN，α，N为常数．当N=1时，就得到通称的柯西概率密度

　　(文献[1]，(1)2，pp．5—17)． 6 w) c+ f5 X1 O8 _& s8 W% ?# V
　　数值分析
　　象许多同时代数学家一样，柯西也热衷于数值逼近．他计算e到小数点后7位，并估计了取e的级数展开前n项时所产生的误差．他描述了解方程的迭代方法，并在具体例子中给出误差估计．对于微分方程和差分方程，他也给出了许多近似解的误差估计．他首次表述了牛顿求方程根的方法在何种条件下收敛，并借助现称的柯西-施瓦兹不等式推广到复函数情形，给出了数值例子．他把拉格朗日插值公式推广到有理函数，并得到了与高斯、埃尔米特所得结果类似的三角插值公式(文献［1］，(1)5，(2)3)． : G8 Y1 W+ i+ R) v$ B
　　光学
　　柯西在两个方面改进了A．J．菲涅尔(Fresnel)的理论．第一，他从以太-分子作用的更一般的理论出发，预言了3条偏振光线的传播，而菲涅尔认为只有2条．第二，柯西指出菲涅尔关于光线中以太分子的振动垂直于偏振平面的看法不对，认为偏振平面平行于光线和以太振动的方向．
　　柯西还对光的反射和折射提出了自己的看法，并相当成功地解释了双折射．他还试图在分子基础上解释光速对波长的依赖问题．(文献[1]，(1)2，4，5；(2)2．)
5 d/ }% F7 K2 t8 ?　　天体力学
　　柯西证明了天文学中出现的一些级数的收敛性并做了详细的计算，特别对开普勒方程的解和摄动函数的展开进行了细致的讨论，其中有现在天文学教材上仍提到的柯西系数．柯西关心U．J．J．勒威耶(Le Verrier)的工作，后者于1845年对智神星平均运动中的大不等式做了冗长的计算，柯西随即用简单得多的方法加以检验．他使用的工具是偏近点角到平近点角的过渡公式以及所谓“柯西混合法”，即在计算摄动函数的负幂时把数值积分与有理积分结合起来，并按平近点角展开摄动函数，对某项后的各项进行渐近估计．(文献［1］，(1)5．) 　
复杂的人
　

　　从柯西卷帙浩大的论著和多方面丰硕的成果，人们不难想象他一生怎样孜孜不倦地勤奋工作．但是，如果不了解柯西的另一些侧面，对他的认识就会是不完整的． 0 ?) |% T4 n j# G! O
　　忠诚的保王党人
　　柯西属于波旁有产阶层，毕生忠于波旁王室．他于1808年加入圣会，该会成立于1801年，发展很快，逐渐由初创时的宗教团体演变为具有强烈保王党色彩的政治团体，在波旁王朝复辟时代举足轻重，能左右政局．
　　如前所说，1830年革命后，柯西离开法国．他在1835年对此事作了如下解释：“人们非常清楚地知道是什么事件使我正式放弃我在法国拥有的三个席位，只有何种庄严的召唤才能使我放弃撒丁国王屈尊授予我的数学物理教席．无庸置疑，我确信我能为路易十六近裔……的进展做出贡献．”(文献［1］，(2)10，pp．189—190．)这里的“事件”当然指波旁王朝再次倾覆，而“庄严的召唤”当指查理十世聘请他担任其孙的宫廷教师．1852年5月，柯西为拒绝宣誓效忠拿破仑三世致信巴黎理学院院长，声明他继续忠于波旁王室．
　　具有讽刺意味的是，正是推翻了波旁王朝的法国大革命，为科学进步、也为柯西天才的发挥创造了十分有利的条件．革命后科学家和工程师享有的崇高荣誉，综合工科学校的建立，以及许多科学机构的积极活动，都是对年轻有为者从事科学工作的巨大吸引和鼓舞．另一方面，柯西在科学中的卓越贡献，也是对社会革命的促进．情形多少有点像巴尔扎克：他也是保王党人，但《人间喜剧》(La comédie humaine)描绘的却正是贵族阶级只配落得破产的命运．
" P0 {9 W* q U3 \+ K3 L& `　　热心的天主教徒
　　柯西的父亲从小对柯西进行宗教教育，因而柯西童年时即已熟读《圣经》．1816年后，柯西积极参加圣会的慈善活动，访问医院和监狱，宣传教义．1824年，他参与筹组天主教协会，为5名理事之一．他多次在科学院会议上颂扬宗教，司汤达尔(Stendhal)称他为“法兰西研究院中穿短袍的耶稣会士”．1839年，柯西参与创建天主教学院，1842年任该院秘书，热心于院里的教学．1850年曾在《宗教之友》(L′Ami de La Religion)上发表两封长信，对反耶稣会的人进行攻击．
　　柯西的天主教宗教活动与保王党政治态度是紧密相联的．正如他自己所说：“天主教事务由正统派独揽”，这里“正统派”就是拥戴波旁王室的政治派别．
* y3 w# y# F6 A' P% j7 j8 j　　落落寡合的学者
　　尽管柯西彬彬有礼，但与科学院中的同事关系冷淡．19世纪20年代的一篇文章这样评论柯西：“他的呆板苛刻以及对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家之一．”
　　科学界对复辟的王朝于1816年清洗卡诺和蒙日很反感，因为两人都是受人尊敬的科学家．柯西却毫不犹豫地接受了国王令他接任院士的任命．以柯西的才华和贡献而不通过选举成为院士，实在不是什么光荣．
　　柯西在科学院会议上宣扬宗教，加之他性格孤僻，很不欣赏具有自由派色彩的科学家如普安索和阿拉戈，就使他在会议中常处于孤立状态．正如有人回忆的：“他的天主教狂热和多疑的性格，使他在这样的集会上与周围的人很不协调，显得怪诞．”
* |) O5 U- ?% ~/ R0 Q9 V8 t$ B% P% E　　作为教师和导师的柯西
　　虽然柯西写下了伟大的分析教本，但似乎算不上一位出色的教师，在综合工科学校讲授分析时，由于内容过于抽象，曾多次受到校方和学生的批评．在都灵大学讲课时，开始报名听课的人很多，而其讲课情形，据L．F．梅纳勃劳(Menabrea)回忆说：“非常混乱，突然从一个想法跳到另一个公式，也弄不清是怎么转过去的．他的讲授是一片乌云，但有时被天才的光辉照亮；对于青年学子，他令人厌倦．” J．贝特朗(Bertrand)曾这样回忆柯西在巴黎理学院的讲课：“应当承认，他的第一堂课使听众(他们都是优秀学生)的期望落空，他们不是陶醉而是惊讶于他涉及的有点混乱的各式各样的主题．” 不过，他在讲课时所表现出的天才仍使不少人受益，包括后来成为优秀数学家的埃尔米特、皮瑟、布里奥、布凯和C．梅雷(Méray)．
　　当时巴黎是欧洲数学中心，年轻学子从各地赶来，在巴黎理学院和法兰西学院听课，拜会久负盛名的科学泰斗．同时，法国本土也不断产生年轻的天才．所有这些人都需要得到鼓励和指导．柯西本人起步时也得到过拉格朗日、拉普拉斯和泊松的帮助，但他对后起之秀却不甚热心，有时甚至冷漠无情．在对待J．V．庞斯列(Poncelet)、阿贝尔和伽罗瓦的态度上，柯西为人的欠缺至为明显．
　　庞斯列关于射影几何的研究招致柯西严厉的批评，说它缺乏严格性．许多年后，庞斯列在回忆柯西于1820年6月的一天打发他走时，仍然充满怨气和辛酸，说从柯西那里“没有得到任何指点，任何科学评价，也不可能获得理解”．是不是由于庞斯列参加了1812年的远征并在俄国被俘而导致作为保王党人的柯西的反感，就不得而知了．
　　阿贝尔写道，对于柯西，“没法同他打交道，尽管他是当今最懂得应当如何搞数学的数学家．”“我已完成了一篇关于一类超越函数的大文章，……我把它给了柯西，但他几乎没有瞟一眼．” 这就是那篇在椭圆函数论中具有划时代意义的论文．傅里叶于1826年10月30日把此文送交勒让德和柯西，并让后者写审定结论．柯西把稿子扔在一边，只是当雅可比注意到此文并通过勒让德征询其下落时，柯西才于1829年6月29日把该文连同他写的一篇颇有保留的评论提交科学院，而这时阿贝尔已去世．此文直到1841年才发表．
　　1829年5月，伽罗瓦把他关于代数方程解的两篇论文呈递科学院．6月1日的科学院会议决定让柯西进行审查，但他没有作出任何结论，他把这两份手稿丢失了！这两份珍贵的手稿迄今仍未找到．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:46

雅可比

中国科学院数学研究所井竹君

　　雅可比，C．G．J．(Jacobi Carl Gustar Jacob)1804年12月10日生于德国波茨坦；1851年2月18日卒于柏林．数学．
　　雅可比是犹太银行家西蒙·雅可比(Simon Jacobi)和他的妻子莱曼(Lehmann)的第二个儿子．雅可比有一个长他三岁的哥哥莫里茨(Moritz)，后来在彼得堡成为著名的物理学家．弟弟爱德华(Eduard)在其父去世后掌管了银行．他还有个妹妹雷泽(Therese)．
　　雅可比自幼聪敏，幼年随他舅舅学习拉丁文和数学．1816年11月进入波茨坦大学预科学习．1821年春毕业．当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异；尤其在数学方面，他掌握的知识远远超过学校所教授的内容．他还自学了L．欧拉(Euler)的《无穷小分析引论》(Introductioin analvsin infinitorum)，并且试图解五次代数方程．
　　1821年4月雅可比入柏林大学．开始两年的学习生活，他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣．该校的校长评价说，从一开始，雅可比就显示出他是一个“全才”．像C．F．高斯(Gauss)一样，要不是数学强烈地吸引着他，他很可能在语言学上取得很高成就．雅可比最后还是决定全力投身于数学．1825年8月，他获得柏林大学理学博士学位．之后，留校任教．1825年到1826年冬季，他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程．年仅21岁的雅可比善于将目己的新观点贯穿在教学之中，启发学生独立思考，是当时最吸引人的数学教师．他的成功引起普鲁士教育部的注意．
　　1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大学任教．在那里他结识了物理学家F．诺伊曼(Neumann)和H．多费(Dove)、数学家F．贝塞尔(Bessel)．一年之后，发表了几篇关于数论中有关互反律(后人称为“雅可比符号的互反律”)的论文，受到高斯的赞赏．由此开始数学创作的黄金时代．1827年12月获得副教授职位，这次提升与高斯、A．M．勒让德(Legendre)对他早期工作的赞扬有关(而高斯不是一个轻易表态的人)．1829年发表了他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》(Fundamenta Nova Theoriae Funcctionurn Ellipticaram，1829，见《雅可比全集》第一卷)．同年夏天雅可比去巴黎旅行，途中访问了在格丁根的高斯，并结识了勒让德、J．B．J．傅里叶(Fourier)、S．D．泊松(Poisson)和其他法国数学家．1832年7月被提升为教授．在此前一年，即1831年9月11日与玛丽·施温克(Marie Schwinck)结婚，他们生有5个儿子和3个女儿．1842年7月受普鲁士国王的派遣，和贝塞尔参加在曼彻斯特举行的不列颠科学促进协会(British Associationfor the Advancement of Science)的年会，回国途中在巴黎科学院作了报告．
　　在柯尼斯堡大学的18年间，雅可比不知疲倦地工作着，在科学研究和教学上都做出惊人的成绩．他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动，从而与N．H．阿贝尔(Abel)齐名．雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志(Crelle’s Journal fürdie reine und angewardte Mathematik)上，平均每期有三篇雅可比的文章．这使他很快获得国际声誉．他孜孜不倦的研究工作并没有影响他的教学活动．每周要用8—10小时给学生讲解他喜爱的课程——椭圆函数理论，并将自己的研究精髓教给学生，使学生受到科研的熏陶，打破了常规的教学方法．他还开创了学术讨论班，这在当时数学界还是很新奇的事物．当时，他同数学家贝塞尔、物理学家F．诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心．
　　1843年初雅可比患了严重的糖尿病．在得到普鲁士国王的捐款之后去意大利休假数月．1844年6月底回到柏林，开始接受普鲁士国王的津贴，在柏林大学任教，并被选为柏林科学院院士、伦敦皇家学会会员．
　　1848年革命期间，由于他在一次即席演讲中得罪了王室而失去津贴．当维也纳大学决定聘请他时，普鲁士当局意识到他的离开将会造成的损失，因而恢复了他的待遇．
　　1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时，又得了天花，不久去世．他的密友P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)在柏林科学院发表纪念讲话，总结了他在数学上的杰出贡献，称他为J．L．拉格朗日(Lagrange)以来科学院成员中最卓越的数学家．　　雅可比最重要的贡献是和挪威数学家N．H．阿贝尔(Abel)相互独立地创立和发展了椭圆函数理论；引入并研究了θ函数和其他一些超越函数的性质；大胆地使用复数，发展了复变量椭圆函数．他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》成为该领域的经典著作．该著作的第一部分研究变换问题，第二部分给出椭圆函数的表示．在第一部分中，雅可比从第一类椭圆函数的微分出发，用二次变换将它化简为勒让德的标准

出了三次和五次变换的例子和有关模方程的例子．经组合两个变换，他

圆积分

sinam(iu，k)=itan am(u，k′)，

　　这里模数k和k′满足方程k2+k′2=1．这样，他得到椭圆函数的双周期性、零点、极点．他还证明当对第一个模数和第二个模数应用同样变换时模方程的不变性．第一部分工作的最后，他研究了满足所有变换模数的三阶微分方程．
　　这著作的第二部分集中研究椭圆函数用无穷级数乘积和傅里叶级数的表示问题．椭圆函数sin amu，cos amu，△amu的第一种表示是用无
　　穷乘积的商形式给出．记q=e-πk′/K，雅可比用q来表示模和周期，例如

　　椭圆函数还可用傅里叶级数展开式来表示．
　　雅可比引进函数

　　来讨论第二类椭圆积分．他将第三类椭圆积分化简成第一类和第二类椭圆积分，而第三个超越函数仅依赖于两个变量．他又引入“雅可比函数”

　
　　公式

　　雅可比又将这工作应用于数论．从恒等式

断，即任何整数可以表示成至少四个整数(零也是整数)的平方和．
　　雅可比证明了以e-(an+b)/2为通项的级数的收敛性，这是整个椭圆函数理论发展的基础．
　　1829—1830年冬季，雅可比第一次作椭圆函数理论的报告，他强调双周期性是椭圆函数的基本性质．他用θ函数理论来建立椭圆函数理论．1835—1836年，他证明有关四个θ函数乘积之和的著名定理，并且将各类椭圆函数定义为θ函数之商，从而第一个创立了θ函数理论．1839—1840年期间，他继续这些研究，这部分工作收集在《雅可比全集》的第一集、第二集中，包括了对椭圆函数历史的概述．
　　关于复变量椭圆函数理论，他研究了超椭圆积分等问题，其中有关双周期函数的论文(1835年)成为现代复变函数理论中的经典著作．他对阿贝尔函数也作过研究，发现了超椭圆函数．
　　在椭圆函数理论的整个发展过程中，高斯、勒让德、阿贝尔、雅可比他们对其理论都作过精心研究．阿贝尔和雅可比的许多发现同高斯年青时(1798年)作过的但没有发表的工作(高斯从来不太在乎他的研究论文的发表)相交迭．勒让德自1786年以来用了40年时间对椭圆积分作了系统的研究，并将其分为三类．但阿贝尔和雅可比看到了问题的实质．他们把勒让德的思路颠倒过来，研究椭圆积分的逆，即椭圆函数，这样就大大地简化了整个问题，使得椭圆函数理论迅猛地发展起来．
　　椭圆函数理论在19世纪数学领域中占有十分重要的地位．它为发现和改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件．如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索，那么复变函数理论的发展就会慢得多．
　　雅可比第一个将椭圆函数理论应用于数论的研究，得到同余式和型理论中的一些结果，这一思想为后继数学家所沿用．他这方面的研究结果是通过J．G．罗森海因(Rosenhain)的听课笔记流传下来的．他还给出元根的“标准算法”，该文章于1839年发表．
　　雅可比研究工作的特点是将不同的数学分支联系起来．他将椭圆函数理论用于积分理论、微分方程理论，其中尾乘式原理就是他提出的．他又将椭圆函数理论用于动力学和分析力学，创立了哈密顿-雅可比方程．他寻找最一般的代换，得到哈密顿-雅可比方程积分的新理论．这一方法解决了力学和天文学中一些十分重要的问题，并使微分方程的研究进入一个新的发展时期．后来，A．克莱布什(Clebsch)改进了雅可比的工作；10年之后 H．L．F．亥姆霍兹(Helmholcz)把雅可比的力学原理全部用到一般物理学中．
　　雅可比对行列式理论也做了奠基性的工作．1841年初他系统地研究了行列式理论，推广了代数行列式的应用，建立了函数行列式(后来称之为雅可比行列式)，并将其应用到函数组的相关性、多重积分的变量变换和偏微分方程的研究中．
　　有关一阶偏微分方程和分析力学的大部分研究工作是他去世之后以“动力学讲义”(Vorlesungen über Dynamik)为题发表的(1866年由克莱布什发表)．
　　雅可比在数学物理方面也做过实质性的贡献．他将椭圆函数理论应用于椭球吸引力的研究和有关旋转流体物质结构理论研究中．C．麦克劳林(Maclanrin)、J．R．达朗贝尔(d′Alembert)、P．S拉普拉斯(Laplace)和J．L．拉格朗日(Lagrange)证明当均匀流体取旋转椭球形状且绕固定轴均匀旋转时，其形状不会改变．而雅可比发现即使流体形状是一般椭球体时，也满足平衡条件．
　　雅可比对数学史的研究也感兴趣．1846年1月作过关于R笛卡儿(Descartes)的通俗演讲，对古希腊数学也作过研究和评论．1840年他制订了出版欧拉著作的计划(因欧拉的孙子发现欧拉有许多文章未发表)．
　　有趣的是雅可比关于椭圆函数理论的研究工作同他强大的竞争者阿贝尔的工作保持着平行，他们独立地创立了椭圆函数理论．同时，雅可比有一颗高贵没有偏见的心灵．由于具有慷慨的天性，他毫不妒忌地赞扬了阿贝尔有关证明不能用代数方法得到一般五次方程的解的结果，尽管他对此问题作过探讨而未能得到这样的结论．
　　雅可比在数学和其他学科的许多领域中辛勤地工作过，是数学史上最勤奋的学者之一．他和欧拉对待数学创作具有同样的态度，两者都是多产的作者．就处理繁复的代数问题能力而言，除了20世纪印度数学天才S．拉马努金(Ramanujan)以外，他们两人是无人可匹敌的．他们俩在处理确定问题时都能从巨大的数学方法兵工厂中找到能够解决问题的最好武器．欧拉在纯粹和应用数学之间花费的时间几乎相等，而雅可比更倾向于研究它们内在有关的数学问题．他所理解的数学，有一种强烈的柏拉图(Platonic)格调．
　　现代数学中的许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的成就对后人影响之深．1881—1891年普鲁士科学院陆续出版了由C．W．博尔夏特(Borchardt)等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集，这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:47

狄利克雷

中国科学院数学研究所袁向东

　

　狄利克雷，P．G．L．(Dirichlet，Peter Gustav Lejeune)1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根．数学．
　　狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C．P．高斯(Gauss)为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C．G．J．雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物．
　　狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书．1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G．欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识．
　　16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家，诸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒让德(Legendre)、J．傅里叶(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克鲁瓦(Lacroix)、J．B．比奥(Biot)等等．
　　1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸好时间不长．1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师．法伊是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖．狄利克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到视如家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流．其中，他对数学家傅里叶尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深．另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研．据传他即使在旅途中也总是随身携带此书，形影不离．当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈．
　　1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)．他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A·z5的方程．几周后，勒让德利用该文中的方法证明了xn+yn=zn当n=5时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论．(后来狄利克雷再次研究费马大定理时，证明n=14时该方程无整数解．)
　　1825年11月，法伊将军去世．1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)．
　　1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士．同年，他和哲学家M．门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡·门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚．
　　1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)．可惜美景不长，1858年夏他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病．狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．　　
　　狄利克雷的主要科学工作如下． & I, y% n9 j3 I% J4 ^8 o6 L6 B
　　数论
　　狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式．如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐，需对8种情形作分别的处理；狄利克雷简化了这一证明，把全部情形归结为2种．其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果．如为解二元型理论中的某些困难问题，他开始讨论三元型的课题，提出了一个富有成果的新领域．1837年7月27日，狄利克雷在柏林科学院会议上，提交了对勒让德的一个猜想的解答，他证明任一形如

an+b，n=0，1，2，…

　　的算术级数，若a，b互素，则它含有无穷多个素数(即算术级数的素

是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法，成为解析数论的开创性工作．
　　1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子，则至少有一个盒子含有多于一个的物体，它在现代数论的许多论证中起重要作用．1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理：对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α)，一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1，其有限阶元部分由域中单位根组成．
　　1863年，狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R．戴德金(Dedekind)编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一．
　　分析狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一．1829年，他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)．该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的，讨论任意函数展成形如

1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+…

　　的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性．早在18世纪，D．伯努利(Bernoulli)和L．欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数．傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象，但未虑及其收敛性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年开始考虑它的收敛问题．狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格，其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数．他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和，检验它跟f(x)的差是否趋于零，后成为判断级数收敛的经典方法．狄利克雷证明：若f(x)是周期为2π的周期函数，在-π＜x

dx有限，则在f(x)所有的连续点处，其傅里叶级数收敛到f(x)，在函数的跳跃点处，它收敛于函数左右极限值的算术平均．这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究．
　　1837年，狄利克雷再次回到上述课题，发表题为“用正弦和余弦级

tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念)，引入了现代的函数概念：若变量y以如下方式与变量x相关联，即只要给x指定一个值，按一个规则可确定唯一的y值，则称y是独立变量x的函数．为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例：当x为有理数时，y=c；当x为无理数时，y=d≠c 现称狄利克雷函数)．但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的，并根据等距取函数值求和的方法定义其积分．在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论．
- D% C. k. B4 b0 c4 z) M4 W　　数学物理
　　1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究．这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题)：求满足偏微分方程

　　的位势函数V(x，y，z)，使它在球面边界上取给定的值．这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题．狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解．1852年，他讨论球在不可压缩流体中的运动，得到流体动力学方程的第一个精确解．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:47

高斯

中国科学院数学研究所袁向东

　

　　高斯，C．F．(Gauss，Carl Friedrich) 1777年4月30日生于德国不伦瑞克；1855年2月23日卒于格丁根．数学、天文、物理、大地测量．
　　高斯出生在一个普通城市工人家庭．其父格布哈德·迪特里希·高斯(Gebhard Dietrich Gauss)受教育不多，但能写会算，为人勤奋，靠手艺维持家庭生计，做过园林工人、运河工人、街道小贩，还出任过丧葬机构的会计．据说迪特里希·高斯虽忠厚却性情暴躁，在家尤为专制．小高斯是他第二个妻子的独子．高斯的母亲多罗西娅·本茨(Dorothea Benze)出身石匠家庭，聪慧而善良，能读但不会写，婚前在一个贵族家当女仆，在其夫去世后长期随高斯生活，母子相伴，直至96岁谢世．多罗西娅的弟弟天份颇高，是高斯长辈中智力最突出的一位，他靠自己钻研成为艺术锦缎的著名织匠．
　　高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同．有一个故事说因父母为生计奔波，小高斯有时无人照料，大约在3或4岁时，曾堕入离家不远的运河，几乎溺死．另一个故事说高斯自幼对数字有特殊的敏感，在3岁时就发现过父亲算账时的计算错误。这些故事大都是高斯晚年对人谈起的．高斯成年后还常对人说，他在学会说话前就会计算了．
　　高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景．他出生的城市不伦瑞克是座古城，在17世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心．后因城市民众暴动和欧洲30年战争的破坏而衰落．1671年它失去政治独立地位，并入不伦瑞克-沃尔芬比特尔(现德国下萨克森州)公爵领地；1673年成为该领地的首府．在18世纪，它像其他德国城邦一样，经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国．高斯降生时不伦瑞克的统治者是 C． W．费迪南德(Carl Wilhelm Ferdinand)公爵，一位久经沙场的贵族；他按传统的封建方式管理他的领地：典型的特征是以农业为其财政的主要来源，并保护组织起来的个体织匠抵制纺织机械的使用．他在教育方面虽未实行义务教育，但他的大多数臣民都能识字并掌握一些初等算术知识．至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育，则非有贵族、富商或其他有影响的保护人的资助不可．
　　1784年，高斯像普通市民的孩子一样入小学读书．他进的圣·凯瑟琳小学给他带来了好运．该校教师 J．G．比特纳(Büttner)称职而热心，他教的班由50多名年龄各异、原有知识参差不齐的学生组成；比特纳发现高斯才智出众，特意从汉堡弄来一本算术教科书给高斯读．一个故事说，一次高斯在班上几乎不加思索就算出了1+2+3+…+100的和，令比特纳惊讶不已．当时任比特纳助手的 M．巴特尔斯(Bartels)只比高斯大8岁，酷爱数学(后到俄国喀山大学任教授，是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师)，对高斯的数学才能特别器重，他们常在一起讨论算术和代数问题．
　　高斯的父亲不希望儿子继续升中学读书．让子女多读书并非当地工人阶层的风尚；读小学时，高斯晚上经常秉父命上织机织布．经老师们的帮助，高斯于1788年进入预科学校(相当于现在的中学)，这里班级的编排较正规，但课程颇显陈旧，而且过份强调古典语言特别是拉丁语的教学．高斯的目标是学术上的深造，当时的人文学科特别是科学经典都是拉丁文写的，于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语，不久成绩就名列前茅．他还学会了使用高地德语(路德翻译圣经用的那种德语，即现在的标准德语)，高斯原来只会使用本地方言．至于他的数学程度，教师在看了他的第一次数学作业后便认为，高斯已没有必要上该校的数学课了．
　　1791年，位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授 E．A．W．齐默尔曼(Zimmermann)向费迪南德公爵引介了14岁的天才少年高斯．公爵接见高斯时为他的朴实和腼腆所动，欣然应允资助高斯的全部学业．此后，高斯在经济上便独立于父母，父亲也不再反对儿子的继续深造．
　　1792年，高斯入家乡的卡洛琳学院(Brunswick Collegium Carolinum)学习，开始脱离家庭的独立生活．这所学校不同于普通的大学，它由政府直接兴办和管理，目标是培养合格的官吏和军人，在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列，其教学强调科学方面的科目．高斯在校的三年间，全身心地投入学习和思考，获得了一系列重要的发现：入学前他就研究算术-几何平均(1791)，此时发现了它和其他许多幂级数的联系(1794)；发现最小二乘法(1794)；考虑了几何基础问题，即平行公设在欧几里得几何中的地位(1792)；由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定理，即二次互反律(1795)；研究素数分布，猜想出素数定理(1792)．在这一时期，贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟：不停地观察和进行实例剖析，从经验性质的研究中获得灵感和猜想．高斯在学院学习期间还开始了对数学经典著作的钻研，阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis Principia mathematica)、 L．欧拉(Euler)的代数与分析著作和J．L．拉格朗日(Lagrange)的若干论著，以及雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度术》(Ars conjectandi)等．
　　高斯的志向不是谋取官吏的职位，而在于他最喜好的两门学问：数学和语言．1795年，他离开费迪南德公爵管辖的领地，到格丁根大学就读．格丁根大学的办学方式追随英国的牛津和剑桥大学，资金较其他德国大学充裕，较少受政府和教会的管理和干涉．高斯选中这所大学另有两个原因．一是它有藏书(尤其是数学书)极丰的图书馆；二是它有注重改革、侧重科学的好名声．当时的格丁根对学生可谓是个“四无世界”：无必修科目，无指导教师，无考试和课堂的约束，无学生社团．高斯完全在学术自由的环境中成长，将来从事什么职业完全由他自己抉择．入学初期，语言学家 G．海涅(Heyne)对高斯

作数学家还是语言学家可能曾在高斯脑际徘徊．有两个支持这种看法的旁证：高斯到校第一年所借阅的25本书中，仅有5本科学著作，其余皆属人文学科，而且高斯终其一生始终未改对语言和文学的爱好；那个时代以数学为职业者收入不丰，高斯当时仍在靠公爵的补贴生活，寻找有较高收入的职业是高斯一生中经常考虑的问题．
　　1796年是高斯学术生涯中的第一个转折点：他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学家的尺规作图这一难题的大门，证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图．这一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在．在注明3月30日的“科学日记”中，高斯写道：“圆的分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等分”．所谓“科学日记”是1898年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本笔记；高斯在上面记录他的众多科学发现，并称之为 Notizen journal(日志录)．日记中简要记载着他自1796年至1814年间的共146条新发现或定理的证明．由于高斯的许多发现终身没有正式发表，这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据．
　　在格丁根学习期间，高斯在日记中记录了许多重要信息：
　　1796年4月8日，得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明；
　　1797年1月7日，开始研究双纽线；
　　1797年3月19日，认识到在复数域中，双纽线积分具有双周期；
　　1797年5月，由实例计算得到算术-几何平均和双纽线长度间的一些关系(双纽线函数是椭圆函数的一种)；
　　1797年10月，证明了代数基本定理．
　　1798年秋，高斯突然离开格丁根回到故乡，原因不详，很可能是费迪南德公爵不愿由他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭．正是在公爵的要求下，高斯于1799年接受了海尔姆斯台特(Helmstedt)大学的博士学位，名义上的导师是 J．F．普法夫(Pfaff)，当时德国最负盛名的数学家，高斯在格丁根求学期间曾访问过他，但尚不知他们之间有无学术上的联系．[有一则故事表明他们二人在数学界的地位．在高斯成名后，他的好友 A．洪堡(Humboldt)曾询问法国大数学家、力学家 P．S．M．拉普拉斯(Laplace)谁是德国最伟大的数学家．拉普拉斯答是普法夫，洪堡惊鄂之余追问道：那么高斯呢？拉普拉斯戏谑地说：高斯是全世界最伟大的数学家！]高斯博士论文的题目很长：“单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse，1799年8月在公爵资助下出版)．高斯在给他大学时的同学 W．波尔约(Bolyai)的信(1799年12月16日)中说：“题目相当清楚地讲明了文章的主要目的，虽然它只占篇幅的三分之一，其余是讲述历史和对其他数学家[J．R．达朗倍尔(d’Alembert)、L．A．de 布干维尔(Bougainville)、欧拉、拉格朗日等]相应工作的批判，以及关于当代数学之浮浅的各种评论．”此文反映了高斯研究风格的另一个方面：强调严密的逻辑推理，这是区别于18世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征．在此论文中，他并未具体构造出代数方程的解，而是一种纯粹的存在性证明．这类证明此后便在数学中大量涌现．还应指出，他的证明虽然必须依赖复数，但因当时的数学家仍在为虚数的本质争论不休，所以高斯尽量避免直接使用虚数．他预先假定了直角座标平面上的点与复数的一一对应。而将论及的函数分为实部和虚部分别加以讨论．高斯的证明也并非在逻辑上完美无缺，如他视连续函数的一些性质自然成立而未加证明[这些性质后来为捷克数学家 B．波尔查诺(Bolzano)首先证明]．高斯可能认识到这一问题，此后又给出了代数基本定理的另外三个证明(1815，1816，1849)，最后的证明是为庆祝他获博士学位50周年而作，方法跟博士论文基本一致，只是“现在大家都认清了复数是什么”，所以他直接运用了复数．
　　自1796年解决正十七边形的作图到1801年，是高斯学术创造力最旺盛的时间．按数学史家 O．梅(May)统计，在这6年间(19岁—24岁)高斯提出的猜想、定理、证明、概念、假设和理论，平均每年不少于25项，其中最辉煌的成就是1801年发表的《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae)，它把过去一直是零星成果堆砌成的数论，织成一张结构紧凑、自成系统的网；以及在1801年中根据少量观测数据准确预报小行星“谷神星”的运行轨道．天文学是当时科学界最关注的课题，高斯的这项预报引起了轰动．上述两项成就使他不仅在数学界而且在科学界一举成名．
　　1802年初，圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士；同年9月又邀请他出任圣彼得堡天文台台长，这是极崇高的荣誉．高斯出于对公爵的忠心，也因公爵打算为他创造更好的工作条件(计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台)并给他提薪，高斯最终决定留在家乡．
　　此后，高斯虽从未完全放弃对数论、代数、几何及分析学的研究，但其主要精力和时间逐步转向更有实际效用的科学，如天文学、测地学、物理学和应用数学．学术研究重点的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折．高斯在纯数学的研究中是相当孤独的，没有同事和助手，即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流．W．波尔约虽是跟高斯有过长达50年通信联系的数学家，但未见他们在数学思想上的深入讨论．唯一的例外是法国女数学家 S．热尔曼(Sophie Germain)，她曾化名男子和高斯通信(1804—1805)讨论数论问题，二次互反律的一个证明就跟她的想法有关．但是，在天文学界和物理学界，高斯却有不少挚友，他们不仅切磋学术，而且过往甚密．现存的7000多封高斯的通信中，跟这些人的信件占极大比例．
　　1802—1803年间，高斯先后访问了 W．奥尔伯斯(Wilhelm Olbers)博士[医生兼天文学家，1802年发现了小行星“小惑星”(Pallas)]和著名天文学家F．察赫[Zach，为当时德国最著名的塞堡(Seeberg)天文台的台长，1801年12月7日晚第一个在高斯预报的位置上重新观测到谷神星]，讨论了天文和大地测量问题，从此高斯开始了天文观测和野外测量．奥尔伯斯为堵绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱，提议由高斯出任正在筹备中的格丁根新天文台的台长(1804年此建议得到格丁根方面的确认)．1804年底，高斯又开始跟年轻的 F．W．贝塞尔(Bessel，后成为一流的理论及实用天文学家)进行维持终身的通信．据现存信件可知，高斯的长期通信者还有 C．L．格林(Gerling，物理学家，高斯的学生)，H．C．舒马赫(Schumacher，高斯的学生，天文学家)和J．G雷普索尔德(Repsold，仪器制作家，曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题)．
　　1805年，高斯跟制革商的独生女约翰娜·奥斯多夫(Johanna Osthoff)结为伉俪．此次婚姻颇为美满，得二子一女，高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名．跟宁静的家庭生活相悖的是政治环境的骤变．自1789年法国大革命后，德法之间爆发了多次短期战争．为扼制拿破仑在中欧的扩张，德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对抗．1806年，曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战，70多岁的沙场老将在战斗中负了致命伤，同年11月死于阿尔唐纳(Altona)，这意味着高斯失去了经济来源，从此必须完全靠自己的努力维持生计．
　　1807年，高斯携全家迁往格丁根，出任格丁根天文台台长(实际上新天文台尚在建设中，他需亲自为其购置仪器设备)，同时担任格丁根大学天文学教授．高斯选择台长为其主职，教授只为次职，这跟他不喜欢当时的教学有关．1802年高斯在致奥尔伯斯的信中说过：“我真的不喜欢教课……对真正有天赋的学生，他们绝不会依赖课堂上的传授，而必是自修自学的……做这种不值得感谢的工作，唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间．”在以后的通信中，可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣、很少或根本没有学习动力，甚至有的学生缺少必要的常识不满．至于对禀赋好的学生，高斯愿意“偶尔给他一点提示，以便他找到最近的路．”
　　格丁根原属汉诺威公国，此时已划归法国控制下的西伐利亚王国(1814年汉诺威公国复辟后，格丁根才摆脱法国统治)．法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒，他无力筹足大学教授需交的2 000法币．德、法两国的多名学者闻讯主动伸出援助之手，均遭高斯婉拒；最后是一位匿名者替他交纳了全部税金[后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格(Dahlberg)伯爵，曾任罗马帝国的重臣]．法国入侵，费迪南德伯爵战死，加上此次征税，无形中加深了高斯在政治上的保守倾向，纵观其一生，他对政治上的变革或激烈行为都持旁观或反对的态度．高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产，不久便去世了(1809年10月)．时隔不到半年，新生儿也夭折而去．高斯以独有的克制精神和毅力，很快从精神沮丧中复原．为了正常的生活和工作，为让不满4岁的儿子和刚2岁的女儿得到照顾，高斯于1810年8月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳·沃尔德克(Minna Waldeck)成婚．第二次婚姻也得二子一女：欧根纳(Eugene)、威廉(Wilhelm)和女儿特雷泽(Therese)．在这一非常时期，高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium)，阐述他预测天体轨道的方法，首次发表他的最小二乘法，提出现称高斯分布的著名统计规律．
　　1814年，格丁根天文台新址基本建成．为配置最好的望远镜等设备，高斯多方奔走，如于1816年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家 G．von 赖兴巴赫(Reichenbach)等，买到了他最中意的装备．1818年，高斯发表了“确定行星对任意点的引力，假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis，quo singulae partes describuntur， uniformiter esset dispertita)，文中利用椭圆积分、算术-几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题．该文是高斯结束其理论天文学研究的标志，此后他的天文研究主要在天文观测，记录特殊天象，计算并报告他对观测数据的分析，亲自调试仪器以达到最佳观测条件，一直到1854年他最后病倒为止．
　　高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣．1815年前后，中欧各重要国家出于经济和军事目的，纷纷开始大规模的大地测量．1816年，舒马赫应丹麦政府之请，测绘全丹麦的地理形状，他请高斯协助．在一系列准备之后，高斯于1818年正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸，并开始参加艰苦的夏季野外测绘，冬季则对所获数据进行分析整理．1820年，汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划，任命高斯为实施计划的负责人．1818至1825的八年间，高斯请他前妻所生之子约瑟夫(Joseph)和若干军人为野外考察的助手，工作井然有序，表现了高斯的组织才能．高斯动用军人的理由是“农夫们尊敬军官”，“军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害”．为提高测量精度，高斯发明了“日光反射信号器”(1820)和光度计(1821)．至于实测数据汇集后的计算，几乎由高斯一人承担．他每年撰写的测地报告后汇集于《利用拉姆斯登(Ramsden)仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》(Bestim-mung des

ch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector，1828)．长年的劳累损伤了高斯强壮的体魄；1825年医生诊断他患有气喘病和心脏病，迫使他停止了野外作业．此后高斯仍指挥整个计划的执行，并于1847年完成汉诺威全境的测量．
　　高斯全力关注测地工作的十年(1818—1828)，是他创造活动的又一个高峰期．高斯在1825年致奥尔伯斯的一封信中说，他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现．尽管如此，他的两项理论成果已成永垂青史之作．1822年，丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制作中的难题，高斯以“将给定凸面投影到另一面而使

获头奖．此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述，建立了等距映射的雏形．1827年，高斯写成《曲面的一般研究》(Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas，1828年出版)，这是他积10多年思考测地问题所得之精萃，提出了内蕴几何的新观念，成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉．测地问题中的大量计算也推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究，如他的《与最小可能误差有关的观测值的组合理论》(Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae Ⅰ＆ Ⅱ，1823)，以数学的严格性推广最小二乘法，使它在任何概率误差的假设下，都以最适当的方法来组合观测值．
　　在第二次创造高峰期的后期，高斯因测地工作得到额外的津贴(1825年开始领取．此前的1807—1824年间，高斯的薪金一直固定未动，而家庭负担有增无减)，他的经济状况有了根本好转；但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧．在1826年2月19日致奥尔伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，觉得应该去搞有别于数学的其他领域．
　　1828年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议：柏林自然科学工作者大会．洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响，并答应为他提供磁学研究的仪器．高斯当时对磁学的兴趣确实在增长，但对到柏林就职并不热心．在1822—1825年间，柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件，高斯发现这个大都市的办事效率很低，要他担负的领导或顾问方面的责任也过多，因此高斯宁肯留在格丁根．高斯此次柏林之行最大的收获是结识了年轻的、才华横溢的实验物理学家 W．韦伯(Weber)．高斯正准备全力投入的物理学各学科原非他熟悉的领域，他正需要一个象韦伯这样的合作者．
　　高斯一旦决定转变研究方向，他进入新课题的加速度是惊人的，他发表的下述文章和发明就是明证：
　　

s allgemeines Grundgesetz der Mechanik)；
　　1830年，发表了《论平衡状态下流体性质的一般理论原则》(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)；
　　1832年，发表了《以绝对单位测定的地磁强度》(Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata)；1833年，又与1831年到格丁根工作的韦伯合作发明了电磁电报．
　　高斯跟韦伯的合作对他深入磁学研究影响颇大，1833年他们在格丁根兴建了地磁观测站．洪堡曾设想建立全球的地磁测量网，高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施．为使测量准确，他们精心设计以铜材代替铁材，以免磁针受其他铁器的干扰．不久，格丁根的观测站成了地磁测量的中心，各国纷纷仿照他们的设计建站，到1834年欧洲已建起了几十处磁观测站．为促进交流，高斯和韦伯组织了磁学会(Magnetisch Verein)，出版年刊《磁学会年度观测成果》(Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins，1836—1841年间共出版6卷，其中有高斯的15篇和韦伯的23篇文章)．1837年，他们改进了测量地磁强度的仪器，发明了双线地磁仪．1839年，高斯发表《地磁的一般理论》(Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus)，澄清、简化并发展了已有的地磁理论．1840年，除和韦伯合作出版了不朽的《地磁图》(Atlas des Erdmagnetismus)，高斯还发表了《与距离平方成反比而发生作用的引力

地磁学之余，高斯还探讨了若干光学问题．
　　在高斯全力投入物理研究的时期，他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦．夫人米纳在生育特雷泽后身体虚弱，经常卧床不起；儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖．欧根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个，他想选读科学方面的学科，但终拗不过父亲的威严，不得不进大学去读法律；于是在大学他常放纵自己，时因赌博而负债．父子间的不睦最终导致欧根纳于1830年出走，远度重洋移居美国．米纳不堪这一打击，次年便病故了．高斯的另一个儿子威廉热衷务农，这在父亲眼里是无前途的职业，他因在德国生活不如意，于1832年征得高斯的同意，携妻去了北美．此后父子们再未见面．高斯的第二次婚姻不能说美满，对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺，在米纳去世后担起了全部家务，直到高斯去世后才出嫁．在30年代初期，高斯还因一个地磁实验方案而对德高望重的洪堡进行严厉的抨击，造成两人感情上的疏远．
　　纵观高斯一生，他待人接物都极力避免感情用事，而且厌恶争吵，即使在有人议论他有剽窃他人成果的嫌疑时也能泰然处之，如高斯正式发表最小二乘法在法国数学家勒让德之后，因而招来非议，高斯对此并未拍案而起，只是在给友人的信中摆明事情的原委．前述争吵是发生在米纳长期患病之后，足见它对高斯造成的心理压力之重，使他无法控制自己的感情．
　　这一时期的另一不测事件是由汉诺威的新君主压制民主引起的．受1830年法国资产阶级革命的影响，汉诺威公国曾于1831年通过了一部较为民主和自由的宪法．1837年11月，新国王 E．奥古斯特(August)取消这部宪法，要求公职人员(包括大学教授)对他本人宣誓效忠．遂有格丁根大学7位教授奋起抗议，其中有高斯最亲密的合作者韦伯，以及高斯的大女婿、东方学专家 G．H．A．von．埃瓦尔德(Ewald)．人们期待高斯采取公开的行动，以其崇高的威望声援他的同事．但高斯保持了沉默．七教授被解760职，其中三人被逐出境外．此时高斯除私下请洪堡为韦伯说情外，未对政府的行动表示异议．实际上高斯不赞成政治上的任何激进行为，倾向于维持王室的统治．况且，时年高斯的母亲已95岁高龄，他本人也年过6旬；高斯不愿因为这一事件改变习惯的生活方式(1848年德国爆发革命时，高斯也是站在保守的保皇分子一边的)．韦伯的离去中断了高斯一生中最成功的合作研究，对他后期的物理研究带来了无法弥补的损失．
　　从19世纪40年代初期开始，高斯几乎完全退出了物理学的创新研究，只从事例行的天文观测，计算汉诺威测地工作中遗留下的问题，对老的研究课题、发表过的评论或报告作些修饰，解决一些小的数学问题．此后的出版物正反映了他的这种状态．他对E．E．库默尔(Kummer)新创立的理想论(1845)没有强烈的反应，对海王星的发现(1846)亦很漠然．C．G．雅可比(Jacobi)在参加纪念高斯获博士学位50周年大会后说，跟高斯谈数学问题时，他总是把话题叉开而谈些无聊的事．在40年代，高斯对格丁根大学的事务有了较多关注，担任过教授会的负责人；花了几年时间，将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可靠的统计规律之上；他对教学的兴趣也比以前浓厚了．(我们注意到，高斯在大学开的课，大部分是天文学方面的，唯有在当教授的第一年讲过一次数论，他最常讲的课是最小二乘法及其在科学中的应用．)
　　晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人，而高斯本人却极端热衷于从报纸、书本和日常生活中收集各种统计资料．在1848年革命时期，他几乎每天到学校守旧派成立的文学会(高斯是会员)附属的阅览室寻觅各种数据．如果某个学生正在看的报是他所寻找的，高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸．他因而被学生戏称为“阅览室之霸”．据说这一习惯对他从事投资活动(主要是买债券，包括德国以外发行的债券)大有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年薪的200倍，说明他是个理财的好手．
　　高斯生命的最后几年仍保持学者风度，没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动：
　　1850年，心脏病加重，行动受到限制．
　　1851年7月1日有日蚀，高斯作了他最后一次天文观测．
　　1851年，核准 G．F．B．黎曼(Riemann)的博士论文，给予高度评价．
　　1852年，改进傅科摆，解决一些小的数学问题．
　　1853年，为黎曼选定为获讲师资格需作的答辩题目(几何基础)．
　　1854年1月，全面体检诊断高斯心脏已扩大，将不久于人世．但病情奇迹般地得到缓解．
　　1854年6月，听了黎曼关于几何基础的答辩报告，出席格丁根到汉诺威间铁路的开通仪式．
　　1854年8月，病情恶化，下肢水肿．
　　1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去．
　　高斯的葬礼有政府和大学的高级官员出席，他的女婿在悼词中赞扬高斯是难得的、无与伦比的天才．送葬抬棺者中有24岁的J．W．R．戴德金(Dedekind)，他曾选修高斯的最小二乘法课．
　　高斯的大脑有深而多的脑回，作为解剖标本收藏于格丁根大学．
　　《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版历时67年(1863—1929)，由众多著名数学家参与，最后在 F．克莱因(Klein)指导下完成．全集共分12卷．前7卷基本按学科编辑：第1，2卷，数论；第3卷，分析；第4卷，概率论和几何；第5卷，数学物理；第6，7卷，天文．其他各卷的内容如下：第8卷，算术、分析、概率、天文方面的补遗；第9卷是第6卷的续篇，包括测地学；第10卷分两部分：Ⅰ，算术、代数、分析、几何方面的文章及日记，Ⅱ，其他作家对高斯的数学和力学工作的评论；第11卷也分两部分：Ⅰ，若干物理学、天文学文章，Ⅱ，其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论；第12卷，杂录及《地磁图》．
　　以下介绍高斯最主要的学术贡献．　
数学
　

　　高斯被后人誉为“数学王子”．这种赞誉恰如其分，他是数学史上一个转折时期的杰出代表人物，起着承上启下的作用．18世纪的数学处于由微积分的创立而促成的分析学蓬勃发展的时代，它的代表人物往往毫不顾及推理的严格性，而得到大量跟天文学、力学等自然科学有联系的分析学成果．数论、代数和综合几何方面只有较零散的结果．高斯强调数学作为一门严谨的科学，必须要追求明确的定义、清晰的假设、严格的证明以及成果的系统化，倡导了至今已延续近200年的现代数学传统．
　　《算术研究》是高斯最具代表性的著作．该书共分七节．第一节：一般同余．定义有理整数模一个自然数同余的概念；证明同余的基本性质(包括除的算法)．第二节：一次同余．证明整数分解成素数的唯一性；定义最大公因子和最小公倍数；导入同余的符号a≡bmodc，转而

它代表比m小且和m互素的整数的个数)，实质上研究了素剩余的乘法性质．第三节：幂剩余．研究给定数的幂模(奇)素数的剩余，其基础是费马小定理(ap-1≡1(mod p)，p是素数且非a的因子)，高斯给出费马小定理的两个证明，由此导出素根的概念．(a称为素根，若a，a2，a3，…(模p)可产生所有与p互素的整数)，进而利用公式ae≡b(modp)定义一个数b关于a的指标e及相关的运算；以指标表示法导出一个数的二次特征的判别准则(即判别一个数是否为模p的二次剩余)，该准则欧拉已经知道，而高斯的推导和证明更完全和确切；导出了威尔逊(Wilson)定理．以上三节是高斯为读者阅读书的主要部分而首次系统表述的初等数论知识．第四节：二次剩余．在给出定义后证明了他的“基本定理”：若p是形如4n+1的素数，则当任一正素数是p的(非)二次剩余时，p也是它的(非)二次剩余；对于形如4n+3的素数，类似的结论对-p成立．此即著名的二次互反律，

　　这一被誉为数信纸中的“酵母”的定理最早为欧拉提出，勒让德作过繁杂的讨论，但都未给出正确的证明．高斯在证明中首先论证定律对某些素数成立，然后通过对素数的完全归纳法证明之．高斯一生中给出过二次互反律的六个不同的证明．1817年高斯就其证明之一发表评论时说：“高级算术的特点是，通过归纳愉快地发现许多最漂亮的定理，但要证明它们……常常要经过多次失败，最终的成功依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合，数学这一分支中不同理论间的奇妙结合．”他认为寻找定理的新证明“绝非多余的奢侈品，有时候，你开始并没有得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去．这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理．”这反映了高斯对纯数学研究的看法．第五节：二次型．讨论二元二次型f(x，y)=ax2+2bxy+cy2(a，b，c为给定的整数)．该节主要部分的基础来源于拉格朗日，高斯从他的工作中抽象出型的基本性质、型的变换及等价概念，将型的理论系统化并加以发展，如对给定判别式的型的各个类，皆可选取一个型为其代表，高斯给出了选择最简单的代表的准则；他证明了有关型的复合的重要定理，讨论了用型表示数的问题．第六节：应用．提出了上节引入的概念的重要应用，主要涉及部分分数、循环小数、解同余方程以及区分合成数和素数的准则等．第七节：分圆问题．这是高斯于1896年宣布已完成正十七边形作图后首次公开它的理论基础，高斯证明的结论是：一个正多边形，其边数为奇数p时，可尺

为任意非负整数)．《算术研究》系统总结了前人的工作，解决了一批最困难的著名问题，系统地形成了一批概念和问题，它直接影响了其后一个世纪的研究模式，实为现代数学史上第一部结构严谨的数论巨著．
　　高斯曾称“数论是数学中的女皇”，足见他对数论的重视．在他的科学日记及手稿中，还记载着他的其他数论发现，重要的有：　　(1)根据瑞士数学家 J．兰伯特(Lambert)的素数表和他自制的素数表，对素数的分布作出如下猜测，小于x的素数个数π(x)～

分式差
　　(2)通过实例找到双纽线函数的周期与算术-几何平均的关系，并给出了证明，实际上早于 N．H．阿贝尔(Abel)和 C．G．J．雅可比(Jacobi)的椭圆函数研究．他将双纽线函数表成两个整函数 P，

Q本质上是雅可比的θ函数的特例．
　　(3)写于19世纪早期的一些手稿表明，高斯已熟悉了最终由F．克莱因等人完成的一种模函数的理论的基本要领．他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的．高斯还掌握了模函数的几何表示．
　

的高斯和(1811)，后在数论发展中变得十分重要．
　　(5)在研究四次剩余的理论时，将整数概念推广到复域；即形如a+ib(a，b为整数)的所谓高斯整数．他还对几种特殊情形证明了四次互反律．
　　(6)提出二元和三元二次型的代数理论有相应的几何模拟(1830)，这是数的几何理论的一个发端．
　　高斯是19世纪分析严格化的先躯之一．他在1813年发表了“无穷级数……的一般研究”(Disquisitiones generales circa seriem infinitam…)讨论超几何级数

　　(欧拉曾研究过它)，高斯对它的兴趣在于他发现当取不同的α，β和γ时，几乎可以导出所有当时已知的初等函数和许多诸如贝塞尔函数、球函数那样的超越函数，具有极大的普遍性．高斯在文中给出了该级数收敛的具体判据，使它成为数学史上最早讨论无穷级数收敛问题的文献．高斯还在实质上建立了该级数与Γ函数

　　在上文发表前两年，高斯对复函数论也作出了开创性的贡献．在给贝塞尔的一封信(1811年12月)中，他描述了复函数沿复平面上的曲

以及复函数基本定理(若复函数f(z)在曲线c及其内部解析，则其沿c的积分为零)．因高斯未公开发表他的成果，而 A．L．柯西(Cauchy)的表述较为完整，现称此定理为柯西积分定理．高斯在复分析方面的另一重要成果是获丹麦哥本哈根科学院奖的那篇文章．它实际上解决了任一曲面保形变换到任何另一曲面上的解析条件问题．
　　高斯的几何学研究，使他实现了19世纪最富革命精神的两项几何创造：非欧几何和内蕴微分几何．
　　关于非欧几何，高斯生前从未正式发表他的成果，但从其通信、科学日记及手稿中，可清晰看到他的思想发展脉络，证明他是最早认识到存在非欧几何的数学家．
　　(1)1799年9月，他在科学日记中记道：“在几何基础的问题上，我们获得了很好的进展．”
　　(2)同年，W．波尔约在给高斯的信中自称能从欧几里得的其他公理公设推出平行公设．高斯在12月17日的回信中婉言否定了波尔约的结论，并说“我可以从存在面积为任意大的直角三角形的假设，严密地导出平行公设．大多数人肯定会把它当作公理．但我不这样做，因为我相信不管三角形三个顶点离得多么远，其面积可能永远在某个限度以内．”
　　(3)在19世纪初，数学家们已经知道如平行公设不成立，则可导出存在绝对长度单位．但因无法找到这样的单位，勒让德于1794年认定这反而是使人相信平行公设的理由．高斯在给天文学家 C．L．格林(Gerling)的信(1816)中表示，绝对长度单位的存在固然值得怀疑，但他无法从存在绝对单位推出任何矛盾．他觉得有一绝对长度单位反而更好，并说：“人们可以取角度为59°59′59″9999 的等边三角形的边长为单位长度．”
　　(4)1824年，高斯在回答 F．A．陶里努斯(Taurinus)“证明”平行公设的来信时写道：“由三角形的内角和小于180°的假设可导出一种奇异的几何，它跟欧几里得几何大相径庭，但其本身却是相容的．”高斯接着说此类几何由某一常数所确定，“这常数越大，这几何就越接近欧氏几何，当它变成无穷大时，两种几何就一致了．”高斯当时未指出这常数(即绝对单位)的值．实际上它可通过空间曲率K来表示，即

理论一直众说纷纭．我们知道高斯一直认为几何是和力学一样应能以实践检验的科学，他又十分熟悉测量时的误差估计，而在当时的条件下尚不可能对非欧几何进行有说服力的检验，高斯可能是不愿意公布会引起争论而无法作出最终判决的理论．
　　关于高斯的内蕴微分几何思想，集中体现在《曲面的一般理论》中．其主要内容为：
　　(1)以曲面的参数方程x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)为研究的出发点，定义弧长元素为

ds2=E(u，v)du2+2F(u，v)dudv+G(u，v)dv2

　　其中 E，F，G 为 x，y，z 对参数的偏导数的有理式组成；并给出曲面上曲线间夹角的定义．
　　(2)推广 C．惠更斯(Huygens)和 A．C．克莱罗(Clairaut)关于平面曲线曲率的概念，定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率 K=

种坐标系(曲线坐标和直角坐标)中给出了曲率用曲面的偏导数表示的公式，证明曲率K完全跟曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态无关．因此当曲面无伸缩地弯曲时，ds保持不变，曲面的所有性质(包括曲率)亦保持不变．这就提出了几何史上一个全新的重要概念，即一张曲面本身就是一个空间．
　　(3)研究了曲面上的测地线，证明了测地线构成的三角形的著名
　　

角形A上的积分，则有

　　其中α1；α2，α3为测地三角形的三个内角的值．高斯认定这是“最精美的定理”[即现称的高斯-博内(Bonnet．)公式]．　
天文学
　

　　高斯曾在给 W．波尔约的信中说，天文学和纯粹数学是他灵魂的指南针永久指向的两极，表明天文学在高斯心目中的地位．高斯是在天文学史上的一个重要时期介入这一领域的．在1800年前后，由于技术和光学仪器的进步，以及观测资料的系统积累，已编制出西方天文学界的第一部可靠的天象图，这对发现新天体大有裨益；又由于外行星的发现(1781年发现天王星)，为理论天文学提出了更精确计算行星摄动的问题．
　　1801年1月1日，意大利天文学家 J．皮亚奇(Piazzi)新发现一颗亮度为8等的星，到同年2月11日，人们仅观测到它在其轨道上运行了9°，它便行至日光中而无从继续观测．全欧洲的天文学家都期待重新发现这颗现定名为谷神星的小行星．高斯根据拉普拉斯的方法和他在算术-几何平均方面的知识，详细计算了谷神星的星历表，预测了它再次出现的时间和位置．高斯的方法载于《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》，其新思想是充分利用半径向量扫过的扇形面积与相应三角形的比值．高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆还是双曲线，只要根据三次完全观测(即包含时间、赤经和赤纬的观测)就能算出运行轨道的特性．高斯方法的普适性使得整个计算比前人针对不同天体使用不同的特殊方法要复杂，但它对新发现的星体轨道的计算有本质的优越性，特别是当观测资料像初次发现谷神星那样十分匮乏时(此时很难区分该星是彗星还是行星)．高斯的方法遂成为计算天文学的经典．
　　在上述著作中，高斯首次发表他的最小二乘法，这是他整理观测数据必不可少的工具．1812年他在致拉普拉斯的信中称，自1802年起几乎每天用最小二乘法计算新的行星轨道．在1803年他还和阿尔伯斯讨论过这种方法，高斯的遗稿证实了上述说法．可见高斯和勒让德同为此方法的独立发明者，不存在剽窃问题．
　　高斯在“确定行星对任意点的引力……”以及一些手稿中，继牛顿和拉普拉斯创立天体摄动学说后，提出了一种分析摄动问题的具体模型，即将行星质量假想为按一定方式分布于整个运行轨道上，据此计算星体间的互相影响，探讨了长年摄动问题，对摄动理论做出了基础性贡献．
　　高斯对实用天文学的贡献除积累了几十年的观测资料，预报新发现的小行星轨道外，还自制天文仪器六分仪，为提高观测精度而从事几何光学研究，改进了望远镜的质量．　
测地学
　

　　高斯在实施汉诺威公国的测地计划的实测工作中，使用传统的三角测量法，即从长度精确测定的基线出发，选定一个三角形网络将所测的地域覆盖．各三角形的顶点的选取，至少应能保证从两个方向上对其进行目力观测．测出各三角形内角的精确值是提高测地精度的关键．由于地形千变万化，仪器精度不高，使实测工作费时费力；测量时不可避免的随机误差也给数据处理提出了新课题．高斯首先设计了日光反射信号器以提高观测精度．该仪器的主要部件是一面能旋转的镜子，配以必要的光学仪器(如小望远镜)，它在测量时既可作为发光的被测目标，又可用于传递信息，成为三角测量的标准仪器．借助这一发明，高斯能进行远距离的观测(反射光在15英里远处仍相当于一等星的亮度)，即使在天空有云，无直射阳光照射的条件下仍能保证观测继续进行．这一仪器到1840年才为其他人改进．高斯还曾设想用100个平面镜(每个为 1.5×1.5平方米)制作巨大的反射器，它可将日光反射到月球表面，如果能把天文学家送上月球，他们就能根据反射光轻而易举地决定经度差．
　　在测地的理论工作方向，高斯依据前述保形变换的一般理论，给出了平面到平面、球面到平面和旋转椭球面到球面的保形映射实例．他还在《……格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》一文中，首次提出可将地球表面视为在其上每点与重力方向相垂直的几何面，以后发展出他的位势理论．高斯的测地工作总结于他的论文“高等测地学研究”(Untersuc

　　高斯的工作后为德国测地学家所发展，著名的高斯-克吕格尔(Krueger)投影即是其一，它是横向墨卡托(Mercator)投影的推广．
　　曾有人对高斯花费巨大精力于野外测量表示婉惜．贝塞尔于1823年就劝告他放弃实地观测，以免虚度年华．高斯回信说：“世上所有的测绘与度量，确实比不上哪怕是将科学真理向前推进一步来得有份量．”但他觉得“不可能凡事都用一种绝对的标准去衡量”，还“应该考虑相对的价值．”无论如何，高斯觉得他为国家做了一件实际有效的工作而感到宽慰，况且因此而获得的津贴彻底改善了他的经济状况．　
物理学
　

　　高斯在物理学方面的第一项成果是于1829年提出的力学中的最小约束原理：一个系统的运动将尽可能少地偏离其自由运动的状态，偏离的程度由各部分质量乘其偏离自由运动路径的距离平方的总和来度量．这是著名的达朗倍尔原理的一种新的等价形式，它明显跟最小二乘法有关，高斯则自称这项成果受益于对毛细现象的研究．后者的成果总结于1830年那篇“论平衡状态下流体性质……”的文章，其中有涉及重积分、边界条件和可变积分界限的变分问题的漂亮解答，给出了平衡流体理论的一个基本定理．高斯说他对流体性质的研究是纯理论性的，属于理论物理学的一种练习，是想看看到底有哪些数学能用于说明自然现象．
　　高斯在物理学上的惊人之举是和韦伯合作发明了世界上首例电磁电报．其理论依据来自 H．C．奥斯特(Oersted)发现的电流会使磁针偏转(1820)和 M．法拉第(Faraday)发现的感应电流．他们的电报装置，一端(发报机)是可沿磁棒移动的感应线圈，另一端(收报机)是线圈及用细线悬挂的磁针，中间以导线将两端线圈联成回路(带开关)．利用感应线圈的移动和开关的开断，可产生磁针朝两个方向(向左←或向右→)的偏转，即传递两种信号．高斯和韦伯规定了字母与偏转方向间的对应关系．如G对应于←，→，→；N对应于→，←；S对应于←，←，→等等．1833年的第一份电报内容是“Michelmann Kommt”(“米舍尔曼来了”，此人是协助他们架设电报装置的机工)，共使用了40次磁针偏转，通报距离约1公里．高斯和韦伯在1833—1845年间常用这部电报机在天文台和物理实验室间互通短小的信息．电报机于1845年毁于雷击．高斯认识到电报在战争及经济活动中的重要性，曾建议政府广泛使用，但未获成功．
　　高斯和韦伯合作的地磁学研究达到了更深的理论层次．洪堡的全球地磁观测计划，目标是测定地磁强度、磁偏角和磁倾角随时间和地点的变化，以建立令人满意的地磁理论．高斯首先为磁的度量确立了一套“绝对单位制”(1832)．他的基本想法是磁(他称作磁流)能够而且应该以其效应来度量，他定义单位“磁流”为如下强度的力：以单位磁强排斥相隔一单位距离的另一单位“磁流”．他选定力学中度量长度、质量和时间的惯用单位毫米、毫克和秒为基本单位，借助库仑定律将它们引伸到磁学(以至静电学)中，确立了度量磁场强度的标准，韦伯运用这一思想建立了电动力学的绝对单位制．他们的这套单位制在1881年经适当修改后为国际物理学界所接受，即所谓的厘米·克·秒单位制，高斯的名字被选作磁场强度和磁感应的单位名称．
　　在《地磁的一般理论》中，高斯进一步定义了磁位势，若以μ代表

证了为什么只有两个磁极，并讨论了磁场线的解析定义．高斯提出的一种新的确定磁力的水平分量的强度和倾角的方法成为实验家的有力武器．在计算磁位势时，高斯用球函数的一个无穷级数表示地球表面上任一点处的磁位势，并利用世界各地磁观测站提供的数据对级数前24项系数进行估值，由此不难算出在任意点处的磁位势．高斯的地磁学研究是他的测地工作的补充，为当时正兴起的对地球进行科学的描述提供了数学的理论和方法．
　　高斯一生中多次关注过几何光学的理论问题，为消除光学仪器的色差，他提出将不同质地的凸透镜与凹透镜组合使用，即所谓的高斯物镜，它不仅可用于望远镜，也可用于显微镜．《光的折射研究》(Dioptrische Untersuchungen，1840年完成，1843年出版)是高斯主要的光学著作，他分析了光通过一组镜片的路径，证明了任一组镜片可等价于适当选择的单个镜片．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:47

格林

中国科学院数学研究所李文林

　　格林，G．(Green，George)1793年6月或7月生于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉郡．数学．
　　1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿上增加了当地面包师G．格林(Green)与其妻莎拉(Sarah)新生男婴的名字——与父亲同名的乔治．格林的具体生日不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间．格林8岁时曾就读于R．古达克尔(Goodacare)私立学校．
　　据格林的妹夫W．汤姆林(Tomlin)回忆，格林在校表现出非凡的数学才能．可惜这段学习仅延续了一年左右．1802年夏天，格林就辍学回家，帮助父亲做工．19世纪初的诺丁汉郡正处于上升时期．编织业的发达，造成了人口的密集，与拿破仑的战争又促使小麦生意兴隆．1807年，格林的父亲在诺丁汉近郊的史奈登(Sneiton)地方买下一座磨坊，从面包师变成了磨坊主．父子二人惨淡经营，家道小康．但格林始终未忘他对数学的爱好，以惊人的毅力坚持白天工作，晚上自学，把磨坊顶楼当作书斋，攻读从本市布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍．布朗利图书馆是由诺丁汉郡有影响的知识界与商业界人士赞助创办的，收藏有当时出版的各种重要的学术著作以及全套《皇家学会哲学学报》(Philosophical Transactions of Royal Society)．对格林影响最大的是法国数学家P．S．拉普拉斯(Laplace)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、S．D．泊松(Poisson)、S．P．拉克鲁阿(Lacroix)等人的著作．通过钻研，格林不仅掌握了纯熟的分析方法，而且能创造性地发展、应用，于1828年完成了他的第一篇也是最重要的论文——“论数学分析在电磁理论中的应用”(An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electri－city and magnetism)．这篇论文是靠他的朋友们集资印发的，订阅人中有一位E．F．勃隆黑德(Bromhead)爵士，是林肯郡的贵族，皇家学会会员．勃隆黑德发现了论文作者的数学才能，特地在自己的庄园接见了格林，鼓励他继续研究数学．
　　与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折．勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一．他建议格林到剑桥深造．1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备．这期间他又完成了三篇论文——“关于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故．
　　格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．
　　格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．
　　格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一．拉普拉斯在引力计算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V，它同力场分量(X，Y，Z)的关系为

　　拉普拉斯同时指出函数V满足方程

　　并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方．
　　格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道：
　　“这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．
　　格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分

　　出发，应用分部积分法推导得

　　以上采用的是格林的原始记号，其中dσ为曲面σ的微元，dω为σ的内法线段微元，而

　　公式(或称格林定理)．用现代记号表示则相当于

　　格林还进一步探讨了U，V在τ内有奇点的情况，提出格林函数的概念．这是一种带奇性的特殊位势U，满足方程δU=0，且“仅在曲面

的距离”．格林同时假设U在曲面本身上恒等于零．用现代记号表示，格林函数G(r，r′)满足条件：

　　且有

　　以及

G(r，r′)= 0(当r∈σ)．

　　格林未给出函数U的存在与唯一性证明，但却阐述了其物理意义：“为了说明确实存在所述函数U，我们设想曲面是一个接地良导体，在点p′上置一单位正电荷，则由p′及其在曲面上引发的电荷所产生的总位势将等于所要求的U的值”，而“U满足前述论证中所赋予的一切性质”．
　　格林公式与格林函数已成为现代分析的基本工具，格林函数更被日益广泛地应用于现代物理的许多领域，如量子碰撞、基本粒子理论与固体物理等．
　　格林对于波动的数学理论有浓厚的兴趣并发表了多篇论文，其中最重要的是关于光波的研究．光的波动的数学描述，在19世纪数学家中一直是一个时髦的课题．在格林时代，科学界所持的一种普遍意见是把光看作弹性固体以太的振动，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引与排斥形式相互作用的机械模型．格林对柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的做法持批判态度，他在论文“论光在两非晶介质公共面上的反射与折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出：
　　“我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础，而不要去作特殊的假设．”
　　格林接着表述他所说的“一般原理”如下：
　　“任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用，若以所有的内力分别乘以相应的方向元，则对该物质系统的任一指定部分，此乘积的和永远等于某函数的恰当微分．”
　　这实质上相当于能量守恒原理．格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者．他由此出发导出了描述光媒质振动规律的偏微分方程．在格林写成他的光学论文时，M．法拉第(Faraday)的电磁感应刚发现不久，格林关于光波的数学研究还不具备突破机械以太观的条件，但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为的假设，说明他在这方面比同时期的其他数学物理学家要高出一筹．格林的光波研究对弹性力学的发展亦有重要意义．现代弹性理论中的一种应变张量就被称为“格林张量”．
　　格林关于水波的研究也引起人们的注意．1337年，英国工程师 S．罗素(Russell)首先观察到一种叫“孤立波”(solitarywave)的现象．罗素于1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时，曾埋怨数学家们未能预报与描述他所观察到的现象．然而在此之前，格林已发表了两篇这方面的论文，其中第一篇“论具有较小深度与宽度的可变渠道中波的运动”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)几乎是与罗素的第一份报告同时发表，格林在其中导出浅水波方程为：

　　其中φ为水平面对平衡位置的位移，2β，2γ分别表示矩形截面渠道的宽与深，它们是x的函数．为了解上述方程，格林作变换：φ=Af(t+X)(A和X均为x的函数)．将 A，β，γ写成 ωx的函数，设含ω2的项可忽略不计，则变换后原方程化为两个方程：一个是关于函数A的方程，另一个是关于函数X的方程．分别解出这两个方程，得到浅水波方程的解为：

　　其中f与F是任意函数．经过比较不难看出，格林的上述方法与现代孤立波理论中普遍使用的所谓WKB方法是一致的．
　　格林在他的第二篇浅水波论文“关于渠道中波的运动的注记”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理论讨论深度为c的渠道波的速度，获得了与实验数据相符合的近似公式．
　　目前所知的第一个非线性孤立波方程是由D．J．科特维克(Kotteweg)与G．德弗里斯(De Vries)在1895年给出的．但如果调查一下19世纪水波方面的文献，可以清楚地看出一条线索，说明科特维克与德弗里斯的理论是前人一系列研究的结晶，而格林的工作则处于这条线索的开端．格林无疑是历史上最早试图从数学上描述孤立波现象的数学家．
　　格林的著作中还包含许多其他的贡献，它们的意义与影响还有待进一步探讨．n维空间的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出现高维几何的思想．格林1833年完成的论文“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”，率先发展了n元函数分析，其中使用s个坐标{x1，x2，…，xs}来代替通常的三维欧氏坐标，并使用s维球体与椭球体作为相应的三维图形的推广．
　　现代分析中扮演重要角色的所谓狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦为格林首创．在上述同一篇论文中，格林假设积分(用格林的原始记号)

　　存在一个极小化函数V0，并指出V0满足方程

　　这正是s维情形的狄利克雷原理．W．汤姆生(Thomson，即后来的凯尔文勋爵)在1847年也阐述了同样的原理，而他对格林的工作是十分熟悉的．
　　格林的工作孕育了以汤姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)等人为代表的剑桥数学物理学派．现代数学物理仍然可以从格林著作中汲取营养．然而这位靠自学成才的数学家生前却默默无闻．他的第一篇论文因未正式发表几乎濒于失传．汤姆生在剑桥当学生时，从一篇论文的文献索引中了解到格林这篇文章的题目，四处寻觅原作而不得．1845年，汤姆生从剑桥毕业，在行将离校的前夕将此事告诉了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人数学教师．出乎他的意料，霍普金斯细心收藏着格林这篇著作的传本．汤姆生带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途，并在巴黎向 J．刘维勒(Li ouville)和C．F．斯图姆(Sturm)介绍了格林的论文，二者阅后立即意识到该文的价值，认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础．后来，在德国数学家 A．L．克勒尔(Crelle)赞助下，格林这篇论文终于在他去世十年后在克勒尔主编的《纯粹与应用数学杂志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式发表(1850)，汤姆生并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言．1871年，剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委N．M．费勒(Ferrers)编辑的《格林数学文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在伦敦出版，格林的工作受到了越来越多的重视．今天，格林度过他艰苦自学岁月的磨坊依然存在，到诺丁汉访问的人，很远就可以看到它耸立的风轮．诺丁汉市决定维护好格林遗址，作为对这位磨坊工出身的数学家的永久纪念．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:48
李

许以超

(中国科学院数学研究所)

　　李， M． S．(Lie，Marius Sophus)1842年12月17日生于挪威努尔菲尤尔埃德；1899年2月18日卒于挪威克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆)．数学．
　　李在家中是六个孩子中最小的一个，小学和中学毕业后，从1859年到1865年就读于克里斯蒂安尼亚大学，学习数学和科学．毕业后，担任家庭教师，这时他对天文有些兴趣，又想去学机械，直到1868年，在一个极偶然的机会，他看到了J．V．彭赛列(Pon－celet)和J．普吕克尔(Plücker)的论文，才使他走上了数学工作的道路．普吕克尔提出了射影空间的概念，即打破了传统，不用空间中的点而用空间中直线为元素，构成新的空间，研究它们的几何性质．在当时，这种新的思想，深深地吸引了他，使得他去考虑其他类型的空间，从而成为李群这个学科的创始人．所以他虽然从来也没有见过普吕克尔，但总是声称自己是普吕克尔的学生．
　　李的早期工作属于微分几何范畴．他的第一篇论文，使得他获得了国外的奖学金．在1869年秋，他来到柏林．在那里，他和F．克莱因(Klein)交上了朋友．(克莱因比李小7岁，和李一样，也是受了普吕克尔的影响而对几何感兴趣，但是普吕克尔是克莱因的老师．)他们两人具有迥然不同的风格．克莱因是一个代数学家，他常常被迷人的问题的特殊性所倾倒，而李却是一个分析学家，他常常撇开特殊情况，而力图用适当的一般性来理解问题．然而他们两人之间的友谊，对他们两人在数学上的进步却是非常关键的．
　　1870年夏天，李和克莱因一同到了巴黎，他们结识了G．达布(Darboux)和C．若尔当(Jordan)．这时，李受法国analla-gmatic学派思想的影响，发现了他的著名的接触变换．应用于曲面情形，这种变换将直线映为球，将主切曲线映为曲率线．
　　这年7月，法国和普鲁士间爆发了战争．8月，他决定步行到意大利，但是在枫丹白露附近，他被误会为间谍而抓了起来，过了一个月，才被达布营救出狱，他转道意大利，再回到德国．
　　1871年，李得到了克里斯蒂安尼亚大学的奖学金，同时在中学母校中做兼职教员．1872年，他在克里斯蒂安尼亚大学获得了博士学位．这期间，他和A．迈耶(Mayer)同时独立地建立了偏微分方程的积分理论，这个理论现在已经成为普通教科书的内容之一，在李获得博士学位后，他在克里斯蒂安尼亚大学主持了一个数学讲座．
　　大概在1870年左右，群论成为当时数学研究的主流之一．到1872年，克莱因发表了他的著名的埃朗根纲领，即几何学是研究空间中图形在一已知变换群之下不变的性质的学科．受他的影响，李从1873年开始，从研究接触变换的不变量转向了研究变换群理论．这是他最有成就的研究领域．他考虑n维空间中依赖于r个参数的光滑映射所构成的群，他命名为有限连续群(有限是指依赖于有限个参数，连续实际上是指光滑)，这个理论在19世纪70年代已经做好了奠基工作，但是发表得比较迟．
　　在1873年，李还和P．L．M．西罗(Sylow)一起，担任了N．阿贝尔(Abel)遗著的编辑工作．
　　李在1874年和安娜·伯奇(Anna Birch)结婚，婚后生有二子一女．
　　直到1876年，他又回到微分几何方面的研究，同年他和GO．萨斯

naturvidenskab”．
　　在1882年，由于G．H．阿尔方(Halphen)和利格尔(Legu-erre)在微分不变式方面的文章，促使他再次转向变换群的研究．
　　在克里斯蒂安尼亚大学的十多年中，李非常孤立，学生们对他的研究工作不感兴趣．在国外，除了克莱因、迈耶和C．E．皮卡(Picard)外，也没有人注意他的工作，例如，在《进展》(Fortschri-tte)杂志中关于李的工作的报道是由李本人写的，这实际上是一种反常现象．直到F．恩格尔(Engel)的到来，才逐渐打破了这种状态．其原因在于，李的思想被隐藏在他的极复杂的表达和算式中，李不善于抽象提炼，也是受了当时时代潮流的影响太深之故．
　　1884年，恩格尔刚拿到博士学位，于是克莱因和迈耶劝他到克里斯蒂安尼亚大学向李学习变换群，并且帮助李写一本关于变换群方面的综合性著作．恩格尔在李处工作了9个月，由于恩格尔的努力，这部巨著终于完成了，后来，从1888年到1893年分三卷出版．
　　到1886年，克莱因回到格丁根大学任教，在他的推荐下，李受聘去德国莱比锡继任讲座职务．在这里，李的工作的影响扩大了．而克莱因和J．H．庞加莱等人不断地鼓励学生到莱比锡学习这种新数学．所以继恩格尔后，又有了一批学生，其中之一为G舍费尔斯(Scheffers)．李和他一起出版了有关变换群、微分方程和接触变换的局部几何方面的教科书．这时，李的工作方向为亥姆霍兹空间问题．这是1868年由H．von亥姆霍兹(Holmholtz)提出来的．1890年，李发现了亥姆霍兹的文章有问题，经过改进，成了现在的所谓亥姆霍兹-李空间问题．
　　不幸的是，李在1889年得了当时称之为神经衰弱的病，在精神病医院治疗后，从1890年开始继续工作．但是他的性格有了很大的变化，尽管他的名望甚高，他仍然变得很多疑和敏感．
　　直到1898年，他的挪威朋友劝他回祖国工作，他毅然放弃他在当时世界数学中心——德国的第一流的讲座职务，在9月回到了克里斯蒂安尼亚大学作一个普通教授．在那里，专门为他设立了一个数学讲座．1899年，他因恶性贫血而去世，享年55岁．他的所有著作由恩格尔和P．希加德(Heegaard)编辑成册，并且加上了很好的注解．
　　李群及其李代数是20世纪重要学科之一．李群是一个群，又是一个光滑流形，且乘法运算和取逆运算关于流形结构而言是光滑的．李代数是一个具有换位运算(记作[，])的线性空间，它适合条件[a，b］=－[b，a]，[λa+μb，c]=λ[a，c]+μ[b，c]，[[a，b]，c]+[[c，a]，b]+[[b，c]，a]=0，其中a，b，c为向量，λ，μ为数．
　　由于在1935年H．外尔(Weyl)给出流形的严格定义前，不可能用别的办法理解李群，实际上，李发现的是局部李群，他首先建立了局部李群和它的李代数间的三个基本定理和逆定理．记U为n维立方体，U中点x和y间可定义乘法x·y=f(x，y)，只要f(x，y)∈U．在容许情况下有结合律，又原点为单位元素，且对x∈U，存在y∈U使

　　理说乘法函数f(x，y)适合普法夫(Pfaff)方程组

　　则有泊松(Poīsson)括号

　　此即以X1，…，Xn为基之n维线性空间在柏松括号下构成李代数．于是李引进了局部李群U的李代数．反之，三个基本定理之逆是极其出人意料之外的．它告诉我们，随便给出一个有限维李代数，即给出适合条

普法夫方程组(1)，且f(x，y)定义了一个局部李群．所以李的基本定理给出了局部李群和李代数间的充分必要关系．用现代语言来说，李代数完全决定了李群的局部性质．从这个基本定理出发，就把局部李群的问题，化为纯粹且相对简单的代数问题．
　　实际上，李群理论的第一步就是弄清和它的李代数的关系，引进单参数子群．所以李的奠基性工作，使得这个学科能够建立起来．李的另一个工作是希望建立微分方程求解的伽罗瓦(Galois)理论，虽然他未能成功，但是他给出了著名的李定理：线性可解李代数的任一表示有公共特征向量．
　　李实际上是微分几何和偏微分方程学家．他具有几何直觉的天赋．李在李变换群方面的工作，给数学展开了一个新的天地．从一开始，李群就和分析、代数及几何密切相关．
　　李在李变换群方面的工作，由他的学生恩格尔，W．基灵(Killing)，舍费尔斯，舒尔(Schur)，E．嘉当(Cartan)继承和发展．特别是嘉当，继承了李的各个方向，成为20世纪最著名的几何学家之一．到1922—1923年，韦尔在紧李群方面的系统工作，以及在韦尔明确提出流形的概念后，李群才发展成当代重要的学科之一．它在数学的各个分支，在理论物理及其他众多学科中，都得到了大量的应用．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:49
康托尔

　　康托尔， G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷．数学、集合论．
　　康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚．康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Woldemar Cantor)年轻时，曾在圣彼得堡经商．后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖．1839年由于某种原因破产了．但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼与

们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子．1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书．后来在阿姆斯特丹读六年制中学．1862年，开始了他的大学生活．他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学．1863年，他父亲突然病逝，为此，康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习．
　　在那里，他从当时的几位数学大师K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，库默尔(Kummer)和L．克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西．特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学．从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业．可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工．但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引．1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定．尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业．同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣．康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪．
　　由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论，取得数学史上这一令人惊异的成就，奠定了基础．尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论．也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就．
　　1866年12月14日，康托尔的第三篇论文“按照实际算学方法，决定极大类或相对解”(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位．这时，他的主要兴趣在数论方面．1869年，康托尔在哈雷大学得到教职．他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题．不久，任副教授，1879年任教授，从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大学的数学讲座．
　　在柏林，康托尔是数学学会的成员之一．1864—1865年任主席．他晚年积极为一个国际数学家联盟工作．他还设想成立一个德国数学家联合会，这个组织于1891年成立，康托尔是它的第一任主席．他还筹办了1897年在苏黎世召开的第一届国际数学家大会．1901年，康托尔被选为伦敦数学会和其他科学会的通讯会员或名誉会员，欧洲的一些大学授予他荣誉学位．1902年和1911年他分别获得来自克里斯丁亚那(Christiania)和圣安德鲁斯(St．Andrews)的荣誉博士学位．1904年伦敦皇家学会授予他最高的荣誉：西尔威斯特(Sylvester)奖章．
　　1874年初，康托尔经姐姐G．索菲(Sophie)介绍，与瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)订婚，并于同年仲夏结婚．他们共有五个孩子．那时，哈雷大学教授的收入很微薄，康托尔一家一直处在经济困难之中．为此，康托尔希望在柏林获得一份收入较高、更受人尊敬的大学教授的职位．
　　然而在柏林，康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力．他是一个有穷论者，竭力反对康托尔“超穷数”的观点．他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还阻碍康托尔到首都柏林工作，使康托尔得不到柏林大学的职位．由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使康托尔在1884年患了抑郁症．最初发病的时间较短，1899年，来自事业和家庭生活两方面的打击，使他旧病复发．这年夏天，集合论悖论萦绕在他的头脑中，而连续统假设问题的解决仍毫无线索．这使康托尔陷入了失望的深渊．他请求学校停止他秋季学期的教学，还给文化大臣写信，要求完全放弃哈雷大学的职位，宁愿在一个图书馆找一份较轻松的工作．但他的请求没有得到批准．他不得不仍然留在哈雷，而且这一年的大部时间是在医院度过的．同时，家庭不幸的消息也不断传来．在他母亲去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)从部队退役后去世．12月16日，当康托尔在莱比锡发表演讲时，得到了将满13岁的小儿子G．鲁道夫(Rudolf)去世的噩耗．鲁道夫极有音乐天赋，康托尔希望他继承家族的优良传统，成为一个著名的小提琴家．康托尔在给F．克莱因(Klein)的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年学习小提琴的经历，并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑．到1902年，康托尔勉强维持了三年的平静，后又被送到医院．1904年，他在两个女儿的陪同下，出席了第三次国际数学家大会．会上，他的精神又受到强烈的刺激，他被立即送往医院．在他生命的最后十年里，大都处在一种严重抑郁状态中．他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期．1917年5月他最后一次住进这所医院直到去世．
　　康托尔的工作大致分为三个时期，早期，他的主要兴趣在数论和经典分析等方面；之后，他创立了超穷集合论；晚年，他较多地从事哲学和神学的研究．康托尔的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域．这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一．
　　1874年，29岁的康托尔就在《克雷尔数学杂志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上发表了关于超穷集合理论的第一篇革命性文章，引入了震憾知识界的无穷的概念．这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数

Zahlen)．尽管有些命题被指出是错误的，但这篇文章总体上的创造性引起了人们的注意．康托尔的集合论理论分散在他的许多文章和书信中，他的这些文章从1874年开始分载在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》(Mathemati-sche Annale)两种杂志上．后被收入由E．策梅罗(Zermelo)编的康托尔的《数学和哲学论文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中．1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》

四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果．1883年，康托尔认识到，要想对无穷的新理论作进一步推广，必须给出较前四篇系列文章更为详尽的阐述．随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论．他在第五篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题，其中包括回答反对者们对实无穷的非难．这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre，ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下简称《集合通论基础》)为题作专著单独出版．康托尔最著名的著作是1895—1897年

Mengenlehre)(共两卷)．
　　下面分述康托尔的主要工作．
0 k# V% }# U3 @　　1．三角级数
　　康托尔早年对数论、不定方程和三角级数极感兴趣．似乎是微妙的三角级数激发他去仔细研究分析的基础．与三角级数和傅里叶级数唯一性有关的问题，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托尔从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始了他的研究．
　　后来，他在H．施瓦兹(Schwarz)的启发下证明了：假定对同一函数f(x)，存在两个对每个x都收敛到同一值的三角级数表达式，将两式相减，得到一个0的表达式，同样对所有x的值收敛：

0=C0+C1+C2+…+Cn+… (1)

　　1870年3月，康托尔发表了一个关于唯一性定理所需要的初步结果．后来，人们把它叫康托尔-勒贝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托尔证明了(pp．80—83)：当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．在另一篇论文(pp．84—86)中，他给出了上述结果的一个更好的证明．
　　康托尔还证明了唯一性定理可以重新叙述为：如果对一切x，有一个收敛的三角级数

　　等于零，则系数an和bn都是零．
　　1871年，康托尔将这个结果推广到可以存在着有穷多个例外的点．到了1872年，他又将结果进一步推广到无穷多个例外的点([8]，pp．92—108)．
　　为了描述这种点所构成的集合，他引进了点集的导出集的概念．为了说明这些无穷例外点的性质，他以一集合的导出集的性质为标准，对无穷集作了一次分类． % O% W. I. }/ {/ r4 {
　　2．无穷集的分类(Ⅰ)
　　设给定一集合P，P的一阶导出集为P＇，二阶导出集为P″，…，v阶导出集为P(v)．P为第二种集合，如果

P′，P″…P(v)，…

　　皆为无穷．此处，P′可不包含于P，但P″，

，…中的点皆属于P′．P为第一种集合，如果P(v)只含有有穷多个点．
　　在第二种集合的情况下，P＇可含有不属于P的点，而高阶导出集并没有引入新点．他还定义P(∞)为包括那些属于一切P(v)的点集，称为“p的∞次导出集”． 5 W. O0 r# ~! N
　　3．无理数理论
　　由于定义导出集要用到极限的概念，而极限的存在又必须以实数系为前提，因之，康托尔在不预先假定无理数存在的条件下，利用有理数，建立了一个令人满意的无理数理论．他通过“基本级数”(现在我们叫做基本序列或柯西序列)引入了无理数．他的作法与R．戴德金(Dedekind)从几何方面作的处理截然不同．对于有理数，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中说，巳经没有必要去讨论它，因为这方面的工作已经由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算术教本》 (Lehrbuch der Arithmetik，1861)和J．H．T．缪勒(Müller)在他的《一般算术教程》(Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik，1855)中完成了．
　　康托尔在他的《关于无穷线性点集(5)》中，给出了无理数理论较详细的内容．他引进一个新的数类——实数，它既包含有理数又包含无理数．他从有理数序列｛an｝开始研究，这种序列满足：对于任何一个给定的正有理数ε＞0，序列中除去有限个项以外，彼此相差都小于ε，亦即对于任意的正整数m一致地有lim(an+m-an)=0成立．这样的序列叫基本序列．每个这样的序列定义一个实数，记作b．在这篇文章里，康托尔还定义了实数的四则运算和两个实数的不等关系，证明了：实数系是完备的．
　　康托尔进一步得到：任意的正实数r可以通过如下形式的级数来表示：

　　其中系数cr，满足不等式：0≤cr≤r-1．(2)式现在叫做康托尔基数．
　　实数系建立以后，可知直线上每一点都有对应的实数．但是，对每一实数，是否直线上都有一相应的点？这必须通过公理才能保证．康托尔在这篇论文里把它作为公理提了出来．因此这条公理又被称为康托尔公理．据此，实数集与直线上的点集就有了一一对应．
$ j% O( o, _) C' z& G& f7 I　　4．无穷集的分类(Ⅱ)
　　康托尔对无穷集的第二种分类标准是建立在集合论中的．他的这种思想出自1873年11月他给在布伦兹维克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的论文“关于一切代数实数的一个性质”里正式提出．他以“一一对应”为标准，对于凡能和正整数构成一一对应的集合都称为可数集．这是最小的无穷集．不久，康托尔证明了：有理数是可数的；而全体实数是不可数的．
　　1873年11月他给出了有理数集合可数的第一个证明([8]，pp．115—118)；但他的第二个证明([8]，pp．283—356)是现在常采用的．康托尔把有理数排列成如下的形式(下图)：在一个半平面上，最上面一排称为第一行，标以数1，从上而下，分别称为第二行，第三行，…，顺次标以数2，3，…．每行正中间为0列，标以数0．从中间开始向右，顺次为1列，2列，…，从0列向左，顺次为－1列，－2列，…等等．在m行n列相交处放置有理数

集与正整数集构成一一对应．这就证明了有理数集可数．
　　更让人惊讶的是，康托尔还证明了所有代数数的全体所构成的集也是可数的．这里所谓代数数就是满足下面代数方程

a0xn+a1xn-1+…+an=0

　　的数，其中ai(i=0，1，2，…，n)都是整数．
　　为了证明这一点，康托尔对任一个n次代数方程指定一个数(叫高)N如下：

N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|an|．

　　其中ai(i=0，1，…，n)都是这个方程的系数．数N是一个正整数．对每一个N，以N为高的代数方程只有有限个．因此它们的全部解也只有有限个，除去重复的之外，所对应的代数数也只有有限个，设为φ(N)．他从N=1开始，对于所对应的代数数从1到n1给以标号；对应于N=2的代数数从n1+1到n2给以标号；依次下去．由于每一个代数数一定会编到号，并且必与唯一的一个正整数相对应，从而所有代数数的集合是可数的．
　　1873年12月7日，康托尔还成功地证明了实数集和正整数集之间不存在一一对应．他曾给出两个证明，第一个证明在前面提到过的1874年的那篇文章里．第二个证明([8]，pp．278—281)比第一个证明复杂得多，但它不依赖于无理数的技术．今天大多数教科书中采用的是他的第二个证明．其实，他主要证明区间(0，1]中的点不可数．
　　在十进制下，0与1之间的每个实数都可以写成0．p1p2p3…这样形式的无穷小数．并约定将有理数写成无穷小数，如

　　假设实数集(0，1]是可数的，将其元素全部枚举出来，得到序列
　　a1，a2，a3，…，an，… (3)
　　于是正整数集与实数集(0，1]之间可构成一一对应：

　　现在构造一个数b=0．b1b2b3…bk…，其中

　　则b是0与1之间的其数字都是4或5的一个无穷小数．并且它的第K位数字bk≠pKK，所以b与(3)中任何一个数都不相同．这就是说，数列(3)并没有把(0，1]中的数枚举完．因此，假设(0，1]可数是错误的．故(0，0]不可数．
　　值得注意的是：上述证明中，康托尔在构造数b时，那里的数字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一种性质：即b的第K位数字bk与(3)式中第K个数的第K位数字pkk不同．其实，与pkk不同的其余九个数字都可以作为bk．在证明中起决定作用的是对角线上的数字pkk．这种证明方法称为康托尔对角线法．
　　在发现了两个不同的无穷集(整数集和实数集)以后，康托尔开始考虑是否还有更大的无穷．他首先想到，平面上的所有的点构成的集合是否就是那更大的无穷．三年之后，他证明了：一条直线上的点和整个Rn(n维空间)中的点可以构成一一对应．这个结果和他始料的相反．1877年6月他写信给戴德金，请审查他的证明，并说：“我见到了，但是简直不能相信它．”(Briefweichsel Cantor-Dedekind，p．34)康托尔关于一直线中的点和Rn中的点构成一一对应的思想是：把单位正方形中的点和(0，1)线段上的点之间构成一一对应．
　　设(x，y)是单位正方形内的一个点．x是(0，1)中的点．设x，y都表示成无穷小数(当为有限小数时，写成9的无限循环)．我们把x和y的小数分成一组一组的，每一组都终止在第一个非零的数字上．例如

　　令 z=0.3 01 02 7 4 06 005 8 6 04 …
　　其中各组数字是：先排x的第一组，再排y的第一组，然后排x的第二组，y的第二组，依次下去．如果两个x或两个y有不同的小数位数字，则所对应的两个x不同．这说明(x，y)→z是一对一的．反之，对于任意的z∈(0，1)，把z的小数也像上面那样分组，并把上述过程倒过去使用，作出相应的x和y，则(x，y)是单位正方形中的点，所以上述映射是一一的．但它是不连续的．粗略地说，对应于彼此靠近的x点的(x，y)点不一定靠近，反之亦然． & o- G- B2 r# v! b" T# V3 o
　　5．点集理论
　　康托尔的点集理论，包含了大量的定义、定理和例子．例如，“闭包”、“稠密集”和“良定义集”等概念．康托尔还把一个闭的并且在它自身是稠密的集合叫“完备的”．他还给出了一个著名的三分集的例子，后来人们把它叫做“康托尔集”，它是一个完备的不连续集．这个集合被定义在[0，1]区间，它的所有点满足公式

　　其中Cr取值0或2．
　　他还给出了“处处稠密”集的定义，指出了处处稠密集和导集之间的联系．
　　康托尔点集理论中的第二个重要问题是：讨论无穷集合的基数，并按基数对集合进行分类．他给出了一些很重要的结果．另外，康托尔的可除容度理论使一些数学家感兴趣，并将其应用到微积分的某些定理的推广上．
' j/ _5 l+ @: k) d0 R　　6．初等集合论
　　康托尔把集合定义为“把我们的感觉或思维所确定的不同对象(称之为集合的元素)汇合成一个总体”(《数学年竖》，1895，pp．481—512)．在他早年的论文中，他有时使用“杂多”(Mannig-faltigkeit)一词代替集合．一个集合包含它的元素(或分子)，反过来这些元素属于集合．一给定集合S的一个子集是：它的所有元素都是S的元素；子集与元素不同，它是S的一部分．一个集合可以用列出它所有元素的方法来表示，如集合｛1，2｝；或者用一个性质来刻画它的元素．在每一种情况下，有相同元素的两个集合A和B，称为相等．记作A=B．至此可以看到，康托尔的集合论类似于G．布尔(Boole)的类理论，但更加复杂．
　　两个集合S和T称之为等价的，如果在它们之间存在一一对应，记作S

T．
　　一个集合的基数是一切等价集合所共有而其他集合不具有的东西．集合P的基数被记作

．这里两道水平线表示双重抽象．如果P有穷，

就是一个自然数；如果P无穷，

不是自然数，这个推广可借助对无穷所下的新定义而极易达到．我们说，一个集合是无穷的，当且仅当它能与它的一个真子集一一对应．
　　正如有穷集合的基数可比较，无穷集合的基数也可比较．因为如果任一集合S等价于集合T的某一子集但不等价于T本身，那么S的基数小于T的基数．
　　康托尔还借已知集合定义了构成新集合的并、交、笛卡儿积和嵌入等运算．除此之外，还定义了一种特别重要的集合，叫集合S的幂集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“

S”表示，这里的字母

取自德文词Untermenge．现在人们则喜欢用P(S)表示S的幂集．
　　引进集合的运算以后，康托尔又定义了基数的一般算术，包括加、乘和幂运算．当考虑无穷集时，由定义所得的结果在许多方面与自然数算术不同．
1 p& H: f' V! |: g8 j" K　　7．超穷数
　　康托尔关于良序集和序数的理论，发表在1879年到1884年的《数学年鉴》杂志上．后来这些文章都被收入题为《关于无穷线性点集(5)》中．
　　康托尔指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，并通过相继加1而产生的．他把这种通过相继加1定义有穷序数的过程概括为“第一生成原则”．将全体有穷序数集称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大元．但康托尔觉得，用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不妥，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数——第一个超穷序数．从ω出发运用第一生成原则，可以得到一个超穷序数序列：
　　ω，ω+1，ω+2，…，ω+n，… (4)
　　在(4)里，没有最大数．不妨用2ω来表示它．继续使用第一生成原则，得

2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，…

　　在这一过程中，可以把ω看成自然数(单增序列)的一个永远达不到的极限．不过，康托尔仅仅强调ω是作为紧跟在全体自然数n∈N之后的第一个序数．它比所有的自然数n都大．第二生成原则是：给定任意有特定顺序、但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新序数．
　　反复运用这两个生成原则，就能产生无穷多个序数，如

ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+…

+nμ-1ω+nμ，…，ω∞，…

　　等等．它们的全体构成第二数类，记为(Ⅱ)．这些序数的基数都是可数的．接着，康托尔证明了：第二数类的基数不可数，他把这个基数记作

，第二数类中也无最大序数．根据第二生成原则，在这些新序数之后又有一新序数ω1．这是第三数类的始数．如此逐步上升可以得到一系列的始序数

ω1，ω2，ω3，…，

　　与其相应的基数为：

1，2，3，…．

　　如果无限制地使用第一和第二生成原则，第二数类似乎不存在最大元素．为此，康托尔引出了第三生成原则——限制原则．限制原则的目的在于保证，一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是满足这个条件的最小数类．
　　值得注意的是，康托尔的超穷数理论，不同于以往数学家们在变量意义下使用的无穷．他说，有穷集和无穷集的重要差别在于：在有穷集的情况下，不论其中元素的顺序如何，所得的序数相同；对无穷集来说，由于元素顺序不同，从一无穷集可以形成无穷多个不同的良序集，因而得到不同的序数．为了强调超穷序数是一种实无穷，是被看作象实数那样具有真实数学意义的数，在这篇文章中，他选用了ω代替∞．他还期望所引进的这些超穷序数能像无理数、复数那样，最终被数学家们所接受．
　　限制原则引进后，康托尔考虑了数集的顺序和它们的基数．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要区别在于(Ⅱ)的基数大于(Ⅰ)的基数．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基数分别称为第一种基数和第二种基数，
　　康托尔在引进超穷基数以及相应的超穷算术的过程中，用了一个很重要的概念——良序集．
　　定义给定良定义集，如果它的元素按确定的顺序排列．依照这个顺序，存在这个集合的第一个元素，而且对每个元素都存在一个确定的后继(除非它是最后一个元素)．这样的集合称为一个良序集．
　　显然，自然数集是良序的．数类(Ⅰ)与(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念对于区别有穷集和无穷集起了重要的作用．
　　接下来，康托尔引进了无穷良序集的编号——它用于刻画给定集合中元素出现的顺序．他还指出，这个新概念赋予超穷数一种直接的客观性．他证明了：给定任何一个可数无穷的良序集，总存在(Ⅱ)中的一个数能够唯一地表示它的顺序或编号．因此，从一个简单的可数集出发，就可以产生不同的良序集，如正整数这个可数无穷集，可以形成序数为

ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，…

　　等无穷多个良序集．
　　如果两个良序集相似，则它们有相同的编号．因此，给定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的数α，按照自然顺序选出先于α的所有元素，则所有与之相似的良序集的编号由α唯一确定．以下三个良序集
　　｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝，
　　｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝，
　　｛1，2，3，4，…，n，…｝
　　的编号均为ω．下面的三个良序集
　　｛α2，α3，…，αn，…，α1｝，
　　｛α3，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝，
　　｛α1，α3，…，α2，α4，…｝
　　的编号分别为ω+1，ω+2和2ω．
　　康托尔还用数和编号之间的差别，给出了有穷集和无穷集的新解释．有穷集中不管元素怎样排列，编号总是相同的．有趣的是，具有相同基数的无穷集，其元素的个数相同，也可有不同的良序并产生不同的编号．因此，集合的编号完全依赖于集合无素所选取的顺序．他还强调，有穷集的基数和编号的概念是一致的．对于无穷集，基数和编号之间的区别是重要的．康托尔还把编号看成是计数概念的一种推广．一个无穷集的编号由它的一个超穷数给定．另外，良序的概念还为定义超穷算术提供了基础．
2 F6 m8 Y5 V) r. Q6 Y1 i6 b/ c　　8．康托尔定理和边续统假设
　　n维空间的点与直线上的点相比，并不是更大的无穷．那么，是否能从已知的无穷集合出发，根据正确的数学运算，构成更大的无穷集呢？康托尔在1891年的论文“集合论的一个根本问题”(

ber eine elementare Frage der Mannigfaltig keitslehre)里作了肯定的回答．他用对角线方法证明

1899年，康托尔在给戴得金的信中说，1891年论文里的结果可以表示成：2a＞a．这里a为某一集合的基数，不管这个集合是什么，这个命题在康托尔的理论中都具有重要意义．它还被叙述为：一集合的幂集，其基数比原集合的基数大．因此，给定一集合，我们可以通过其幂集来形成一更大的集合；给定一基数，我们可以得到一更大的基数．所以没有最大的集合，也没有最大的基数．给定集合S，用求幂集的方法，可得下面一系列一个比一个大的集合：

S，P(S)，PP(S)，…．

　　如果S的基数为a，其相应的一个比一个大的基数为：

a，2a，22a，…．

　　以上是用幂集来构成更大集合和更大基数的办法．至此，我们有两个系列的无穷基数．
　　第一系列：

2，…， (5)
　　第二系列：

，2

0，22

0，…． (6)
　　第二系列分别表示集合

ω，P(ω)，PP(ω)，…

　　的基数．
　　在康托尔之前，不同的无穷集的大小没有明确的区分；它们都是无穷的，因而所有的无穷集都很大．可是，从康托尔的工作之后，这已变成一个具有明确意义的问题．
　　1878年，康托尔猜想
　　2

1． (7)
　　现在人们称康托尔的这个猜想为连续统假设．连续统假设的英文为continuum hypothesis．因此，(7)常缩写成CH．从那时起，康托尔试图作出这样的一个证明而未能成功．1883年他又宣称，他希望不久用一个精确的证明来正确地回答这个问题．一年后，在他的主要著作《关于无穷线性点集(5)》的结尾，他再一次允诺在稍后的续篇中给出这个证明．但是，直到他去世，也没有给出这个证明．基于各种原因，连续统问题是重要的，并且具有挑战性．
　　1900年夏季在巴黎举行的第二次国际数学家大会上，D．希尔伯特(Hilbert)做了题为“数学问题” (Mathematische problem)的著名演说，提出了23个未解决的难题，其中第一个问题就是“证明连续统假设”．这个问题在20世纪引起了全世界数学家的兴趣，从而激发了很多有趣的工作．现在，公理集合论中的两个最有趣而富有成果的方法，即1940年K．哥德尔(G

del)使用的可构成性方法和1963年P．J．科恩(Cohen)使用的力迫法，都部分地回答了这个问题．
1 G& F* y- x2 l+ J' }　　9．全序集的理论
　　《越穷数理论基础》是康托尔的最后一部重要的数学著作．这本书初稿的第Ⅰ、第Ⅱ部分于1895年5月和1897年5月分别发表在《数学学报》(Acta Mathematica)上，主要内容随即译成各种文字．1895年首先由F．格贝迪(Gerbaldi)将第Ⅰ部分译成意大利文，1899年由马洛特(Marotte)给出两部分的法文译文，而英文译文直到1915年才由P．E．B．朱德因(Jourdain)作序出版．
　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了集合的抽象定义．集合M是能够明确区分的思维或感知的对象m(称为M的元素)的总体．十年前，康托尔在点集的领域内，给集合以特定的内涵．他曾写道：“作为一个整体，集合指确定对象的这样一种总体，其中的对象由某一法则联结成一个整体．”这表明《超穷数的理论基础》与《集合通论基础》有很大不同．
　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了基数的定义．但他仍采用1887年引进的记号．他还通过集合又一次定义了基数的加法和乘法运算．为了定义基数的方幂，康托尔首先定义了什么叫覆盖．引进基数的方幂以后，康托尔得出：2

0=C．这里的C为连续统的基数．他还得到
　　C·C=2

0·2

0=2

=C．
　　一般地，Cn=C，C

0=C．
　　这些公式表明，n维和一般

0维的连续统，同一维连续统有相同的基数．这样，似乎连续统假设问题的解又有希望前进一步．这些公式还可以用来更直接、更清晰地证实超穷数的一些数论性质，从而也就进一步证明了超穷数在数学上的合理性．
　　康托尔在Ⅰ中还讨论了有穷基数．它可以通过两种方式确定：或者通过相继加1的归纳过程，或者与无穷集相反，将它作为不与自身真子集等价的集合的基数来确定．
　　作为一个整体，全体有穷基数N对于康托尔定义超穷数是必不可少的．N中的元素可以彼此区分，且每个基数都大于它前面所有的数而小于后面的每个数，任何两个相邻基数N和N+1之间不存在另一个基数．但是令人疑惑的是在Ⅰ中，康托尔没有明确给出有穷数的定义．在简单声明了具有有穷基数的集合称为有穷集合后，康托尔开始定义超穷集合及超穷基数．第一个超穷基数定义为全体有穷基数的集合的基数．他还感到用熟悉的希腊字母或罗马字母表示超穷基数不合适，应当选择一套独特的记号．在选择记号方面，康托尔一向很讲究．他选第一个希伯来字母

0来表示第一个超穷基数，因为这个字母代表数1．此外它还代表一个新起点．康托尔确信超穷数理论标志着数学的一个新起点．
　　康托尔对超穷基数新的解释是值得注意的，在此之前，他从未把超穷基数等同于数．相反，他总是避免超穷基数也是数的暗示，对于最小的超穷序数，康托尔已用ω表示，但对于最小的超穷基数当时还没有适当的符号．可见，序数的概念对康托尔集合论的早期发展较基数概念重要得多．正是序数的引进，使得定义超穷基数成为可能．而且直到建立了超穷数类的序型，康托尔才精确定义大于最小超穷基数的所有超穷基数，并决定用

表示序型ω的基数．最后决定用

0表示第一个超穷基数时，已到了1895年．
　　Ⅰ的最后五章，康托尔系统阐述了全序集的一般理论．
　　一个集合称为全序的，如果它的元素可按某种规则排序，使得它的

　　接着又引进序集M的序型概念：对每个全序集M，都相应地存在一

其顺序的特性而得出的一个一般概念．

　　康托尔进一步指出，任给两个全序集，如果具有相同的序型，它们总能以多种方式彼此映射；所有具有有穷和超穷序型的良序集，只允许有一种到相似集合的保序映射．这一结论提供了康托尔称无穷良序集的序型为“超穷序数”，称无穷集的基数为“超穷基数”的合理性．当然这里有一个重要的区别，每个超穷基数并不与唯一的一个超穷序数相对应．
　　为了建立各种序型的联系，康托尔模仿《集合通论基础》中的方法引进了它们的运算，还特别指出，序型运算不满足交换律．最后，康托尔总结了基数运算和序数运算的联系．特别有

　　成立．于是，所有关于序数的算术法则同样适用于基数．
　　康托尔还证明了：如果一个全序集M满足：(1)

0；(2)M中无最大、最小元；(3)M是处处稠密的；则M的序型等于η，

　　康托尔在给出具有序型η的集合M的充要条件之后，想方设法地刻画具有更高基数的全序集的序型，特别是连续统的序型．但没有得出新结果．只是在Ⅰ的最后一章里，才对这一问题作了分析，严格阐明了一般连续域的性质．他对序型的一般研究得出了有关连续性的新见解，还引进了基本序列极限元的概念．
. S: |# p" o) r" X　　10．良序集的理论
　　《超穷数理论基础》Ⅱ，主要介绍无穷序数和无穷基数理论．无穷基数从

0扩展到第一个不可数的无穷

1，阐述了良序集的特殊理论，定义了第二数类的基数，还研究了超穷算术．但连续统假设以及每个超穷基数是否都可比较等问题，仍未得到彻底解决．
　　在《集合通论基础》中，康托尔已经认识到良序集对于超穷数理论的重要，因为它们的序型构成了有穷和无穷序数．因此在Ⅱ中，他系统地阐述了良序集理论的基本知识．特别是与无穷集合相对应的无穷序数和无穷基数的理论．
　　在Ⅱ中，一个良序集是建立在全序集的基础上的．同时，给出了序数的一个良序序列：

1，2，3，…，ω，ω+1，…，2ω，…，nω，…，ω2，…，

ωω，…ωωω，…．

　　为了能够给出一个较以前的文章中更好的基数定义，康托尔扩充了

算与Ⅰ中全序集序型的运算相同．
　　在Ⅱ的最后几章里，康托尔更详细地讨论了第二数类的序数以及它们的运算性质．他还把超穷数理论建立在序型的基础之上，这与他以前的处理方法不同．因为这里的生成原则，可以用来产生更高阶的超穷序数类．为了将有穷指数的方幂扩充到超穷方幂，还引进了包括ωω这种超穷数的运算．为此，康托尔建立了超穷归纳法，并通过超穷归纳法得到了超穷序数方幂的一些重要结果．
　　11．关于实无穷
　　由于康托尔的集合论是以无穷集为研究对象的，从而肯定了作为完成整体的实无穷．为此，他遭到了一些数学家、哲学家的批评和攻击．为解决一些理论问题，也为了答复这些人的批评和攻击，康托尔作了大量的工作．他的《关于无穷线性点集(5)》不单纯是对于新的超穷集合论的严格的数学阐述，也第一次公开地为实无穷这一受到大多数数学家、哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护．它的目的之一就是论证这种对实无穷的反对是毫无根据的．他在给瑞典数学家、历史学家G．埃斯特姆(Enestir

m)的信中写道：“正像每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷数的可能性的所谓证明都是站不住脚的．他们从一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，或者甚至把有穷数的性质强加到无穷数上．与此相反，如果我们能够以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们(就其与有穷数的对立而言)构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身．这是研究的对象，而不属于我们的主观臆想和偏见．”康托尔有关实无穷的观点包括以下三个方面．
　　(1)数学理论必须肯定实无穷康托尔指出：在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定．因为很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷性的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立(无理数的引进)又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念．极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上；因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷．变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值“域”，而这个域就是一个实无穷．康托尔又指出，数学证明中应用实无穷(无穷集合)由来已久，并且也是不可避免的．后来的数学家们，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒让德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏尔斯特拉斯、B．波尔察诺(Bolzano)等人在证明中都使用过．康托尔还举出一个复杂证明的例子([8]，pp．210—212)：假设把一无穷点集分为有穷个子集，其中必有一个为无穷集．
　　出于对数学研究的实际需要，康托尔对无穷集合进行了数量研究，实无穷的概念就成了数学的研究对象．康托尔在他1883年的一篇论文里说，把无穷大不只是作为无穷增长的量，而是以完成的无穷的形式，数学地通过数量来确定下来，这种思想“我是经过多年科学上的努力，几乎违背我的意愿……，逻辑地被迫承认的”．
　　(2)不能把有穷所具有的性质强加于无穷无穷有其固有的本质．尽管康托尔对无穷集合的研究出于数学研究的实际需要，但是他仍然面临着怎样对这种研究的合理性作出说明的问题．尤其重要的是，他必须对历史上提出的各种关于“实无穷不能成为数学的研究对象”的“论证”作出合理的解释．
　　1874年，康托尔在这方面迈出了关键性的一步．他提出了“一一对应”原则：如果在两个集合的元素之间能建立一一对应，就说这两个集合具有相同的基数，即在数量上被认为相等．这个原则构成了对传统的“整体大于部分”观念的直接否定．然而，在康托尔以前，由于这一观念的束缚，使很多数学家认为实无穷性的概念不能成为数学的研究对象；现在，康托尔则大胆地冲破了这一思想桎梏，并由此发展出一套关于无穷集合的数学理论——超穷数理论．对此，康托尔解释说：“两个集合，其中的一个是另一个的部分，而又具有相同的基数，这是经常会出现的，而且也没有什么矛盾．我认为，正是由于对这一事实缺乏认识，才形成了关于超穷数引进的主要障碍．”([17]，p．75)
　　为了更清楚地说明自己的研究工作的合理性，康托尔还曾对各种相反意见的错误根源进行分析，认为一切关于“实无穷不可能”的所谓证明都是错误的．
　　(3)有穷的认识能力可以认识无穷康托尔在《关于无穷线性点集(5)》里还讨论了J．洛克(Locke)、B．斯宾诺莎(Spin-oza)和G．W．莱布尼茨(Leibniz)的观点．他认为，这些人的思想虽有很多不同之处，但在无穷问题上，一致认为：“有穷性是数的概念的一部分；另一方面，真正的无穷，那就是上帝，是不允许有任何规定的．”反对实无穷的人还有一个理由是，人类认识能力是有限的，所以形成的数量只限于有穷．
　　康托尔认为，人的认识能力虽然有限，却可以认识无穷．无穷和有穷一样，是可以“通过确定的、明确的、彼此不同的数量”来表达和理解的．在一定意义下，也可以说人们有“无限的才能”，一步一步地去形成更大的数类或集合，去形成一个比一个更强的基数．
　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．他又说，人们可以有坚定的信念必然能够认识那“绝对的存在”．([10]，p．280) 　
6 q7 C/ Q! J# P8 x8 l$ A5 D　　12．柏拉图主义的观点
　　为了证明超穷数理论的“合法性”，康托尔也从事过关于超穷数的客观实在性的分析．康托尔指出：跟有穷数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来的——这突出地表现在康托尔所给出的关于集合的基数和序数的定义上，集合的基数是两次抽象的结果：一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性，另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系；(良序)集合的序数则是一次抽象的结果，即是从对象中抽去了它们所具有的质的特性．因此，和有穷数一样，超穷数也具有同样的客观实在性，它们的存在在物理世界的时空中，以及具体事物的无限性中有着自然的反映．数学的本质不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由性．
　　为了说明数学思想的自由性，康托尔引进了“两种真实性”的概念并对它们之间的关系进行了分析，首先，他指出数学对象具有两种真实性：“内在真实性”和“外部真实性”．其中，“内在真实性”主要是指数学对象在逻辑上的相容性，“外部真实性”是指数学对象所具有的客观实在性，即“应把数看成是对于外在于我们智力世界的事物和关系的一种表述和描述”．其次，康托尔认为这两种真实性事实上是一致的：一个概念如果具有内在真实性就必然具有外部真实性．因此，对数学家来说，就只需考虑数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容．在康托尔看来，在数学对象的“创造”中，数学家们就具有了充分的“自由性”．康托尔写道：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛眉的并且和先前由确切定义引进的概念相协调．……数学的本质就在于它的自由性．”
　　但是，究竟应当怎样来认识超穷数和无穷集合的客观实在性呢？为了解决这一问题，康托尔最后倒向了神学．他在1895年致法国数学家C．埃尔米特(Hermite)的信中，明确表达了这种思想．他说，数学对象的实在性并不在于真实世界，而是存在于上帝的无穷的智慧之中；数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性保证了这种对象的“可能性”，而上帝的绝对无限的本性则保证了这种“可能的对象”在上帝思维中的永恒存在．此外，康托尔还谈到，他的集合论就是直接渊源于神的启示的．其实，早在1869年，即康托尔刚刚开始学术生涯的时候，他就已经建立了这种神学的观念．正如J．W．道本(Dauben)所言：“这是一种强烈的柏拉图主义思想，而康托尔则不断由此而取得支持．”也就是说，正是柏拉图主义的哲学立场为康托尔提供了从事集合论、特别是超穷数理论的研究的信心和勇气．
　　1886年，德国的哲学家和神学家C．哥德伯累特(Gutberlet)发表了一篇文章．其中援引了康托尔的集合论来为他自己关于无穷的哲学和神学性质的观点进行辩护．他主要关注的是数学的无穷对于上帝独有的绝对无穷本性的挑战．他和康托尔还就这个问题通了几次信．哥德伯累特的许多思想，激起了康托尔去研究超穷数理论的神学意义．康托尔断言，超穷数并没有削弱上帝的无穷本性．恰恰相反，正是超穷数使之更加至高无尚了．
　　当时，天主教的学者们所关心的一个主要问题是，超穷数究竟是一种“可能”的存在，还是一种“真实”的存在．康托尔认为可以通过区分两种不同类型的无穷来消除神学家们对于真实的、具体的无穷的怀疑．1886年1月他在给哥德伯累特的老师J．弗兰西林(Franzelin)的一封信中指出，除了“可能的”与“真实的”区分之外，我们还应注意绝对的无穷与真实的无穷的区分：前者是上帝特有的，后者则是见诸于上帝创造的世界，并以宇宙中对象的实无穷数为其典范．康托尔认为超穷的真实存在正是上帝的无穷性存在的反映．他还发起了关于超穷的真实存在的两种论证．一种是先验的，认为可由上帝的概念直接导出超穷数创立的可能性和必要性；另一则是后验的，认为仅仅依靠有穷的假定不可能对自然现象作出充分解释．不管怎样，康托尔认为他已经证明了接受真实存在的超穷的必然性，而在这种论证中，康托尔毫不犹豫地求助于上帝．他还声称，自己并非超穷数理论的创造者，而只是一个记录者：是上帝给他以启示，他所做的仅仅是组织和表述的工作．康托尔认为这是他的一种神圣职责，即以上帝所恩赐的知识去防止教会在无穷性质的信条上所可能发生的错误． 2 c- m* H/ ~$ g
　　13．集合论悖论
　　在康托尔集合论中有没有悖论呢？在19世纪末，虽然有些数学家反对康托尔集合论中研究无穷集合这样的对象，对他的无穷推理过程表示怀疑，但又找不出毛病来．康托尔深信他的工作是正确的．可是后来却发现，康托尔的超穷数理论包含着矛盾．这就是布瑞利-福蒂(Burali-Forti)的最大序数悖论和康托尔的最大基数悖论．后来，康托尔又发现了更简单、更基本的集合论悖论，这一悖论就叫康托尔悖论．它说：假

是一集合的集合，它必定是一切集合的集合S的一部分．由此可得：

　　布瑞利-福蒂悖论的构造与康托尔悖论是十分相似的．当时因为这两者牵涉到序数和基数这样较为复杂的理论．人们还认为，是由于在其中某些环节处不小心地引入一些错误所致，所以没有引起大家的注意．1902年，B．罗素(Russell)在集合论中发现了一个悖论，这个悖论是从集合的基本概念着手，论证方法又和康托尔的著名定理中所用的方法相类似．
　　 “罗素先生发现的一个矛盾现在可以陈述如下：没有一个人想要断定人的类是一个人．这里我们有一个不属于自身的类．当某物归属于以一个类为其外延的概念时，我就说它属于这个类．现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类．因此这个概念的外延(如果我们可以谈论它的外延的话)就是，不属于自身的那些类构成的类．为简短起见，我们称它为类K．现在让我们问，这个类K是不是属于自身．首先，让我们假定它属于自身．如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念．这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类．因此我们的第一个假定导致自相矛盾．第二，让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于以自身为其外延的概念，因此就属于自身．这里我们又一次得到同样的矛盾．”([13]，p．808)这就是著名的罗素悖论．在当时，它曾引起了某些大数学家的极大震动．
　　对于悖论，康托尔曾表示过这种意见，即认为集合论悖论出现的原因在于使用了太大的集合．康托尔指出：我们应把集合区分成相容的和不相容的，后者因太大不能看成是“一”，而必须看成是“多”．这也就是说，不能把太大的集合看成是一种真正的集合．他说：“对于多来说，那种把其所有元素联合起来的假设可能导致矛盾．因此，不能把多看成是一种‘完成了的对象’，这种多我称之为绝对无限或不协调的多．”([15]，p．214)
　　由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而，集合论悖论导致了数学的第三次“危机”．
　　最后，我们引用几位大数学家对康托尔的评论作为本文的结尾．1926年，希尔伯特称康托尔提出的超穷数理论，是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．罗素把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．苏联著名的数学家A．N．科尔莫戈洛夫(Kolmogorov)说过：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见，哲学的教条等作了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者．这门学科(指集合论)今天已经成了整个数学的基础．”

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:50
庞加莱

　　庞加莱，J． H．(Poincaré， Jules Henri)1854年4月29日生于法国南锡；1912年7月17日卒于巴黎．数学、物理学、天体力学、科学哲学．
　　庞加莱的父亲莱昂(Léon，Poincaré)是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授，母亲是一位善良、聪明的女性．庞加莱的叔父安托万(Antoine，Poincaré)曾任国家道路桥梁部的检查官．庞加莱的堂弟雷蒙(Raymond，Poincaré)曾于1911年、1922年、1928年几度组阁，出任总理兼外交部长．1913年1月至1920年初，担任法兰西第三共和国第九届总统．
　　庞加莱的童年是不幸的，也未表现出什么超人的天才．在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调，写字画画都不好看．5岁时，白喉病把他折磨了9个月，从此就留下了喉头麻痹症．疾病使他长时期身体虚弱，缺乏自信．他无法和小伙伴作剧烈的游戏，只好另找乐趣，这就是读书．在这个广阔的天地里，他的天资通过家庭教育和自我锻炼逐渐显露出来．读书增强了他的空间记忆(视觉记忆)和时间记忆能力．他视力不好，上课看不清老师在黑板上写的东西，只好全凭耳朵听，这反倒增强了他的听觉记忆能力．这种“内在的眼睛”大大有益于他后来的工作，他能够在头脑中完成复杂的数学运算，他能够迅速写出一篇论文而无需大改．
　　15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了庞加莱的心弦，他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学大奖．1873年底，庞加莱进入综合工科学校深造．1875年，他到国立高等矿业学校学习，打算做一名工程师，但一有闲空就钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒．1878年，他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文，并于翌年8月1日得到数学博士学位．由于工程师的职业与他的志趣不相投，他又想做一个职业数学家．在得到博士学位后不久(1879年12月1日)，他应聘到卡昂大学作数学分析教师．两年后，他提升为巴黎大学教授，讲授力学和实验物理学等课程．除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外，庞加莱一生的其余时间都是在巴黎度过的．
　　庞加莱的写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期．在不长的34年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内．由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏．早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉．
　　庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师．他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作．
　　1．函数论．如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪．庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角．
　　所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数．自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色．
　　自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z′=(az+ b)/(cz+d)或这个群的某些子群作用下的不变函数，其中a，b， c，d可以是实数或复数，而且ad-bc=1．此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的．更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方

　　1880年以前，F．克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在1881年至1882年与庞加莱合作．庞加莱在受到I．L．富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意到这件事后，对这个课题已作了先行的工作．他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数．后来，庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群．对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数．这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本域比圆要复杂．此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分．这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函数来解了．
　　自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广的理论的出发点．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．阿达玛(Hadamard)和 E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，这个理论在80年之后仍然尚未研究完．
　　自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线．庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论．代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射．
　　尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在．他得到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商．在1898年，他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中加以应用．他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽．庞加莱也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题作了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中产生了完满的结果．
　　2．代数拓扑学(组合拓扑学)．庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人．可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽．
　　庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Re－ndus)中发表了一些短文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的．庞加莱认为，他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法．我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂(E．Betti)数的方法．籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的概念．在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理．有人这样正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法．
　　此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题．在两篇论文中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2=F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推广铺平了道路．
　　3．阿贝尔函数和代数几何学．当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣．他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多，时间是从1881年到1911年．这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”．庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般的“完全可约性定理”．并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点．
　　庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，y，z)=0中所包含的代数曲线的几篇论文．他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)、F．恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理．在其他问题上，他的方法也极有价值，看来它的有效性还远远没有穷尽．
　　4．数论．在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义．他的最后一篇数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文．这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x，y)=0上具有有理数坐标的点，其中f的系数是有理数．庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有限的．这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)推广到任意亏格的曲线(1929年)．他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点．莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理，但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果．
　　5．代数学．庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它．例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型，其上作用着连续自同构群．与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章．庞加莱在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来．他的方法使他引进一个方程的群代数，并把它分解为C上的单代数(即方阵代数)．他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和．
　　庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家．1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理．
　　6．微分方程．微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中．几乎每年都要就此发表论文．事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的．他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开．他还研究了如何决定(复数域中)所有一阶微分方程关于y和y′是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶方程，并在20世纪初期导致P．潘勒韦(Painlevé)及其学派的成果．
　　庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即臻于完善的．他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用．他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态．在1885年后，他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学，特别是三体问题．
　　对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义．他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Dirichlet)问题，发明了“扫散方法”，这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用．
　　此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树．庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面的工作请见《世界著名科学家传记·物理学家Ⅰ》．——编者注.

　　1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长了．可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑蕴育的新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬．在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演．同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题．
　　临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演．他说：“人生就是持续的斗争”，“如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争的结果．假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果．”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生．
　　1912年7月17日，庞加莱因血管栓塞突然去世．当时他正处在科学创造的高峰时期．V．沃尔泰拉(Volterra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息．他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世．”

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:51
科瓦列夫斯卡娅

　　科瓦列夫斯卡娅，C．B．(KoBлeBckaя，Coфbя BacилbeBHa)1850年1月15日生于俄国莫斯科；1891年2月10日卒于瑞典斯德哥尔摩．数学、文学．
　　科瓦列夫斯卡娅的父亲柯文·克鲁科夫斯基(KopBиH-Kpy-KoBcKий、B．B．)是匈牙利国王马休斯·柯文(Mathias Korvin)的后裔，在俄罗斯部队任陆军中将．母亲柯文·克鲁科夫斯卡娅(KopBиH-KpyKoBCKaя，E．Φ．)出身于俄国贵族家庭．1858年，柯文·克鲁科夫斯基退职，带全家到靠近立陶宛边界的帕里宾诺庄园定居．科瓦列夫斯卡娅早年受到良好的家庭教育．她的伯父博览群书，是一位科学爱好者，他经常来帕里宾诺庄园作客，给小科瓦列夫斯卡娅讲一些有趣的科学故事．科瓦列夫斯卡娅卧室里的糊墙纸是她父亲早年学习微积分时的笔记，那些奇怪的公式和符号使她困惑不解．这些都激发了她强烈的求知欲．不久，她在数学方面就表现出特殊的天赋．据说，科瓦列夫斯卡娅14岁时曾自学三角学，既无教师，又无课本．她通过在圆上作弦的方法，居然能解释正弦函数并推导出一些三角公式，被誉为“新帕斯卡”．16岁以后，她很渴望能进大学学习．但19世纪的俄国，大学是妇女的禁区．1866年冬，科瓦列夫斯卡娅的父亲请彼得堡的一位著名数学教师A．N．斯特兰诺留勃斯基(CTpaHHoлюбocKий)为她私入授课．在此期间，她很快掌握了解析几何和微积分．
　　19世纪60年代，俄国正处在从农奴制向资本主义过渡的时期，反对沙皇专制统治的革命民主主义运动蓬勃发展．许多进步妇女起来为争取上大学的权利而斗争，科瓦列夫斯卡娅也加入了这个斗争行列．她中断了在斯特兰诺留勃斯基那里的学习之后，为能进大学学习而四处奔走，甚至直接拜访了大数学家П．Л．切比雪夫(ЧeбbIшeB)，请求他的帮助，也未获成功．在这种情形下，要想继续深造只有出国．而未婚女子到国外求学会引起各种流言蜚语．当时，一些进步女青年常采取“假婚”的方式来摆脱困境，即与某位男青年形式上结为夫妇，然后共同出国．1868年，科瓦列夫斯卡娅与青年学者、莫斯科大学古生物系毕业生B．O．科瓦列夫斯基(KoBaлeBCKий)举行了假结婚．第二年，他们共同来到德国．
　　在德国，科瓦列夫斯卡娅克服了重重困难，终于进入了海得堡大学，在数学家L．柯尼希贝格(Konigsberger)的教授下学习数学，并兼听大物理学家H．L．F．亥姆霍兹(Helmholtz)的物理课．柯尼希贝格在课堂上经常向学生们颂扬他的老师，号称“数学分析之父”的K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)，激起科瓦列夫斯卡娅对这位数学大师的崇敬之情，她决心到柏林去，在魏尔斯特拉斯的直接指导下研究数学．1870年，经柯尼希贝格的推荐，她到柏林拜见了魏尔斯特拉斯，向他表述了自己献身科学的决心和对数学的爱好．魏尔斯特拉斯对她进行了测试，她的解题才能使魏尔斯特拉斯大为欣赏．于是他亲自向柏林大学校方请求，让科瓦列夫斯卡娅非正式地随班听课，但遭到拒绝．魏尔斯特拉斯决定做她的私人教师．1870—1874年，他利用星期天单独给科瓦列夫斯卡娅授课，并共同讨论数学问题，从未间断过．科瓦列夫斯卡娅在这4年内学习了椭圆函数论及其应用、综合几何学、阿贝尔函数、复变函数和变分法等课程，并与她的老师共同研究了有关的课题．她很快就成为魏尔斯特拉斯最得意的学生，魏尔斯特拉斯曾说：“可以肯定，在我的学生中，在勤勉、才能、热情和爱科学方面，可以和她相比的实在不多．”科瓦列夫斯卡娅的所有数学研究都直接受到魏尔斯特拉斯的影响，他们之间结下了深厚的友谊，直至科瓦列夫斯卡娅去世．
　　经过几年的努力，科瓦列夫斯卡娅写出了三篇出色的论文，分别研究偏微分方程理论、阿贝尔积分和有关土星光环等课题．1874年8月，根据魏尔斯特拉斯的推荐，没有经过考试和答辩，格丁根大学授予科瓦列夫斯卡娅博士学位，这是数学史上的第一位女博士．
　　科瓦列夫斯卡娅和科瓦列夫斯基正式结婚后，于1874年秋季返回俄国．科瓦列夫斯卡娅怀着满腔热情，希望用自己的学识为祖国人民服务．但是沙皇统治下的俄国，仍像几年前一样黑暗．从1874年起，科瓦列夫斯卡娅放弃了科学工作，以后的几年内，她进入社交界，也发表过戏剧评论和科普报导等．魏尔斯特拉斯曾多次来信劝导她重返数学界，但都未能奏效．1878年以后，科瓦列夫斯卡娅开始对自己的现状不满．她写信给魏尔斯特拉斯，表达了希望恢复数学研究的愿望．然而，这种愿望由于她的女儿的出世而未能实现．直到1880年在彼得堡召开的科学大会，才真正激励了科瓦列夫斯卡娅重新从事数学研究的热情．
　　1880年末，科瓦列夫斯卡娅又来到柏林，在魏尔斯特拉斯的指导下进行数学研究．1881—1883年，她完成了几篇关于光的折射的研究论文．在此期间，她仍为自己的就业问题而奔走．不幸的是，1883年春她的丈夫因为破产而自杀．这对科瓦列夫斯卡娅无疑是一沉重打击，她勇敢地挑起生活的重担，并继续从事数学研究．1883年11月，科瓦列夫斯卡娅在她的朋友、著名瑞典数学家M．G．米塔格-列夫勒(Mittag-Leffler)的帮助下，受聘担任斯德哥尔摩大学讲师，终于登上了大学的讲台．她用德语讲授数学课程，清晰易懂，引人入胜，颇具魏尔斯特拉斯的风格，大受欢迎．1884年，她被提升为该校的数学教授，并担任《数学学报》(Acta Mathematica)的编辑．1889年，被任命为斯德哥尔摩大学的终身教授．
　　在斯德哥尔摩大学任职期间，科瓦列夫斯卡娅研究了刚体绕定点旋转的问题．这个问题已有100多年的历史，被称为“数学水妖”．许多著名数学家都曾致力于它的研究，甚至L．欧拉(Euler)1157 和J．L．拉格朗日(Lagrange)也只得到了某些特殊情形下的结果．法国科学院曾三次悬赏，给在该问题的研究中有所突破的人颁发鲍罗丁(Bordin)奖金．1888年，法国科学院再次悬赏征求刚体旋转理论的论文．在用匿名提呈的15篇论文中、有一篇如此杰出，受到评奖委员会的高度赞赏，以致法国科学院把奖金从三千法郎增至五千法郎，这就是科瓦列夫斯卡娅提交的论文．1888年12月，科瓦列夫斯卡娅荣获鲍罗丁奖．这项工作在1889年又得到瑞典科学院的奖赏．
　　1889年12月，由切比雪夫等三位著名科学家联名推荐，科瓦列夫斯卡娅当选为俄国科学院通讯院士，她是历史上第一个获得科学院院士称号的女科学家．
　　科瓦列夫斯卡娅不幸于1891年春患肺炎逝世，终年只有41岁．从青年时代起，科瓦列夫斯卡娅就接受民主主义革命思想，她积极支持女权运动，同情巴黎公社．(科瓦列夫斯卡娅的姐姐、姐夫参加了巴黎公社起义，其姐夫被捕入狱．为营救姐夫，她曾只身进入战火中的巴黎，并参加营救公社伤员的工作．)在妇女倍受歧视的年代，她勇敢地冲破传统的偏见和社会的压制，屹然独立，献身科学．科瓦列夫斯卡娅刻苦勤奋，勇于探索，以短暂的一生，在科学领域取得了杰出的成绩．她在数学、文学和政治等方面都留下了出色的成果．
　　在数学方面，科瓦列夫斯卡娅在德国、法国和瑞典的科学杂志上共发表了10篇纯粹数学和有关数学物理的论文，它们是：
　　1．“关于偏微分方程理论”(俄文K TeopииypaBheHийBчacTHbIX пpoи3BoдHbIX，德文Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen，1875)．
　　2．“论某一形式的第三类阿贝尔积分简化成椭圆积分”(俄文OпpиBeдeHииHeKOTOPOTO Kлacca aбeлeBbIX иHTeгpaлoB Tpetbeгo paHгa

K ллипTичeCKиM иTheгpaлaM、德文

ber die Reduction einer bestimmten Klasse Abels’cher Integrale dritten Ranges aufelliptische Integrale，1884)．
　　3．“对拉普拉斯土星光环形态研究的补充和意见”(俄文 ДoбaBлeHия и зaMeчaHия K иccлeдoBaHию Дaплaca ФopMe Koлцa CaTypHa，德文Zus

tze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersu-chungen über die Gestalt der Saturnsringe，1885)．
　　4．“论光线在结晶介质中的折射”(俄文 OпpeлoMлeHииcBeTaB KpиcTaлличecKиX cpeдax，德文

ber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln，1883)．
　　5．(①文5与文6是同一篇文章“O paпpoctpahehииcBeTa B kpиcTaллиqeckoйcpeдe”，分别在巴黎科学院和斯德哥尔摩科学院的杂志上发表．)“论光在晶体中的传播”(法文 Sur la propagation de lalumiére dans un milieu cristallisé，1884)．
　　6．“论光在晶体中的传播”(瑞典文Om Ijusets fortplantninguti ett Kristallinisktmedium，1884)．
　　7．“刚体绕定点旋转的一个问题”(俄文 Зaдaчa o BpщeHии TBepдoгo Teлa okoлo HeпoдBижHoй ToчKи，法文Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe，1889)．
　　8．“关于重物绕定点旋转问题的一个特殊情形，其积分可借助时间的超椭圆函数实现”(俄文МeMyap oб oдHOM чacTHOM cлyчae зaдaчиo BpaщeHии Tяжeлoгo Teлa BOKpyг HeпoдBижHOй ToчKи，Koгдa иHTeгpиpoBaHиe пpoизBOдиTcяC пOMOщbю yлbTpa

ллипTичecKиX ФyHKций BpeMeHи，法文Mémoire sur un cas particulier du problème de la rotation d’un corps pesantautour d’un pointfixe，où l’intégration s’effectue à l’aide de fonctions ultrae-lliptiques du temps，1890)．
　　9．“论确定一刚体统定点旋转的微分方程组的一个性质”(俄文Oб oдHOM cBoйcTBe CиCTeMbI диффepeHциaльHьIX ypaBHeHий，oпpeдeляющeй BpaщeHиe TBepдoгo Teлa OKOлO HeпoдBижHoй ToчKи，法文Surune propriété du système d’équations differen-tielles qui définit la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe，1890)．
　　10．“关于Bruns的一个定理”(俄文OБ oдHoйTeopeMe Г.БpyHca，法文Sur un théorème de H．Bruns，1891)．
　　以上的10篇论文，前3篇即是科瓦列夫斯卡娅在魏尔斯特拉斯指导下的博士论文(1870—1874)，关于光的折射的论文(第4—6篇)是她重返柏林时(1881—1883)撰写的，后4篇论文是她在斯德哥尔摩大学任职期间完成的．关于偏微分方程理论和刚体运动方面的论著是她最重要的工作，已被译成英文传世，下面作较详细的介绍．
　　18和19世纪的数学家们创立了大量类型的微分方程．他们很快就发现，在许多情况下求方程的显解归于失败．于是，数学家们转而去证明解的存在性．1842年，A．L．柯西(Cauchy)给出了微分方程中第一个一般的存在性定理．他讨论了给定初始条件的微分方程的求解问题，证明了常微分方程和几种线性偏微分方程解析解的存在性．对于形如

　　(i=1，2，…， m)
　　的一阶偏微分方程组，柯西问题就是求满足初始条件
　　ui(0，x1；，…，xn)=wi(x1，…，xn)(i=1，…，m)的解u(x，t)．
　　柯西假设Fi和wi都是解析的，用“优函数方法”得到局部收敛的幂级数解．他以一个简单的解析函数代替原来的Fi，要求其幂级数展开的系数都是非负的，且不小于Fi对应项系数的绝对值．所得到的方程组可以用明显的求积法给出解，这就是原方程组具有初始条件的解的优函数．
　　科瓦列夫斯卡娅在她的论文中，把柯西的结果推广到很一般的情形．她首先考虑拟线性方程组

　　A．如果u(x1，…，xr)10，…，u(x1，…，xr)n0是n个任意选择的具有共同收敛域的幂级数，并且它们当(x1，…，xr)=(0，…，0)时的值均为0，那么在空间(t，x1，…，xr)中可确定n个幂级数，它们在u1，…，un空间中形式地满足(1)，并且当t=0时，它们的值依次等于u(x1，…，xr)10，…，u(x1，…，xr)n0．
　　B．上述n个幂级数在某一域内绝对收敛并在此域内是确实满足(1)的函数．
　　接着，科瓦列夫斯卡娅又研究了方程组

　　得到类似的结果．
　　她在证明这些结果的过程中，利用了柯西和魏尔斯特拉斯的优函数方法．即以方程组

　　其中G，g都是常数．
　　然后，科瓦列夫斯卡娅把柯西的存在唯一性定理推广到包含高阶时间导数的高阶方程组的情形．她考虑方程组

　　i，j=1，2，…，m；k0+k1+…+kn=k≤ni；k0＜ni，和初始条件

　　假设所有的Fi在点

　　的一个邻域内解析，所有中φj(k0)(x1，…，xn)在点(x01，…，x0n)的邻域内解析，她证明了上述柯西问题在点(t0，t01，…，t0n)附近有唯一的一组解析解．
　　在现代数学文献中，关于偏微分方程解的存在唯一性定理通常称为柯西-科瓦列夫斯卡娅定理．它的最简形式可叙述为：
　　任意形如

　　附近存在唯一的解析解u(t，x)，它满足

u(t0，x)=g(x)，

　　这里g(x)在点x0附近解析，并满足

　　科瓦列夫斯卡娅的工作得到数学界的好评，法国数学家H．庞加莱(Poincaré)曾说：“她极大地简化了证明并给出定理的最终形式．”
　　科瓦列夫斯卡娅最重要的贡献是对刚体运动的研究．刚体绕定点运动的方程是欧拉在1750年提出的，它们是：

　　其中，A，B，C是刚体关于定点的惯性椭球的主轴，M是刚体的质量，g是重力加速度，(γ，γ′，γ″)是指向下方的单位向量，p，q，r是角速度沿各主轴的分量，(x0，y0，z0)是刚体重心的坐标．
　　为确定任意时刻刚体的运动位置，要对这组方程求积．1888年以前，只解决了两种情形．第一种情形要求满足条件x0=y0=z0=0，曾被欧拉和S．D．B．泊松(Poisson)研究过．此时刚体的重心与固定点重合，这是不受力的对称体的运动．这时没有外力作用于刚体，重力不影响运动，因此旋转轴在刚体内的固定位置上．地球的自转运动就是不受外力运动的一个例子．
　　第二种情形要求A=B，x0=y0=0，曾由拉格朗日研究过．此时，定点和重心位于同一轴上，有时这个轴是对称轴的，比如陀螺的旋转便是如此．陀螺绕一个定点旋转，这个定点不是重心，但它与重心都在陀螺的对称轴上．当陀螺旋转时，它本身产生一个力矩，使陀螺保持平衡．
　　以上两种情形，都要求刚体是对称的．科瓦列夫斯卡娅在她的论文中指出，欧拉和拉格朗日所考虑的方程组，p，q，r，γ，γ′，γ″这六个未知量都是时间变量的单值函数，它们只有唯一的奇点，即极点．方程组的通积分在通常情形下是否能保持这一性质呢？如果能保持这一性质，那么这些方程可以借助于下列级数进行积分：
　　p=t-n1(p0+p1t+p2t2+…)，
　　q=t-n2(q0+q1t+q2t2+… )，
　　r=t-n3(r0+r1t+r2t2+…)，
　　γ=t-m1(f0+f1t+f2t2+…)，
　　γ′=t-m2(g0+g1t+g2t2+…)，
　　γ″=t-m3(h0+h1t+h2t2+…)．
　　这里n1，n2，n3，m1，m2，m3都是正整数．为了使这些级数能表示所研究方程组的通积分，它们应该包含5个任意常数．比较方程组两边第一项的系数，不难确定

n1＝n2＝n3=1，m1=m2=m3=2．

　　为确定系数p0，q0，r0，f0，g0，h0，科瓦列夫斯卡娅进一步分析方程，得到了刚体是非对称的一种情形的解．即当两个惯性力矩相等，并等于第三个惯性力矩的二倍，而刚体重心在由相等的惯性矩决定的平面内时，相当于在条件

A=B＝2C，z0=0

　　下给出了方程组的通积分．
　　欧拉方程组具有如下形式的代数积分：

Ap2+Bq2+Cr2-2Mg(x0γ+y0γ′+z0γ″)=C1，

Apγ+Bqγ′+Crγ″＝C2，

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1．

　　科瓦列夫斯卡娅在她限定的条件下导出了第四积分．她用在xy坐标平面内的转轴变换和改变长度单位的办法使y0=0，C=1，此时欧拉方程组变为：

　　其中C0=Mgx0．那么三个代数积分是

2(p2+q2)+γ2=2C0γ+6l1，

2(pγ+qγ′)+rγ″=2l，

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1．

　　此处l与l1是积分常数．然后她导出第四积分：[(p+qi)2+C0(γ+γ′i)][(p-qi)2+C0(γ-γ′i)]=k2，k为任意常数。接着，她令x1=p+qi，x2=p-qi，经过几次变量替换及代数运算，得到方程

　　这里R1(S)是5次多项式，其零点是唯一的，S1和S2是x1与x2的多项式．这组方程引出了超椭圆积分，科瓦列夫斯卡娅用θ函数解出了这些积分．
　　科瓦列夫斯卡娅还证明，她引进的关于p，q，r，γ，γ′，γ″的级数展开式是欧拉方程组的解的必要条件是A，B，C，x，y，z满足下列四个条件之一：
　　(1)A=B=C，
　　(2)x0=y0=z0(欧拉研究的情形)，
　　(3)A=B，x0=y0=0(拉格朗日研究的情形)，
　　(4)A=B=2C，z0=0(科瓦列夫斯卡娅研究的情形)。
　　刚体绕定点旋转问题如图1① (①引自P．Polubarinova-Kochina，Sophia vasilyevna Kovalevskaya，1957，第60页．)所示．

　　关于刚体绕定点旋转问题的研究，自从拉格朗日之后，大约有一个世纪停步不前．科瓦列夫斯卡娅的工作，打破了100年来的僵持局面，开辟了在近代力学中应用数学分析方法的新方向．正是这项工作使她获得法国科学院的鲍罗丁奖金．法国科学院举行了隆重的授奖仪式．科学院院长皮埃尔·让森(Pierre Janssen)先生亲自到会致词，高度评价了科瓦列夫斯卡娅的成就．他说：“当今最辉煌、最难得的荣誉桂冠，有一顶将落到一位妇女头上．本科学院的成员们发现，她的工作不仅证明她拥有广博深刻的科学知识，而且显示了她的巨大的创造才智．”
　　在文学方面，科瓦列夫斯卡娅曾和瑞典女作家安娜·列夫勒(Anna Leffler)共同创作剧本《为幸福而斗争》(Бapьбa зa CTaCTьe 1877)，获得成功．她还写了几部小说，如《童年的回忆》(Ba cпoM-иHaHия дeTCTBa 1890)、《一个女虚无主义者》(Hи ги-лиCTKa，1844)等．其中以《童年的回忆》最为著名，已被译成多种文字．
　　1948年，苏联科学院出版了科瓦列夫斯卡娅科学著作全集．1950年，莫斯科和斯德哥尔摩分别举行了隆重的纪念大会，纪念科瓦列夫斯卡娅诞生100周年．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:51
弗罗贝尼乌斯

　　弗罗贝尼乌斯，F．G．(Frobenius，Ferdinand Georg)1819年10月26日生于德国柏林；1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)．数学．
　　弗罗贝尼乌斯的父亲C．F．弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)．弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级力量快速增长，经济迅猛发展，从农业国变成工业国的时期，这种经济的持续繁荣为1871年德意志的民族统一打下了基础．社会的巨大变化要求教育体制与之相适应．但弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的．他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔(Joachimthal)文科中学(Gymnasium)，那是大学的预备学校．自1834年后，只有通过文科中学的毕业考试这条渠道，青年才能进入大学继续深造．文科中学垄断毕业考试的状况直至20世纪初才告结束．弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文、历史、人文学科及数学、自然科学等各门知识的良好基础后，1867年进入格丁根大学，开始他的数学学习．当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院中的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位．1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位．这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教．在这种学校里，数学和自然科学成为教学中的重要组成部分，这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的体现．现在Realschu1e成为Mittleschule(中学)的同义词．
　　当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国．除1825年创刊的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又创刊发行了《数学年鉴》(Mathematische Annalen)．70年代，虽然格丁根继C．F．高斯(Gauss)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和G．F．B．黎曼(Riemann)之后处于相对低潮，但柏林却由于E．E．库默尔(Kummer)、K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、L．克罗内克(Kronecker)等人而比较繁荣．处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文．1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校(Eidgeen

ssische Polytechnikum)教授．1876年，弗罗贝尼乌斯与A．莱曼(Lehmann)结婚．
　　1870年左右，群论成为数学研究的主流之一．弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文．1892年，他重返柏林大学任数学教授．1893年当选为柏林普鲁士科学院院士．
　　弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷．
　　弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作．1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”．关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的．1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究．1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念．弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义．1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H

1der)推广，成为(H，r)求和法．
　　弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论．群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念．这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献．在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及

．伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要．
　　19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论．作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成．群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论．弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”(

ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”(

ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”(

ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”(

ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等．
　　在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”(

ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”(

ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题．
　　在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念．设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d

还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T＇∶G→GLd＇(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d＇，

X=T＇(g)．特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g∈G的迹为表示的特征．这个定义比较简单，成为今天的标准定义．在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义．特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义．群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上．
　　在“群与其子群特征之间的关系”(

ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=

　　他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H的不可约表示，则φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论．
　　从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等．他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果．
　　与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法．他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”．20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论．
　　有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析．群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用．
　　弗罗贝尼乌斯擅长计算，越富挑战性的问题越能吸引他．他曾运用关于特征的思想以及组合学和代数学的新技巧算出一些无穷族中的所有群的特征表．他的技巧远远走在时代前面，对几何学和代数学也有持续而强烈的影响．正是这种勇于挑战的精神激励他在困难重重的抽象群表示论中乐此不疲地探索，取得丰硕成果．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:52

马尔科夫

　　马尔科夫， A． A．(МapKOB，AHдpeй AHдpeeBич)1856年6月14日生于俄国梁赞市；1922年7月20日卒于彼得格勒．数学．
　　马尔科夫的父亲原先是梁赞省林业厅的一个低级官员，后来在官场遭到倾轧，只好带领全家迁居彼得堡.(彼得堡(пeTepбypr)，1914-1924年改称彼得格勒(пeTpoгpaд)，)他自己在一个有钱的寡妇家里担任管家．大约在此同时，马尔科夫腿部患了骨结核，直到10岁左右方经手术治疗好转，但是仍然留有一点后遗症，这段痛苦的经历对他的早年意志是一个很好的磨炼．
　　中学时代，马尔科夫喜欢阅读Н．Г．车尔尼雪夫斯基(ЧepHь- IшeBCKий)、Н．А．杜勃罗留波夫(ДoбpoлюбOB)等进步作家的作品，因此屡屡遭到东正教会控制的学校领导的警告．有一次由于他在祈祷仪式上心不在焉，被学监斥责为无神论者和无政府主义者，只是考虑到他在数学方面的才华和父亲再三赔礼道歉之后，校方才保留了他的学籍．
　　马尔科夫在中学时就开始自学微积分，有一次他独立地发现了一种常系数线性常微分方程的解法，因此写信给俄国当时最有资望的数学家В．Я．布尼亚科夫斯基(БyHOBCKий)，信被转到彼得堡大学数学系的А．Н．科尔金(KopKиH)和Е．Н．佐洛塔廖夫(ЗoлoTap

B)手里，从此马尔科夫与彼得堡大学的数学家建立了联系．
　　1874年，马尔科夫考入彼得堡大学数学系．1878年毕业并留校工作，他的毕业论文“以连分数解微分方程”(Oб иHTeгpиpoBa- Hии ДиффepeHциaлHьIX ypaBHeHий пpи пoMo-щи HeпpepьIBHьIX дpoбeй，1878)获得当年系里颁发的金质奖．1880年，马尔科夫完成了“关于双正定二次型”(O биHap- HьIX KBaдpaTичHbIX фOPMax пoлoжиTeлbHoгo oпpeдeлиTeHия，1880)的硕士论文；从这一年起，他正式给学生开课．1883年，马尔科夫与М．И．瓦里瓦契耶瓦娅(BaльBaT-ъeBaя)结为伉俪，新娘的母亲正是他父亲当年的女雇主．1884年，马尔科夫以“关于代数连分数的某些应用”(O HeKoTopьIX пpи-лoжeHия aлгeбpaичecKиX HeпpepьIBHьIX дp- oбeй，为题通过了博士论文的答辩．
　　1886年，经П．Л．切比雪夫(ЧeбьIшeB)提名，马尔科夫获得彼得堡科学院联络成员资格，1890年成为候补院士，1896年升为正院士．他积极地参加了科学院数理学部的学术和组织活动．
　　马尔科夫从1880年开始，先是担任助教和讲师，1886年成为副教授，1893年成为正教授，1905年退休并获荣誉教授称号．二十五年来，他在彼得堡大学先后讲授过微积分、数论、函数论、矩论、计算方法、微分方程、概率论等课程，培养了大批出色的数学人才．1917年9月，因为彼得格勒已无正常的工作秩序，马尔科夫自愿来到梁赞省萨兰斯克城，无偿地为当地中学担任数学教师．十月革命后的1918年秋，马尔科夫重返彼得格勒，并为彼得格勒大学开设概率论讲座．
　　1921年秋，马尔科夫的健康开始恶化，只得离开母校．在生命的最后一年里，他还在抓紧时间对汇集了生平心血的《概率演算》(Иcч-иcлeHиe BepoяTHOCTeй，CПБ，1900，изд．，2-e-1908，3-e-1912，4-e-1924)一书进行修改．
　　在马尔科夫从事科学活动的时代，一个以彼得堡大学为中心的俄罗斯数学学派正在逐步形成，切比雪夫是这一学派当之无愧的领袖，科尔金、佐洛塔廖夫、Ю．Ь．索霍茨基(CoxoцKий)、K．A．波瑟(Пocce)、А．М．李雅普诺夫(ЛяпyHOB)和马尔科夫本人都是这一学派的重要成员．正是在这些人的共同努力下，俄国数学开始摆脱落后局面，并在数论、函数论、概率论等分支里出现了具有世界意义的成果．
　　马尔科夫的硕士论文是关于代数数论中双正定二次型的极值问题的，他推进和完善了科尔金和佐洛塔廖夫不久前得到的结果，并建立了二次型表示论与丢番图分析之间的联系．在这项工作中，马尔科夫已表现出了善于联系经典问题、充分利用初等工具、追求解的精确性和实用性以及不畏繁复计算的典型的“彼得堡风格”．由切比雪夫所开拓的这种独特风格正是使俄罗斯数学走向世界并引起法、德等传统数学大国刮目相看的主要原因．的确，在切比雪夫众多的弟子们之中，没有人比马尔科夫更加“彼得堡化”了，多年以后有人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说：“数学，那就是C．F．高斯(Gauss)、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业．”
　　1901年以后，马尔科夫又一再回到二次型这一课题上来，并得到关于三元、四元二次型的较好结果．他也曾致力于理想素因子的分解研究，
　　

理想素因子的当时最好结果，并算出了A≤70的所有数据．
　　切比雪夫曾将力学中矩的概念应用于证明概率论中的极限定理，他以连分数形式给出了某些极值不等式，但是没有提供证明．1884年，马尔科夫在“某些切比雪夫积分的证明”(Démonstrationde certaines inégalités de M．Tchebycheff， 1884)一文中给出了证明，又在同年通过的博士论文的第三部分给出了切比雪夫问题的完整解答．这一研究导致了马尔科夫关于矩论的一系列论文，后来他在概率论的研究中对切比雪夫的矩问题作了许多深入的拓广．这些拓广的一个重要方面的内容是：若前n+1个矩为已知的非负函数f(x)在区间(a，b)上满足不等式0 ≤ f(x)≤ L(L为一给定常数)，又设g

　　能的f(x)的最大值和最小值，并分别确定使其达到极值的两个具体的函数f1(x)和f2(x)．这里已经出现了泛函的雏形，马尔科夫在假定了g(x)前n+1阶导数存在且它本身在(a，b)上不变号的条件下解决了这个问题，这使他得以建立起一种相当简单而又带有修正项的新的求积公式．他的这些工作，最初见于1896年发表的“连分数的一些新应用”(HoBьIeпpилoжeHияHeпpepьIBHьIXдpoбeй，1896)一文，而后又在1897年的一系列论文中作了进一步的阐述，其中最为重要的一篇是“关于矩的L问题”(L-пpoблeMa MOMeHTOB，1897)．
　　马尔科夫的这一系列工作几乎是与荷兰数学家Th．J．斯蒂尔吉斯(Stieltjes)的工作同时而独立地进行的，但是后者更关心积分形式的意义，而不是其估值的结果，从而导致了一类应用广泛的积分的出现，为实变函数论的发展奠定了基础．斯蒂尔吉斯于去世前不久发表的综述性论文中，解决了无穷区间(0，∞)上的矩问题，并且给出了所要寻找的函数的一切整数阶矩的连分数表达式．作为回答与对这位学术知己的纪念，马尔科夫于1895年发表了“关于某些连分数收敛性的两个证明”(Deux démonstrationsde la convergence de certaines fractions continues， 1895)一文，文中给出了斯蒂尔吉斯连分数收敛的充分条件．
　　马尔科夫对实际问题具有浓厚兴趣．1889年，他在“关于一个门捷列夫问题”(Oб OдHOM BOпpoce Д．И．MeHдeлeeBa，1889)一文中，解决了由彼得堡大学著名化学家д．И．门捷列夫(MeHдeлeeB)提出的一个问题，从数学上来说这一问题相当于找出定义在闭区间[a，b]上的n次多项式f(x)之导数f′(x)在某种条件下的最大值，它与切比雪夫所开创的对偏离零点的多项式的最大偏差的估计有关．三年之后，马尔科夫的同父异母弟弟弗拉基米尔(Bлaди- Mиp)将这一问题推广到求导数多项式的上确界的情况，可惜他这位颇具数学才华的弟弟26岁时便死于肺结核．马尔科夫还研究过空间曲面的投影转换、铁路弯道的曲率等实际问题．在微分方程领域，他致力于G．拉梅(Lamé)方程和超几何方程的研究，其成果包括确定了一个超几何方程的两个解的乘积可为整函数的条件，以及这类函数与拉梅函数的零点分布问题．
　　马尔科夫对数学的最大贡献是在概率论领域作出的．十九世纪后二十年，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于独立随机变量和古典极值理论的研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理．二十世纪初，他的兴趣转移到相依随机变量序列的研究上来，从而创立了以他命名的著名概率模型——马尔科夫链．
　　概率论中的一个基本问题就是探索概率接近于1时的规律，特别是大量独立或弱相依因素累积结果所发生的规律，大数定律就是表达有关这种规律的命题之一．1845年，切比雪夫第一次证明了伯努利形式的大数定律，次年又把结果拓广到泊松形式之上．马尔科夫不满意切比雪夫证明中要求随机变量的方差值一致有界这一条件，经过努力他找到了两个更合理的条件，极大地改进了切比雪夫的结果．
　　中心极限定理是概率论极限理论的又一重要内容，它讨论随机变数和依分布收敛到正态分布的条件．在1884年马尔科夫对矩方法所涉及到的切比雪夫不等式给出了证明之后，切比雪夫于1887年得到了这一定理

夫提出的命题给出了精确的陈述与证明，文中所使用的改进后的矩方法后来被人称为“切比雪夫-马尔科夫矩方法”．
　　1900年前后，马尔科夫的低班校友李雅普诺夫引入了特征函数来考察中心极限定理，从而避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件，并为这一定理的进一步精确化准备了条件．多年来，马尔科夫力图在概率论中恢复矩方法的地位，最后他创造出了一种“截尾术”，即在适当的区域截断随机变量使之有界，从而在不改变它们和的极限分布的前提下保证任意阶矩的存在，他的这一成果发表在“关于李雅普诺夫院士情形的概率极限的定理”(TeopeMa Oпpeдeлe Bep- oяTHOCTи для CлyчaeB aKaдeMиKa A．M． ДяпyHoBa，1909)一文中．马尔科夫的创造克服了特征函数方法过分依赖独立性的弱点，开辟了通向非独立随机变量研究的道路，并为强极限理论的发展提供了有力的手段．他与李雅普诺夫关于方法论的竞争，极大地丰富了本世纪初概率论的内容，对这门学科的现代化产生了深远的影响．
　　出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在本世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了重要的一类加以研究．1906年，他在“大数定律关于相依变量的扩展”(PacпpocTpaHeHиe зaKo- HOB бoлbщиX чиCeлHA BeличиHbI，зaBиCяшиe дpyг OT дpyгa，1906)一文中，第一次提到如下一种试验序列：若每次试验能够实现且仅能够实现k件互不相容事件A1s，A2s，…，Aks(s表试验号码)中的一件，而在第s+1次试验中实现事件Ais+1(i=1，2，…k)的条件概率只与第s次试验中发生的事件有关，而与更早的试验中发生的事件无关．这就是被后人称为“马尔科夫链”(严格说是“简单马尔科夫链”)的概率模型．
　　例如，一个受到在t1，t2，t3，…时刻发生的随机推动的影响而沿着一条直线运动的质点，在运动过程中位于具有整数坐标a，a+1，a+2，…b的点上；在a点和b点上有反射性的壁障．当质点不在壁上时，每次推动使该质点以概率p向右移动而以概率q=1-p向左移动；若质点在壁上，则任何推动使它在两壁之间移动一个单位．可以看出，该质点在ti时刻以多大的概率在什么位置仅仅与它在ti－1时刻的位置有关，而与它在t1，t2，…，ti-2诸时刻的位置无关，这个质点徘徊的例子就提供了一个马尔科夫链的实例．
　　在这篇论文中，马尔科夫证明了：在这种随机变量序列中，如果变

些前提下证明了模型的各态历经性，成为统计物理中具有重要作用的遍历理论的第一个被严格证明的结果．
　　马尔科夫链的哲学意义可用苏联数学家 А．Я．辛钦(XиHч-иH)的一句话来概括，这就是承认客观世界中有一种现象，其未来由现在所决定的程度，使得其关于过去的知识丝毫不影响这种决定性．马尔科夫链的建立实际上是Ch．惠更斯(Huygens)无后效原理的概率推广，同时也是对P．S．拉普拉斯(Laplace)决定论的否定．在后者的宇宙图景中，任意系统在t＞t0时的状态ξ可由其初始时刻t0和初始状态ξ0唯一决定：ε=f(t0，ξ0，t)，这里f是一个微分方程．可是在马尔科夫的概率模型中，代替初始条件t0和ξ0的是一个条件概率，即在时刻t0处于状态ξi的条件下，于时刻t出现状态ξj的概率p(t0，ξi；t，ξj)对于三个相邻时刻t0＜t1＜t2之间的条件概率，存在着

这里n表示状态的总数．这一公式与拉普拉斯的微分方程的不同就在于否定了系统中任一状态ξ与其初始状态ξ0之间的因果必然性．
　　马尔科夫是第一个建立这样一种服从无后效原理的数学模型的人，但是他本人并没有提到这一模型在物理世界的应用．有趣的是，他曾用语言学方面的材料来验证这一模型．在《概率演算》的第四版中，他以 A． C．普希金(ПyшKиH)的长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律，验证了只有两种状态的简单马尔科夫链在俄文字母随机序列中的存在．
　　完成了关于链的大数定律的证明之后，马尔科夫又在一系列论文中开始研究链的中心极限定理．1907年，他在《科学院通报》(ИзBT-ияX AkaдeMии HayK)上发表了“相依试验的一种特殊情况”(ИccлeдoBaHиe зaMeчaTeлbHoгo cлyчaя зaB-иCиMьIX иcпьITaHий，1907)一文，文中证明了仅有0，1两种状态的齐次马尔科夫链的中心极限定理．1908年，他又在“一个链中变量和的概率计算极限定理的推广”(PacпpocTpaHeHиe пpe-дeльHьIX TeopeM иcчилeHия BepoяTHoCTeйHa cy- Mmy BeличиH，CBязaHHbIX B цeпь，1908)一文中将结果推广到具有有限状态的任意齐次乌尔科夫链的情况，在这里转移概率满足一些特定条件．如同他的其他许多工作一样，他在这一证明中使用了矩方法．1910年，马尔科夫发表了“成连锁试验的普遍情况研究”(ИccлeдoBaHиe oбщeгo cлyч-aя иcпьITaHий．CBязaHHьIX B цeпь，1910)一文，文中证明了两种状态的非齐次马尔科夫链的中心极限定理，其中四个转移概率位于一个固定的区间(c1，c2)内．
　　马尔科夫提出的概念后来被扩充到连续时间和任意位相空间，按照欣钦的建议被称为马尔科夫过程，它是现代概率论中的一个重要分支——随机过程理论中的一部分．马尔科夫过程的一般理论及其分类是苏联数学家А．Н．柯尔莫哥洛夫(KoлMoгopoB)于1930年完成的．马尔科夫所开创的这一研究引起了近代物理学、化学、遗传学乃至经济学与社会学观念上的革命，其真实性可由下述事实得到证明：那就是，在马尔科夫从事他的研究之前或同时，一些关于马尔科夫链甚至马尔科夫过程的实例就由其他科学家提供了．例如，1889年英国遗传学家F．高尔顿(Galton)对一个家族生存的调查就可归为一种具有可数状态的马尔科夫链；另一个模型于1907年由荷兰物理学家P．厄伦费斯特(Ehre-nfest)关于容器中分子扩散的实验提供．1912年，法国数学家Н．庞加莱(Poincaré)在其《概率演算》第二版(Calcul des probabilités，2nd．ed．，1912)中提出的洗牌问题，涉及到一个定义在置换群上的链的各态历经性质．法国数学家L．巴歇列埃(Bachelier)在1900—1901年的关于投机理论的研究中接触到连续性的马尔科夫过程．其后А．爱因斯坦(Einstein)和波兰物理学家М．冯·斯莫卢霍夫斯基(Smoluchowski)在对布朗运动的研究中也接触到这一课题．第一个用马尔科夫过程来严格地描述布朗运动的工作是由美国数学家N·维纳(Wiener)于1923年给出的．
　　马尔科夫关于链的理论在本世纪得到一大批优秀数学家的继承与发展，他们当中有С．Н．伯恩斯坦(БepHшTeйH)、М．弗雷歇(Fréchet)、В．И．罗曼诺夫斯基(PoMaHoBcKий)、柯尔莫哥洛夫、W．费勒(Feller)、P．莱维(Lévy)、J．达布(Doob)等．近年来，中国数学工者作在与马尔科夫过程论有关的众多课题上也取得了令人瞩目的成果．
　　马尔科夫生活的时代，正当俄国民主启蒙运动空前高涨和社会主义革命走向胜利的时代，他的思想和行为都体现了鲜明的时代特征．他曾就滥用概率论于“伦理科学”和用神学干预科学的倾向与布尼亚科夫斯基展开过论战．在《概率演算》一书中，他针对后者对“某些哲学家以极不体面的方式，试图把关于证据和传说弱化的概率公式应用到宗教信仰上”的攻击而写道：“对不大可能的事件的叙述就仿佛对久远年代以前发生的事件一样，显然应该予以极端的怀疑．”1912年2月12日，马尔科夫致信东正教最高会议，信中写道：“我最诚挚地请求革除我的教籍．我所写的《概率演算》一书中的一些言论可以作为开除我的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教教义基础的那些传说所持的否定态度．”教会一面在报纸上对他组织围攻，一面派人来劝说他改变初衷，但是马尔科夫声称“只与来人谈数学”，最后教会只好开除了他的教籍．
　　1902年 2月，科学院文学部联席会议通过了接纳М．高尔基(Гop-ьKий)为名誉院士的决议，但是很快引来了沙皇А．尼古拉二世(H-иKoлaй Ⅱ)的粗暴干涉，受到压力的科学院院务委员会只好又发布了一个取消高尔基当选资格的文告．马尔科夫同В．Г．科罗连科(KopoлeHKO)、А．П．契诃夫(ЧeXOB)等人一道参加了抗议活动．4月6日，他向院务委员会递交了抗议声明．在公开宣读这一声明的要求被拒绝之后，他又于两天后向院长递交了辞去院士称号的报告．直到1905年，他还不忘上书院务委员会，提请其撤销1902年的错误文告．
　　1905年的民主革命失败以后，马尔科夫抵制了代表沙皇利益的第三届国家杜马的选举．他在给科学院的声明中说：“第三届国家杜马的建立完全违背了宪法，因而它根本不是一个代表人民意愿的议会，而只是一个非法的团体，因此我坚决请求院务委员会不要把我的名字列入选民的名单之中．”针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔科夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权力．”
　　1913年，沙皇政府为了转移国内日益高涨的革命情绪并准备帝国主义战争，决定以1613年全俄贵族会议选举M．Φ罗曼诺夫(PoMaHoB)为沙皇这一历史事件为标志举行罗曼诺夫王朝建立三百周年的庆典．与此针锋相对，马尔科夫以雅格布·伯努利(Bernoulli Jakob)的《猜度术》(Ars Conjectandi，1713)的出版为标志，在科学界发起了庆祝大数定律发现二百周年的庆祝活动．
　　马尔科夫去世后，他的遗体被安葬在彼得格勒的米特罗方耶夫斯基公墓．他的墓碑如同他的文章与讲课风格一样朴素无华．他在数学上的贡献和他为了科学与民主而奋斗的一生是值得后人景仰的．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:53
希尔伯特

李文林

(中国科学院数学研究所)

　　希尔伯特，D．(Hilbert，David)1862年1月23日生于德国柯尼斯堡；1943年2月14日卒于格丁根．数学．
　　希尔伯特出身于东普鲁士的一个中产家庭．祖父大卫·菲尔赫哥特·勒贝雷希特·希尔伯特(David Fürchtegott LeberechtHilbert)和父亲奥托·希尔伯特(Otto Hilbert)都是法官，祖父还获有“枢密顾问”头衔．母亲玛丽亚·特尔思·埃尔特曼(Ma-ria Therse Erdtmann)是商人的女儿，颇具哲学、数学和天文学素养．希尔伯特幼年受到母亲的教育、启蒙，八岁正式上学，入皇家腓特烈预科学校．这是一所有名的私立学校，E．康德(Kant)曾就读于此．不过该校教育偏重文科，希尔伯特从小喜爱数学，因此在最后一学期转到了更适合他的威廉预科学校．在那里，希尔伯特的成绩一跃而上，各门皆优，数学则获最高分“超”．老师在毕业评语中写道：“该生对数学表现出强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地应用它们．”
　　1880年秋，希尔伯特进柯尼斯堡大学攻读数学．大学第二学期，他按当时的规定到另一所大学去听课，希尔伯特选择了海德堡大学，那里L．富克斯(Fuchs)教授的课给他印象至深．在柯尼斯堡，希尔伯特则主要跟从H．韦伯(Weber)学习数论、函数论和不变量理论．他的博士论文指导老师是赫赫有名证明π超越性的F．林德曼(Lindemann)教授，后者建议他做代数形式的不变性质问题．希尔伯特出色地完成了学位论文，并于1885年获得了哲学博士学位．
　　在大学期间，希尔伯特与比他年长三岁的副教授A．胡尔维茨(Hurwitz)和比他高一班的H．闵可夫斯基(Minkowski)结下了深厚友谊．这种友谊对各自的科学工作产生了终身的影响．希尔伯特后来曾这样追忆他们的友谊：“在日复一日无数的散步时刻，我们漫游了数学科学的每个角落”；“我们的科学，我们爱它超过一切，它把我们联系在一起．在我们看来，它好象鲜花盛开的花园．在花园中，有许多踏平的路径可以使我们从容地左右环顾，毫不费力地尽情享受，特别是有气味相投的游伴在身旁．但是我们也喜欢寻求隐秘的小径，发现许多美丽的新景．当我们向对方指出来，我们就更加快乐”．(见研究文献[8]．)
　　大学毕业后，希尔伯特曾赴莱比锡、巴黎等地作短期游学．在莱比锡，他参加了F．克莱因(Klein)的讨论班，受到后者的器重．正是克莱因推荐希尔伯特去巴黎访问，结识了H．庞加莱(Poincaré)、C．若尔当(Jordan)、E．皮卡(Picard)与C．埃尔米特(Hermite)等法国著名数学家．在从巴黎返回科尼斯堡途中，希尔伯特又顺访了柏林的L．克罗内克(Kronecker)．希尔伯特在自己早期工作中曾追随过克罗内克，但后来在与直觉主义的论战中却激烈地批判“克罗内克的阴魂”．
　　1886年6月，希尔伯特获柯尼斯堡大学讲师资格．除教课外，他继续探索不变量理论并于1888年秋取得突破性结果——解决了著名的“哥尔丹问题”，这使他声名初建．1892年，希尔伯特被指定为柯尼斯堡大学副教授以接替胡尔维茨的位置．同年10月，希尔伯特与克特·耶罗施(K

the Jerosch)结婚．1893年，希尔伯特升为正教授．1895年3月，由于克莱因的举荐，希尔伯特转任格丁根大学教授，此后他始终在格丁根执教，直到1930年退休．
　　在格丁根，希尔伯特又相继发表了一系列震惊数学界的工作：1896年他向德国数学会递交了代数数论的经典报告“代数数域理论” (Die Theorie der algebraischen Zahlk

rper)；1899年发表著名的《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)并创立了现代公理化方法；同年希尔伯特出人意料地挽救了狄利克雷原理而使变分法研究出现崭新转机；1909年他巧妙地证明了华林猜想；1901—1912年间通过积分方程方面系统深刻的工作而开拓了无限多个变量的理论．这些工作确立了希尔伯特在现代数学史上的突出地位．1912年以后，希尔伯特的兴趣转移到物理学和数学基础方面．
　　希尔伯特典型的研究方式是直攻重大的具体问题，从中寻找带普遍意义的理论与方法，开辟新的研究方向．他以这样的方式从一个问题转向另一个问题，从而跨越和影响了现代数学的广阔领域．
　　代数不变量问题(1885—1893)．代数不变量理论是19世纪后期数学的热门课题．粗略地说，不变量理论研究各种变换群下代数形式的不变量．古典不变量理论的创始人是英国数学家G．布尔(Boole)、 A．凯莱(Cayley)和 B．西尔维斯特(Sylvester)．n个变元x1；x2，…，xn的m次齐次多项式J(x1，…，xn)被称为n元m次代数形式．设线性变换T将变元(x1，…，xn)变为(X1，…，Xn)，此时多项式J(x1，…，xn)变为J*(X1，…，Xn)，J的系数a0，a1，…，aq，变为J*的系数A0，A1，…，Aq．若对全体线性变换T有J=J*，则称J为不变式，称在线性变换下保持不变的J的系数的任何函数I为J的一个不变量．凯莱和西尔维斯特等人计算、构造了大量特殊的不变量，这也是1840—1870年间古典不变量理论研究的主要方向．进一步的发展提出了更一般的问题——寻找不变量的完备系，即对任意给定元数与次数的代数形式，求出最小可能个数的有理整不变量，使任何其他有理整不变量可以表成这个完备集合的具有数值系数的有理整函数．这样的完备系亦叫代数形式的基．在希尔伯特之前，数学家们只是对某些特殊的代数形式给出了上述一般问题的解答，这方面贡献最大的是P．哥尔丹(Gordan)．哥尔丹几乎毕生从事不变量理论的研究，号称“不变量之王”．他最重要的结果是所谓“哥尔丹定理”，即对二元形式证明了有限基的存在性．哥尔丹的证明冗长、繁复，但其后二十余年，却无人能够超越．
　　希尔伯特的工作从根本上改变了不变量理论研究的现状．他的目标是将哥尔丹定理推广到一般情形，他采取的是崭新的非算法的途径．希尔伯特首先改变了问题的提法；给定了无限多个包含有限个变元的代数形式系，问在什么条件下存在一组有限的代数形式系，使所有其他的形式都可表成它们的线性组合？希尔伯特证明了这样的形式系是存在的，然后应用此结果于不变量而得到了不变量系有限整基的存在定理．希尔伯特的证明是纯粹的存在性证明，他不是像哥尔丹等人所做的那样同时把有限基构造出来，这使它在发表之初遭到了包括哥尔丹本人在内的一批数学家的非议．哥尔丹宣称“这不是数学，而是神学！”但克莱因、凯莱等人却立即意识到希尔伯特工作的价值．克莱因指出希尔伯特的证明“在逻辑上是不可抗拒的”，并将希尔伯特的文章带到在芝加哥举行的国际数学会议上去推荐介绍．存在性证明的意义日益获得公认．正如希尔伯特本人阐明的那样：通过存在性证明“就可以不必去考虑个别的构造，而将各种不同的构造包摄于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突显出来，达到思想的简洁和经济，…禁止存在性证明，等于废弃了数学科学”．对于现代数学来说，尤为重要的是希尔伯特的不变量理论把模、环、域的抽象理论带到了显著地位，从而引导了以埃米·诺特(EmmyNoether)为代表的抽象代数学派．事实上，希尔伯特对不变量系有限基的存在性证明，是以一条关键的引理为基础，这条关于模(module，指多项式环中的一个理想)的有限基的存在性引理，正是通过使用模、环、域的语言而获得的．
　　希尔伯特最后一篇关于不变量的论文是“论完全不变量系”(

ber die vollen Invariantensysteme，1893)，他在其中表示“由不变量生成的函数域的理论最主要的目标已经达到”，于是他在致闵可夫斯基的一封信中宣告：“从现在起，我将献身于数论”．
　　代数数域(1893—1898)．希尔伯特往往以对已有的基本定理给出新证明作为他征服某个数学领域的前奏．他对代数数论的贡献，情形亦是如此．在1893年慕尼黑德国数学会年会上，希尔伯特宣读的第一个数论结果——关于素理想分解定理的新证明，即引起了与会者的重视，数学会遂委托希尔伯特与闵可夫斯基共同准备一份数论进展报告．该报告最后实际上由希尔伯特单独完成(闵可夫斯基中间因故脱离计划)，并于1897年4月以“代数数域理论”为题正式发表(以下简称“报告”)．远远超出数学会的期望，这份本来只需概述现状的报告，却成为决定下一世纪代数数论发展方向的经典著作．“报告”用统一的观点，将以往代数数论的全部知识铸成一个严密宏伟的整体，在对已有结果给出新的强有力的方法的同时引进新概念、建立新定理，描绘了新的理论蓝图．希尔伯特在“报告”序言中写道：
　　“数域理论是一座罕见的优美和谐的大厦．就我所见，这座建筑中装备得最富丽的部分是阿贝尔域和相对阿贝尔域的理论，它们是由于库默尔关于高次互反律的工作和克罗内克关于椭圆函数复数乘法的研究而被开拓的．更深入地考察这两位数学家的理论，就会发现其中还蕴藏着丰富的无价之宝，那些了解它们的价值，一心想试一试赢得这些宝藏的技艺的探索者，将会得到丰富的报偿．”
　　“报告”发表后的数年间，希尔伯特本人曾努力发掘这些“宝藏”，这方面的工作始终抓住互反律这个中心，并以类域论的建立为顶峰．
　　古典互反律最先为L．欧拉(Euler，1783)和A．-M．勒让德(Legendre，1785)发现，它描述了一对素数p，q及以它们为模的二次剩余之间所存在的优美关系．C．F．高斯(Gauss)是第一个给二次互反律以严格证明的人(1801)，他把它看作算术中的“珍宝”，先后作出了七个不同证明，并讨论过高次互反律．
　　将互反律推广到代数数域情形，是代数数论的一个重要而困难的课题，希尔伯特的工作为此种推广铺平了道路．希尔伯特从二次域的简单情形入手，将二次剩余解释为一个二次域中的范数，将高斯剩余符号解释为范数剩余符号．利用范数剩余符号，古典互反律可以被表示成简单漂亮的形式

　
　　述可以被有效地推广，使希尔伯特猜测到高次互反律的一般公式(虽然他未能对所有情形证明其猜测)．
　　希尔伯特在1898年发表的纲领性文章“相对阿贝尔域理论”(Ueber die tbeorie der relativ Abelschen Zahlk

rper)中，概括了一种广泛的理论——类域论．“类域”，是一种特别重要的代数数域：设代数数域k的伽罗瓦扩张为K，若K关于k的维数等于k的类数，且k的任何理想在K中都是主理想，就称K为k的类域．希尔伯特当初定义的“类域”，相当于现在的“绝对类域”．作为猜想，希尔伯特建立了类域论的若干重要定理：(1)任意代数数域k上的类域存在且唯一；(2)相对代数数域K/k是阿贝尔扩张，且其伽罗瓦群与k的理想类群同构；(3)K/k的共轭差积为1；(4)对于k的素理想p，如果f是最小正整数使p′成为主理想，则p在K中分解为p=β1β2…βg(NK/k(βi)=pf，fg=h)；(5)(主理想定理)设K/k为绝对类域，则将k的任意理想扩张到K时，就都成为主理想．希尔伯特在某种特殊情形下给出了上述定理的证明．类域论后经高木贞治和E．阿廷(Artin)等人进一步发展而成完美的现代数学体系．
　　希尔伯特关于代数数域的研究同时使他成为同调代数的前驱．“报告”中有一条相对循环域的中心定理——著名的“定理90”，包含了同调代数的基本概念．
　　“相对阿贝尔域理论”的发表标志了希尔伯特代数数域研究的终结．希尔伯特是属于这样的数学家，他们竭尽全力打开一座巨大的矿藏后，把无数的珍宝留给后来人，自己却又兴趣盎然地去勘探新的宝藏了．1898年底，格丁根大学告示：希尔伯特教授将于冬季学期作“欧几里得几何基础”的系列讲演．
　　几何基础(1898—1902)．H．外尔(Weyl)曾指出：“不可能有比希尔伯特关于数域论的最后一篇论文与他的经典著作《几何基础》把时期划分得更清楚了．”在1899年以前，希尔伯特唯一正式发表的几何论述只有致克莱因的信“论直线作为两点间的最短连结”(

ber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweierPunkte，1895)．但事实上，希尔伯特对几何基础的兴趣却可以追溯到更早．1891年夏，他作为讲师曾在柯尼斯堡开过射影几何讲座．同年9月，他在哈雷举行的自然科学家大会上听了H．维纳(Wiener)的讲演“论几何学的基础与结构”(

ber Grundlagenund Aufbau der Geometrie)．在返回柯尼斯堡途中，希尔伯特在柏林候车室里说了以下的名言：“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”．说明他当时已认识到直观的几何概念在数学上并不合适．以后希尔伯特又先后作过多次几何讲演，其中最重要的有1894年夏季讲座“几何基础”、1898年复活节假期讲座“论无限概念”(

ber den Begriff des Unendlichen)，它们终于导致了1898—1899年冬季学期讲演“几何基础”中的决定性贡献．
　　欧几里得几何一向被看作数学演绎推理的的典范．但人们逐渐察觉到这个庞大的公理体系并非天衣无缝．对平行公理的长期逻辑考察，孕育了Η·И·罗巴切夫斯基(ЛoбaчeBCKий)、J．波尔约(Bolyai)与高斯的非欧几何学，但数学家们却并没有因此而高枕无忧．第五公设的独立性追使他们对欧几里得公理系统的内部结构作彻底的检查．在这一领域里，希尔伯特主要的先行者是M．帕施(Pasch)和G．皮亚诺(Peano)．帕施最先以纯逻辑的途径构筑了一个射影几何公理体系(1882)，皮亚诺和他的学生M．皮耶里(Pieri)则将这方面的探讨引向欧氏几何的基础．但他们对几何对象以及几何公理逻辑关系的理解是初步的和不完善的．例如帕施射影几何体系中列出的公理与必须的极小个数公理相比失诸过多；而皮亚诺只给出了相当于希尔伯特的部分(第一、二组)公理．在建造逻辑上完美的几何公理系统方面，希尔伯特是真正获得成功的第一人．正如他在《几何基础》导言中所说：
　　“建立几何的公理和探究它们之间的联系，是一个历史悠久的问题；关于这问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析．”“本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义．”
　　与以往相比，希尔伯特公理化方法的主要功绩在于以下两个方面．
　　首先是关于几何对象本身达到了更高的抽象．希尔伯特的公理系统是从三类不定义对象(点、线、面)和若干不定义关系(关联、顺序、合同)开始的．尽管希尔伯特沿用了欧氏几何的术语，其实是“用旧瓶装新酒”，在欧氏几何的古典框架内提出现代公理化的观点．欧氏几何中的空间对象都被赋予了描述性定义，希尔伯特则完全舍弃了点、线、面等的具体内容而把它们看作是不加定义的纯粹的抽象物．他明确指出欧几里得关于点、线、面的定义本身在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们同所选诸公理的关系．这就赋予几何公理系统以最大的一般性．
　　其次，希尔伯特比任何前人都更透彻地揭示出公理系统的内在联系．《几何基础》中提出的公理系统包括20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：
　　Ⅰ．1—8．关联公理
　　Ⅱ．1—4．顺序公理
　　Ⅲ．1—5．合同公理
　　Ⅳ．平行公理
　　Ⅴ．1—2．连续公理
　　这样自然地划分公理，使公理系统的逻辑结构变得非常清楚．希尔伯特明确提出了公理系统的三大基本要求，即相容性(consis-tency)、独立性(independency)和完备性(completeness)．
　　相容性要求公理系统不包含任何矛眉．这是在公理基础上纯逻辑地展开几何学时首先遇到的问题．在希尔伯特之前，人们已通过非欧几何在欧氏空间中的实现而将非欧几何的相容性归结为欧氏几何的相容性．希尔伯特贡献的精华之一，是通过算术解释而将欧氏几何的相容性进一步归结为算术的相容性．例如，将平面几何中的点与实数偶(x，y)对应起来，将直线与联比(u，v，w)(u，v不同时为0)对应起来，表达式ux+vy+w=0就表示点落在直线上，这可以看作“关联”关系的算术解释．在对每个概念与关系类似地给出算术解释后，希尔伯特进一步将全部公理化成算术命题，并指出它们仍能适合于这些解释．这样，希尔伯特就成功地证明了：几何系统里的任何矛盾，必然意味着实数算术里的矛盾．
　　希尔伯特处理独立性问题的典型手法是构造模型：为了证明某公理的独立性，构造一个不满足该公理但满足其余公理的模型，然后对这个新系统证明其相容性．希尔伯特用这样的方法论证了那些最令人关心的公理的独立性，其中一项重大成果是对连续公理(亦叫阿基米德公理)独立性的研究．在这里，希尔伯特建造了不用连续公理的几何学——非阿基米德几何学模型．《几何基础》用了整整五章篇幅来实际展开这种新几何学，显示出希尔伯特卓越的创造才能．
　　如果说独立性不允许公理系统出现多余的公理，那么完备性则意味着不可能在公理系统中再增添任何新的公理，使与原来的公理集相独立而又与之相容．《几何基础》中的公理系统是完备的，但完备性概念的精确陈述则是由其他学者如E．亨廷顿(Hun－tington，1902)、O．维布伦(Veblen，1904)等给出的．
　　《几何基础》最初发表于1899年6月格丁根庆祝高斯-韦伯塑像落成的纪念文集上，它激起了对几何基础的大量关注，通过这部著作，希尔伯特不仅使几何学本身具备了空前严密的公理化基础，同时使自己成为整个现代数学公理化倾向的引路人．其后，公理化方法逐步渗透到几乎所有的纯数学领域．正因为如此，人们对《几何基础》的兴趣历久不衰，该书在希尔伯特生前即已六次再版，1977年纪念高斯诞生200周年时发行了第十二版．
　　变分法与积分方程(1899—1912)．希尔伯特在代数和几何中留下了深刻印记后，接着便跨入数学的又一大领域——分析．他以挽救狄利克雷原理(1899)的惊人之举，作为其分析时期的开端．
　　狄利克雷原理断言：存在着一个在边界上取给定值的函数u0，使重积分

　　达极小值，这个极小化函数u0同时是拉普拉斯方程△u=0的满足同一边界条件的解．该原理最早出现在G．格林(Green，1835)的位势论著作中，稍后又为高斯和狄利克雷独立提出．G．F．B．黎曼(Riemann)首先以狄利克雷的名字命名这一原理并将其应用于复变函数．然而，K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)1870年以其特有的严格化精神批评了狄利克雷原理在逻辑上的缺陷．他指出：连续函数下界存在并可达，此性质不能随意推广到自变元本身为函数的情形，也就是说在给定边界条件下使积分F(u)极小化的函数未必存在．他的批判迫使数学家们闲置狄利克雷原理，但另一方面数学物理中许多重要结果都依赖于此原理而建立．　　希尔伯特采取完全不同的思路来处理这一难题．他通过边界条件的光滑化来保证极小化函数的存在，从而恢复狄利克雷原理的功效．具体

un本身不恒收敛，但可用对角线法获得一处处收敛的子序列，其极限必使积分达极小值．希尔伯特的工作不仅“复活”了具有广泛应用价值的狄利克雷原理，同时大大丰富了变分法的经典理论．
　　希尔伯特对现代分析影响最为深远的工作是在积分方程方面．积分方程与微分方程一样起源于力学与物理问题，但在发展上却比后者迟缓．它的一般理论到19世纪末才由意大利数学家V·沃尔泰拉(Volterra)等开始建立．在希尔伯特之前，最重要的推进是瑞典数学家E．I．弗雷德霍姆(Fredh

lm)作出的．弗雷德霍姆处理了后以他的名字命名的积分方程：

　　他将积分方程看作是有限线性代数方程组当未知数数目趋于无限时的极限情形，从而建立了积分方程与线性代数方程之间的相似性．希伯尔特于1900—1901年冬从正在格丁根访问的瑞典学者E．霍尔姆格伦(Holmgren)那里获悉弗雷德霍姆的工作，便立即把注意力转向积分方程领域．
　　一如以往的风格，希尔伯特从完善和简化前人工作入手．他首先严格地实现了从代数方程过渡到积分方程的极限过程，而这正是弗雷德霍姆工作的缺陷．如果希尔伯特停留于此，那他就不可能成为本世纪领头的分析学家之一了．希尔伯特随后便越出了弗雷德霍姆的线性代数方程理论，而开辟了一条独创的道路．他研究带参数的弗雷德霍姆方程

　　参数λ在希尔伯特的理论中具有本质意义．他将重点转到与方程(1)相应的齐次方程的特征值和特征函数问题上，以敏锐的目光看出了该问

x(s)y(t)dsdt建立了广义主轴定理：设K(s，t)是s，t的

数，则对任意连续的x(s)和y(t)如下关系成立：

8 X6 p* Y% w0 j7 e- G7 d) |( B

　　＜∞的所有x(s)， y(t)绝对一致收敛．

　　利用上述结果，希尔伯特证明了著名的展开定理(后称希尔伯特-施

式的傅里叶系数．
　　希尔伯特接着又将通常的代数主轴定理推广到无限多个变量的二次型，这是他全部理论的关键之处．他证明：存在一个正交变换T，使得

“有界”性都是希尔伯特为保证主轴定理在无限情形的推广而特意引进的重要概念．　　正是在这里，希尔伯特创造了极其重要的具有平方收敛和的数列空

列(x1，x2，…)看作可数无限维空间中的一个向量x，考虑具有有限

间，它具有发展积分方程论所必需的完备性．
　　希尔伯特应用上述无限多个变量的二次型理论而获得了积分方程论

证明了齐次方程除特征值λp以外没有非平凡解．这就重建了弗雷德霍姆的“择一定理”．虽然希尔伯特的结果有许多并不是新的，但正如我们已经看到的那样，他彻底改造了弗雷德霍姆的理论，其意义远远超出了积分方程论本身．他所引进的概念与方法，启发了后人大量的工作．其中特别值得提出的是：匈牙利数学家F．里斯(Riesz)等借完备标准正交系确立了勒贝格平方可积函数空间与平方可和数列空间之间的一一对应关系，制定了抽象希尔伯特空间理论，从而使积分方程理论成为现代泛函分析的主要来源之一．希尔伯特关于积分方程的一般理论同时渗透到微分方程、解析函数、调和分析和群论等研究中，有力地推动了这些领域的发展．
　　希尔伯特关于积分方程的成果还在现代物理中获得了意想不到的应用．希尔伯特在讨论特征值问题时曾创造了“谱”(spec－trum)这个术语，他将谱分析理论从全连续二次型推广至有界二次型时发现了连续谱的存在．到20年代，当量子力学蓬勃兴起之时，物理学家们发现希尔伯特的谱分析理论原来是量子力学的非常合适的数学工具．希尔伯特本人对此感触颇深，他指出：“无穷多个变量的理论研究，当初完全是出于纯粹数学的兴趣，我甚至管这理论叫‘谱分析’，并没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用”．
　　希尔伯特关于积分方程的研究，被总结成专著《线性积分方程一般理论基础》(Grundz

ge einer allgemeiner Theorie der linea－ren Integralgleichungen)于1912年正式出版，其中收进了他1904—1910年间发表的一系列有关论文．
　　物理学(1912—1922)．希尔伯特对物理学的兴趣起初是受其挚友闵可夫斯基的影响．闵可夫斯基去世后，1910—1918年，希尔伯特一直在格丁根坚持定期讲授物理学．从1912年开始，他更将其主要的科学兴趣集中到物理学方面，并为自己配备了物理学助手．
　　与物理学家不同的是，希尔伯特研究物理学的基本途径是“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学”．遵循这一路线，希尔伯特先是成功地将积分方程论应用于气体分子运动学，随后又相继处理了初等辐射论与物质结构论；受狭义相对论应用数学的鼓舞，他于1914—1915年间大胆地将公理化方法引向当时物理学的前沿——广义相对论并作出了特殊贡献；1927年，他与冯·诺依曼(von Neumann)和 L．诺德海姆(Nordheim)合作的文章“论量子力学基础”(

ber die Grundlagen der Quanten－mechanik)则推动了量子力学的公理化．
　　希尔伯特所提倡的公理化物理学的一般意义，至今仍是需要探讨的问题．值得强调的是他在广义相对论方面的工作，确实提供了物理学中运用公理化方法的成功范例．希尔伯特在1914年底被A．爱因斯坦(Einstein)关于相对性引力理论的设想和另一位物理学家G．米(Mie)试图综合电磁与引力现象的纯粹场论计划所吸引，看到了将二者联系起来建立统一物质场论的希望，并立即投入这方面的探讨．他运用变分法、不变式论等数学工具，按公理化方法直接进行研究．1915年11月20日，希尔伯特在向格丁根科学会递交的论文《物理学基础，第一份报告》(Die Grundla－gen der physik， erste Mitteilung)中公布了基本结果．他在这份报告中这样概括自己的贡献：
　　“遵循公理化方法，事实上是从两条简单的公理出发，我要提出一组新的物理学基本方程，这组方程具有漂亮的理想形式，并且我相信它们同时包含了爱因斯坦与米所提出的问题的解答。”
　　希尔伯特所说的两条简单公理是：
　　公理Ⅰ(世界函数公理)．物理定律由世界函数H所决定，使积分

　　公理Ⅱ(广义协变公理)．世界函数H对一般坐标变换皆保持不变．
　　由公理Ⅰ，Ⅱ，希尔伯特首先通过取世界函数H对引力势的变分并经适当变换后获得10个引力方程：

　　可以证明，方程组(2)与爱因斯坦的广义协变引力场方程等价．爱因斯坦是在同年11月25日发表其结果的，比希尔伯特晚了5天．希尔伯特引力场方程的推导是完全独立地进行的．不过两位学者之间并没有发生任何优先权的争论，希尔伯特把建立广义相对论的全部荣誉归于爱因斯坦，并在1915年颁发第三次鲍耶奖时主动推荐了爱因斯坦．
　　除了引力场方程，希尔伯特还同时导出了另一组电磁学方程(广义麦克思韦方程)：

　　特别重要的是，在希尔伯特的推导中，电磁现象与引力现象被相互关联起来，前者是后者的自然结果，而在爱因斯坦的理论中，电磁方程与引力方程在逻辑上是完全独立的．这样，希尔伯特以数学的抽象推理而预示了统一场论的发展．他后来在《物理学基础，第二份报告》中进一步阐述了统一场论的设想．沿着希尔伯特的路线前进而建立起第一个系统的统一场理论的是他的学生韦尔(规范不变几何学，1918)．而包括爱因斯坦在内的物理学家们对希尔伯特的思想最初却并不理解．爱因斯坦1928年在反驳量子力学相容性的企图失败后转而寄厚望于统一场论，并为此而付出了后半生的精力．统一场论至今仍是数学家和物理学家们热烈追求的目标．
　　数学基础(1917年以后)．希尔伯特对数学基础的研究是他早期关于几何基础工作的自然延伸．他在几何基础的研究中已将几何学的相容性归结为算术的相容性，这就使算术的相容性成为注意的中心．1904年，希尔伯特在海德堡召开的数学家大会上所作“论逻辑与算术的基础”(

ber die Grundlagen der Logik undArithmetik)的讲演，表明了他从几何基础向一般数学基础的转移．这篇讲演勾画了后来被称为“证明论”(Beweistheorie)的轮廓，但这一思想当时并未得到进一步贯彻，在随后十余年间，希尔伯特主要潜心于积分方程和物理学研究而把海德堡计划暂搁一边．直到1917年左右，由于集合论誖和直觉主义的发展日益紧迫地危及古典数学的已有成就，他又被迫回到数学基础的研究上来，这年9月，希尔伯特向苏黎世数学会作了题为“公理化思想”(Axiomatisches Denken)的讲演，再次公布了证明论的构想．此后他又在一系列讲演和论文中明确展开了以证明论为核心的关于数学基础的所谓形式主义纲领．
　　按照希尔伯特的纲领，数学被形式化为一个系统，这个形式系统的对象包含了数学的与逻辑的两个方面，人们必须通过符号逻辑的方法来进行数学语句的公式表述，并用形式的程序表示推理：确定一个公式—确定这公式蕴涵另一个公式一再确定这第二个公式，依此类推，数学证明便由这样一条公式的链所构成．在这里，从公式到公式的演绎过程不涉及公式的任何意义．正如希尔伯特本人所说的那样，数学思维的对象就是符号自身．一个命题是否真实，必须也只须看它是否是这样一串命题的最后一个，其中每一条命题或者是形式系统的一条公理，或者是根据推理法则而导出的命题．同时，希尔伯特的形式化方法重点不在个别命题的真实性，而是整个系统的相容性．这种把整个系统作为研究对象，着眼于整个系统相容性证明的研究，就叫做证明论或“元数学”(meta－mathematics)的研究．
　　形式化推理的进行要求保留排中律．为此希尔伯特引进了所谓“超限公理”：

A(τA)→ A(a)，

　　其意思是：若谓词A适合于标准对象τA，它就适合于每一个对象a．例如阿里斯提得斯(Aristides，古希腊政治家)是正直的代表，若此人被证明堕落，那就可以证明所有的人都堕落．此处τ称为超限函子．超限公理的应用保证了公式可以按三段论法则来进行演绎．
　　超限公理还使形式系统的相容性证明得到实质性缩减．为要证明形式系统无矛盾，只要证明在该系统中不可能导出公式0≠0即可．对此，希尔伯特方法的基本思想是：只使用普遍承认的有限性的证明方法，不能使用有争议的原则诸如超限归纳、选择公理等等，不能涉及公式的无限多个结构性质或无限多个公式操作．希尔伯特这种所谓的有限方法亦由超限公理加以保障：借助超限公理，可将形式系统的一切超限工具(包括全称量词、存在量词以及选择公理等)都归约为一个超限函子τ，然后系统地消去包含τ的所有环节，就不难回到有限观点．
　　希尔伯特的形式化观点是在同以L．布劳威尔(Brouwer)为代表的直觉主义针锋相对的争论中发展的．对直觉主义者来说，数学中重要的是真实性而不是相容性．他们认为“一般人所接受的数学远远超出了可以判断其真实意义的范围”，因而主张通过放弃一切真实性受到怀疑的概念和方法(包括无理数、超限数、排中律等)来摆脱数学的基础危机．希尔伯特坚决反对这种“残缺不全”的数学．他说：“禁止数学家使用排中律就等于禁止天文学家使用望远镜和禁止拳击家使用拳头一样．”与直觉主义为了保全真实性而牺牲部分数学财富的做法相反，希尔伯特则通过完全抽掉对象的真实意义、进而建立形式系统的相容性来挽救古典数学的整个体系．希尔伯特对自己的纲领抱着十分乐观的态度，希望“一劳永逸地解决数学基础问题”．然而，1931年奥地利数学家K．哥德尔(G

del)证明了：任何一个足以包含实数算术的形式系统，必定存在一个不可判定的命题S(即S与～S皆成立)．这使形式主义的计划受到挫拆．一些数学家试图通过放宽对形式化的要求来确立形式系统的相容性，例如 1936年，希尔伯特的学生 G．根岑(Gentzen)在允许使用超限归纳法的情况下证明了算术公理的相容性．但希尔伯特原先的目标依然未能实现．尽管如此，恰如哥德尔所说：希尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它促进了本世纪数学基础研究的深化．特别是，希尔伯特通过形式化第一次使数学证明本身成为数学研究的对象．证明论已发展成标征着数理逻辑新面貌的富有成果的研究领域．
　　希尔伯特的形式主义观点，在他分别与其逻辑助手W．阿克曼(Ackermann)和P．贝尔奈斯(Bernays)合作的两部专著《数理辑逻基础》(Gtundz

ge der Theoretischen Logik， 1928)和《数学基础》(Grundlagen der Mathematik， 1934， 1939)中得到了系统的陈述．
　　数学问题．C．卡拉西奥多里(Caratheodory)曾引用过他直接听到的一位当代大数学家对希尔伯特说过的话：“你使得我们所有的人，都仅仅在思考你想让我们思考的问题”，这里指的是希尔伯特1900年在巴黎国际数学家大会上的著名讲演“数学问题”(Mathematische Probleme)．这篇讲演也许比希尔伯特任何单项的成果都更加激起了普遍而热烈的关注．希尔伯特在其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟见解，而整个讲演的核心部分则是他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题，数学史上亦称之为“希尔伯特问题”．这些问题涉及现代数学的大部分领域，它们的解决，对20世纪数学产生了持久的影响．
　　1．连续统假设． 1963年， P．科恩(Cohen)在下述意义下证明了第一问题不可解：即连续统假设的真伪不可能在策梅罗(Zermelo)-弗伦克尔(Fraenkel)公理系统内判明．
　　2．算术公理的相容性．1931年哥德尔“不完备定理”指出了用元数学证明算术公理相容性之不可行．算术相容性问题至今尚未解决．
　　3．两等底等高的四面体体积之相等．这问题1900年即由希尔伯特的学生M．德恩(Dehn)给出肯定解答，是希尔伯特诸问题最早获得解决者．
　　4．直线作为两点间最短距离问题．在构造各种特殊度量几何方面已有许多进展，但问题过于一般，未完全解决．
　　5．不要定义群的函数的可微性假设的李群概念．1952年由A．格里森(Gleason)、D．蒙哥马利(Montgomery)、L．齐宾(Zippin)等人解决，答案是肯定的．
　　6．物理公理的数学处理．在量子力学、热力学等部门，公理化方法已获得很大成功．概率论的公理化则由A．H．柯尔莫哥洛夫(KoлMoгopoB，1933)等完成．
　　7．某些数的无理性与超越性．1934年，A．O．盖尔范德(Гe-льфaHд)和Т．施奈德(Schneider)各自独立地解决了问题的后一半，即对任意代数数。α≠0，1和任意代数无理数β≠0证明了αβ的超越性．此结果1966年又被А．贝克(Baker)等大大推广．
　　8．素数问题．一般情形的黎曼猜想仍待解决．哥德巴赫猜想目前最佳结果属于陈景润，但尚未最后解决．
　　9．任意数域中最一般的互反律之证明．已由高木贞治(Takagi Teiji)(1921)和阿廷(1927)解决．
　　10．丢番图方程可解性的判别．1970年，Ю．Н．马蒂雅谢维奇(MaTияceBич)证明了希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．
　　11．系数为任意代数数的二次型．H．哈塞(Hasse，1929)和C．L．西格尔(Siegel，1951)在这问题上获得了重要结果．
　　12．阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域．尚未解决．
　　13．不可能用两个变数的函数解一般七次方程．连续函数情形1957年由B．阿诺尔德(ApHOлbд)否定解决，如要求解析函数则问题尚未解决．
　　14．证明某类完全函数系的有限性．1958年永田雅宜(NagataMasayosi)给出了否定解答．
　　15．舒伯特计数演算的严格基础．舒伯特演算的合理性尚待解决．至于代数几何基础已由范德瓦尔登(van der Waerden，1940)与A．韦伊(Weil，1950)建立．
　　16．代数曲线和曲面的拓扑．问题前半部分近年来不断有重要结果，至于后半部分，И．Т．彼得罗夫斯基(ПEtPObCkий)曾声明他证明了n=2时极限环个数不超过3．这一结论是错误的，已由中国数学家指出(1979)．
　　17．正定形式的平方表示．已由阿廷解决(1926)．
　　18．由全等多面体构造空间．带有基本域的群的个数的有限性已由L．比贝尔巴赫(Bieberbach，1910)证明；问题第二部分(是否存在不是运动群的基本域但经适当毗连可充满全空间的多面体)已由赖因哈特(Reinhardt，1928)和黑施(Heesch，1935)分别给出三维和二维情形的例子．
　　19．正则变分问题的解是否一定解析．问题在下述意义下已解决： C．伯恩斯坦(БepHщTeйH，1904)证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必定解析．此结果后又被推广到多变元和椭圆组的情形．
　　20．一般边值问题．偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展．
　　21．具有给定单值群的线性微分方程的存在性，已由希尔伯特本人(1905)和Н．勒尔(R

hrl， 1957)解决．
　　22．解析关系的单值比．一个变数情形已由P．克贝(Koebe，1907)解决．
　　23．变分法的进一步发展．
　　希尔伯特无疑是属于20世纪最伟大的数学家之列．他生前即已享有很高声誉．1910年获匈牙利科学院第二次波尔约奖(该奖第一次得主是庞加莱)；从1902年起一直担任有影响的德国《数学年刊》(Mathematische Annalen)主编；他是许多国家科学院的荣誉院士．德国政府授予他“枢密顾问”称号．
　　希尔伯特同时是一位杰出的教师，他在这方面与不喜欢教书的高斯有很大的不同．希尔伯特讲课简练、自然，向学生展示“活”的数学．他乐于同学生交往，常常带着他们在课余长时间散步，在融洽的气氛中切磋数学．希尔伯特并不特别看重学生的天赋，而强调李希登堡(Lichtenberg)的名言“天才就是勤奋”．对学生们来说，希尔伯特不像克莱因那样是“远在云端的神”，在他们的心目中，“希尔伯特就像一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河”．(见研究文献[8]．)这位平易近人的教授周围，聚集起一批有才华的青年．仅在希尔伯特直接指导下获博士学位的学生就有69位，他们不少人后来成为卓有贡献的数学家，其中包括H．外尔(Weyl，1908)、R．柯朗(Courant，1910)、Е．施密特(Schmidt，1905)和O.布鲁门萨尔(Blumenthal， 1898)等(详细名单及学位论文目录参见[1])．曾在希尔伯特身边学习、工作或访问而受到他的教诲的数学家更是不计其数，最著名的有埃米·诺特(Emmy Noether)、冯·诺依曼(von Neumann)、高木贞治、C．卡拉西奥多里(Caratheo-dory)、E．策梅罗(Zermelo)等等．
　　希尔伯特的学术成就、教学活动以及其个性风格，使他成为一个强大的学派的领头人．本世纪初的30年间，格丁根成为名符其实的国际数学中心．韦尔后来回忆当年格丁根盛况时指出：希尔伯特“对整整一代学生所产生的如此强大和神奇的影响，在数学史上是罕见的”．“在像格丁根那样的小城镇中的大学，特别是在1914年前平静美好的日子里，是发展科学学派的有利场所，……一旦一帮学生围绕着希尔伯特，不被杂务所打扰而专门从事研究，他们怎能不相互激励……．在形成科学研究这种凝聚点时，有着一种雪球效应．”(见研究文献[8]，[9]．)
　　然而，在第二次世界大战中，希尔伯特的学派不幸遭到打击．他的大部分学生在法西斯政治迫害下纷纷逃离德国．希尔伯特本人因年迈未能离去，在极其孤寂的气氛下度过了生命的最后岁月．1943年希尔伯特因摔伤引起的各种并发症而与世长辞．葬礼极为简单，他的云散异国的学生都未能参加，他们很晚才获悉噩耗．战争阻碍了对这位当代数学大师的及时悼念．
　　希尔伯特学派的成员后来纷纷发表文章和演说，论述希尔伯特的影响．外尔认为：“我们这一代数学家还没有能达到与他相比的崇高形象．”除了具体的学术成就，希尔伯特培育、提倡的格丁根数学传统，也已成为全世界数学家的共同财富：希尔伯特寻求“精通单个具体问题与形成一般抽象概念之间的平衡”．他指出数学研究中问题的重要性，认为“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”．这正是他在巴黎提出前述23个问题的主要动机；希尔伯特强调数学的统一性——“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系．……数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系”，“数学的有机的统一，是这门科学固有的特点”；希尔伯特将思维与经验之间“反复出现的相互作用”看作数学进步的动力．因此，诚如柯朗所说：“希尔伯特以他感人的榜样向我们证明：……在纯粹和应用数学之间不存在鸿沟，数学和科学总体之间，能够建立起果实丰满的结合体．”
　　卡拉西奥多里指出：“指导希尔伯特一生的最高准则是绝对的正直和诚实．”这种正直、诚实，不仅表现在科学活动上，而且表现在对待社会和政治问题的态度上．希尔伯特憎恶一切政治的、种族的和传统的偏见，并敢于挺身抗争．第一次世界大战初，他冒着极大的风险，拒绝在德国政府起草的为帝国主义战争辩护的“宣言”上签名，并表示不相信其中编造的事实是“真的”；战争期间，他又勇敢地发表悼词，悼念交战国法国的数学家G．达布(Darboux)的逝世；他曾力排众议，为女数学家埃米·诺特争取当讲师的权利，而不顾当局不让女性任职的惯例；他对希特勒的排犹运动也表示了极大的愤慨．
　　希尔伯特出生于康德之城，是在康德哲学的熏陶下成长的．他对这位同乡怀有敬慕之情，却没有让自己变成其不可知论的殉道者．相反，希尔伯特对于人类的理性，无论在认识自然还是社会方面，都抱着一种乐观主义．在巴黎讲演中，希尔伯特表述了任何数学问题都可以得到解决的信念，认为“在数学中没有ignorabimus(不可知)”．1930年，在柯尼斯堡自然科学家大会上，希尔伯特被他出生的城市授予荣誉市民称号．在题为“自然的认识与逻辑”的致词中，他批判了“堕入倒退与不毛的怀疑主义”，并在演说结尾坚定地宣称：“Wir mǖssen wlssn． Wir werden wissn！”(我们必须知道，我们必将知道！)柯朗在格丁根纪念希尔伯特诞生100周年的演说中指出：“希尔伯特那有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着他的生命力．唯有希尔伯特的精神，才会引导数学继往开来，不断成功．”

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:53
闵科夫斯基

　　闵科夫斯基，H．(Minkowski，Hermann)1864年6月22日生于俄国阿列克索塔斯(AлeKcoTax，今属立陶宛)；1909年1月12日卒于德国格丁根．数学．
　　闵科夫斯基出生在一个犹太血统的商人家庭．父亲经商有道，但因是犹太人而受到沙俄政府的迫害．在闵科夫斯基8岁时，父亲带全家搬到当时东普鲁士首都柯尼斯堡定居，转营造纸原料的出口生意．闵科夫斯基弟兄三人，他排行老三．大哥麦克斯(Max)在俄国时因种族歧视而不能进预科学校，以后一直没有得到正规教育，成年后与其父合伙经商，父亲死后成为一家之主．二哥奥斯卡(Oskar)早年在柯尼斯堡的预科学校读书，后成为医生和医学家，曾发现胰脏和糖尿病之间的关系，以“胰岛素之父”的称号闻名于世．闵科夫斯基则因数学才能出众，被誉为小神童．三兄弟以能力超群、性格迷人而被称为“人间三奇才”，在柯尼斯堡曾轰动一时．
　　闵科夫斯基于1873年进入阿尔斯塔特预科学校读书．他从小就表现出特殊的数学天赋，有“极好的记忆力和敏捷的理解力”．少年闵科夫斯基还爱好文学，他熟读莎士比亚、席勒和哥德的作品，尤其迷恋于哥德的著作，几乎全部能背诵下来．他只用五年半时间就学完了预科学校八年的课程，然后进入当地大学读书．当时德国的大学生可以自由选择任何大学注册，随便流动．闵科夫斯基不久就转到柏林大学听课，三个学期之后又到柯尼斯堡大学学习．在大学期间，他先后受教于H．von亥姆霍兹(Helmholtz)、A．胡尔维茨(Hurwitz)、F．林德曼(Lindeman)、 L．克罗内克(Kronecker)、E．E．库默尔(Kummer)、H．韦伯(Weber)、K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和G．R．基希霍夫(Kirchhoff)等．
　　在柯尼斯堡大学，闵科夫斯基与比他晚一级的D．希尔伯特(Hilbert)结为终生挚友．1884年，年轻的德国数学家胡尔维茨到柯尼斯堡大学任职．闵科夫斯基和希尔伯特很快与他建立了友谊，共同的科学爱好把他们紧密地联系在一起．在以后的一段时间里，他们每天定时到一片苹果树下散步，共同讨论当前数学中的实际问题，相互交换对问题的新的理解，交流彼此的想法和研究计划．这种友谊对他们各自的科学工作产生了重要的影响．
　　闵科夫斯基在大学期间，曾几次因出色的数学工作而获奖．特别是在1882年，他成功地解决了巴黎科学院悬奖的数学问题，获得科学院的大奖．1885年夏，闵科夫斯基在柯尼斯堡大学获博士学位．经过短暂的服兵役之后，他于1886年被聘为波恩大学讲师，1892年升任副教授．1895年，希尔伯特转任格丁根大学教授，闵科夫斯基接替了他在柯尼斯堡大学的正教授职位．1896年，闵科夫斯基转到苏黎士瑞士联邦技术学院任职，直到 1902年．在此期间，他又有幸与胡尔维茨共事．1902年，他再次接受老朋友希尔伯特的建议，到格丁根大学任教授．
　　闵科夫斯基于1897年与柯尼斯堡附近一位皮革厂厂主的女儿奥古斯苔·安德勒(Auguste Adler)结婚，婚后生有两个女儿．
　　1909年 1月 10日，闵科夫斯基突患急性阑尾炎，因医治无效于1月12日去世，年仅44岁．
　　闵科夫斯基的主要科学贡献在数论、代数学和数学物理等方面．在代数学中，他对二次型理论进行了重要研究．自从19世纪初C．F高斯(Gauss)关于二元二次型的先驱性工作问世以来，推广他的工作到n元型是许多数学家的目标，如F．G．M．艾森斯坦(Eisenstein)、C．埃尔米特(Hermite)、H．J．S．史密斯(Smith)、M．E．C．若尔当(Jordan)和J．H．庞加莱(Poincaré)等人都曾深入研究过这个问题．1881年春，巴黎科学院出榜公布了征求解答的题目：求一个整数分解为5个平方数之和的表示法的数目．闵科夫斯基当时还是一名年轻的大学生，他被这个问题强烈地吸引住，开始潜心于这项研究之中．他深入钻研了高斯、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和艾森斯坦等人的论著，掌握了狄利克雷级数和高斯的三角和方法．受高斯工作的启发(高斯在研究把一个整数分解为3个平方数之和时利用了二元二次型的性质)，他认识到把一个整数分解为5个平方数之和的方法与4个变元的二次型的性质有关．由此，闵科夫斯基研究了n个变元的二次型，引进了有关概念的定义，特别是对“型的亏格”(genus of a form)提出了更一般、更自然的定义．他推广了高斯的方法，探讨了具较少变元的型用具较多变元的型表示的问题，得到整系数n元二次型的理论体系．这样一来，大奖问题的解就可以很容易地从一般理论中得出．闵科夫斯基向巴黎科学院递交了长达140页的论文，他的工作远远超出了原问题的范围．英国数学家史密斯早在1867年就发表了有关的研究结果，这次他又将自己以往的工作加以完善，圆满地解决了大奖所提出的问题．闵科夫斯基是在不了解史密斯以往工作的情况下，独立地得到了比史密斯更好的结果．最后，闵科夫斯基与史密斯同获1883年的巴黎科学院数学大奖．
　　在以后的很长时间内，闵科夫斯基继续研究n元二次型的理论．他通过三个不变量刻画了有理系数二次型在有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论(1905)，现称闵科夫斯基约化理论．其中，提供了在每个等价类(在具实系数的变换下)中只给出

所有约化型的基本域是一个可部分空间，深入研究了该域及其相关域的性质．
　　当闵科夫斯基用几何方法研究n个变元的二次型的约化问题时，获得了十分精采和清晰的结果．他把用这种方法建立起来的关于数的理论称为“数的几何”，这是他最有独创性的工作．考虑一个正定二次型

　　F(x，y)=ax2+2bxy+cy2， (1)

　　它的几何模式是椭圆．(1)式当x=p，y=q，(p，q是整数)时取值m，表明椭圆Em∶F(x，y)=m通过点(p，q)．显然，Em是一个中心在原点的椭圆．对于具三个变量的二次型

F(x，y，z)= ax2+by2+cz2+＋ a′xy+ b′xz+c′yz，

　　方程F(x，y，z)=m的几何模式为中心在原点的椭球．为了证明n元二次型存在最小上界，闵科夫斯基首先建立了一个普通的几何引理．对于二维的情形，闵科夫斯基引理是：
　　平面xoy上的域R总包含异于原点的整坐标点，如果该域满足条件
　　(1)域R关于坐标原点对称，即它必须同时含有(x，y)和-x，-y)；
　　(2)域R是凸的，即如果(x1，y1)，(x2，y2)为R内任两点，那么包含这两点的线段

(λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2)(0≤λ≤1)

　　也在R内；
　　(3)R的面积大于4．
　　任何中心在原点的椭圆都满足条件(1)，(2)，而当mπ＞4

　　闵科夫斯基建立的这个引理十分重要，后来被称为“数的几何中的基本定理”，“全部数的几何都基于这个引理”．利用这一引理，闵科夫斯基首先证明给定判别式D的二元正二次型存在最小上界．考虑椭圆Em∶F(x，y)=m，为了求出所有m的最小值M，闵科夫斯基注意到(利用引理)，对于足够小的正数α，椭圆Eα内不包含任何异于

得到彼此相离的无穷多个椭圆(图1)．当α增大并达到最小值M时，这些椭圆将相互接触但不重叠(图2)．设A是

述所有椭圆包含在中心在原点，边长为(2n+1+c)的正方形中(图 2)，即有不等式

　　这个结果还可以拓广到任意有限维空间(对n元正二次型)．对于n维空间，闵科夫斯基引理可叙述为：如果每一个中心在坐标原点的对称凸体，其体积大于2n，则除原点之外，至少还有另一个整点在其中．利用Г函数的渐近表达式，闵科夫斯基得到下列估计式：

　　闵科夫斯基发现，在上述的几何论证中，椭圆可以用任意对称的凸曲线来代替，在高维空间中，则可用对称凸体来代替．通过凸体变化的精巧性，他在数论的各领域中又得到许多新的结果．例如，他建立了具给定判别式的整数二次型类数的有限性定理，研究了实数的有理分数逼近法和代数单位理论．他的几何方法推动了连分数理论的发展，他建立的一种算法已成为判断一个数是否为代数数的准则．此外，他还在n维空间中定义了支撑超平面和支撑函数的概念，证明了凸体在其任一边界点处存在支撑超平面．
　　闵科夫斯基通过n维空间中的对称凸体定义了一种新的“距离”：对于点x=(x1；x2，…，xn)和y=(y1，y2，…，yn)定义其距离为

　　由此得到著名的闵科夫斯基不等式(即三角不等式)①：

　　其中ak，bk(k= 1，2，…，n)为非负实数，r＞1．闵科夫斯基由此确立相应的几何，建立一种类似于现代度量空间的理论．他的工作为20世纪20年代赋范空间理论的创立铺平了道路．
　　为了研究凸体几何，闵科夫斯基还引进几个凸体“混合体积”(mixed volume)的概念．设 K1，K2，K3是空间中三个凸体，t1，t2，t3≥0是三个实数，当xj在凸体Kj(j=1， 2， 3)中变化时，点t1x1+t2x2+t3x3形成一个新的凸体，记为

t1K1+t2K2+t3K3．

　　这个新的凸体的体积可以表示为t1，t2，t3的一个齐次多项式，而混合体积V(K1，K2，K3)则定义为该多项式中t1t2t3项的系数．闵科夫斯基发现了这些新量之间的奇妙关系和更典型的概念：如果K1是半径为1的球，则V(K1，K，K)等于包围K的凸曲面面积的三分之一；而V(K1，K1，K)等于该曲面曲率的平均值的三分之一．他还证明了两个混合体积间的不等式
　　[V(K1，K2，K3)]2

≥V(K1，K1，K3)·V(K2，K2，K3)．

　　由此他给出一个关于球的等周性的非常简单的新证明．作为混合体积和支撑超平面的一个美妙应用，他证明了有m个面的凸多面体完全由它各面面积及其之间的距离所确定．他还由此构造出具有常宽(度)的所有凸体．
　　1896年，闵科夫斯基出版了专著《数的几何》(Geometrie derZahlen，Leipzing)，其中系统地总结了他在这一领域的开创性工作．在以后的论著中，他继续把自己在这方面的结果应用于数论的不同领域，特别是推广和明确了П．Л．切比雪夫(ЧeбьIшeB)和埃尔米特的不等式．切比雪夫在1866年的论文“一个算术问题”(Oб oдHoM apифMeT-ичecKoM Boпpoce)中证明，存在无穷多对整数x，y，满足不等式

　　埃尔米特在1880年改进了上述结果，得到

　　闵科夫斯基在他的《丢番图逼近》(Diophantische Approximati－onen， Leipzig， 1907)[5]一书中，证明了存在无穷多对整数x，y，满足不等式

　　此处ξ0，η0为任意给定的数值，α，β，γ，δ为实数．
　　闵科夫斯基早年就对数学物理有强烈兴趣，在波恩大学任职期间，他曾协助物理学家H．赫兹(Hertz)研究电磁波理论．1905年以后，他几乎把所有精力都用在研究电动力学上．在他的倡导下，他和希尔伯特联合主持的讨论班的主要课题就是运动物体的电动力学．1908年，闵科夫斯基在科隆举行的德国科学家和医学协会年会上，以“时间和空间”为题报告了他在电动力学方面研究的新结果．他放弃了H．A．洛伦茨(Lorentz)和A．爱因斯坦(Einstein)在相对论原理中作为分离的实体而使用的时间和空间概念，提出四维的时空结构，即通过

ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2(c为光速)

　　为狭义相对论提供了四维时空的数学结构．这种结构后来被称为“闵科夫斯基世界”．据此，同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出．诺贝尔物理学奖获得者M．波恩(Born)曾说，他在闵科夫斯基的工作中找到了“相对论数学的整个武器库”．也正是由于闵科夫斯基的工作，爱因斯坦才有可能奠定广义相对论的基础．
　　闵科夫斯基生命虽短，成就丰硕．他一生共发表29种论著，其中包括二次型理论、数的几何、凸体的几何学和数学物理等方面．1911年，由希尔伯特主编，出版了闵科夫斯基的全集．闵科夫斯基一生勤勉、刻苦，热爱科学，“科学无时无刻不引起他的兴趣，永远不会使他疲倦”[8]．他一生最亲密和最可信赖的朋友希尔伯特评价说，闵科夫斯基的气质尤如铜钟的音响，他在工作时的愉快和性格之开朗是那样清澈透明；他的坚定和忠诚是那样完全彻底；他那理想主义的抱负和生活信念是那样纯正无杂．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:54
豪斯多夫

　　豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．
　　豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．
　　豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．
　　豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．
　　豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完美的理论，并为进一步发展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．
　　豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族

(x),{

(x)}x∈X称为邻域系统，满足
　　(1)对

x∈X，

(x)≠

，且对

U∈

(x)，有x∈U；
　　(2)若x∈U∈

(y)，则

V∈

(x)使V

U
　　(3)对

U1，U2∈

(x)，

U∈

(x)，使U

U1∩U2；
　　(4)对

x，y∈X，x≠y，

开集U∈

(x)，V∈

(y)，

　　由{

(x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述．
　　在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：
　　(1)对

x∈X，子集族{

(x)}是可数集．
　　(2)所有的{

(x)}x∈X的集是可数集．
　　关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过．弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的．1935年，他还首先注意到正规性是闭映射的不变量．
　　关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindel

f)曾讨论过集的凝聚点的概念，豪斯多夫在《集论基础》中，在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质，并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．
　　关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的．
　　设{As:s∈S｝是X的子集族，如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及由0和1组成的序列i1，…，ik，有

　　其中A0=A，A1=X＼A，则称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥

0的集X的所有子集族含
　　有由独立集组成的基数为2m的子族．早在1934年，G．费契田厚茨(Fichlenholz)和Л．B．坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果．
　　关于实直线的波莱尔集的定义由E．波莱尔(Borel)给予概括叙述，H．L．勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论．在此基础上，豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)．
　　1906年，弗雷歇导入可数紧空间的概念，豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中，X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一，并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性．他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的，以及紧可度量化空间是可分的．
　　关于连续扩张问题，豪斯多夫在1919年建立了：设A为可度量化空间X的闭子空间，则对X上的任一度量ρ，任一连续函数f：A→I确定X上f的连续扩张F为

　　豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f：X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的．
　　全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的，并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]．
　　1914年，豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间，刻画了度量空间的完备化空间，证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集，还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立．1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]．
　　Л．C．亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的，豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)．
　　豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象，即二进空间．这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义．
　　设M是可度量化空间X的闭子空间，豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离．
　　设f：M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射，豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14]，则f可扩张为连续映射F：X→Y，使限制F|X＼M是X＼M到Y＼L上的同胚．
　　设2X为度量空间(X，ρ)的所有有界非空闭子集族，令

　　为A和B的距离，则(2X，ρh)为度量空间．称ρh(A，B)为豪斯多夫距离(1914)．(X，ρ)等距于(2X，ρh)的闭子空间．但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ，由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同．豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用．
　　W．谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．1934年，豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．以后E．麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y．
　　连通性的概念是M．E．C．若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的．豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究．在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质，连通分支、拟分支的定义，以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等．该书还导入继承不连通空间．
　　极不连通空间是M．H．斯通(Stone)在1937年定义的，但βN＼N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)．
　　集X上的距离ρ称为非阿基米德的，如果对所有x，y，z∈X，有

ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．

　　豪斯多夫证明了非空可度量化空间X，IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)．
　　在描述集合论方面，豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论，如将序型分类，序型的有序积，有序集的表示等问题．他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的．
　　豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914)，在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上，用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理．以后导致S．巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924)，即把一个球切成有限个片段，然后重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球．这一悖论使人怀疑选择公理，引起数学界的极大重视，从而推进数学基础的发展．
　　豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916)，这是和亚历山德罗夫同年独立解决的．他还提出了豪斯多夫运算(1927)，豪斯多夫递归公式(1914)等．
　　1914年，豪斯多夫提出测度问题：是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度？1923年，他证明了当n=1，2时存在无限多个解，当n≥3时无解．
　　在数学分析中，豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果，解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质．他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)．
　　在连续群理论中，豪斯多夫建立了重要的代数算法，导出并研究了群论符号的指数公式(1906)．他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)．
　　豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用，以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的．如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等． 豪斯多夫

　　豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．
　　豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．
　　豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．
　　豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．
　　豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完美的理论，并为进一步发展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．
　　豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族

(x),{

(x)}x∈X称为邻域系统，满足
　　(1)对

x∈X，

(x)≠

，且对

U∈

(x)，有x∈U；
　　(2)若x∈U∈

(y)，则

V∈

(x)使V

U
　　(3)对

U1，U2∈

(x)，

U∈

(x)，使U

U1∩U2；
　　(4)对

x，y∈X，x≠y，

开集U∈

(x)，V∈

(y)，

　　由{

x∈X，子集族{

(x)}是可数集．
　　(2)所有的{

　　其中A0=A，A1=X＼A，则称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥

ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．

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埃利·嘉当

虞言林

(中国科学院数学研究所)

　　嘉当，

．(Cartan，

lie)1869年4月19日生于法国多洛米约；1951年5月6日，卒于巴黎．数学．
　　嘉当出生在法境阿尔卑斯山的一个小村庄里，父亲是一个铁匠．由于幼年时的天才表现，大为当时政治家D．昂托南(Anto-nin)赏识，被保荐获得国家助学金，从而得以完成初等教育．1888年嘉当进入法国高等师范学校，毕业后先后在蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学、巴黎大学任教．1912年成为巴黎大学教授直至退休．1931年当选为法国科学院院士，后来还得到许多荣誉学位，并为一些科学社团选为国外院士．
　　嘉当对近代数学的发展做出了极大的贡献．流形上的分析是当今极为活跃的数学分支，嘉当可以称得上是该分支的重要缔造者．他无疑是本世纪最伟大的数学家之一．嘉当的工作大致分为李群，微分方程和几何三部分，当然它们之间有联系． / c2 I( |- A1 i8 u. ]( D( K
　　一、李群
　　嘉当之前研究李群的只有两位．一位是S．李(Lie)，另一位是W．基灵(Killing)．李考虑的是一个解析流形上带有n个解析参数的一族解析变换，而这族变换构成一个群．后来基灵在他的文章中隐约提到研究对象需有一个战略上的转移，即摆脱承受变换作用的解析流形而只讨论带有n个参数的一族元素，他们构成一个群G．到了嘉当这个观点就被十分明确地提出来了，达到了现代人们关于李群论的基本认识．关于李群的研究分为两个方面．我们先谈第一个方面，即关于李群的局部研究．李群在单位点处的切空间是一个向量空间

，李群的乘法运算自然导出

上一个李括号运算．这就使

成为一个代数，称为G的李代数．对G的局部研究就是考察它的李代数．一个根本的问题是列举出所有互不同构的李代数，即李代数的分类问题．复单李代数的分类几乎被基灵解决了．这里所谓的“几乎”，是指基灵的证明中有不少漏洞，而且关于例外李代数的结论也说得不完全．嘉当是第一位对复单李代数分类给出彻底而又严格的解答的人．并且嘉当进而解决了实单李代数的分类和单李代数的不可约线性表示的问题．嘉当处理上述问题的方法强而有力，已成经典．以复单李代数

的情形为例，我们来简述他的方法．李括号运算可写为一个映射[，]：

→

，人们需要把这种映射分类．为此嘉当先在

中找到一个特殊的子代数η(现通称为嘉当子代数)，接着讨论下列两个问题：(1)讨论李括号映射的限制映射[，]：η×

→

，得知它可以被很好的把握，用一种根系的观念来完全刻划．(2)讨论如何从[，]：η×

→

决定[，]：

→

的问题．解决的过程虽然复杂，但也能完成．在以上嘉当的工作中我们还需提到一件事．这就是嘉当在解决单李代数的表示问题时，于1913年发现了旋量．这一发现在日后量子力学中起着很重要的作用．
　　李群研究的第二方面是讨论李群的整体性质，即它的拓扑性质．嘉当和H．外尔(Weyl)对紧李群的整体研究垄断了当时的局面．他们用的方法不同，嘉当的方法对非紧群也能给出非常全面的了解．嘉当算出

的覆迭变换群就是G的基本群．嘉当证明了这个覆迭变换群同构于G的中心，从而借助韦尔的一个定理，用代数法算出G的中心，于是便得到G的基本群．为了计算G的贝蒂数，嘉当引入一个极富创见的方法．用现代术语来说，这就是用G上的微分式和外微分算子造出德·拉姆(de Rham)上同调群，嘉当并断言德·拉姆上同调群的维数就是贝蒂数(嘉当本人对此断言未给出证明，而是由德·拉姆去完成的)．接着容易论证，G上左不变微分式可以代替上面提到的微分式．从而贝蒂数的计算化为纯代数问题，因而最终得到解决．嘉当的这个方法也可以推广到齐性空间的情形．关于非紧李群，嘉当证明了这种李群拓扑上等价于一个欧氏空间和一个紧李群的乘积．因此它们的拓扑也就容易处理了．
. h% i9 l; K* v- p- x6 Z: [' K4 }$ c4 ~　　二、偏微分方程组
　　嘉当在前人处理普法夫方程的基础上，意义深远地处理了偏微分方程组的问题．从问题的提法到研究的方式均不同于经典的做法，表现了强烈的几何倾向．经典的微分方程问题是求解下列方程

　　这称为普法夫方程组．原方程组的解显然对应于普法夫方程组的解，而后者是以(x1，…，xm；z1，…，zp；…，trs，…)为参数的流形M中的一个m维子流形．嘉当对普法夫方程组做了如下意义重大的更动．把

次微分式．由它们构造出一个最小的微分式集合I，使得：若ω1，ω2

的I称为由F(x；z；t)，dzr—∑trsdxs生成的微分理想．I=0比起普法夫方程组来说，增加了许多方程，但是增加的只不过是保证原普法夫方程组可解的条件．因此I=0的解(即M中的子流形，其上I为零)就是原普法夫方程组的解．引进I的好处在于I不依赖于参数x，未知函数z的具体取法，因而I=0是以一种不变的方式陈述了偏微分方程组(或普法夫方程组)的问题．如果N是M中m'维子流形(m'不必等于m)，I在N上为零，即N为I=0的一个解．此时又若p∈N，记N在p点的切空间为Ep，我们进一步称N是以Ep为初值，方程I=0的解．显然这样的Ep需满足I强加其上的一个代数条件，不难把这个条件明确写出来．对于M中p点处一个m'维切空间Fp，如果它满足关于Ep的那个代数条件，我们就称Fp为可积元素．嘉当考察当给定一个可积元素Fp时，如何去找I=0的解使其具初值Fp．嘉当对可积元素引进了一个“正规条件”概念，并证明如果可积元素Fp满足正规条件，则可一步步解出上述的N．这样的N称为I的一个一般解．对于不满足正规条件的可积元素Fp，欲求的解称为“奇解”．嘉当提出了一个求奇解的方法，叫延拓法(prolongation)．具体说来就是按一定计划增加新的变数，扩充原来的微分理想，使得原微分理想的奇解就是新微分理想的一般解．嘉当具体详细地描写了延拓法，不过没有证明：奇解总可以用这种延拓法求得．这事后来由仓西正武(

西正武，Kuranishi Masatake)和松田道彦(松田道彦，Matsuda Michi-hiko)解决．
　　嘉当的微分方程组理论使他在无限李群，微分几何，分析力学，广义相对论等方面得出了深刻的结果．
; U3 g- A4 E, [2 K: Q, ` v6 j/ X　　三、几何
　　嘉当对微分几何学的贡献是巨大的．在众多深刻的结果中特别引人注目的是，他关于活动标架法，纤维丛的联络论以及对称空间的研究．
　　活动标架法的先驱当数J．达布(Darboux)，里博库尔(Ri-baucour)和E．切萨罗(Cesaro)．嘉当是活动标架法的集大成者，虽然这个方法至今也还未探索清楚．研究一个物体运动时曾经采用随着物体一起变动的标架来处理问题，这样的标架自然地称为活动标架．在研究空间性质时，类似的标架也就称为活动标架了，不过此时的标架不是随时间而变，而是随地点而变化的．让我们用一个简单的例子来描绘原始的活动标架法．当人们研究欧氏空间中一条曲线时，按照笛卡儿坐标方法，首先在欧氏空间中取一个固定的标架，从而将曲线用数量关系表出．接着再用分析与代数手段研究这个代表曲线的数量关系．这个方法固然可行，但是在复杂一些的情形下，人们常常会迷路，不易从上述数量关系找到几何不变量．假若处理上述问题时不采用固定的标架，而选取一种所谓的J．-F．弗雷内(Frenet)标架(这种标架的原点在曲线上，三个坐标轴分别是曲线的切向量、主法向量和次法向量)，于是就有一个“规则的算法”很容易得到曲率、挠率这样的几何不变量．这里的弗雷内标架就是活动标架．嘉当将此经典的方法做了极大的推广，处理下面这样一个典型的问题．设E是一个n维流形，其上有一个李群G作用，对于E的一个子流形M，试找出M在G作用下的微分不变量，并考虑在找到多少个如此的不变量之后，我们能判断两个已知子流形彼此间是否差一个G中的变换．对上述这样的问题，嘉当首先阐明M上的活动标架就是E中子流形M的密切元素，而后根据这样的标架集合给出推广的规则算法．这就是嘉当的活动标架法．当然这个方法可以自然延伸到别的场合，例如摆脱E的流形M之情形．活动标架法中有强烈的李群背景，这表现在活动标架集合上有李群作用，并且这个李群在“规则算法”中起着主导的作用．正因为有李群的干预，活动标架法处理几何问题时显得异常简捷，自然，并且把F．克莱茵(Klein)的埃朗根纲领(Erlangen program)或多或少地贯彻到微分几何中来．
　　纤维丛的联络论包含了两个极为重要的观念．一个是纤维丛，另一个是主丛上的联络．这两个观念实际上都曾隐藏在活动标架法之中．流形M上的活动标架构成一个大空间，它就是M上的主丛；活动标架法中的规则算法的要点之一，是考察无限接近的两个标架之差异．刻划这种差异恰是主丛上的联络．纤维丛的联络论极大地推广了列维-齐维塔(Levi-Civita)的绝对微分学，它使得后来的几何学、拓扑学及理论物理学有了突飞猛进的发展．于是纤维丛的联络论从活动标架法中独立出来了．嘉当是纤维丛联络论的开创人，但是他当年却未能把事情说得明白．
　　嘉当在黎曼几何方面最重要的工作无疑是黎曼对称空间的理论．这一理论的发现、发展和完善皆归功于嘉当一个人．像这样的事在数学史中是极为罕见的．黎曼对称空间有几种不同的定义．它可定义为一种特殊的黎曼流形，其截面曲率张量是平行的，也可定义为在黎曼流形各点处皆存在关于该点的中心对称等距映射．后一定义很容易和齐性空间联系起来．嘉当很不寻常地发现可以用单李群的分类来完全刻画黎曼对称空间．黎曼对称空间比经典空间(欧氏空间，非欧空间)广泛，在数学的其他分支中起着日益重要的作用．
　　嘉当在微分几何方面的其他工作也很多，像等参超曲面族这样的精彩结果还可列举不少，在此不一一详述．
　　嘉当一生写过9本书，186篇论文(见原始文献．)在他的工作中突出显示了深刻性与开创性．作品的难读也称得上是一特点．这使得嘉当晚年(1930年以后)才成大名．当然这也和嘉当本人的谦让及当年垄断法国数学界的流派有关．自1930年以后嘉当对近代数学的影响与日俱增．时至今日，他的全集仍是有待微分几何工作者发掘的一个巨大宝藏．

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罗素

　　罗素，B．(Russell，Bertrand)1872年5月18日生于英格兰蒙茅斯郡的特雷勒克；1970年2月2日卒于威尔士的彭林代德赖思附近的帕莱斯彭林．数理逻辑、数学基础、哲学．
　　罗素出身于一个贵族的家庭．祖父约翰·罗素(John Russell)伯爵是一个著名的自由党政治家，他于1832年提出第一个议会选举法修正案，并两次出任英国政府首相．罗素2岁时母亲去世，3岁时父亲也去世．于是罗素和他的哥哥便与祖父祖母生活在一起，由他们照管．罗素6岁时，祖父去世．祖母活到了1898年，她对罗素在童年和青少年时期的发展有过决定性的影响．祖母出身于一个贵族的虔诚教徒的家庭，具有非常强烈的道德信念和宗教信仰，在政治上较为激进．她曾用一条缄言告诫罗素：“你不应该追随众人去作坏事”，罗素一生都努力遵循这条准则．罗素少年时未被送到学校去学习，而只是在家里接受保姆和家庭教师的教育．他的童年和少年时代是孤独的．由于他的一个叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣．在哥哥的帮助下，他11岁时就掌握了欧几里得几何学，这是他智慧发展的重要转折．
　　1890年10月，罗素考入剑桥大学，在三一学院学习数学和哲学．在此期间，他结识了当时剑桥大学数学讲师A．N．怀特海(Whitehead)、哲学家G．E．穆尔(Moore)和E．麦克塔格特(McTaggart)以及其他一些历史学家、经济学家、诗人和散文家．从1895年至1901年他任三一学院研究员．在此期间，罗素撰写了《论几何学的基础》(An essay on the foundations of geometry，1897)一书．这本书的主题是用I．康德(Kant)关于数学是先验综合判断的思想来检查几何学的发展和现状，他用稍加修改的康德的观点来评价非欧几何学的产生．但后来罗素对这本书的评价甚低．罗素最初在哲学上受G．W．F．黑格尔(Hegel)哲学的影响较大，1898年在G．E．摩尔的劝说下抛弃了黑格尔的哲学观点，参加了反叛绝对唯心主义哲学的运动，从此转变为经验主义者、实证主义者和物理主义者．罗素说过，在这个时期，“就哲学的基本问题而言，在所有的主要方面，我的立场都来自G．E．穆尔先生．……在数学上，我主要受惠于G．康托尔(Cantor)和 G·皮亚诺(Peano)教授．”(《数学的原理》(The principles of mathema-tics，1903)p．xviii．)从1900年至1914年，罗素主要从事数理逻辑和数学基础的研究，他在这个领域中最重要的工作都是在这个时期完成的．从1910年至1916年罗素任三一学院哲学讲师．从20年代至40年代，罗素主要从事哲学方面的研究和讲学．罗素用“逻辑原子主义”来称呼他的哲学．他的主要哲学著作有《神秘主义和逻辑》(Mysticism and logic，1918)，《心的分析》(Theanalysis of mind，1921)，《物的分析》(The analysis of matter，1927)，《意义和真理研究》(An inquiry into meaning and tru-th，1940)，《人类知识：它的范围和限度》(Human knowledgeits scope and limits，1948)，等等．从1916年至30年代后期，罗素没有任何学术职务，他以写作和公开演讲为生．1920年至1921年，他曾访问过苏联和中国，他在中国讲学近一年，给我国哲学界以很大的影响．1938年，罗素迁往美国，先后在芝加哥大学、加州大学任教．1941年至1943年他在费城讲学．1944年他返回剑桥，重任三一学院研究员直到去世．50年代后，罗素从哲学转向国际政治，他反对核战争、主张核裁军．1955年，他动员了许多著名科学家包括A．爱因斯坦(Einstein)在内签署了一个为争取世界和平而合作的宣言．1964年他建立了罗素和平基金会，抨击美国政府的侵略政策．1967年后他与存在主义者J-P．萨特(Sar-tre)建立了一个国际战犯审判法庭，并传讯美国总统L．约翰逊(Johnson)．由于罗素积极从事政治活动，他晚年享有世界范围的名望．罗素一生中曾三次竞选下院议员，但都没有成功．他曾两次被捕入狱，其原因是因为他申张民主和参加核裁军运动．
　　罗素于1908年当选为英国皇家学会会员．1949年他成为英国科学院的荣誉院士，同年还被授予功勋奖章．他曾两度担任亚里士多德学会的会长，并担任过理性主义者新闻协会会长多年．1950年他获得诺贝尔文学奖．诺贝尔奖金委员会在授予他奖金时称他为“当代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言论和自由思想的无畏斗士”．
　　罗素一生曾四次结婚，有三个孩子．1931年，由于他哥哥去世，他成为罗素伯爵三世．
　　19世纪下半叶，数学家对微积分的理论基础进行了严格处理．K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)用“ε-δ”方法重新表述了A．柯西(Cauchy)的极限论，把微积分理论建立在实数理论的基础上；接着，R．戴德金(Dedekind)和康托尔分别从有理数出发定义了实数；之后，魏尔斯特拉斯和皮亚诺从自然数出发定义了有理数，并且皮亚诺还从不经定义的“集合”、“自然数”、“后继者”等概念出发，用公理化的方法塑述了自然数理论；最后康托尔建立了无穷集合的理论．康托尔的这项工作起源于对三角级数和数学基础问题的研究，他先提出了点集理论，进而又提出了一般无穷集合论．与此同时，数理逻辑通过G．布尔(Boole)、E．施罗德(Sch-r

der)、皮亚诺和G．弗雷格(Frege)等人的工作得到了长足的进步．但是除了少数人如弗雷格和皮亚诺外，许多数学家忽视逻辑的作用，看不到数理逻辑对数学基础研究的重要性．1900年7月，罗素到巴黎参加国际哲学会议时遇到了皮亚诺，这件事对罗素的学术生涯来说是一个重大的转折点．通过聆听皮亚诺的讲话，罗素才意识到数理逻辑对于数学基础研究的重要性．于是罗素向他请教并表示希望拜读他的著作，在读完皮亚诺的有关著作后，罗素很快地掌握了皮亚诺的符号逻辑和思想，在此基础上他开始了数理逻辑和数学基础的研究工作，其主要成果是《数学的原理》一书．该书的大部分写于1900年下半年，全书于1903年出版．从此之后到1914年，罗素与怀特海合作进行这方面的研究，他撰写了30余篇有关论文，1910年至1913年他与怀特海合著的三卷本巨著《数学原理》(Principla mathematica)陆续出版．1919年，他又出版了该著作的通俗读本《数理哲学导论》(Introduction tomathematical philosophy)．在数学基础和数理逻辑方面，罗素的主要成就有两个方面，一是他通过建立逻辑类型论来消除逻辑悖论；二是他从一个较为简单的逻辑系统出发加之少量非逻辑公理推导出经典数学．
　　罗素发现著名的罗素集合论悖论是在1901年．开始他似乎觉得“所有类这个类是一个类”，后来由于受到康托尔证明没有最大的基数方法的启发，“使我考虑不是自己的项的那些类．好像这些类一定成一类．我问自己，这一个类是不是它自己的一项．如果它是自己的一项，它一定具有这个类的分明的特性，这个特性就不是这个类的一项．如果这个类不是它自己的一项，它就一定不具有这个类的分明的特性，所以就一定是它自己的一项．这样说来，二者之中无论哪一个，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾”．[《我的哲学的发展》，(My philosophical development，1959)，第66—67页]一年以后，罗素将上述结果写信告诉了弗雷格．弗雷格回答说，罗素悖论的发现使他惊愕之极，由于这个悖论，他的《算术原理》(Grundgesetze der Arithmetik，vol．Ⅰ，1893，vol．Ⅱ，1903)中的第五公理便是错的，必须给予剔除，于是他认为算术的基础发生了动摇．
　　为了消除悖论，罗素首先在《数学的原理》的附录B中提出了类型论．这个理论以两条公设为基础：(1)每一个命题函项φx除了有其真值域外，都有一个意义域．只要φx是一个命题，无论是真还是假，x必须在这个意义域内取值．(2)命题函项的意义域构成类型，即如果x属于φx的意义域，则存在一个对象的类，即x的类型，其中所有的对象也应属于φx的意义域，当然φ可以是各种各样的．在此基础上罗素讨论了类的类型．就类而言，在最底层的对象是个体，它没有域，它是最低的类型的对象；接下去依次可以构成对象是个体类的类型，对象是个体类的类的类型，如此等等．因为类只能由同一类型的对象组成，类相对于其成员是高一级的类型的对象，这样“自己属于自己”或“自己不属于自己”的命题本身是无意义的，于是便避免了罗素悖论的产生．罗素的这种类型论本质上属于简单类型论，在用它来处理数、命题或语义学悖论时却有困难．
　　为了进一步寻找解决悖论的方法，1906年罗素在论文“关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难”(On some difficulties inthe theory of transfinite numbers and order types)中又提出了另外三种理论，即曲折论、限量论和无类论．曲折论是罗素在研究康托尔最大基数悖论后提出的，他认为对命题函项的复杂性应加以限制，只有非常简单的命题函项才能决定类，而其他复杂的、费解的命题函项则不能．这样就可以避免构成一个可以导致悖论的太大的类．罗素的这个思想后来在W．V．奎因(Quine)1937年的有关数理逻辑的工作中得到发展．限量论是罗素在研究布拉里-福尔蒂(Burali-Forti)悖论后提出的，它的主要论点是否认全类和不加限制的某些概念的存在性，从而避免过大的类．在无类论中，罗素在摹状词理论的基础上主张取消类作为实体存在的资格，而只把类看作是一种逻辑的虚构、一种说话的方便而已和一种“不完全的符号”．后来他又把类等同于命题函项．
　　1906年H．庞加莱(Poincaré)研究了里夏尔(Richard)悖论之后提出，悖论的根源在于非直谓定义．如果x是类A的一个成员，但定义x时又需要依赖于A，则这种定义称为非直谓的．显然这种定义具有循环定义即“反身自指”的特征．罗素吸取了庞加莱的这个思想，提出了避免悖论的“恶性循环原则”，认为：凡包含一个集体的总体的对象，它不应再是集体的一个成员；反之，假如一个集体有一个总体，该集体又含有只能由它的总体来定义的成员，则该集体没有总体．遵循这条原则便可以避免“反身自指”的不合逻辑的总体的产生，而这种不合法总体正是导致悖论的基础．在无类论和恶性循环原则的基础上，罗素于1908年在论文“以类型论为基础的数理逻辑”(Mathematical logic as based on thetheory of types)中进一步提出了分支类型论的理论．这个理论后来在《数学原理》的第I卷中也有详细的论述．
　　在分支类型论中，罗素从命题函项出发，对其进行分层处理，将其分属不同的“阶”．处于底层的是个体，它们既非命题又非命题函项；比它高一层次的是一阶命题函项，它们仅以前面层次中的个体为变元(自变元或约束变元)而构成；更高一层次的是二阶命题函项，它以一阶函项为变元；以此类推，我们可以得到一个不同阶次的命题函项的系列．一般来说，如果一个命题函项

x(其中x可以是个体，也可以是具有各种阶的命题函项)中变元x的最高阶是n，则这个命题函项

x本身便是第n＋1阶．每一个命题函项都有一个确定的阶，因而诸命题函项的阶与阶之间是不容混淆的．如果有一类命题函项

x是n阶的，那么涉及到这类命题函项的总体的命题函项f(

x)就不再是n阶的，而是第n＋1阶的了，因此我们就应将它们区别开来，不能把后者再看作是这个总体中的一个成员，否则就会产生悖论．坚持这种区别，也就是坚持了“恶性循环原则”．根据阶的理论，他定义了命题函项的直谓和非直谓的性质．对只含一个变元的命题函项，如果函项

x的阶比它的变元x的阶仅高1阶时，则该命题函项是直谓的记为

！x，否则便是非直谓的；对含有多个变元的命题函项，如果函项

(x，y)的阶比其变元x或y中的最高阶仅高1时，则称命题函项是直谓的记为

！(x，y)，否则便是非直谓的．显然包含悖论的命题函项都是非直谓的．坚持恶性循环原则，也就是要拒斥非直谓的命题函项．类似地，罗素对命题也进行了分层处理，将其分成不同的阶，而且进一步将命题的真值也分属不同的阶．这样，运用逻辑类型论，我们便可以消除各种逻辑悖论和揭示“撒谎者悖论”等语义学悖论错误所在．
　　在数学基础研究方面，罗素继弗雷格之后奉行逻辑主义的研究纲领，其核心思想是认为可以将数学还原为逻辑学，从而奠定数学的牢固基础．他曾将纯数学定义为是由所有“p蕴涵q”这种形式的命题所构成的一个类，其中p，q的相同点在于它们都是包含一个或多个变元的命题，并且无论p还是q都不包含任何非逻辑的常项．罗素想通过自己的工作表明：数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来，而数学定理也可以通过纯粹的逻辑演绎法从逻辑公理推导出来．因此在他看来，在数学与逻辑之间完全划不出一条界限来，它们二者实际上是一门学科，它们的不同就象儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代．
　　罗素试图推演出经典数学的逻辑系统是由如下概念和公理组成的：
　　(1)基本概念：语句p的否定“非p”(～p)；两个语句的析取“p或者q”(p∨q)；合取“p并且q”(p·q)；蕴涵，“如

()，如(x)φx(读作：对于每一个x，x具有性质φ)；存在量词

定义为～(x)～φx，因此上述基本概念并不都是初始的．(《数学原理》，第I卷，第1章．)
　　(2)命题演算的公理：(在表述上与原稿略有不同)
　　1．1 如果p，p

q，则q
　　1．2 (p∨p)

p
　　1．3 q

(p∨q)
　　1．4 (p∨q)

(q∨p)
　　1．5 (p∨(q∨r))

(q∨(p∨r))
　　1．6 (q

((p∨q)

(p∨r))(《数学原理》第I卷，第94—97页)
　　(3)谓词演算的公理
　　10．1 (x)Fx

Fy
　　10．11 如果Fy，则(

x)Fx
　　10．12 (x)(p∨Fx)

(p∨(x)Fx)(《数学原理》，第I卷，第139—140页)
　　早在弗雷格之前，数学家已经证明，所有传统的纯数学都可以看作是有关自然数的命题所组成，即其中的概念可以用自然数来定义，其中的命题可以从自然数的性质推导得出．而自然数的理论又由皮亚诺归约为数量极少的概念(如0，数和后继)和五个基本命题(即公理)组成，它们是：(1)0是一个数；(2)任何数的后继是一个数；(3)没有两个数有相同的后继；(4)0不是任何数的后继；(5)任何性质，如果0有此性质，又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质，那么所有的数都有此性质．罗素在此基础上要做的工作是要将皮亚诺的三个基本概念和五条基本命题归约为上述的逻辑概念和公理．在从逻辑概念推出自然数的概念方面，虽然弗雷格已经找到解决这一问题的办法，但是罗素和怀特海也独立地获得相同的结果．罗素解决问题的关键在于正确认识自然数的逻辑地位，它们不属于事物而属于概念的逻辑属性．他从类和关系的概念出发，定义了类的相似，接着又定义了：一个类的数是所有相似的类的类，而所谓数则是某一个类的数．例如，0是以空类为唯一成员的类，而2则是所有对偶的类，记为(《数学原理》，第I卷，第359页)

2={(x，y)·x≠y·α=l'x∪l'y}，

　　其中一些新的符号都可以从基本逻辑概念推出．至于“后继”则定义为：类α所有项数的后继就是α与任何不属于α的项x一起所构成的类的项数．在此基础上“自然数”就可以定义为是对于“直接前趋”这一关系(“后继”的逆关系)而言的0的“后代”．至于皮亚诺的五条基本命题，第(1)，(2)，(4)，(5)都可以从上述0，数，后继和自然数概念中推出．但是在证明第(3)条时却遇到了一点困难，如果宇宙中个体的总数不是有穷的，这个困难就不致于发生．因此为了不使第(3)公理失效，便需要断定无穷集合的存在．于是罗素不得不追加一条“无穷公理”，即“若n是任一归纳基数，则至少有一个类有n个个体”．由于n是任意的，可知无穷集合必然存在，于是困难才得以解决．另外，罗素在定义因子数可能是无穷的自然数乘法时发现，以往对两个因数相乘的定义是以假定其中每一个因数的数目是有限为先决条件的，如果要将这种情况扩展到无限时必然要以如下的命题奠基，即“给定一个类的类，若这类的分子互相排斥，那么必定至少有一个类，这个类是由那些给定类中的每一个的一个项所组成”．但对这个命题人们既不能证明又不能否证．为了克服困难，罗素把这个命题作为公理引进到他的系统中去，这就是所谓的“乘法公理”(或称“选择公理)”．罗素引入乘法公理还有其他原因，譬如，他发现在证明“每一个非归纳的基数必是一个自反数”的命题时，也需要以乘法公理为出发点；再者，他看到乘法公理有许多与之等价的重要命题，如策梅罗(Zermelo)良序定理等等，如果乘法公理真，则这些重要命题自然亦真．由于引进乘法公理，皮亚诺算术理论便可从他的系统中推演出来．
　　为了进一步推演出经典数学较高等的部分，罗素在自然数的基础上定义了正数、负数、分数、实数和复数的概念，这种定义不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的，而是通过构造一种全新的定义域来实现的．他把“＋m”定义为归纳数n＋m对于n的关系，“-m”是n对于n＋m的关系；把分数“m／n”定义为，当xn=ym时，二归纳数x，y之间的一个关系；把一个“实数”定义为是以大小为序的分数序列中之一节，其中把一个“有理实数”定义为以大小为序的分数序列中有边界的一节，把一个“无理实数”定义为以大小为序的分数序列中无边

是构造性的，而不是假定性的．这种构造是通过显定义产生一些具有实数通常的性质而完成的．当然这与直觉主义者那种通过“实数发生器”将实数一个个“创造出来”的构造方式是不同的．罗素还用类似的方法引进了其余的数学概念，如分析学中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分等概念，以及集合论中的超限基数、序数等概念．这种逻辑构造方法构成了逻辑主义的本质部分．
　　但是罗素在用分支类型论来处理实数理论时又遇到一些难以克服的困难．根据定义，一个“实数”是一个有理数的集合，因此一个“实数集合”就是一个有理数集合的集合．所以，根据分支类型论，在数学中就不能无限制地像以往那样使用“对于一切实数”的短语，因为它涉及到“一切集合的集合”的提法，而这种提法是非直谓的．因此，根据分支类型论，人们不能无限制地论及所有实数，而只能论及具有确定阶的实数．如对属于一阶命题的那些实数，在论及它们时不能出现“对于所有实数”这种形式的短语；对于属于二阶命题函项的那些实数，在论及它们时仅能使用“一阶的所有实数”的短语，等等．如果遵循这种规定，则以往实数理论中的许多重要定义和定理都将失效．为了克服这种困难，罗素引进了“可化归公理”：“有一个a函项的类型(譬如说τ)，使得给定任何a函项，有属于所说类型的某个函项与它形式等价”．它断言，任何阶的每一个函项都对应一个在形式上等价于它的直谓函项．接受这条公理，上述困难便可克服，因为依据它我们可以说，虽然我们论及实数的命题函项确实有不同的阶，但对每一个论及一个实数的高阶命题函项都有一个相应的论及同样实数的直谓函项，这一函项为同样的有理数所满足而不为其他有理数所满足，这样我们论及的仍都是直谓函项从而使许多定义和定理仍然有效．罗素认为，可化归公理与无穷公理和选择公理一样，它对于推演某些数学结论来说是必需的，但我们无法假定它确实是真，可是我们又不能说有无方法完全废除这条公理．罗素的学生F．P．拉姆齐(Ramsey)于1926年沿着这个方向作了一些尝试．
　　这样，罗素实际上是在其逻辑系统的基础上添加了少量的非逻辑公理(即无穷公理、选择公理和可化归公理)后，将经典数学推演出来．这项工作虽然不完全符合他原来所持的“将数学还原为逻辑”的宗旨，但是他具体地、系统地展开了从逻辑构造出数学的工作，这确实是数学基础研究中的一个重大成就．正因为如此，罗素所代表的逻辑主义与稍后的形式主义和直觉主义，堪称为现代数学基础研究中的三大数学哲学流派．
　　在数学方面，罗素在《数学原理》第Ⅱ卷中花了大量的篇幅提出了“关系算术理论”．他先定义了两个关系P，Q的“相似”的概念，即有P领域对Q领域的那么一个相互关系产生者，凡是两项有P关系，它们的相关者就有Q关系，反之亦然．接着，他用相似关系定义了“关系数”的概念，即一个P关系的关系数就是那些在次序上和P相类似的关系的类．他认为，关系数完全是一种新的数，普通数是它的一种极其特殊化的例子；一切能用于序数的那些形式定律都能用于这种一般得多的关系数；借助关系算术，还可以对“结构”的概念加以精确的定义．但是关系算术理论并没有为世人所注意，对此罗素感到十分惋惜．
　　在数理逻辑方面，罗素还发展了弗雷格和皮亚诺的工作，在《数学原理》中建立了一个完全的命题演算和谓词演算系统；发展并给出了一个完全的关系逻辑系统；以及提出了摹状词理论．关系，无论是对逻辑还是对数学，都是一个重要而基本的概念．关于关系逻辑的理论，在C．皮尔斯(Peirce)和施罗德的工作中就有了一些，但很不完全，而罗素在这方面的工作却是显著的．在关系逻辑中，他论及到关系的许多重要概念，如前域、后域、关系域、逆关系等等．他认为这些概念都是摹状函项，因此他认为可以用摹状函项来定义每一种关系．如R是任意一个一对多的关系，摹状函项即是“与x有R关系的项”，或者简单地说，“x的R关系者”．他还详细地讨论了“一对多”、“一对一”、“次序”三种基本关系．在关系逻辑中，他还对关系演算进行了研究，涉及到关系与关系之间的“包含”、“交”、“并”、“否定”和“差”的演算．摹状词理论，是罗素于1905年在“论指称”(On denoting)一文中提出的．在这个理论中他认为应该把专有名词与确定摹状词区分开来．一个专有名词如果是有意义的，就必须指称一个对象．而确定摹状词(即形式为“如此这般的那个”的表达式)则可以完全没有任何指称，在这个意义上它们是一种“不完全的符号”，它们没有独立的意义．离开了在一个句子中的地位，它们就不代表某种对象，它们的意义只有在句子的前后关系中才能确定．他主张取消摹状词短语，把它们表达为不完全符号，即把摹状词短语扩展为存在陈述，并把这些存在陈述解释为断定某一事物具有包含于那个摹状词中的属性．例如，命题“这座金山并不存在”可以改为：“对x的一切值来说，‘x是金的而且是一座山’这个命题函项总是假的．”
　　在逻辑方面，罗素还强调应将命题与命题函项区别开来，将蕴涵与推理区别开来．以前人们认为逻辑是关于推理的理论，他则认为逻辑是关于推理合法性的理论，即关于蕴涵的理论．他说，“在我们从一个命题有效地推出另一个命题之处，无论我们察觉与否，都是根据两命题间成立的一个关系推导的：事实上，理智在推理中是纯粹接受的，就象常识上认为理智对可感对象的知觉是纯粹接受的一样”．(《数学的原理》，第33页)
　　罗素对应用数学的态度经历了一个否定之否定的变化过程．最初，罗素奉行一种毕达哥拉斯主义，认为现实世界里的事物是遵循数学原理的，他是在这个意义上看重应用数学的．他说，他少年时虽然不会打台球，却喜欢关于台球怎样运行的数学学说．他在自己第一本著作即关于几何基础的著作中，就开始试图运用数学来建立运动概念和动力学定律的牢固基础．但是在1900年至1914年这个时期，由于他偏重于数理逻辑和数学基础的理论研究，便对应用数学的兴趣减弱了．甚至还产生这样一种想法，认为数学基本上不是一个了解和操纵感觉世界的工具，而是一个抽象的体系，这个体系是存于柏拉图哲学意义的天上，只有它的一种不纯净和堕落的形式才来到感觉世界．在这个时期，他采取一种极深的避世思想．第一次世界大战之后，他亲眼看见成千上万的年青人搭上了运送军队的火车并在战争中惨遭屠杀，他感到自己与实际的世界有了痛苦的结合．这时他才醒悟到以前他关于抽象的概念世界那些浮夸的思想是没有内容和无足轻重的了．从此以后，罗素不再认为数学在题材上是和人事无关的学科，也不再觉得理性高于感觉，不再觉得只有柏拉图的理念世界才接近“实在”(real)的世界．在此之后的一些著作如《物的分析》(The analysis ofmatter，1927)中，他把数学运用到物理学中去，试图建立物理学的数学基础．
　　在本世纪中，罗素是数学基础研究中逻辑主义学派的杰出领导者，是著名的数理逻辑学家，同时又是著名的哲学家和社会活动家，所有这些都是为世人公认的．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:55

勒贝格

　　勒贝格，H．L．(Lebesgue，Henri Léon) 1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎．数学．
　　勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别善长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．
　　1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(Intégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士．
　　勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题．19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．
　　为勒贝格积分理论的创立作出重要贡献的首先应推若尔当，他在《分析教程》(Cours d’analyse，1893)一书中阐述了后人称谓的若尔当测度论，并讨论了定义在有界若尔当可测集上的函数，采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分．虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷(例如存在着不可测的开集，有理数集不可测等)，而且积分理论也并没有作出实质性的推广，但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野．在这一方向上迈出第二步的杰出人物是波莱尔，1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“波莱尔集”的理论．他从R1中开集是构成区间的长度总和出发，允许对可列个开集作并与补的运算，构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类，并在其上定义了测度．这一成果的要点是使测度具备完全可加性(若尔当测度只具备有限可加性)，即对一列互不相交的波莱尔集{En}，若其并集是有界的，则其并集的测度等于每个En的测度的和．此外，他还指出，集合的测度和可测性是两个不同的概念．但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集(这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一)．特别是其中存在着零测度的稠密集，引起了一些数学家的不快．然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它．他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制，以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念，给予了集合测度的分析定义：设E

[a，b]，考虑可数多个区间{Ii}对E作覆盖．定义数值

m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，

　　则称E为可测集(即E是勒贝格可测的)．在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：对于一个定义在[a，b]上的有界实值函数f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：

m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．

　　令

Ei={x∈[a，b]:yi-1≤f(x)≤yi}，(i=1，2，…n)

　　并假定这些集合是可测的(即f(x)是勒贝格可测函数)．考虑和式

　　如果当max{yi-yi-1}→0时，s△与S△趋于同一极限值，则称此值为f(x)在[a，b]上的积分，勒贝格曾对他的这一积分思想作过一个生动有趣的描述：“我必须偿还一笔钱．如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过，我还有另外一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”．在他的这一新概念中，凡若尔当可测集，波莱尔可测集都是勒贝格可测集．勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数．
　　从数学发展的历史角度看，新的积分理论的建立是水到渠成的事情．但是可贵的是，与同时代的一些数学家不同，在勒贝格看来，积分定义的推广只是他对积分理论研究的出发点，他深刻地认识到，在这一理论中蕴含着一种新的分析工具，使人们能在相当大范围内克服黎曼积分中产生的许多理论困难．而正是这些困难所引起的问题是促使勒贝格获得这一巨大成就的动力．
　　这方面的第一个问题是早在19世纪初期由J．傅里叶(Fou-rier)在关于三角级数的工作中不自觉地引发的：当一个有界函数可以表示为一个三角级数时，该级数是它的傅里叶级数吗？这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系．傅里叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的，从而给上述问题以肯定的回答．然而到了19世纪末期，人们认识到逐项积分并不总是可行的，甚至对于黎曼可积函数的一致有界的级数也是这样，因为由该级数所表示的函数不一定是黎曼可积的．这个问题的讨论促使勒贝格在新的积分理论中获得了一个十分重要的结果：控制收敛定理．作为一个特殊情形他指出，勒贝格可积的一致有界级数都可以逐项进行积分，从而支持了傅里叶的判断．逐项积分在本质上就是积分号下取极限的问题，它是积分论中经常遇到的最重要的运算之一．从而这一定理的创立显示出勒贝格积分理论的极大优越性．
　　微积分基本定理

　　是微积分学的核心．然而这一公式的运用在黎曼积分意义下却有较大的限制，在1878—1881年间，U．迪尼(Dini)和V．沃尔泰拉(Volterra)曾构造了这样的函数，它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的．此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难．然而，在新的积分理论中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的．在f'是有限值但无界的情形，只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于f是有界变差函数．同时，逆向问题也被人们提出来了：何时一个连续函数是某个函数的积分？为此，A．哈纳克(Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数．约在1890年期间，绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分．然而，勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完整结果：公式(1)成立的充分且必要条件是： f(x)是[a，b]上的绝对连续函数．
　　另一个与积分论有关的问题是曲线的长度问题．19世纪前期，很少有人注意到一条曲线长度的定义和可求长问题．一般都认为以y=f(x)(a≤x≤b)所描述的曲线段总是有长度的，且长度可用

　　表示．杜·布瓦-雷蒙(Du Bois-Reymond)在研究关于两点间长度最短的曲线的变分问题时，从G．P．L．狄利克雷(Dirichlet)关于函数的一般观点出发探讨了曲线长度的概念．由于用到了极限过程这一分析手段，他认为(1879)积分理论对曲线长度的概念和可求长性质的陈述是必不可少的．但到了19世纪末期，这一见解由于L．希弗尔(Scheeffer，1859—1885)举出的反例而受到责难，这一反例致使定积分

感兴趣，并应用他的积分论中的方法和结果，证明了曲度长度与积分概念是密切相关的，从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性．
　　勒贝格关于微积分基本定理和曲线可求长理论的研究，促使他发现有界变差函数是几乎处处可微的这一事实．(注：若尔当曾指出不定积分是有界变差函数．)这一定理的重要性在于：人们对于连续函数的可微性已经讨论了一个多世纪，在19世纪的几乎前半个世纪，人们还一直认为连续函数在其定义区域中的绝大多数点上都是可微的．虽然连续函数总被误认为是逐段单调的，但这使单调性与可微性联系起来了，尽管是脆弱的．19世纪末期，这一看法逐渐被人怀疑，甚至有些其地位不低于魏尔斯特拉斯的数学家都觉得存在着无处可微的连续的单调函数．于是，在这一意义下，勒贝格的定理支持了前一代数学家的直觉印象．
　　在传统的关于二重积分与累次积分的等值性定理上，黎曼积分也反映出它的不足之处，人们发现了使该定理不成立的例子．从而作为一个结论，这一定理的传统说法必须修改，然而在把积分推广于无界函数的情形时，这一修改变得更加严峻．对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了．他在1902年给出的一个结果奠定了1907年G．傅比尼(Fubini)创立的著名定理的基础．
　　勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法图(Fatou)，F．里斯(Riesz)和E．菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置．
　　虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的．1910年，勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”(Sur I’intégrationdes fonctions discontinues)的重要专题报告．在这里他不仅把积分、微分理论推广于n维空间，而且引入了可数可加集合函数的概念(定义于勒贝格可测集类上)，指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数．正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察，使得J．拉东(Radon)作出了更广的积分定义，其中把T．-J．斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分和勒贝格积分作为它的特殊情形．他还在1913年的文章中指出，勒贝格的思想在更一般的背景上也是有效的．
　　勒贝格的一生都献给了数学事业，在1922年被推举为院士时，他的著作和论文已达90种之多，内容除积分理论外，还涉及集合与函数的构造(后来由俄国数学家H．鲁金(ЛyэиH)及其他学者进一步作出发展)、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果．在勒贝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何．
　　勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上所有新思想运动一样，并不是没有遇到阻力的．原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分．从而受到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表．勒贝格曾感叹地说：“我被称为一个没有导数的函数的那种人了！”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中．勒贝格充满信心地指出：“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作．”
　　由于在实变函数理论方面的杰出成就，勒贝格相继获得胡勒维格(Houllevigue)奖(1912年)；彭赛列(Poncelet)奖(1914年)和赛恩吐(Saintour)奖(1917年)．许多国家和地区(如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰)的科学院都聘他为院士，许多大学授予他名誉学位，以表彰他的贡献．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:56
弗雷歇

　　弗雷歇，M．(Frechét，Maurice)1878年9月2日生于法国约讷省的马利尼；1973年6月4日卒于巴黎．数学．
　　弗雷歇的父亲是小学教师，在一所小规模的新教教会学校教课．他有六个孩子，弗雷歇排行第四．
　　当12岁的弗雷歇在布丰中学念书时，他的数学老师——一位比他大13岁的年青人——发现了他的数学才能．这位年青人极力劝说弗雷歇的双亲让他们的孩子从事数学工作，并且还常常为弗雷歇单独讲课，让他解决数学问题并给予必要的指导．这位年青人就是J．阿达玛(Hadamard)．弗雷歇常常以深切的感激之情回忆阿达玛对他的关心和帮助．
　　服完兵役以后，弗雷歇听从阿达玛的劝告进入著名的巴黎高等师范学校学习，并在那里获博士学位(1906)．
　　1910年，弗雷歇任普瓦捷大学力学教授，直到第一次世界大战爆发．战争期间，弗雷歇在前线呆了三年，开始是普通士兵，后来担任英国军队的翻译．战争结束后，弗雷歇来到斯特拉斯堡大学，任数学教授(1920—1927)．后来接受E．波莱尔(Borel)的邀请到著名的巴黎大学执教，先后担任概率计算讲师(1928—1933)，一般数学教授(1933—1935)，微积分计算教授(1935—1940)和概率计算教授(1940—1948)．
　　1956年，弗雷歇被选为法国科学院院士．在此以前，他已是波兰科学院院士(1929)和荷兰科学院院士(1950)．此外，他也是莫斯科数学学会等许多国内外著名科学学会的成员．
　　弗雷歇对数学最重要的贡献是创立抽象空间理论，为泛函分析和点集拓扑学奠定了基础．
　　“空间”一词，本来是人类对自己所生存的周围环境的称谓．由于现实的生存空间有前后、左右、上下三个自由度．故又称三维空间．选取了原点0之后，空间一点p可用三个实数的有序组(x，y，z)加以表征．由此，人们又把直线看作一维空间，平面看作二维空间．而A．爱因斯坦(Einstein)的相对论则要使用四维空间(x，y，z，t)，其中t表示时间．很自然，人们将(x1，…，xn)称为n维空间中的一点．弗雷歇的功绩是将空间的概念作了极大的推广．他大胆地采用了刚由G．康托尔(Cantor)创立起来的集合论思想，把“空间”看成具有某种结构的集合．从这个观点出发，许多数学问题实际上可归结为“空间”上的函数(泛函)或“空间”之间的映射(算子)的研究．这一想法，弗雷歇于1904年已经着手探讨(见原始文献[1])．1906年，他在博士论文“关于泛函演算若干问题”(Sur quelques pcincs du calcul fonctionnel，1906)中给出了完整的理论．
　　在这一工作中，给人印象最深的是距离空间理论．众所周知，现实空间中每两点A，B之间都有一个距离d(A，B)，这是一个非负实数．弗雷歇将它推广到一般的集合上，他给出如下定义：设D是非空集合，如果对D中任何两个元素A，B，都有一个实数d(A，B)与之对应，且满足
　　(a)d(A，B)=d(B，A)≥0，
　　(b)d(A，B)=0当且仅当A=B，
　　(c)d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)对D中任意的元素C都成立，
　　这时就称d(A，B)是A，B之间的距离(écart)，称D是距离空间．显然，现实的空间就是距离空间．弗雷歇还给出了两个很有用的抽象的距离空间的例子：
　　(1)区间[a，b]上的连续函数全体构成的空间C[a，b]，其中的距离定义为

　　(2)实数列全体构成的空间F，其中任意两点x=(x1，…，xn，…)和y=(y1，…，yn，…)之间的距离定义为

　　这一空间现称弗雷歇序列空间．
　　距离空间的概念成功地刻画了空间和距离的本质．自从非欧几何创立以来，人们对空间这个几乎和人类一起产生的古老的概念又有了新的认识．数学家的视野也开始从有限维的现实空间转向一般的抽象空间，数学研究的舞台获得前所未有的扩大．后人在评论泛函分析历史时，把弗雷歇的博士论文和I．弗雷德霍姆(Fredholm)的积分方程论文(1900)，H．勒贝格(Lebesgue)的积分论(1902)，D．希尔伯特(Hilbert)的谱论(1906)并列为四项奠基性工作(见研究文献[20]，p．97)．
　　弗雷歇的研究工作并没有停止在仅仅给出一些空间的定义上，而是深入研究这些空间的性质．他把有限维空间中的极限概念搬到抽象空间上来，定义了邻域、开集、闭集、闭包、极限点等概念，导致对空间的完备性、紧致性、可分性等性质的研究．这一部分后来成为点集拓扑学的基本内容．1914年，F．豪斯多夫(Hausdorff)出版《集论》(Grundzüge der Mengenlehre，Leipzig，1914)标志着点集拓扑学的产生，其中含有弗雷歇的大量工作．
　　值得指出的是，在20世纪的最初10年中，康托尔的集合论、勒贝格的积分论都尚未被当时的国际数学界广泛接受，许多数学家对“病态函数”、“怪异集合”持怀疑甚至厌恶态度，但弗雷歇坚定地支持这些工作，并通过自己的努力使集合论和积分论成为20世纪数学的两块重要基石．
　　勒贝格发表积分论以后仅仅5年，弗雷歇给出了勒贝格意义下的平方可积函数距离空间L2[a，b](1907)(见原始文献[3])：设f(x)和g(x)是L2[a，b]中的两个元素，它们之间的距离是

　　他还和E．施密特(Schmidt)同时指出L2[a，b]和序列的希尔伯特空间l2的类似性．几个月后，F．里斯(Riesz)把这种类似性表为定理，后来被称为里斯-费希尔(E．Fischer)定理．它表明L2[a，b]和l2在某种意义上是等价的．
　　同年，弗雷歇证明了，对于定义在L2[a，b]上的每一个连续线性泛函U，存在L2[a，b]中唯一的一个元素u(x)，使得对于L2[a，b]中每一个f(x)，都有

　　这是当今称为希尔伯特空间理论的基础．
　　1926年至1928年，弗雷歇汲取S．巴拿赫(Banach)等人的成果，进一步提出了一种线性距离空间，明确地把线性运算和距离结构协调起来(见原始文献[6]，[12])．这种空间现在称为弗雷歇空间．
　　设有一个非空集合E，在它上面有一个由加法和数乘运算确定的线性空间结构，并且有一个从E到实数空间的映射p，满足条件
　　A1 对任意的E中元素x，有
　　p(x)≥0并且p(x)=0当且仅当x=0，
　　A2 对任意的E中元素x，y，有
　　p(x+y)≤p(x)+p(y) (三角不等式)，
　　A3 对任意的E中元素x，xn，以及任意的实数a，an，有
　　

称p是准范，E被称为赋准范线性空间．对E中任意元素x，y，定义

d(x，y)=p(x-y)，

　　易见这正好是距离．在这个距离下E成为距离空间，如果E同时是完备的，就称E是弗雷歇空间．可以验证前面给出的两个例子C[a，b]和F都满足弗雷歇空间条件．在线性泛函分析中有广泛应用的巴拿赫空间，也就是完备赋范线性空间，是弗雷歇空间的特例．
　　在经典分析中，微分是个极其有用的概念，如何把这个概念推广到一般抽象空间上呢？这是一个难题，至今尚未最后解决．不过弗雷歇在这方面作了很好的工作．早在1914年，弗雷歇就给出了距离空间上泛函的可微性定义(见原始文献[7])．1925年，他把它推广到赋范线性空间

f(x0+h)-f(x0)-Ah=ω(x0，h)，

　　其中ω(x0，h)满足

弗雷歇又把定义进一步严格化(见原始文献[9])．弗雷歇可微性概念有广泛应用，是现代非线性泛函理论的基本概念之一．
　　弗雷歇对泛函分析中的极值问题，抽象空间上的曲线、曲面和曲面面积问题也有研究．
　　在拓扑学中，除了前面提到的工作外，弗雷歇还对维数的定义作过研究．1909年，弗雷歇首先对维数给出定义：如果存在从拓扑空间E到拓扑空间F的某个子空间上的同胚映射，就称E的维数不大于F的维数．现在拓扑学中通常使用H．庞加莱(Poin- caré)于1912年提出，后经L．E．J．布劳威尔(Brower)等人修改，用递归方法给出的维数定义．但弗雷歇的定义简单明了，也是个很有价值的概念，后来弗雷歇在发展以他的维数定义为基础的维数理论方面做了一些工作(见原始文献[13])．
　　弗雷歇数学活动的另一个重要领域是概率统计理论，这方面的工作在他的整个数学工作中占有很大比重．早在20年代，他就开始用他所创造的泛函分析方法(他称之为“广义分析”方法)研究随机变量序列[xn]“概收敛”和“几乎处处收敛”的问题．他和别人合作解决了“矩收敛问题”(见研究文献[14])．30年代，他着重研究了“马尔科夫链”理论．另外，他对概率计算、概率应用、方差和协方差的定义问题，相关性问题、遍历理论、零概率事件的分类、抽象概率空间理论和随机曲线等都有研究．
　　在函数论和经典分析方面，弗雷歇也作过一些工作．
　　虽然弗雷歇以他在数学的抽象化、一般化方面的工作著称于世，但他对数学的看法却很实际．他认为数学不是一个纯粹的演绎科学；事实上，数学涉及四个阶段：1)系统地从经验中归纳，2)公理化、公式化，3)演绎，4)实验证实．所以，所有的数学都来自经验，一个与经验无关的公理系统只不过是场游戏，不是数学(见原始文献[11])．
　　在与国际数学家交往上，弗雷歇是位活跃人物，据说他几乎和20世纪每位大数学家都有通信来往(见研究文献[15])．
　　美国著名数学家、控制论创始人N．维纳(Wiener)在1920年写信给弗雷歇，希望成为他的学生，弗雷歇放弃去西班牙休假的机会，热情地邀请维纳来斯特拉斯堡一起工作．维纳在他的自传《我是一个数学家》(I am a mathematician，1956)中回忆道：“弗雷歇身材中等，留有小胡子，体格强健，行动敏捷．……．酷爱散步和旅行，我们相处得很好．”(见研究文献[18]，p．40．)维纳这时和弗雷歇同样对“公理化方法”感兴趣．正如弗雷歇引入“距离”三条公理一样，维纳也引入了“范数”的公理，这和波兰数学家巴拿赫几乎同时得到．当时弗雷歇曾为此欣喜不已，并在自己的工作中积极汲取了他们的成果(见前文所述)．
　　弗雷歇和与外界联系较少的苏联数学家也有十分友好的关系．H．H．鲁金(луэин)曾写信告诉他自己在解析理论(见研究文献[16])、射影集合方面的工作．п．C．亚历山德洛夫(Aлек-сандров)在一封信中向他讲述了п．C．乌雷松(урысон)被淹死的惨剧(见研究文献[17])．这种数学家之间的个人友谊对当时苏联的数学，尤其是拓扑学的飞速发展无疑有一定作用．
　　弗雷歇有两个中国学生．一个是关肇直，他是现代中国著名数学家，中国泛函分析学科的奠基人．另一个名叫樊

(Fan，Ky)，是美国的著名华裔数学家；弗雷歇与他合著《组合拓扑学导论》(Introduction à la topologie combinatoire，1946)，此书后来被翻译成英文(1967)和西班牙文(1967)．
　　阿达玛曾把弗雷歇的创造性工作与E．伽罗瓦(Galois)创立群论相提并论(见研究文献[14])，这一评价似乎有些太高了．但是弗雷歇有一点同伽罗瓦一样，他不仅为数学开拓了大片新领域，而且带来了数学方法的变革．他所参与创立的由“公理”确定出一般的抽象的数学结构，然后再逐步过渡到具体问题的“公理化方法”，现在已被广泛采用．这种方法对希尔伯特的形式主义和N．布尔巴基(Bourbaki)的结构主义的形成起着重要作用．
　　弗雷歇的成功决非偶然．一方面，康托尔的集合论和勒贝格的积分论为他提供了理想的工具；另一方面V．沃尔泰拉(Vo- lterra)、弗雷德霍姆、阿达玛等人在积分方程、微分方程和变分法方面的研究中已积累了大量的素材，为弗雷歇创立抽象空间理论作了充分准备；最后，自19世纪，B．柯西(Cauchy)、R．戴德金(Dedekind)等人完成数学的严密化工作，伽罗瓦创立群论和K．F．高斯(Gauss)等人创立非欧几何以来，探求一般性和统一性逐渐成为数学发展的一个重要方向，而弗雷歇顺应了这个发展．
　　正如维纳所指出的那样(见研究文献[18]p．33)，尽管弗雷歇的著作是“非常重要的”，但并没有象人们所期望的那样“成为数学的中心”，因为“它是按照抽象形式主义精神写的，这同任何深刻的物理应用根本对立”．维纳还说弗雷歇是当时法国在“公设主义”方面“无可争议的领袖，但现在看来他并非是“他那一代数学界的绝对领袖”．
　　弗雷歇的著作很多，较著名的有《抽象空间》(Les espaces ab-straits，1928)，《概率论现代理论研究》(Récherches théoriquesmodernes sur la theome des probabilities，1937—1938，两卷集)和《数学与具体》(Les mathématiques et le coneret，1955)等．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:57
李特尔伍德

　　李特尔伍德，J．E．(Littlewood，John Edensor)1885年6月9日生于英国罗切斯特；1977年9月6日卒于剑桥．数学．
　　李特尔伍德是爱德华·桑顿·李特尔伍德(Edward Thorn-to n Littlewood)和西尔维娅·莫德(Sylvia Maud)的长子．E．T．李特尔伍德曾获1882年数学荣誉学位考试一等及格者的第9名，后来受聘担任南非维恩堡一所新建中学的校长，全家于1892年移居到那里．
　　李特尔伍德在依山傍海、气候宜人的环境里度过了愉快的童年．他先在开普敦大学念书，1900年转入英格兰的圣保罗学校．该校采取大学式的教学体制，鼓励学生们独立思考、相互探讨．三年中，李特尔伍德获得了代数、几何知识及自立能力和良好的判断力．1902年12月，他通过剑桥大学三一学院的资格考试，次年10月正式入学．
　　前两年，他先后学习了立体几何、流体动力学、分析学和解析函数论等课程．G．H．哈代(Hardy)曾任他的分析学课的助教．后两年他主修特殊函数、保形表示及微分几何，还带着浓厚的兴趣参加了A．N．怀特海(Whitehead)关于几何基础与数学基础的讲习班．
　　1907年10月，李特尔伍德从剑桥毕业，来到曼彻斯特大学任理查德逊(Richardson)讲师．繁重而乏味的教学工作占去了他大部分的时间，促使他于1910年重返三一学院，接替怀特海的职务．在这里，他发现了许多感兴趣的新问题，并有充足的时间进行探索．1911年1月，他证明了级数论中阿贝尔定理的逆定理，感到这“标志着我的判断力和鉴赏力达到了相当可靠的程度．我受教育的时期结束了．不久，我便开始了与哈代长达35年的合作．”
　　两人早期的合作成果是极为丰富的，除涉及丢番图逼近及其对函数论的应用外，还系统处理了级数的可和性，对一些特殊的级数讨论了陶伯(Tauber)型定理．这其中的大部分工作是1914—1918年李特尔伍德在皇家炮兵部队服役时完成的．在此期间，李特尔伍德还发现了解决弹道计算问题的一些新方法．
　　1920年，哈代离开剑桥去了牛津，直到1931年才重新回到剑桥．这十年间，两人始终保持着密切的联系，围绕整数分拆和傅里叶级数的收敛性与可和性发表了大量著作．李特尔伍德的独立工作集中于复函理论，还指导了大批研究生．他在剑桥主要讲授实与复分析理论，后来又参照怀特海和B．A．W．罗素(Russell)所建立的一般理论，在自己的演讲中增加了集合论基础的内容，包括基数、序数、乘法公理和良序级数．这些都收入他在1926年出版的《实函数论》(The theory of real function)一书中．
　　1928年，李特尔伍德被推举为首位罗斯·鲍尔(Rouse Ball)数学教授，这样他就免去了教学工作，可以自由选择课题进行演讲．这时，他已成为最有威望的分析学家之一．在30—40年代，他与哈代研究了序列重排、极大定理和不等式，同R．E．A．C．佩利(Paley)系统探讨了傅里叶级数和幂级数．出于战争的需要，他还研究了无线电工程中所需的非线性微分方程的性质．通过各种讨论班，他为许多年轻数学人才指明了方向．
　　1950年，65岁的李特尔伍德到了法定退休年龄，成为退休教授．他自愿为学院进行了4年有关非线性微分方程和函数论的演讲．1957年，多年折磨他的神经衰弱得以痊愈，这使他重振信心，在后来的10年中接受了来自美国的许多邀请．应L．C．杨(Young)和A．济格蒙德(Zygmund)的盛情之邀，他先后到过威斯康星大学的数学研究中心和芝加哥大学，他还三次去加利福尼亚大学伯克利分校任访问教授．
　　晚年，他主持过许多报告会、讲习班和讨论，主题是微分方程和函数论．他的论著除涉及微分方程外，另有许多显示了他对天体力学和概率分析的兴趣．
　　每年从圣诞节到3月中旬，李特尔伍德都要去瑞士滑雪．年老后，他无法远足，但仍坚持每天在校园中散步．87岁时，他还能不知疲倦地长时间工作，为出版物撰写文章，帮助数学家解决他们寄来的问题．
　　1975年6月9日，是李特尔伍德的90大寿，数学与应用学院同伦敦数学会联合举办了专题讨论会，以示庆贺．1977年8月，他在睡眠时从床上落地，直到次日凌晨才苏醒，被送入医院护疗．9月6日，李特尔伍德猝然与世长辞，享年92岁．他终生未婚．
　　李特尔伍德一生获得过大量荣誉，其中主要有：皇家学会会员(1916年)；皇室奖章(1929年)，德·摩根(De Morgen)奖章(1938年)和西尔维斯特(Sylvester)奖章(1943年)；巴黎科学院院士(1957年11月)；伦敦数学会会长(1941—1943年)．
　　1982年，由伦敦数学会编辑、牛津大学出版社出版了两卷的《J．E．李特尔伍德文集》(Collected papers of J．E．Little-wood)，其中包括他的数学论文91篇，杂文8篇．他与哈代合作撰写的100篇论文则已收录于1966年出版的《G．H．哈代文集》(Collected papers of G．H．Hardy)中．
2 w9 M2 _. B& @8 l u7 [　　1．函数论
　　李特尔伍德在经典复分析领域做了大量工作．1907年他最初涉猎数学时，函数论的中心问题是特殊函数(如Zeta函数和椭圆函数)的性质及其在数论等学科中的应用；而另一方面，J．阿达玛(Hadamard)、E．L．林德洛夫(Lindel

f)等人又从函数论本身的需要出发，开始研究各类一般的函数．这门学科正从广义的应用学科转向纯粹数学．李特尔伍德早期的工作恰好处于这两者的分界线上．在第一篇论文“关于零阶整函数的渐近逼近”(Onthe asymptotic approximation to integral functions of zero or-der)中他设f(z)为整函数，

　　将m(r)和M(r)视为f的k阶函数，其中k由

　　他证明，若k=0，则m(r)＞M(r)1-ε(r→∞)
　　这是当时零阶整函数问题的一个最新结果，使用比较初等的方法完成了林德洛夫的残数分析法所不能解决的问题．在提交伦敦数学会审议时，曾受到一些专家的怀疑，幸由哈代保荐才得以通过，发表在1907年的“伦敦数学会会议录”(Proceedings of Lon-don Mathematical Society)第5卷上．
　　第二年，他接着证明存在一般常数C(k)(≥-2k)，使

m(r)＞M(r)c(k)-ε．

　　这一不等式吸引着后来的数学家做了大量改进工作．同时，李特尔伍德开始将注意力集中于满足特殊条件的各类整函数，寻找零点渐近公式与系数之间的关系，这为后来Zeta函数的研究奠定了基础．
　　在1925年的“关于函数论中的不等式”(On inequalities inthe theory of functions)一文中，李特尔伍德首先推进了从属关系这一新概念．他证明，在所有于|z|＜1内正则的函数f(z)=a0+a1z+…(a0给定，f(z)在给定区域D内取值)中，在均值

　　意义下的极大函数就是将单位圆映到D的通用覆盖面上的函数F(z)．他还就斯哥特基(Schottky)函数类讨论了F(z)的性质．
　　文中另一个重要结果是关于单叶函数系数绝对值的阶，设上面定义的函数f(z)是单叶的，a0=0，a1=1，李特尔伍德把当时的最佳估计

　　改进为

　　这是对比勃巴赫(Bieberbach)猜想的一个重大贡献．
　　次调和函数是F．里斯(Riesz)在1926年引入的一类具有普遍性的函数：u(z)=u(x，y)是次调和的，若它上半连续并对任意小的r满足

　　李特尔伍德在1927年给出了等价的定义：若上式对定义域中的每个z0及某些任意小的r成立，则u亦为次调和的．
　　第二年，他又证明一个重要的定理：u(z)在|z|＜1内次调和，则r→1时，

有限．对于u(z)=log|f(z)|的角极限问题，李特尔伍德亦给出一些有用的定理．这些有关次调和函数的结果后来由J．L．杜布(Doob)、R．L．惠登(Wheedon)等人从各个角度给予了推广．
　　在1931年函数论授课讲义的基础上，李特尔伍德补充了次调和函数和从属关系的内容，于1944年2月写成《函数论教程》(Le-ctures on the theory of functions)一书，由牛津大学出版社出版． 1 A# _0 F s( G. j7 A
　　2．数论
　　李特尔伍德在数论方面的工作绝大多数是与哈代共同完成的，集中于1911—1930年的20年间．
　　(1)丢番图逼近在1912年剑桥召开的第五次国际数学家大会上，哈代和李特尔伍德宣读了有关丢番图逼近的一系列新结果，此后又陆续写出13篇论文．他们的突出贡献在于对一些重要的特殊情形给予了精确

若这些系数增长的速度很快，则Sn(θ)／N以极慢的速度趋于0；

　　他们还把这种三角和的估计应用于傅里叶级数的收敛、Zeta函数和直角三角形格点问题的误差估计．例如，作为对伯恩斯坦(Bernstein)
　　

的完善，他们证明存在常数C＞0，对所有的N和t，有

　　随之可得，级数

　　李特尔伍德还曾提出过这样一个问题：对所有实数对θ，φ，是否

映出连分数方法尚未在联立逼近问题中得到很好的推广，被称为“李特尔伍德的丢番图逼近问题”．
　　(2)Zeta函数对于复变量的Zeta函数

　　一个重要的问题是其零点的分布问题．B．黎曼(Riemann)曾猜想

同研究Zeta函数．
　　1921年，两人给出了ζ(s)的渐近估计式．设ζ(s)=φ(s)ζ(1-s)，s=σ+it，|t|=2πxy，则对|σ|≤h，x＞k，y＞k(h，k为正常数)一致地有

　　由此得到均值估计式

　　李特尔伍德证明，当s的虚部很大时，±log|ζ(s)|与argζ(s)在s点的取值亦很大，不论在0＜σ＜1内还是在半平面σ≥1上．例如他找到正常数b，使

　　而若黎曼猜想成立，则有

　　记N(T)为矩形区域0＜σ＜1，0＜t≤T内ζ(s)的零点

曼猜想成立的前提下，把余项改进为O(logT／log log T)，它意味着各个零点之间的距离总不会超过c／log log T，这是迄今为止最佳的结果．
　　Zeta函数还与素数分布问题密切相关．早在本世纪初，李特尔伍德便独立地发现，若素数的分布充分正则，那么黎曼猜想成立；反之，黎曼猜想隐含着素数的均匀分布．
　　1914年，他给出素数定理的余项估计．记π(x)为不超过x的素

了

　　李特尔伍德则证明不论黎曼猜想正确与否，都有

　　成立．这是一项比较领先的结果．
　　尽管经验表明有不等式π(x)＜Lix成立，李特尔伍德却说明差分π(x)-Lix无穷次地改变符号：对某些任意大的x，π(x)＞Lix+

　　(Schmidt)等人的结果相比，达到了更高的精确程度．
　　(3)堆垒数论 1920到1928年，哈代和李特尔伍德发表了题为“整数分拆的一些问题”(Some problems of Partitio Nume-rorum)的5篇系列文章，对华林(Waring)问题进行了深入探讨．他们所得到的全部结论均以广义黎曼猜想(用狄利克雷L函数代替Zeta函数)为前提，使用的是著名的圆法．对于给定的自然数k，要求自然数S(k)，使S≥S

　
　　突破，后经H．外尔(Weyl)和华罗庚等人给予了重大发展．
　　由此出发，哈代和李特尔伍德还给出了哥德巴赫(Goldbach)问题和孪生素数问题的一些渐近表示式．
/ @! }. ?9 L g9 p: ~9 q　　3．实分析
　　(1)李特尔伍德-佩利理论李特尔伍德与佩利以“关于傅里叶级数和幂级数的定理”为题，合写过3篇文章，首创了Lp(p＞1)空间中傅里叶级数特征性质的理论．它主要包括以下两个方面：
　　①函数g(θ)、g＊(θ)及其应用．设F(z)=F(ρeiθ)是单位圆内的解析函数，李特尔伍德和佩利引入两个重要的函数

　　它们对于三角级数和幂级数的研究有着重要作用．主要结果是：若r＞1，则存在仅与r有关的常数Ar，Br，使得

! Y2 G2 s- t. v7 |; L5 v) B' |　

　　成立．
　　②三角级数的二进分块．设实值函数f(x)∈Lp(0，2π)，

　　由上面(＊)式可以得到结论：存在常数Ap(p＞1)，使

　　这个不等式是研究Lp空间中傅里叶级数的基本工具，其作用相当于刻画L2(0，2π)空间特征性质的帕塞瓦尔(Parseval)等式，对低维空间的情形特别有效，50年代时由E．M．斯坦(Stein)推广到高维空间．
　　(2)哈代-李特尔伍德极大函数 30年代，哈代和李特尔伍德在研究傅里叶级数时，引进了极大函数算子．设f(x)为Rn中的局部可积函数，称

　　为f的极大函数，其中B(x，r)代表以x为中心、r为半径的球，|B(x，r)|为球的体积．他们证明，(Mf)(x)是几乎处处有限的，只要f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞；且有

　　A是与p，n有关的常数．
　　由极大函数的定义可知，(Mf)(x)≥|f(x)|几乎处处成立；另一方面，只要f∈Lp(Rn)(p＞1)，仍有(Mf)(x)∈Lp(Rn)．基于这种性质，用(Mf)(x)便能有效地控制那些在Lp上有界的算子，最后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的．极大函数的研究对分析数学的发展起了重要作用，并逐渐应用到了其他的数学分支中．
　　(3)不等式 20年代后期，李特尔伍德从幂级数的均值和有界双线性形式两个方向研究了不等式，几年后又与A．C．奥佛德(Offord)和哈代分别就上述两方面继续进行了探讨，对三角多项式与巴拿赫(Banach)空间理论产生了影响．
　　1934年，他与哈代、G．波利亚(Pólya)合作出版《不等式》(Inequalities)一书，这是不等式方面的第一部专著．
　　李特尔伍德与哈代之间几十年的合作是默契而成果丰硕的，他们合写的文章占李特尔伍德全部著作的1／2，在哈代的著作中也占了1／3的比例．通常，李特尔伍德将文章的基本框架搭好，使用那些哈代熟悉的符号进行表述，然后由哈代补充完善成为一篇形式优美、内容严谨充实的论文．哈代对李特尔伍德给予了高度的评价，认为他是自己所遇到的最优秀的数学家，能解决相当高深复杂的问题，没有别的人能像他那样把洞察力、技巧和学识巧妙地结合在一起并运用自如．
　　李特尔伍德有一套指导学生的独特方法．他的手头总是有二三十道题目，学生们可以任意选择并尝试解决，行不通的话可以另外再选．而实际上，这些问题都是李特尔伍德所崇敬的数学家们曾经考虑过但未能解决的，用这种办法可以有效地培养学生们的毅力和创造力．“拿道难题来试试，或许你无法攻克它，但却有可能获得别的东西．”这是李特尔伍德常对学生们讲的．
　　根据自己多年的实践，李特尔伍德把数学家的创造性活动归纳为四个阶段：准备、酝酿、明确和验证．准备阶段需要强烈的好奇心，要提取本质问题并清晰地反映到意识中，运用所有相关的知识，联系可能类似的事物；酝酿是在等待答案的过程中潜意识所进行的活动；明确阶段，创造性的思想进入意识中，可能在几分之一秒内发生．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:57
巴拿赫

　　巴拿赫，S．(Banach，Stefan)1892年3月30日生于波兰的克拉科夫；1945年8月31日卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫．数学．
　　巴拿赫的父亲是一名铁路职员，母亲将幼年的巴拿赫托付给一位洗衣女工．这位洗衣女工成了巴拿赫的养母，巴拿赫的姓是养母给起的．
　　巴拿赫的童年过着清苦的生活．早在14岁那年他就不得不到私人家里讲课以养活自己．1910年中学毕业后曾自修数学，并到雅各龙大学听过一个短时期的课．后来就读于利沃夫工学院．第一次世界大战使他中断了学业，重回克拉科夫．这时他虽然丧失了接受正规数学训练的机会，但仍不断钻研数学．他靠自学和同数学家交谈获得许多数学知识．这些数学家包括O．尼可丁(Nikodym)和W．威尔可兹(Wilkosz)等人．比巴拿赫年长5岁的H．斯泰因豪斯(Steinhaus)也在这时和他相识．斯泰因豪斯回忆说：“1916年的一个夏夜，我在克拉科夫旧城中心附近的花园里散步，无意中听到一段对话，确切地说只听到勒贝格积分等几个词，这吸引我跨过公园的长凳和两位谈话者相见，他们正是巴拿赫和尼可丁．”
　　巴拿赫和斯泰因豪斯在这次夏夜的结识，对他们的一生影响甚大．那晚斯泰因豪斯曾提到一个有关傅里叶级数收敛性的问题，说他研究多时尚未解决．仅仅几天之后，巴拿赫就找到了答案，这使他们俩紧密合作，并在1917年联名写了一篇论文，两年之后发表在《克拉科夫科学院会报》(Bulletin of the CracovAcademy)上，这也是巴拿赫的第一篇论文．
　　这篇论文引起人们的注意．1920年，利沃夫工学院的罗姆尼斯基(Lomnicki)教授将未经大学正规训练的巴拿赫，破格聘用为他的助教．同年，巴拿赫向利沃夫的简·卡齐米尔兹大学提交了他的博士论文，题为“关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用” (Sur les opérations dans les ensembles abstraits etleur application aux équtions intégrales)，由此取得博士学位．这篇论文发表在1923年的《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)第3卷中．人们有时把它作为泛函分析学科形成的标志之一．
　　1922年，巴拿赫以一篇关于测度论的论文取得讲师资格，同年升为副教授．1927年在利沃夫工学院升为正教授．然而早在1924年，他已是波兰科学院的通讯院士了．
　　巴拿赫在利沃夫大学的教学与科学活动，使他成为泛函分析方面的世界权威，一群才华出众的青年人聚集在他的周围，其中包括日后成名的S．马祖尔(Mazur)，W．奥尔里奇(Orlicz)，J．肖德尔(Schauder)以及S．乌拉姆(Ulam)等人．在巴拿赫和斯泰因豪斯的指导下，迅速形成了利沃夫数学学派．1929年，在利沃夫创办了关于泛函分析的专门杂志《数学研究》(Studia Mathe-matica)，至今仍在世界上享有盛誉．
　　巴拿赫的教学任务也很繁重．他花了许多精力写大学教材和中学教材，其中有一本关于力学的书很受欢迎．
　　1932年，巴拿赫的名著《线性算子论》(Théorie des opéra-tions linéaires)作为《数学丛书》(Monografie Matematyczne)的第一卷刊行于世．这部著作总结了到那时为止的有关赋范线性空间的所有成果，成为泛函分析方面的一本经典著作．书中提到的线性泛函延拓定理、共鸣定理、闭图象定理，使全世界分析学家看到泛函分析的威力．该书中的全部术语已被广泛采用，而完备的赋范线性空间被后人称为巴拿赫空间．
　　由于巴拿赫在泛函分析方面的杰出贡献，1936年在奥斯陆召开的国际数学家大会邀请他作大会报告．从1939年到1941年，他是利沃夫大学的校长．1939年被选为波兰数学会主席．他还是苏联乌克兰科学院的院士．
　　在法西斯德国占领波兰时期，他的境况很糟．为了维持生计，曾到威格尔(Weigel)教授的研究所充当一名寄生虫饲养员．那里生产的抗伤寒病的疫苗，有一些曾被秘密送到波兰地下武装手中．1944年秋天，利沃夫城被苏联红军解放，巴拿赫回到大学工作．不幸的是，由于战时的贫困和受到法西斯摧残，他的健康状况恶化，加上胃癌的侵袭，终于在1945年8月31日与世长辞．为了表示对这位杰出数学家的悼念，1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式．1967年出版了巴拿赫全集(Oeuvres)．1972年1月13日，华沙成立了巴拿赫国际数学中心(S．Banach International Mathematical Center)．
　　泛函分析学科是20世纪数学的最重要分支之一，它是通常的、以微积分为主体的经典分析的自然推广．如果说函数是数集与数集之间的对应关系，那么泛函则是函数集与数集之间的对应关系，而算子则是函数集与函数集之间的对应关系．例如，如果用C[a，b]表示［a，b］上

于g的积分算子K(由核K(x，y)所决定)，泛函分析正是在这样的背景上发展起来的．
　　相对于以n个坐标表示的点x=(x1，x2，…，xn)构成的n维欧氏空间Rn来说，函数空间可以看成无限维空间，其中的元素x有无限多个坐标，例如，对于一个在［0，2π］上可积的函数(x)，可以得到一列傅里叶系数(a0，a1，

　　可以用相应的傅里叶级数来表示f(x)．所以函数空间的研究使数学从有限维跨入无限维，泛函分析也可以说成是无限维空间上的分析学．
　　函数空间的研究始于本世纪初，法国数学家M．弗莱歇(Fréchet)于1906年提出线性距离空间的概念，德国大数学家D．希尔伯特(Hilbert)在研究积分方程时，引入了线性内积空间．巴拿赫研究的则是线性赋范空间，这是介于线性距离空间和线性内积空间之间的一类无限维空间．众所周知，在有限维空间情形向量a和b之间可以有内积：(a，b)=|a||b|cosθ，θ是向量a和b之间的夹角，(a，b)=0说

度|a|，就可定义a和b之间的距离ρ(a，b)=|a-b|．巴拿赫研究的赋范空间，就是给每个元素赋以一个范数，它相当于通常的长度．例

但可以证明C［a，b］中不可能定义内积，使之构成线性内积空间．
　　完备的线性内积空间称为希尔伯特空间，它和巴拿赫空间构成泛函分析中最重要的两种空间．由于可数维的希尔伯特空间都和平方可和数

较单一，但是巴拿赫空间的结构十分复杂，因此近几十年来，研究巴拿赫空间结构的数学分支“巴拿赫空间几何”得到迅速发展．
　　任何一门学科都有几个基本定理，泛函分析也不例外．其中最基本的两个定理都和巴拿赫有关．
　　第一个定理是线性泛函延拓定理(即汉(Hahn)-巴拿赫定理)．它保证在一个线性子空间上的线性泛函能够延拓到全空间上．这一问题起源于n维欧氏空间Rn上的矩量问题．巴拿赫在1920年提交的博士论文中，用几何语言将它推广到无限维空间．1922年，O．汉发表的论文也独立地得出类似结果．1927年，O．汉将结果更一般化．1929年，巴拿赫独立地给出同样的现在普遍使用的线性泛函延拓定理．该定理保证在无限维空间上有足够多的线性连续泛函可供研究，因而是线性泛函分析的一块基石．
　　另一个基本定理是巴拿赫-斯泰因豪斯定理．这个定理又称为“一致有界性原理”，是1927年以两个人名义在《数学基础》第9卷上发表的．它断言，在巴拿赫空间X上，如果有一列算子(或泛函)Tn，能对每个x∈X，数列‖Tnx‖(n=1，2，…)都有上界Cx，那么必存在常数C，

有界．这显然是由各点x的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理．这一定理的逆否形式称为共鸣定理．它是说，如果对一列算子或泛函Tn(n=1，2，…)，存在元素列xn，‖xn‖≤1(n=1，2，…)，使得‖Tnxn‖关于n无界，那么必至少存在一个公共的x，使‖Tnx‖关于n也无界，这就是共鸣的含意．
　　由一致有界性原理立即可以推出在微分方程中十分有用的闭图象定理．此外，一致有界性原理在经典分析中有许多应用，例如，在三角级数中有一个著名的问题：任何连续函数的傅里叶级数是否必收敛于自身？答案是否定的．经典的证明很复杂，但用共鸣定理很快就得出答

(fn，x)|无界，然后由共鸣定理知存在公共的f0，使|Fn(f0，x)|无界．这就是说，确实存在一个连续函数f0(x)，它的傅里叶级数在点x处不收敛．这种存在性的证明，很能显示出巴拿赫-斯泰因豪斯定理的威力．
　　关于泛函的一致有界性原理早在1922年就被O．汉所证得，他用的是所谓“滑动驼峰法”．1927年，巴拿赫和斯泰因豪斯发现该原理成立的关键在于完备距离空间必定是R．贝尔(Baire)意义下的第二纲集，这是一个深刻的揭示．此外，他们把该原理推广到任意一族线性算子的情形．由于这个原因，现在教科书上也把一致有界性原理称作巴拿赫-斯泰因豪斯定理．
　　巴拿赫另一个著名的成果是压缩映象原理．它断言，对于在完备距离空间上的映射f，如果空间中任两元素x和y的距离d(x，y)经映射后能得到压缩，即d(f(x)，f(y))≤ad(x，y)，0＜a＜1，则f必有一个不动点z，即使得f(z)=z．这一原理有着广泛的应用，日后又为许多数学家所推广．它的最原始形式出现在1920年的巴拿赫的博士论文中．
　　巴拿赫空间X上的线性连续泛函全体也构成巴拿赫空间，记为X*．设有X中的点列{xn}和x0，如果对任何f∈X*都有f(xn)→f(x0)，就说xn弱收敛于x0．巴拿赫对此作了详尽而深入地考察，这成为后来的线性拓扑空间理论及对偶原理的一个先导性工作．
　　巴拿赫的研究范围不只限于泛函分析，他在正交级数、拓扑学、集合论等方面都有许多建树，其中有两项工作对后来影响很大．
　　1924年，巴拿赫和A．塔斯基(Tarski)发表“关于将一些点集分割为彼此全等部分的分解”(Sur la decomposition des ensem-bles de point en parties respectivement congruents)一文，其中有一结果被称为分球怪论．它是说，在三维或更高维的欧氏空间中，任何两个有界的含有内点的集合(比如两个不同半径的球)总可以分别分割为同等数目的子集，使得它

个保距的双射，这个结果等于说两个不同半径的球，在某种意义下可以全等．这和通常的直观感觉相违背，因而被称之为“怪论”．产生怪论的原因是用了选择公理(对集族Aα(α∈I)，必存在集合S，使S∩Aα=aα，α∈I)．由于不用选择公理将使数学内容大为贫乏，所以现今的大多数数学家仍坚持使用选择公理．然而，如何消除这一“怪论”，眼下尚无妥善办法．正因为如此，分球怪论受到数学家的广泛重视．
　　巴拿赫在泛函分析之外的第二个重大贡献是测度问题．所谓测度，乃是通常的长度、面积、体积概念的推广．巴拿赫提出问题：在n维欧氏空间中，能否给所有的有界子集M都指派一个非负实数A(M)作为测度，使得满足
　　(i)有限可加性：M1，M2为有界子集，彼此不相交，则

A(M1∪M2)= A(M1)＋ A(M2)；

　　(ii)运动不变性：若M1与M2在欧氏几何意义下全等，则A(M1)=A(M2)；
　　(iii)正则性：当M为普通的几何图形(如正方体)时，A(M)即为通常的n维体积．
　　这就是所谓“较易测度问题”，巴拿赫证明，当n≥3时这一问题是无解的．这可用分球怪论直接推得．至于n=1和n=2情形，则问题有解．巴拿赫还讨论过较难测度问题，那是将条件(i)改为可列可加性：
　　(i′)对一列两两不相交有界集合M1，M2，…，Mn…，总有

　　巴拿赫又证明能满足(i′)(ii)(iii)的A(M)是不存在的，不论n为1，2，3，…都是如此．
　　由于这些工作都涉及数学的基本问题之一：是否每个集合都可测？其答案又出乎人们的意料之外，因而一直受到世人的重视．
　　巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础．他培养青年的方式中有一种很特别，这就是“咖啡馆聚会”．当年利沃夫学派的一个年青学者S．乌拉姆(后来去美国定居，在二次大战中参与原子弹的研制)，曾写过一篇文章，题为“回忆苏格兰咖啡馆”，其中写道：“巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事和年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上几个钟头．…咖啡桌跟大学研究所和数学会的会场一样，成了爆发数学思想火花的圣地．”“在苏格兰咖啡馆(利沃夫城内一间受数学家欢迎的咖啡馆)的频繁聚会中，数学家提出了各种问题．有时问题很多，大家觉得应该记录下来，于是在咖啡馆内专门准备了记录本，以便随时使用(咖啡馆的侍者也乐意给以方便，因为这免得他们擦洗涂在桌上的数学式子)．于是，这些记录本就产生了一部传奇式的书：‘苏格兰书’．由于提问者当时或后来都很著名，使得这些记录具有重要的科学与历史价值，而且具有一种引起人们求知欲望的力量．由于巴拿赫夫人的功劳，这些‘苏格兰书’免遭战火，奇迹般地保存了下来”．此书后来由E．马尔采夫斯基(Marczewski)和斯泰因豪斯负责编辑出版．原稿由巴拿赫的儿子(一位博士)献给了巴拿赫国际数学中心．
　　斯泰因豪斯在描绘巴拿赫个性时曾指出，巴拿赫所处的那个时代，波兰科学家还受到宗教那种殉道观念的束缚，即知识分子应当远离尘世的欢乐，象苦行僧那样清贫寡欲．但巴拿赫没有向这种观念屈服，不愿做圣徒的候选人．他是一位现实主义者，甚至到了接近玩世不恭的程度．他强调自己祖先的山民血统，并对那些无所专长的所谓有教养的知识分子持蔑视态度．
　　巴拿赫恰好在第二次世界大战结束时去世，这使人们不胜惋惜．斯泰因豪斯在回忆巴拿赫时这样写道：“他最重要的功绩乃是从此打破了波兰人在精确科学方面的自卑心理，…他把天才的火花和惊人的毅力与热情熔为一体．”

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:59

维诺格拉多夫

　　维诺格拉多夫，1891年9月14日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．数学．
　　维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
　　1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
　　维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
　　维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
　　社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．

波利亚-维诺格拉多夫不等式

　　设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
　　设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
　　f(x)≡0(modp)， (1)
　　易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
　　定理(拉格朗日)若an

(modp)，则(1)至多有n个解．
　　当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
　　x2≡a(modp)． (2)
　　A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
　　

非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故

　　实际上，对任何整数N均有

　　这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为

　　由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了

　　上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
　　勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有

　　若χq(a)为非主特征，则有

　　这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
　　1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有

　　而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得

　　因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
　　设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了

　　他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有

安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．

类数均值公式及格点问题

　　设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式

f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2

　　为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
　　设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换

　　使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
　　对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式

　　1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
　　1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
　　设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足

　　则有

　　其中｛y｝表示实数y的小数部分，而

　　由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式

　　即证得(8)式，并得到
　　R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
　　其中μ(m)为麦比乌斯(M

bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
　　R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
　　这一纪录至今未被打破．
　　维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由

x=Q，x=R，y=f(x)，y=0

　　所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球

u2＋v2+w2≤x

　　中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了

　　这仍是目前已知最好的结果．

华林问题

　　1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
　　每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
　　综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
　　1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
　　1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
　　1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen

ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
　　在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有

　　其中

(n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
　　G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
　　在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
　　G(k)≤(k-2)2k-2+k+5

　　他们的方法是考虑无限和

　　及其s次幂

　　由柯西积分公式有

　　C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
　　1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和

　　及其s次幂

　　这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见

　　由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
　　G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
　　如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
　　G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
　　显然可证有
　　G(k)＞k， (25)
　　故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
　　G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
　　并且得到
　　

　　1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
　　G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
　　这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．

哥德巴赫猜想

　　1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
　　(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
　　(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
　　这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
　　哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
　　在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数

　　及其r次幂

　　这里

　　于是

　　这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
　　

点皆位于半平面Rez≤θ中．
　　在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式

　　其中

　　特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
　　维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和

　　用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有

　　适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
　　对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
　　应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
　　B0≤exp(exp16.038)， (37)
　　这个值现在完全可以得到较大的改进．
　　同年，维诺格拉多夫对形如

　　的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
　　

lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
　　

　　有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．

模1一致分布

　　先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数

0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．

　　如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即

|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．

　　定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使

|kθ—h|＜1／N≤1／k，

　　事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使

|θkn-hn-a|＜3／kn．

　　由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有

　　这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
　　对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有

　　因此，能否对形如

　　的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
　　设a为一给定无理数，定义

xn=apn，n=1，2，…，

　　这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得

　　故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．

带误差项的素数定理

　　令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得

　　1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：

　　这等价于

　　此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯·科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有

　　熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到

　　(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为

　　这些都是迄今已知最好的结果．
　　本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如

　　的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．

主要著作评介及对中国数论界的影响

　　维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
　　《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
　　《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．

作者: extras 时间: 23.4.2010 23:59

柯尔莫哥洛夫

　　柯尔莫哥洛夫，A．H．(Андрей Николаевич Колмогоров)1903年4月25日生于俄国坦波夫(Тамбов)；1987年10月20日卒于苏联莫斯科．数学、大气力学．
　　柯尔莫哥洛夫的父亲卡塔也夫(Николай Матвеевич Катаев)是农艺师兼作家，母亲柯尔莫哥洛娃(Мария Яковлевна Колмогорова)出身贵族．他们并没有办结婚手续，所以柯尔莫哥洛夫从母姓．十月革命后，卡塔也夫主持农业人民委员部教育部门，在1919年A．И．邓尼金(Деникин)进攻时死于南方战线．柯尔莫哥洛夫生后十天母亲就去世，他由姨妈薇拉(Вира)与娜捷日达(Надежда)抚育，生活在沿伏尔加河的雅洛斯拉伏尔(Ярославлъ)下游约20公里的图诺斯那村(Туношна)．她们都有民主思想，卒于50年代初．在柯尔莫哥洛夫幼年，两个姨妈努力引导他对书本和自然的兴趣，开拓他的好奇心，带他去田野、森林，给他讲花草树木的知识、星星与宇宙演化的故事、安徒生的童话……．她们办了一个有十个不同年龄的孩子组成的家庭学校，以适应当时新的教育模式．五六岁的他负责家庭杂志《春燕》(Beсенние Ласточки)的数学部分．在1963年发表的文章《我是如何成为数学家的》(Кат Я стал математиком)中写道：“在五六岁时我就领受到数学‘发现’的乐趣，我观察到

1=12，

1+3=22，

1+3+5=32

1+3+5+7=42

　　等等．我的发现被刊在《春燕》上，在那里还发表了我发明的算术问题(其中例如：要固定一个有四孔的扣子至少要用线缝合两个孔，问有多少种不同的固定办法？)．”孩子们还参加农庄劳动、收集柴火、自己缝扣子等等．1910年他进入莫斯科列普曼(Лепман)文法学校预班．该校崇尚自由，着重因材施教，学生可以自由选听高年级的课程，还采用了很多试验教学．在女性环境中成长的他特别珍视男孩特点的培养，诸如淘气、嬉闹、大胆、果敢、灵巧等．在该校他结识了A．Д．叶戈洛娃(Анна Демитриевна Егорова)．
　　她是通讯院士、历史学家П．H．叶戈洛夫(Егоров)之女，后于1942年在莫斯科与柯尔莫哥洛夫成婚，她卒于1988年．少年时他对生物、物理、历史、社会学、数学、俄国艺术、林业学都有浓厚的兴趣，在14岁就自习高等数学，还梦想在荒漠中创建法律至上的公社，并为此起草了宪法．
　　1920年他毕业于第23高中(即前列普曼文法学校)．他曾向往学冶金，因为在那时候人们认为工程比纯科学更为重要和必需．他同时在国立莫斯科大学物理数学系和门捷列夫(Менделеев)化工学院冶金系注册．但是不久以后他就下决心以数学为职业．他在莫斯科大学学习的同时又在门捷列夫化工学院数学部学习了一段时间，还参加了莫斯科大学历史系教授C．V．巴赫罗欣(Вахрушин)的讨论班．17岁的他对历史发生了兴趣，他曾对俄国诺夫格勒(Новгород)地区在15—16世纪房地产登记的资料，用数理统计进行科学分析并写出论文，得到了巴赫罗欣的赞赏．但是当他问能否发表时，得到的回答是：只有一个论据是不够的，必须有五个不同的论据．以后他专心致力于数学，因为数学问题只需一个证明就足够了．
　　在进入大学之前，他已有相当多的数学知识，他从《数学的新概念》(Новые идей в мате матике)一书中知道了集合论基础，他从《勃洛克豪斯与杰弗朗百科全书》(Brockhaus and Jefronencyclopedia)中学了很多专题，并用自己的语言改写了这些过于浓缩的内容．进入莫斯科大学后，他立刻通过了集合论和射影几何的免修考试．当时鲁金学派正处于顶峰时期，1921年他在H．H．鲁金(Луэин)的解析函数论课上，对鲁金的一个猜测举出了反例，得到П．C．乌里松(Урысон)的赞扬，成为乌里松的学生．在听了П．C．亚历山德罗夫(Александров)的课后，他发表了“作用于集合上的算子的理论”(Теории　　операций　　над　　множествами)，推广了E．波莱尔(Borel)、R．贝尔(Baire)、H．勒贝格(Lebesgue)、亚历山德罗夫和M．苏斯林(Суслин)等人的研究．1921年秋，他参加了B．B．斯捷班诺夫(Стенпанов)的三角级数讨论班，这对他以后的事业有特殊的重要性．1922年他解决了鲁金提出的构造一个系数收敛到零的任意慢的傅里叶级数问题．此后他又定期向鲁金学习，从而又成为鲁金的学生．在三角级数讨论班上，他还与Д．E．门晓夫(Меншов)建立了友谊．1922年，他取得了突出的成果，构造了几乎处处发散的傅里叶级数，它立刻使这位大学三年级的学生扬名世界(到1926年他进而构造了一个处处发散的傅里叶级数)，并开始了他长达60多年的高强度与高创造性的时期．1925年他毕业于莫斯科大学后成为鲁金的研究生，并开始与鲁金的另一个学生A．Я．辛钦(Хинчин)一起从事概率论的研究．1929年研究生学习结束后，他成为莫斯科大学数学力学研究所助理研究员．1934年在苏联首次建立了博士学位制度，翌年他被授予数学物理学博士学位．1930年1月他与亚历山德罗夫一起对德国和法国进行了10个月的访问．格丁根在当时是数学的“麦加圣地”，研究人员少而精，只有D．希尔伯特(Hilbert)、E．兰道(Landau)、R．柯朗(Courant)与S．N．伯恩斯坦(Bernstein)4位教授，那里的助教有K．O．弗里德里希(Friedrichs)，F．雷列希(Rellich)．H．莱维(Lewy)和E．诺特(Noether)的学生B．L．范·德·瓦尔登(Van der Waerden)等．希尔伯特时已66岁，即将退休，H．外尔(Weyl)已内定取代他的位子．柯尔莫哥洛夫与这些人广泛交往，与柯朗探讨了极限定理的领域，与外尔讨论了直觉逻辑，与兰道交换了对函数论领域的看法．继而，他前往慕尼黑与C．卡拉特奥多雷(Carathéodory)交谈自己关于测度论与积分论的思想．后者对前者的测度论思想很喜欢，坚持要他尽快发表，但是对他的推广的积分论反应冷淡．在法国，他与M．弗雷歇(Fréchet)讨论了马尔科夫链，与P．勒维(Levy)进行了长时间的科学讨论，并与老一辈数学家勒贝格、波莱尔等建立了联系．
　　1931年柯尔莫哥洛夫任莫斯科大学教授，开始指导研究生．1933年任莫斯科大学数学力学研究所所长(至1939年1月，后来在1951—1953年又任此职)．他在数学力学系创建了如下教研室：概率论(1935年，任主任至1966年)，数理统计(1976年，任主任至1980年)，数理逻辑(1980年，任主任至逝世)，概率统计方法(1960年，任顾问至1966年，任主任从1966年到1976年)．他对数学教学结构的形成起了很大作用，他创建了许多新课程，如数学分析Ⅲ、概率论、数理逻辑等．他教过的课程有数学分析、常微分方程、复函数与概率论、数理逻辑、信息论等．在这些课程中有的附有非常有趣的实践练习，如用多项式逼近函数、范特波尔(Vander Pol)型方程的积分、微分方程的奇点、最小二乘法、用网络来研究偏微分方程的积分等．他于1953年任莫斯科大学数学会名誉会员，后任理事长(1964—1966，1973—1985)．1954—1958年任莫斯科大学数力系主任．1939年，他被选为苏联科学院数理部院士、主席团委员、数理部科学秘书(1939—1942)、科学院斯捷克洛夫(Стеклов)数学研究所所长(1939—1958，1980至逝世)．
　　在30年代末至40年代初，他研究湍流，随后在苏联科学院地球物理研究所创建了大气湍流实验室(1946—1949)，以后该室发展成该所的主体部门．
　　在卫国战争中，他与M．B．凯尔迪希(Келдыш)一起研究枪炮的火力与轰炸的理论．
　　1949年，柯尔莫哥洛夫任《大百科全书》数学部主任与编委．他长期任期刊《数学科学的进展》(Успехи Матемдтических наук，Russian Mathematical Surveys)的主编．他创办了期刊《概率论及其应用》(Теории Вероятностии и её пременении)及以中学生为对象的杂志《量子》(KBaHT)．他还主持撰写了数理系列丛书．
　　从1963年至逝世，他主要致力于文法学校的数学教学改革：编写教科书、编制教学大纲．1963—1968年，他任科学院科教委员会数学部主任．1968—1978年任教育部中学教科书委员会委员及数学部主任．他是莫斯科大学物理数学寄宿学校的创建人之一(1963)，而第18寄宿学校则以他命名．
　　他与辛钦关于随机过程的研究成果在1941年获国家奖，他与A．И．阿诺尔德(Арнолд)关于经典力学的研究在1965年获列宁奖．他两次获得科学院奖——1951年与Б．B．格涅坚科(Гнеденко)一起获车贝雪夫奖，1986年获罗巴切夫斯基奖．1963年，他荣获苏维埃劳动英雄称号．他还曾被授予十月革命勋章(1983)、劳动红旗勋章(1940)、七枚列宁勋章(1944—1975)及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章、金星奖章(1963)等．
　　他获得的国际荣誉称号有：巴黎大学名誉博士(1955)，罗马科学院通讯院士(1956)，波兰科学院外国院士(1956)，国际统计学研究所名誉成员(1957)，波士顿美国艺术与科学院名誉院士(1959)，斯德哥尔摩大学名誉科学博士(1960)，加尔各答印度统计研究所名誉科学博士(1962)，荷兰皇家科学院外国院士(1963)，伦敦皇家科学院外国院士(1964)，罗马尼亚科学院名誉院士(1965)，匈牙利科学院名誉院士(1965)，美国国家科学院外国院土(1967)，法国科学院外国院士(1968)，匈牙利“荣誉事业”(Honoris causa)科学博土(1973)，历史科学国际科学院名誉院士(1977)，民主德国科学院外国院士(1977)，联邦德国“有成就”(Pour le Mérite)勋章学会外国会员(1977)，芬兰科学院外国院士(1983)，等等．
　　他得到的国际奖有：国际巴尔桑(Balzan)奖(1963)，美国气象学会奖章，民主德国科学院赫姆霍兹(Helmholtz)奖章(1976)，匈牙利旂帜奖章(1975)，1980年鉴于他“在调和分析、概率论、遍历论和动力系统深刻而开创性的发现”而获得沃尔夫(Wolf)奖．
　　20世纪初以来，由于采用了集合论观点研究函数，从而推广了测度与积分、函数构造等概念，这就大大扩大了数学家们的视野．波莱尔、勒贝格等人为此都做出了重大贡献．苏联的Д．T．叶戈洛夫(Егоров)、鲁金、苏斯林进一步把函数与集合的研究推向新的高潮．柯尔莫哥洛夫正是在20—30年代鲁金学派的顶峰时期成长的．鲁金学派造就了苏联举世闻名的一批数学大师，柯尔莫哥洛夫是其中最杰出的代表．在这个时期，数学领域还出现了大量极有挑战性的问题，新思想、新方法、新探索、新成就相继出现，其中包括：H．庞加莱(Poincare)关于太阳系发展的永恒性问题(庞加莱称它为动力学基本问题)的提出，引导到哈密顿(Hamilton)系统在微扰下的稳定性的研究；L．巴舍利艾(Bache－lier)、A．爱因斯坦(Einstein)、M．V．斯摩罗霍夫斯基(Smo－luchowski)、N．维纳(Wiener)及勒维等长期研究的布朗运动的数学特性，揭示了随机过程的基本规律；大气物理的研究提出了湍流的统计规律刻画；格丁根学派领导人希尔伯特在20世纪初提出了23个对数学发展具有决定性影响的问题；当时函数论的研究正在从有限维扩展为无穷维，这就需要把函数论、拓扑与代数等结合起来以产生新概念、新学科．以上种种背景是柯尔莫哥洛夫从学生时代开始在数学上面临的一些客观使命．
　　他一生共写学术论文(包括合作)488篇，给《大百科全书》写114条，给科普报刊撰写57篇文章．
　　他是本世纪苏联最有影响的数学家，也是本世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一．他所有的开创性工作是俄罗斯民族的骄傲，也是世界人民的宝贵财富．他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切数学领域，包括：函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、概率论及随机过程、数理统计及其应用、几何、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、(武器的)火力理论、演算学与自动机、动力系统与经典力学、函数的迭合理论、信息论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等．他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、化学、生物、地球物理、冶金学、结晶学、人工神经网络等学科中都有极重要的应用．
　　他的开创性研究可分三个时期．
　　第一个时期开始于1921年秋．大学二年级的他开始研究三角级数与集合上的算子等一系列复杂问题．1926年他构造了处处发散的一个傅里叶级数，直到1966年瑞典数学家L．卡勒逊(Carle-son)及1967年美国数学家R．亨特(Hunt)又证明了对p＞1，Lp函数的傅里叶级数处处收敛到这个函数，这就彻底解决了三角级数的发散问题(鲁金问题)．他于1922年定义的在集合上的δS运算是描述集合论中的基本运算．他对三角级数和正交级数的兴趣贯彻终生，不时地返回到这个领域，并安排年轻人继续进行研究，在这方面他发表的10篇文章中的每一篇都是延续至今的研究的起点．在这时期他在微分、积分、可测集等方面都做了重要的工作．此后他又转向数理逻辑与数学基础．20世纪以来，数学家对逻辑律的适用性、数学本质及集合论悖论发生了无休止的争论，产生了直观主义者，他们否认排中律在超限归纳中的有效性．柯尔莫哥洛夫在1925年证明：超限地使用排中律所得到的有限结论都是对的，而且都可以不用排中律来证明．他还构造了他的直观演算系统，从而创造了直观逻辑的另一种解释．1925年他证明了希尔伯特变换的一个车贝雪夫型不等式，这是M．里斯(Riesz)、A．济格蒙德(Zygmund)、G．H．哈代(Hardy)等著名数学家关于奇异算子弱型概念研究的起点．作为柯尔莫哥洛夫开创性成果的核心部分之一是概率论与随机过程．这一研究起始于他大学的第四年(1924年)，他与辛钦一起研究独立随机变量组成的级数的收敛性，得到了以后被称为柯尔莫哥洛夫三级数定理的成果，其中他首次使用了以后用他命名的不等式以及相应的下限估计，开创了概率论研究中的新方法．1928年他得到了独立随机变量列遵从大数律的必要且充分的条件．1930年他又得到了独立随机变量列遵从强大数律的一个非常一般的充分条件．这些结果至今是概率论教科书中的标准内容．1929年他又得到了独立同分布随机变量列的重对数律．他的结果和创用的方法是许多作者用来作为研究的泉源，其中如J．马辛凯维茨(Marcinkiewicz)和济格蒙德1937年证明了柯尔莫哥洛夫的结果中的一个小O条件不能改为大O；1941年P．哈特曼(Hartman)与维纳改进了柯尔莫哥洛夫的条件；1965年V．斯特拉森(Strassen)将其推广为泛函类型的重对数律．20世纪初，G．波尔曼(Bohlmann)曾企图给概率论建立一个公理系统．为此，波莱尔A．隆尼斯基(Lomnicki)、维纳相继在概率论中运用测度论，伯恩斯坦、R．冯·米赛斯(vonMises)也都企图建造概率论的公理化基础，但是都不很成功．柯尔莫哥洛夫在他1929年发表的文章“概率论与测度论的一般理论”(General measure theory and calculus of probabilities)，首次给出了测度论基础的概率论公理结构．5年以后该文编写成单行本，即如今在数学界众所周知的经典著作《概率计算的基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)．概率论的公理化是他的巨大贡献，它使概率论从自然哲学领域真正转到数学的范围，使概率论被确认为数学的一个分支，并且日渐与其他数学分支相互渗透．著名日本数学家伊籐写道“读了柯尔莫哥洛夫的小册子《概率论基本概念》，我信服地认为概率论可以用测度论来发展，并且它也与其他数学分支一样地严格”．柯尔莫哥洛夫在这单行本的序言中还列出了无穷维空间的概率分布、条件期望，指出这些都源自物理问题．事实上它们也是随机过程论的必要基础．在50多年以后的今天，它的意义就更明显了，它是概率论划时代的著作，柯尔莫哥洛夫在1930夏完成的小册子《概率论中的解析方法》(

ber,die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitrechnung)开创了无后效随机过程(以后辛钦建议改名为马尔科夫过程)的一般理论的研究，把物理学家M．普朗克(Plank)、爱因斯坦、A．福克(Fokker)等在特殊情形得到的关于转移函数的一个积分方程一般化［以后称为恰普曼(Chapman)-柯尔莫哥洛夫方程］，并且由此导出了时间向前与向后的两个偏微分方程(称为柯尔莫哥洛夫方程)．在马尔科夫过程的发展中，他把傅里叶的传热理论、爱因斯坦与斯摩罗霍夫斯基的布朗运动理论、马尔科夫等人关于可几随机徘徊的描述与首次构造随机过程例子的巴舍利艾与维纳的思想结合在一起，抽象出了马尔科夫过程的一般模型．这个工作标志着概率论发展及其在物理、化学、生物、工程等方面的应用的新时期．在这个时期，他的另一文章“拉普拉斯-李雅普诺夫定理的推广”(An extention of Laplace－Lypunov theorem，1931)，给出了获得独立随机变量和的上、下界概率的渐近展开的基本方法．
　　柯尔莫哥洛夫开创工作的第二阶段始于1931年他被任为教授之后．这时期持续了1／4个世纪，在此期间他的研究兴趣极其广泛．1932年他发表了两篇关于几何的文章“射影几何证法”(Кобоснованиюпроективной геометри)和“拓扑几何”(Топологической геометрии)，用拓扑、群的观点研究几何．在他建议下，Л．庞特里亚金(Понтрягин)证明了具有可数基的连通局部紧拓扑域一定是实数域、复数域或四元数广域之一．在代数拓扑领域中上同调群是一个核心的概念．1936年柯尔莫哥洛夫与美国数学家J．W．亚历山大(Alexander)相互独立地构造了上同调群，并在其上定义了乘积运算，使之成为环，这在以后的研究(特别是连续映射)中极为重要．他在拓扑上的第二个贡献是给出了局部紧空间闭集的对偶律．1937年，他给出了一个从一维紧集到二维紧集的开映射，引起了苏联拓扑学家对开映射的兴趣．
　　这时期，概率论仍旧是他的主要专业之一，他非常重视随机过程的应用．1932年他积极参与了著名生物学家Д．Д．罗玛晓夫(Ромащов)领导的生物微演化的实验室．由于马尔科夫过程是动力系统在随机情形的对等物，两者互相渗透会产生很多新的概念和现象，所以马氏过程始终是许多研究的重点．1935年他又提出了可逆(对称)马氏过程的新模型，并给出了刻画其特征的充要条件．40多年后的今天，可逆马氏过程已成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构等领域中十分常见的重要模型．在20年代末30年代初 B．德·菲乃蒂(de Finetti)提出了“无穷可分律”，指出了具有特征函数

和同分布，柯尔莫哥洛夫在1932年对具有二阶矩的随机变量给出了它具有无穷可分律的充要条件．以后，勒维证明了有限方差这个限制可以取消，随后辛钦又证明了这一结果仍可用柯尔莫哥洛夫的方法得到(最终的表达式称为无穷可分律的勒维-辛钦典则形式)．
　　柯尔莫哥洛夫还解决了一系列生物学问题，由此得到了十分有意义的纯数学的成果．他与И，Г彼得洛夫斯基(Петровский)及H．C．比斯库诺夫(Пискунов)合作的有关生物学的文章(1937)，首次构造了非线性扩散的行波型稳定解．他在其中的贡献是从物理方面定性地描述现象的图象，并把它表示为公式．生物学问题导致他提出了分枝过程的模型，并研究了它的灭绝概率(1947年)．1939年，他由分析统计资料验证了基因遗传的“孟德尔(Mendle)律”(当时基因与孟德尔律在苏联生物学界被批判为“唯心主义”、“反科学”的)．
　　1937年，他给出了在金属随机结晶过程中一个给定的点属于结晶团的概率与平均结晶的数目，这一结果在金属结晶化理论中至今仍是基本的结论．
　　1933年，他与M．A．列沃托维奇(Леотович)给出了A．K．伏拉索夫(Власов)提出的二维布朗质点为中心、半径为ρ的圆盘在t时刻前扫过的平均面积的渐近估计．
　　1936—1937年，他给出了可数状态马尔科夫链的状态分类．
　　在数理统计方面，1933年他定义了度量经验分布与理论分布最大偏差的(以后以他命名的)统计量，并推导了它的分布函数．这是分布拟合理论中拟合度的基本检验，已成为数理统计教科书的基本内容．
　　1935年他首次给出了巴拿赫空间上概率测度的特征泛函这一概念，并指出它在发展非线性量子理论中的重要性．
　　他在平稳随机过程方面的成就与维纳的成就并列为该领域最基本的成果．具连续谱的元阻尼随机运动是平稳过程的丰富源泉，平稳过程是概率特征不随时间变化的随机过程，常出现在无线电工程、自动控制等应用领域，是大量随机自然现象(大气、海洋等)的理想化．其中的一个重要问题是用过去的资料预测将来．他早于维纳(1941)得到了预测与内插的公式．维纳指出柯尔莫哥洛夫的研究是与控制学有关的信息统计理论相联系的．在柯尔莫哥洛夫的研究中应用了希尔伯特空间的几何理论．
　　平稳过程与平稳增量过程的研究使他得到了局部迷向湍流的近似表达式．流体有确定性的规律，但是其运动特征又极端复杂，可以把它看成随机过程．20世纪著名的工程师G．L．泰勒(Tay－lor)与T．冯·卡门(von K

mn)引进了迷向湍流，然而其结论与实验不符，柯尔莫哥洛夫用局部迷向湍流得到了著名的“柯尔莫哥洛夫2／3次律”：在特定条件下，湍流中距离为r的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比．这个2／3律至今还被大气物理界公认为几乎是关于湍流的所有结果中最与实际相近的．1962年他又作了更为精确的修正．
　　他在概率论、随机过程与数理统计方面的贡献，说明他是随机数学领域的领导人．他不仅是一个多方面的数学家，而且是一个有惊人洞察力的应用数学家．
　　1949年格涅坚科与他一起发表的《独立随机变量和的极限分布》(Пределъные теолемы для сумм неэависимых случайныхвеличин)一书，总结了莫斯科学派当时在弱极限理论方面的世界领先的成果，成为弱极限理论的经典著作．
　　在逼近论方面，1935—1936年他研究了光滑性与逼近度的关系，引进了一种逼近的度量(以后称为柯尔莫哥洛夫直径)，开创了逼近论领域中的新方向．60年代以后柯尔莫哥洛夫直径受到了更大的重视．
　　在泛函分析方面，他在1931年得到了Lp空间中集合为紧的判别法．在1934年定义了线性拓扑空间与其中的有界集和凸集，得到了可正规化的经典判别法(存在0点的一个有界凸邻域)．1938年柯尔莫哥洛夫与И．M．盖尔范德(Гелъфанд)合作的文章是后者以后开创赋范环理论的源泉．他们证明了两个满足第一可数公理的拓扑空间的同胚性与在它们上的连续函数环间的代数同构性等价．
　　他的第三个开创性研究时期开始于50年代中期．这时，他的研究方向转向经典力学哈密顿系统、信息论、动力系统的遍历论、信息论与函数论的关系(ε熵)、希尔伯特第13问题和函数的迭合、有限自动机与复杂性理论等领域．
　　50年代中期他与B．A．乌斯宾斯基(Успенский)对算法与自动机理论的基本对象给出了广泛的定义．
　　在这时期他在动力系统方面的工作可分为两个系列．第一个系列是经典力学方面的．太阳系能否永恒发展而不会引起灾变？简单行星系是否只有三体系统才能稳定地运动？这个问题归结于研究近似可积系统的运动体系．庞加莱称它为哈密顿系统在微扰下的发展问题．它是动力学基本问题，可溯源到Ⅰ．牛顿(Newton)、P．S．拉普拉斯(Laplace)的研究．柯尔莫哥洛夫在50年代中期对具大量初始条件的情形解决了这个问题，开创了哈密顿系的微扰理论．从他的定理可推出：围绕木星作圆轨道转动的卫星，在经受沿椭圆轨道的木星运动的干扰下，并不能影响木星的椭圆轨道．他的理论还可用到大量力学、物理学问题中，解决了不对称刚体统定点高速旋转的稳定性、托卡马克(Токамак)型系统中磁面的稳定性等问题．他的思想后来被A．И．阿诺尔德(Арнолд)与J．莫泽(Moser)所发展，成为以他们三人命名的KAM理论．
　　他研究动力系统的第二系列是把信息论应用于研究系统的遍历性质．G．E．仙农(Shannon)用直观定义的熵有深刻的内涵，柯尔莫哥洛夫给出了严格的数学定义及推广，他引入了距离空间上的ε熵及ε容度作为逼近论中的崭新工具，1958年又进一步把熵参数引进动力系统的研究．30年代冯·诺伊曼证明了具有纯点谱并有相同谱点的两个动力系统(动力系统是指测度空间及其上的一个保测自映射)是同构的．柯尔莫哥洛夫和他的学生Ю．Г．希那依(Синай)定义了一个熵型不变量(以后称为柯尔莫哥洛夫-希那依嫡或K－S嫡)，用它来证明不同参数p(0＜p＜1)的伯努利模型虽然具相同的谱点，但是它们彼此并不同构，从而彻底回答了冯·诺伊曼问题(即具有相同谱的两个动力系统是否同构问题)．K－S熵至今是动力系统中最为成功的不变量(虽然它并不完备)，它的发现标志着动力系统理论有了崭新的开始．
　　希尔伯特第13问题是要证明方程f7＋xf3＋yf2＋zf+1=0的解f(x，y，z)不能表成两变量函数的叠合．柯尔莫哥洛夫在1956年证明：任意一个四变量连续函数都能表成三变量连续函数的叠合(这是他认为技巧性最复杂的成就，是他花费了一生中最长的连续思考时间所完成的)．翌年春，他的学生——三年级的大学生A．И．阿诺尔德(Арнолд)彻底解决了这个问题，推翻了希尔伯特的猜测．不久，柯尔莫哥洛夫又简化为如下的精美构造：任意整数n≥2，必有[0，1]上的连续函数族｛

ij(·)｝，使［0，1］n上任意连续函数j都能表成

　　这里i(·)是实数上连续函数．这个定理在如今已成为人工神经网络设计的理论基础．
　　这一时期柯尔莫哥洛夫继续保持着研究概率论的兴趣．1956年，他得到了用无穷可分律去一致逼近独立同分布随机变量的和的阶为n-1/5．1963年他又改进为n-1/3．1983年又被T．B．阿拉克(Apak)和A．Ю．沙以切夫(Эаицев)改进为最佳阶n-2/3．这个结果比经典正态近似的贝莱-艾森(Berry－Essen)界n-1/2精确得多．
　　1956年他与Ю．B．普罗霍洛夫(Прохоров)合作的关于距离空间上概率的弱收敛的文章总结了他们所开创的取值于函数空间的概率测度的弱极限理论，这些理论和1955—1956年A．B．斯格罗霍特(Скороход)引进的D空间理论构成了弱极限理论中具划时代性的成果．
　　60年代，柯尔莫哥洛夫又开创了两个新的数学分支——演算信息论和演算概率论．对一个n位二进列定义“复杂度”似乎很难避免某种任意性，他与R．J．索洛莫诺夫(Solomonoff)的基本发现是利用演算论可在不计有界项的差别的意义下定义“复杂度”，并使其任意性受到限制．在演算概率论中的一个重要问题是如何判断一个二进数列是随机的，冯·米赛斯早在20世纪初就提出：一个二进列为随机的，如果它对一类按某种容许选择规则选定的子列都有相对稳定的0出现率．柯尔莫哥洛夫在1963年拓广了这种选择规则(称之为频率法)．随后又与他的学生P．马丁-洛夫(Martin－L

f)和L．A．列温(Levin)用极大复杂度来定义随机性的新概念．1986年他和乌斯宾斯基在伯努利协会首届国际会议上作了“演算和随机性”的大会报告，这是随机性演算方法的极为重要的综述．
　　从60年代开始至1985年，柯尔莫哥洛夫一直保持着对语言学统计研究的兴趣．他引入了语言的熵，并把它分成语义信息与语言信息(剩余熵)，开创了语言统计学的新领域．
　　柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计算机、比较语言学等学科中的应用前景．他创造的大量构造方法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已成为教科书和专著中的经典内容．
　　他的选集已出版了三卷：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象，也可以说是涉及“序”的领域；第二卷《概率论与数理统计》涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限．把随机性的思想归结为算法复杂性，力图揭示“序”与“混沌”的本质，是他开创生涯的统一源泉．在这观念下，他所研究的所有方面似乎都能融化为一体，统一的思想联系着概率论思想、算法论与数理逻辑结构、信息论方法与概念、动力系统与遍历论，以及研究自然现象的试图．而他的许多早期工作，包括函数论、描述集合论等都可视为他实现这一宏图的前奏．
　　他的主要贡献可以概括为：继承了牛顿、拉普拉斯、庞加莱的路线，试图解释太阳系运动永恒性的奥秘，并在这个问题上得到了满意的成果；解决了关于多变量函数基本结构的希尔伯特第13问题；开创了无后效过程的理论研究，在此基础上统一了傅里叶、普朗克、爱因斯坦、斯摩罗霍夫斯基的思想；发现了新的湍流统计规律，本质上发展了泰勒与冯·卡门理论；与辛钦、维纳一起给出了弱平稳过程的构造，并解决了信号滤波问题(现已成为石油探测数据处理中的重要数学方法)；引进了大量十分重要的数学概念(如线性拓扑空间、上同调、动力系统的熵、柯尔莫哥洛夫复杂性等)；对许多重要的基本概念作出了精辟的解释(如测度、积分、导数等)；研究了数学逻辑的基本结构；开创了十多个新的研究方向，并给出新方法．
　　柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派．他是他的学生领导的许多学派的奠基人．
　　对于学生，柯尔莫哥洛夫为他们创造了要求严格而且神圣的科学研究气氛．他具有激发他们创造力的能力，发现适合每个人特点的问题和任务．他与他们分享自己的思想，这些都使他的学生铭刻终生，
　　从30年代起，他就致力于领导全国数学奥林匹克，定时地给学生讲课．但是，他认为它的意义不仅在于体育式的竞赛，更重要的是发现数学天才并给他们以较为全面的数学知识训练而不是只教他们作一些特殊问题以便夺取冠军．他指出：奥赛的成功固然值得高兴与骄傲，但是失败了也不必伤感到看不见自己的能力，“在非常局限的时间内解答问题常使许多人感到困惑，而有些数学问题只可能在经长时间的孜孜不倦地冥思苦索，并引进新概念后才能得到解决．苏联著名拓扑学家亚历山德罗夫就解决了很多这类问题，这并非偶然．亚历山德罗夫多次说，他年轻时幸而没有数学奥赛，否则就很有可能使他不能成为数学家．亚历山德罗夫在数学上的成就绝非智慧火花的闪烁，而是长期深思熟虑的成果．”柯尔莫哥洛夫认为奥赛优胜者常会停留在对类似于奥赛的问题作精细加工，而并未达到解决那些需要冗长的推理和研究的数学问题的水准．为了补救这个不足，他及其他教授们就给优胜者举办暑期学校，给他们讲课(如有限域与布尔代数、集论、群论、力学、数论等)，并在莫斯科大学附设数理学校，让学生做大量习题，解决实际问题，还伴以音乐、文学、体育等活动．
　　他具有发现重要数学概念的能力，亚历山德罗夫诙谐地说过，数学天才有敏捷型与迟缓型两种，柯尔莫哥洛夫属于前者，而希尔伯特属于后者．然而柯尔莫哥洛夫的思想还不如他自己的洞察力与掌握问题的能力更敏捷，一些模糊而粗线条的“轮廓”常引起他的注意，并且立即被他纳进他的有次序而完备的系统中去，以求得到最终的解决．他对经典力学、遍历论、函数的迭合等基本问题的模糊思想在30年代中期就已开始酝酿，直到50年代中期才达到最终的确切形式．
　　柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻辑性的．他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的能力发挥出来．
　　他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱油画与建筑．他与亚历山德罗夫的交往是互补的，后者是音乐、戏剧的鉴赏家．柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆，而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地贡献了他的光辉的一生．

作者: extras 时间: 24.4.2010 00:00

亚历山德罗夫

　　亚历山德罗夫，П．С．(Александров，Павел Сергеевич)1896年5月7日生于俄国博戈罗茨克[Богородск，今诺金斯克(Ногинск)]；1982年11月16日卒于莫斯科．数学．
　　亚历山德罗夫出生于博戈罗茨克一位著名的区段医生(Участковыйврач)的家庭．父亲谢尔盖·亚历山德罗维奇·亚历山德罗夫(Сергей Александрович Александров)是沙俄末期一名进步的知识分子，在莫斯科大学医疗系毕业后，他放弃留在大学里工作的机会，自愿到边远地区担任区段医生，为普通民众治病．经过多年的实践，终于成为当时俄国著名的外科专家．父亲的生活道路对亚历山德罗夫人生观的确立有很大影响．他从小就热爱劳动，对自然科学有浓厚兴趣．母亲采扎里娅·阿基莫夫娜·亚历山德罗娃(Чеэария Акимовна Александрова)是一位受过良好教育的妇女，她把自己的全部精力都用在照顾丈夫和抚育子女上．亚历山德罗夫幼时体质较弱，不便到学校就读，母亲就亲自承担他的早期教育．
　　在早期的家庭教育之后，亚历山德罗夫进入斯摩棱斯克公立中学读书．他在13岁时开始对数学发生兴趣．在一堂数学课上，教师A．P．艾格斯(Эйгес)给同学们讲授罗巴切夫斯基几何．非欧几何的创立及其原理使少年亚历山德罗夫激动不已，他在课后立即向老师追问其中不解之处．不久，艾格斯向他的学生推荐一本关于几何基础的书，亚历山德罗夫在老师的帮助下很快就理解了它的内容．这本书使他大开眼界，亚历山德罗夫从此迷恋于数学．在艾格斯老师的鼓励和指导下，亚历山德罗夫在中学期间就熟读了非欧几何和微积分．艾格斯学知广博，他的文学修养和对人文科学的兴趣对亚历山德罗夫也有很大影响．他们师生之间建立了深厚友谊，并一直保持到亚历山德罗夫成为著名学者之后．
　　1913年，亚历山德罗夫以优异成绩从中学毕业，并获金质奖章．同年进入莫斯科大学物理－数学系学习．在以前的很长时间内，莫斯科大学的数学研究远远落在欧洲几所一流大学之后．亚历山德罗夫学习期间，正值H．H．鲁金(Луэин)和Д．Ф．叶戈罗夫(Егоров)在实变函数论领域取得经典结果之时．不久，在莫斯科大学就以鲁金为核心，形成了函数论学派．亚历山德罗夫在大学期间就开始了科学研究，并取得出色的成果．
　　1917年，亚历山德罗夫大学毕业并留校工作．次年，他根据鲁金的建议着手研究连续统问题，没有获得成功．这使他对自己的数学能力产生怀疑．在以后的两年内，他脱离了数学研究，先后在谢维尔诺夫戈罗德和契尔尼戈夫等地的剧团从事编导工作，结交文学艺术界的名流．1920年，当他路经莫斯科时，受到鲁金、叶戈罗夫、И．М．普里瓦洛夫(Привалов)、B．B．斯捷潘诺夫(Степанов)的亲切欢迎，使他重新产生从事数学研究的激情．
　　1920—1921年，亚历山德罗夫在斯摩棱斯克大学任教，并定期到莫斯科大学参加学术活动．在此期间，结识了鲁金教授的年轻助教——П．С．乌雷松(Урысон)，他们很快成为最亲密的朋友．1921年，亚历山德罗夫调到莫斯科大学工作．最初他以额外教授的资格任教，1929年晋升为教授．
　　1922年夏，亚历山德罗夫和乌雷松到莫斯科郊外的波尔舍瓦度假．就是在这个暑期，他们开始了在拓扑学领域的创造性工作．最初的成果在国内没有引起重视．1923年夏和1924年夏，他们两次共同出国留学．第一年，他们来到欧洲数学发展的中心——格丁根大学．当时格丁根大学的学术环境与莫斯科大学鲁金学派繁荣时期很相似．他们一面向各位数学大师学习，一面宣传自己在拓扑学研究中的新思想．他们的工作很快引起F．克莱因(Kline)和D．希尔伯特(Hilbert)的兴趣，并得到赞许．1924年以后，他们的论文开始在欧洲几种主要的数学杂志上发表．在此期间，A．E．诺特(Noether)及R．库朗(Courant)的工作对他们有很大影响．1924年夏，亚历山德罗夫和乌雷松先后来到波恩和阿姆斯特丹，拜访F．豪斯多夫(Hausdorff)和L．F．布劳威尔(Brouwer)．他们对拓扑学研究中的一些感兴趣的问题，进行了愉快的讨论．
　　1924年8月，亚历山德罗夫和乌雷松在经过巴黎时的短暂逗留之后，来到布里塔尼半岛，在一个名叫巴斯(Bourg de Batz)的小渔村住下，准备在这里研究一些新课题．不幸的是，1924年8月17日，年仅26岁的乌雷松在海水浴中葬身大西洋．就在出事的当天早晨，乌雷松还写出新的研究论文的第一页．失去挚友的悲痛使亚历山德罗夫几乎不能继续工作．1925年春到1926年夏，他在荷兰与布劳威尔共同整理乌雷松的科学手稿，并安排了付印计划．由于他们的努力，乌雷松的许多贡献才没有埋没．
　　亚历山德罗夫和乌雷松在20年代初的研究是苏联数学家在拓扑学领域工作的开端，他们的工作奠定了莫斯科拓扑学派的基础．在以后的几十年内，亚历山德洛夫继续为该学派的发展和壮大做出卓越的贡献．
　　从1925到1932年间，亚历山德罗夫每年大约有四分之三的时间在国外度过．通常是夏末去国外，来年春天才返回．他定期到格丁根大学进行学术交流，如开设拓扑学讲座、参加诺特的研究班、与Ｈ．霍普夫(Hopf)共同举办拓扑学讨论班，等等．亚历山德罗夫在1926年与霍普夫相识，并结为好友．他们在拓扑学方面的合作是极富成效的．1927年秋，他们一起来到普林斯顿，又结交了当代著名拓扑学家J．W．亚历山大(Alexander)、S．莱夫谢茨(Lefschetz)和O．维布伦(Veblen)等人，共同探讨拓扑学中的问题．亚历山德罗夫在这一时期所进行的广泛的学术交流对拓扑学的发展有很大推动作用，他所建立的国际关系促进了苏联数学水平的提高．
　　亚历山德罗夫从1921年起一直在莫斯科大学工作．早年他开设过实变函数论、一般拓扑学(在莫斯科大学首次讲授)和伽罗瓦理论等课程．他还主持了高等几何和拓扑学讲座，创办了拓扑学讨论班，并领导苏联科学院斯捷克洛夫数学所一般拓扑学研究室的工作．1932年以来他担任莫斯科数学会主席达33年之久，1964年开始任名誉主席．1958—1962年，担任国际数学协会副主席．亚历山德罗夫是苏联一些主要数学杂志的编委，《数学科学成就》(Успехи Математическихнаук)的主编．
　　亚历山德罗夫的科学、教育和社会活动得到社会的高度评价．他于1929年当选为苏联科学院通讯院士，1953年成为正式院士．他还是许多国家的科学院和学术团体的成员，如柏林科学院、奥地利科学院、波兰科学院、民主德国科学院、美国国家科学院、美国哲学学会等等．苏联政府于1969年授予他社会主义劳动英雄称号，他还曾获得多种奖励和荣誉称号．
　　亚历山德罗夫的数学研究开始于实变函数论和描述集合论．在19世纪，数学家们主要研究连续函数，到20世纪初，由于数学分析的发展，连续函数的许多结果被推广到更一般的函数类上．这时，由G．康托尔(Cantor)创立的集合论已成为数学研究，特别是分析学研究的有力工具．法国数学家R．L．贝尔(Baire)、E．波莱尔(Borel)和H．L．勒贝格(Lebesgue)成功地用集合论方法来研究间断函数、集合测度和积分概念的推广等课题，特别是划分出B－函数与B－集合类，研究了B-集合的构造．由于这些工作，产生了数学中一个新的研究方向——描述集合论．当时所研究的两个关键性问题是：1．详细研究B－集合的构造；2．构造出非B－集合的新集合类．
　　在20世纪第二个10年中，由于鲁金和叶戈罗夫在实变函数论方面的工作，莫斯科大学内集合论和函数论研究方兴未艾．亚历山德罗夫在大学一年级时就参加了叶戈罗夫领导的函数论讨论班．1915年，他得到了第一个研究成果，即证明了凡不可数B－集合必包含完备子集．由此可知，凡不可数B－集合的势必等于连续统的势．为证明这个结果，他建立了A－运算．这种运算对集合论方法的发展产生了重要影响．苏联数学家Ｍ．Я．苏斯林(Суслцн)就是借助于A－运算作出了比B－集合类更广的一类新集合——A－集合类．由此还引出射影集合理论、集合的一般理论的研究．
　　1922年以后，亚历山德罗夫转向拓扑学的研究．他早期和乌雷松共同创立和发展了紧与列紧空间理论．之后，他又引进了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，导出一系列对偶性原理的基本规律，发展了连续映射理论，为现代拓扑学做出奠基性的贡献．
　　自康托尔研究欧氏空间的点集开始，数学家们对欧氏空间的点集理论进行了细致深刻的研究，到19世纪末已清楚地掌握了欧氏空间的拓扑结构，给点集拓扑学的形成提供了一个内容丰富的模型．在此基础上，法国数学家Ｍ．弗雷歇(Frechét)提出抽象空间理论(1906)．不久以后，德国数学家豪斯多夫建立了拓扑空间理论(1914)，标志着点集拓扑学的产生．在点集拓扑学的发展过程中，亚历山德罗夫的贡献是卓越的．他是主要的奠基人之一．
　　在20年代初，这一新的数学分支有两个中心课题，一个是拓扑空间的紧致性问题，另一个是拓扑空间的度量化问题．亚历山德罗夫在与乌雷松合作期间，在这两方面都得到了重要结果．他们首先研究豪斯多夫空间类，提出了丰富而有趣的问题．例如，他们提出并解决了有关H闭空间(即绝对闭于豪斯多夫空间)的问题，给出了几个等价条件．自1923年他们提出紧性定义之后，共同建立了紧空间和列紧空间理论．他们引进了一系列基本概念，证明了关于紧性与列紧性的若干定理．他们给出的紧空间的三个定义如下．
　　定义1．拓扑空间R称为紧的，如果对于空间的每一个无穷集A，都存在点x，使A与x的任一邻域的交的势与A的势相等(他们称这种点为完全聚点)．
　　定义2．拓扑空间R称为紧的，如果空间中所有的非空闭集的递减超限序列都是不空的．
　　定义3．拓扑空间R称为紧的，如果对每一个覆盖R的无穷开集系统，可从中选出有限个元的子系统，它也能覆盖住R．
　　他们证明了定义1，2，3中所阐明的三个性质是等价的．他们所确定的紧空间类完全独立于奥地利数学家Ｌ．韦特利(Vieto－ris)的工作．他们还引进“紧统”、“常空间”、“法空间”等概念，研究紧空间及与上述概念相关的性质，建立一系列定理．他们把关于紧空间的许多结果推广到列紧空间，建立了相仿的概念和定理．
　　此外，亚历山德罗夫还建立了局部紧空间的理论，证明了关于一点紧化定理、关于势敛的定理以及关于权与拟权关系的定理等．
　　亚历山德罗夫和乌雷松关于紧与列紧空间的理论被许多数学家发展．例如，在他们工作的基础上，A．H．吉洪诺夫(Тихонов)解决了具有紧豪斯多夫扩张的一般空间的问题，奠定了紧扩张理论的基础；而Ｈ．Б．韦杰尼索夫(Веденисов)则证明了在连续映射下紧性保持不变的定理．
　　拓扑空间的度量化问题就是用纯拓扑的语言来表达可度量空间的特征．这个问题由亚历山德罗夫和乌雷松解决．他们在1923年建立了第一个度量化准则，即给出拓扑空间可度量化的充要条件：该空间是具可数加细覆盖系统的仿紧空间．他们还建立了几个关于特殊空间类的度量化准则．关于可数重空间和列紧空间的度量化准则属于乌雷松．对于局部列紧空间，亚历山德罗夫证明了其可度量化的充要条件是该空间是豪斯多夫空间，并可表示成互斥开集之和，每个开集的权不超过可数．亚历山德罗夫还对可分空间证明了关于Gδ集完全可度量化是遗传的，这一工作不久被豪斯多夫推广．1960年，亚历山德罗夫引进点正则基的概念，并应用它得出新的度量化准则：拓扑空间可度量化的充要条件是它是族状正规的且有点正则基．他的学生A．B．阿尔汉格尔斯基(Аргангедъский)也得到类似的结果．
　　1925年，亚历山德罗夫建立了现在通用的拓扑空间公理系统的最终形式．
　　在点集拓扑学中，除上述的紧空间、列紧空间、局部紧空间、H闭空间、完全聚点等，还有许多重要的基本概念是亚历山德罗夫提出并研究的，如二进空间、闭映射、局部有限族、商空间、逆向序列的极限等．还有些概念是他和乌雷松共同提出的，如林德勒夫空间、正则空间类等．
　　20年代中期，亚历山德罗夫了解到布劳威尔在拓扑学方面的工作，特别是关于维数的拓扑不变性的研究，对他有很大启示．从此以后，他的研究工作进入一个新的阶段．在此之前，数学家们在研究拓扑问题时，或运用纯几何的方法(又称组合方法)，或运用纯集合论的方法．亚历山德罗夫在这一时期研究工作的主要特点是把上述两种方法有机地结合起来，从而把以前仅限于多面体的某些结果移植到紧与列紧空间中来，实现把组合拓扑学方法向集合论对象上的转移，奠定了同调理论的基础．
　　亚历山德罗夫在1925年引进的覆盖的网的概念是他进一步研究的基础．设X是拓扑空间，w是X的有限开覆盖，w的网是一个单纯复形

映成网Nw)．所以，如果X是紧统，而w通过它的所有有限开覆盖的

组成的投影谱S．S以某种自然形态确定自己的极限空间，它同胚于紧统X．这样一来，空间X的所有拓扑性质可以通过它的投影谱的性质来描述，即通过网Nw及其单纯映射的性质来描述．特别地，关于维数和同调的性质就可以这样描述．
　　由这种方式所产生的关于点集拓扑学及其构造方法的新观点具有重要意义，这种观点在很大程度上影响了拓扑学发展的方向．
　　覆盖的网的概念的第一个应用是亚历山德罗夫建立的关于以同维多面体“逼近”列紧统的几个著名概念定理：
　　ε-平移：设ε＞0，A，B是度量空间X的子空间，f为A到B的连续映射，如果对任意。x∈X，ρ(x，f(x))＜ε均成立，则称f为ε－平移．
　　ε－平移定理：设X为m维欧氏空间Rm的有界子空间，且dimX≤n，则对任意ε＞0，存在X到多面体K

Rm上的ε－平移，其中dimK≤n．
　　ε－映射：设ε＞0，f为度量空间X到拓扑空间Y的连续映射，如果对任何y∈y，f－1(y)均为直径小于ε的集，则称f为ε－映射．
　　ε－映射定理：m维欧氏空间Rm的紧子空间X满足不等式dimX≤n，当且仅当对任意ε＞0，存在X到Rm中维数≤n的多面体K上的ε－映射．
　　后来亚历山德罗夫把ε－映射定理推广到更一般的空间．
　　亚历山德罗夫还研究了度量空间的本质映射，建立了关于维数的另一个重要的特征定理．拓扑空间X到Rn＋1中的(n＋1)球的连续映射f：X→Bn＋1是本质的，如果不存在连续映射g：X→Bn＋1，使g[f－1(Sn)]＝f[f－1(Sn)]且Bn＋1＼g(X)≠φ．亚历山德罗夫证明了下面的本质映射定理：空间X满足不等式indX≤n(≥0)的充要条件是没有连续映射f：X→Bn＋1是本质的．这个定理又被他推广到更广义的空间类．本质映射定理在维数论中有重要地位，它是联系乌雷松－门杰(K．Menger)维数论与亚历山德罗夫的同调维数论的中心环节．
　　1928—1932年，亚历山德罗夫在上述工作基础上，创立了同调维数论，这是同调理论的重要应用．这项工作不仅使维数论得到巨大发展，而且开辟了同调论研究的崭新途径．这是亚历山德罗夫在拓扑学中最重要的贡献．
　　20世纪初，布劳威尔以及稍后的Ｅ．切赫(

ech)给出了维数的严格定义，称为大归纳维数；门杰及乌雷松把上述思想局部化之后，得到另一种维数定义，即小归纳维数；勒贝格发现了方体覆盖的有趣事实后，切赫又引进了第三种维数，称为覆盖维数．亚历山德罗夫所定义的同调维数是紧豪斯多夫空间关于可换群的维数，是第四种维数．他研究了同调维数的性质，证明了一系列基本定理，如求和定理、列紧统必包含康托尔流形的定理、障碍定理等，研究了几种维数的关系，特别是同调维数与小归纳维数的关系．同调维数论为拓扑学提供了新的有力的研究工具．例如，关于积空间的庞特里亚金问题、关于任意空间Rn的闭子集的乌雷松问题等都在同调维数论的基础上得到解决．由于亚历山德罗夫的理论具有十分明显的几何特征，所以它可以作为抽象维数论的直接例证．特别地，在很广一类的列紧空间中，同调维数与其他维数的一致性证明了维数定义的正确性和自然性．
　　同调维数论被许多数学家继承和发展．这一领域的某些结果在集合论中又得到十分美妙的推广．如亚历山德罗夫ε－位移定理在很多年以后又穿上了新的外衣——成为度量空间中以ω－映射描述仿紧统的多克尔(Dowker)定理，这一结果现已成为仿紧空间的基本理论之一．
　　同调维数论的另一个应用是J．W．亚历山大(Alexander)建立的对偶性理论在A．H．科尔莫戈罗夫(Колмогоров)和亚历山大发现了上同调群后得到进一步的发展．欧几里得空间或更一般的流形中列紧统的同调群和它的补之间的对应是这一类对偶性的例子．问题的提出显然包含了开集的同调群的定义——列紧统的补集．亚历山德罗夫的理论建立了这一研究领域的坚实的基础．Л．С．庞特里亚金(Цонтрягин)在这个方向上发现并证明了著名的对偶规律．
　　这样一来，在接近30年代中期的时候，拓扑学的两个完全不同的分支——H．庞加莱(Poincaré)的代数拓扑学和由弗雷歇、豪斯多夫开创，亚历山德罗夫建立了重要功绩的点集拓扑学之间出现了实质性的联系．亚历山德罗夫和霍普夫合作的专著《拓扑学》就是这两个拓扑学分支综合发展的结果，是集合论方法与组合拓扑学方法有机结合的典范．遗憾的是，战争干扰了这部著作的完成．原定三卷的计划仅完成了一卷，这就是著名的《拓扑学I》(1935)．两位驰骋在拓扑学不同方向上的优秀大师所写的这部专著已成为拓扑学的经典之作．它的出版是对拓扑学发展有重大影响的著名事件．
　　在1940—1942年间(战时疏散时期)，亚历山德罗夫在拓扑学领域的研究工作达到高峰．他完成了用同调方法研究复形和闭集的形式和分布的工作，也包括闭集及其补集的群的正合序列的研究．这一时期的工作总结在他的专著《复形和闭集分布的同调性质》．这部著作在1943年荣获苏联政府授予的最高奖——国家一级奖金．
　　在40年代末到50年代初，亚历山德罗夫及其学生建立了欧几里得空间中开集的同调理论，推动了同调理论的进一步发展．亚历山德罗夫本人得到了第一个关于欧几里得空间中开集的一般对偶性规律及一系列有关结果．这些工作发表在他的论著《关于n维空间中开集的对偶性的基本定理》中．
　　亚历山德罗夫在拓扑空间同调论方面的工作，特别是创立维数的同调理论的工作与他在纯集合论领域的研究同时进行．1939年，他开展了完全正则空间中列紧扩张的重要研究．他提出的新观点是极有启发性的．后来为В．И．波诺马廖夫(Пономарёв)所发展。这一时期，他在点集拓扑学方面的另一个重要结果是证明了每一个权等于τ的紧统是广义康托尔不连续统Dτ的闭子空间的连续像．早在1927年，他就曾证明每一个列紧统都是寻常康托尔不连续统的

连续像．与此相关，对任意τ，作为每一个广义康托尔不连续统Dτ的连续像，他引进了二重紧统的概念．不久后，E．马尔切夫斯基(арчевский)证明了每一个权τ＞

0的紧统都不是二重的，而当τ＝

0时情形却完全相反．因此，二重紧统理论就显得十分有趣和重要．
　　亚历山德罗夫还提出关于任意紧群空间的二重扩张(Диадичностъ)的假设，后来由Л．Н．Ивановский(伊万诺夫斯基)和В．Л．库兹明诺夫(Куэъминов)证明．他们还证明了二重紧统(диадический бикомпакт)的可度量性可由第一个可数公理得出．苏联和其他国家的一些数学家继承了这项工作．50年代初，拓扑空间映射理论在亚历山德罗夫的直接影响下得到发展．在他20年代创立的连续映射以及与之相关的紧统的连续剖分理论中，几乎每一个重要的结果都是进一步研究的起点．例如，关于每一个列紧统的表示——作为康托尔完备集的连续像的理论，发展为关于每一个紧统是同权的零维紧统的连续像的定理和二重紧统理论．而紧统的连续映射理论则在任意空间的全映射理论中得到发展，等等．亚历山德罗夫本人还得到了关于紧统开映射的第一批基本结果，提出这一领域的基本问题，证明了紧统的维数当施行可数重开映射时保持不变，这是一个与零维及有限重开映射密切相关的结果．在亚历山德罗夫的影响下，完成了非紧度量空间到度量空间的闭连续映射理论的奠基性工作．他的学生И．А．魏国施泰因(Вайнщтейн)得到了关于这种映射边界紧性的结果，这个结果是通向闭映射理论的重要阶梯．
　　1954年以后，亚历山德罗夫着重研究一般连续映射理论，同时在代数拓扑学和一般拓扑学的有关分支做出新的贡献．
　　亚历山德罗夫的研究工作有很大的国际影响．他先后在1961和1966年于布拉格举办的国际拓扑学会议上作重要报告．在1961年的报告中，围绕连续映射理论，他提出了三个密切相关的问题，由此引发出大量的研究工作．在1966年的会议上，他作了关于一般拓扑学研究的综合报告，其中给出空间和映射分类的基本原理，提出一些未解决的问题．这两个报告对拓扑学的发展起到积极作用．
　　亚历山德罗夫著述甚丰，他一生共发表论文150多篇，著作多种．除前文提到的以外，流行较广的还有《组合拓扑学》、《集与函数的泛论初阶》、《拓扑对偶定理，第一部分：闭集》、《群论导引》(Введение в теорию групп，1951)、《非欧几何是什么》(Что такое ноэвклидова геометрия，1950)，等等．他和乌雷松早年合作完成的重要论著《关于列紧空间的研究报告》已于1971年译成俄文出版．
　　亚历山德罗夫不仅是一位才思敏捷的数学家，而且是一位杰出的教育家．他在半个世纪的时间内为莫斯科大学培养了好几代数学家，其中最优秀的是吉洪诺夫和庞特里亚金．在苏联，很难举出一个在拓扑学领域做出贡献的数学家，而未受过亚历山德罗夫的教育和影响．
　　亚历山德罗夫具有作为杰出的教育家所必备的优秀品德．他的性格热情而开朗，充满激情，对学生和周围的人有一种很强的感召力．他讲课的气氛活泼而热烈，使人感到很亲切．他的教育方式也很独特．他经常带领他的讨论班上的年轻人进行所谓“拓扑学旅行”：有时是远距离的、持续数日的水上旅行(划船)，有时带领他们游泳(如横渡伏尔加河)，冬天在莫斯科近郊进行滑雪旅行，夏天则进行远距离的徒步郊游．在旅途中，自然要谈论沿途的建筑、名胜古迹及民族风俗等，但最重要的是给学生指定拓扑学的研究课题．在旅行中他与每个人多次交谈，大家也在一起讨论．每次旅行，大家都能接受许多数学思想．这种方式使参加者感到既兴奋又紧张，人人都在为完成自己的目标而努力．
　　他的优秀品德还体现在对学生的关心．他不仅在工作时间内与学生在一起，而且许多闲暇时间也与学生共同度过．许多学生回忆道，当他们遇到困难(学习上或生活上的)而来到亚历山德罗夫身边时，不仅得到一位长者的深切同情和关心，而且得到科学研究方面或待人处事方面的具体建议，直到帮助他们从困境中摆脱出来．
　　亚历山德罗夫这种生动活泼的教育方式，吸引了一批又一批的年轻人来从事比较抽象的拓扑学研究．由于他多年坚持不懈的努力，终于使以他为核心的研究队伍发展为世界著名的拓扑学派．
　　亚历山德罗夫还是一位音乐爱好者．当他的学生到他的宿舍或家中来讨论问题时，常播放一些古典音乐来缓解气氛．他还常带几个学生去大学的俱乐部听音乐会，培养学生这方面的兴趣．他还是莫斯科大学礼堂公开讲演的支持者，并鼓励学生参加这项活动．总之，他认为高等学校不仅要使学生获取科学知识，而且要把他们培养成为具有高度文化修养的人．他在70年代莫斯科大学校报的“大学生寄语”中写道：“任何科学天赋都由三部分组成——智力、意志和激情，它们形成一种能完全被激情所支配的力量，这种力量是科学创造必不可少的，甚至是决定性的条件．”亚历山德罗夫的这种教育思想在莫斯科大学有很大影响．
　　最后还要提到亚历山德罗夫在数学界所建立的广泛的友谊．除了早年与乌雷松的友谊外，他在1923年以后的国际旅行中，又结交了希尔伯特、诺特、库朗、布劳威尔、豪斯多夫、霍普夫、亚历山大等著名数学家，与他们结下深厚的友谊并进行了长期合作．除此之外，他与科尔莫戈罗夫的友谊特别值得一提．他们在1929年相识，很快结为终生朋友．他们经常沿着伏尔加河、第聂伯河，或者到高加索、克里米亚和法国南部旅行，在旅途中探讨数学问题．1935年以后，在他们的生活中出现了“科马洛夫卡时期”．在莫斯科郊区的一个名叫科马洛夫卡的小村庄，从1935年开始，有一所属于亚历山德罗夫和科尔莫戈罗夫的住宅．在这里，他们规划和完成了许多重要的数学研究．在1935年以后的40多年内，这里发生的许多事情对莫斯科大学数学发展有过影响．这所住宅里经常有他们二位的学生来访和居住，亚历山德罗夫与学生的很多次郊游就在科马洛夫卡结束，然后他们共进午餐(或晚餐)．一些外国数学家，如J．阿达马(Hadamard)、M．R．弗雷歇、S．巴拿赫(Banach)、K．库拉托夫斯基(Kuratowski)以及霍普夫等也曾来此访问并进行学术交流．这些活动对提高苏联数学科学水平起到促进作用．
　　(本文承蒙方嘉琳教授仔

作者: extras 时间: 24.4.2010 00:01

庞特里亚金

　　庞特里亚金，Л．(Понтрягин,Лев Семёнович)1908年9月3日生于俄国莫斯科；1988年5月3日卒于莫斯科，数学．
　　庞特里亚金生于莫斯科的一个低级职员家庭．父亲曾是会计，后来当兵．母亲是一位裁缝．十月革命以后，他在一所普通的十年制中学读书．13岁那年，因一次汽炉的意外爆炸而双目失明．母亲帮助他树立起坚强的人生信念．起初曾想将来从事音乐和历史，但都没有产生强烈的兴趣．到了八、九年级，却被数学迷住了．1925年中学毕业时的唯一志愿，就是报考莫斯科大学数学物理系，由于成绩优秀和教父的帮忙，几乎未经考试就被保送入学，而且有奖学金．
　　庞特里亚金凭听觉学习数学．每次听完课后，立刻集中复习并加以熟记．从二年级起，除听必修课之外，还参加П．C亚历山德罗夫(Алексндров)的拓扑学的授课和讨论班．当年末就获得拓扑学的研究成果．1928年，德国女数学家E．诺特(Noether)来访，使庞特里亚金受益很多．1929年大学毕业后，在亚历山德罗夫主持的讨论研究班里又读了两年．他运用同调维数理论，构造了两个二维紧集，其拓扑积维数是三．这给亚历山德罗夫留下极为深刻的印象．当时的苏联尚没有学位制度．到了1934年，庞特里亚金成为苏联首批博士之一．同年他被任命为莫斯科大学数学教授．也是在1934年，苏联科学院从列宁格勒迁来莫斯科，应所长И．М．维诺格拉多夫(Виноградов)的邀请，庞特里亚金于1935年到莫斯科的斯捷克洛夫数学研究所工作，同时兼任莫斯科大学教授．
　　庞特里亚金曾在1950年和1960年两次结婚，第二位妻子是A．依格娜切也芙娜(Игначтъевна)医生．
　　1939年，庞特里亚金当选为苏联科学院的通讯院士，1958年转为院士．同年他第一次出国访问，参加在爱丁堡举行的国际数学家大会，应邀作大会报告，题目是“最优过程的数学理论”．1970年，在尼斯举行国际数学家大会前夕，需要有一名苏联数学家参加国际数学家联盟(IMU)的执行委员会．苏联数学家全国委员会主席维纳格拉多夫和苏联科学院院长М．B．凯尔迪什(Келдыш)推荐庞特里亚金去参加，他于是代表苏联担任国际数学家联盟(1970—1974)的副主席．1969年，他去美国斯坦福大学访问．次年，再次在国际数学家大会上作报告，题目有关微分对策。
　　庞特里亚金在数学上的最大贡献是拓扑学和最优控制理论．
　　从1927年到1952年，他在拓扑学方面发表了60多篇论文．早期的一项工作是前已提到的维数论．当时人们猜想：拓扑积的维数是其各个因子的维数之和．庞特里亚金举出反例，运用同调维数论构造出两个二维的紧集，其拓扑积的维数是三．与此相关的是推广J．W．亚历山大(Alexander)的拓扑对偶定理，建立起所谓庞特里亚金对偶(1934)．它指出，n维球面流形Mn中闭集A的以紧群X为系数的r维同调群Hr(A，X)，与其补集B=Mn＼A的以离散群Y为系数的(n-r-1)维同调群是对偶的．
　　1933年，庞特里亚金继续拓扑学和代数学的交叉课题，并力求得出尽善尽美的结果．他把紧拓扑空间的同调群构作成连续的交换紧拓扑群，并且使这个群是离散交换群的特征标，由此接近了交换拓扑群的特征标理论．他证明了现被称为庞特里亚金对偶定理的下述结果：局部紧可分交换群G及其特征标群C(G)互为对偶，即C≌C(G)．这一结果以及有关连续代数运算对象的系统论述，都收在专著《连续群》之中．此书于1938年出版，次年即被译成英文(1958年出版中译本)．庞特里亚金也因此获得1940年的国家奖金．
　　维数的同调理论研究的关键，是要找出按集合论定义的紧集维数的同伦等价性．为解决这一问题，必须把从n+k维的球到n维球的一切映射加以同伦分类．1936年的初夏，庞特里亚金解出了 k=1，2的情形．他发现：当n＞3时，n+1维球Sn+1到n维球Sn映射的同伦类只有两类，而不同于先前H．霍普夫(Hopf)的结果：π3(S)=Z，这是令人惊奇的结论．在解决映射的同伦分类时，庞特里亚金还发明了标架流形法，创立了光滑流形的特征类——庞特里亚金示性类，成为刻画流形的微分结构和复结构的不变量．标架流形法和这一示性类虽未能解决球面到球面的分类问题，反过来却用同伦论方法开辟了微分拓扑的新天地．许多数学家给示性类找到了应用．时至今日，庞特里亚金示性类和惠特尼(Whitney)示性类，特别是陈(省身)示性类等，都在刻画一般向量丛(纤维丛，李群，齐性空间)结构的不变量研究中具有特别重要的意义，可说已成为拓扑、分析、代数、几何的交会点及共同工具．
　　1934年，著名的法国数学家E．嘉当(Cartan)访问莫斯科时，提到求紧李群的贝蒂(Betti)数问题．庞特里亚金用摩尔斯理论获得了解决，并在1935年的莫斯科国际拓扑学会议上作了报告．
　　庞特里亚金的拓扑学研究成果多半汇集在《拓扑学基础》和《光滑流形及其在同伦论上的应用》两部专著中(都有中译本)．
　　在战争年代，庞特里亚金疏散到喀山，在那里完成了两件事：研究初等超越函数的零值，以及带不定度规的希尔伯特空间上对称算子的谱分解．带有限维负于空间的希尔伯特空间现被称为庞特里亚金空间．
　　在纯数学领域取得了令人羡慕的成就之后，庞特里亚金既有喜悦又有忧虑．他在自传里曾写道：“我所作的一切究竟为了什么？……什么时候可以把维数同调理论用于技术物理学，或一般地用于我们周围物质世界中？”同事们中间的舆论更加深了他的忧虑．1932年的一天，一位素不相识的年轻物理学家A．A．安德罗诺夫(Андронов)突然来到庞特里亚金的住所，说要和他谈谈研究应用数学的问题。从此开始了他们间20年的友谊．庞特里亚金在回忆往事时说：“我认为他最突出的一点，就是对于国家所发生的一切具有高度的责任感．与他的结识及对我的影响使我放弃了自己一直从事的抽象问题的研究工作，而致力于数学的应用”由于安德罗诺夫的影响，庞特里亚金在第二次世界大战之前作过微分方程方面的工作，曾隐约地提出后来的“结构稳定”概念．也曾因计算哈密顿系统的动力学体系，钻研过J．H．庞加莱(Poincare)和H．M．摩尔斯(Morse)的有关论著，但没有什么重大成果．研究方向上的真正改变，是1952年之后的事情．这一方面是自己的思想早巳倾向应用数学，另一方面是领导和朋友的建议，其中有数学研究所副所长凯尔迪什的劝告，而他的学生和合作伙伴E．Φ．米申科(Мишинко)的支持与帮助则起了关键的作用．
　　1952年秋夫，庞特里亚金和他的学生们开设了振动与控制理论讨论班，开始研究安德罗诺夫的振动理论著作，从而知道了什么是电容、自感、感抗、电子管振荡器等．讨论班上还有一条严格的制度：每次学术报告都必须从讲解某技术问题入手，再用微分方程加以描述．刚开始时这种作法并不为一些老数学家所理解，亚历山德罗夫认为这是对拓扑学的背叛．柯尔莫哥洛夫也对米申科的电子振荡器的研究评价不高．但他们仍然坚持下去，最初的研究工作涉及带小参数的高阶微分方程，庞特里亚金和米申科一起取得了系统的成果，而这一次柯尔莫哥洛夫则给予了高度评价．
　　庞特里亚金在应用数学方面的最大贡献是研究微分对策，发展了最优控制理论．特别是1956年提出的“极大性原理”，取得极高的学术声誉．其主要内容是：
　　非线性控制系统由方程x(t)=F(t，x(t)，u(t))描述，其中u(t)是控制向量，t=0，t=1时x(t)分别有初值x0，x1，用u(t)确定的泛函

　　来表示控制方式的优劣，使J［u(t)］取最小的u(t)为最优控制，相应的x(t)为最优轨线．若该系统的哈密顿函数为H(

(t)，x(t)，u)，则u(t)，x(t)最优控制和最优轨线的必要条件是存在绝对连续函数

(t)=(

0(t)…，

n(t))使得H(

(t)，x(t)，u(t))达到最大值，而在终止时间t1，满足

0(t1)=0，H(

(t1)，x(t1)，U(t1))=0．
　　在极大性原理的基础上，庞特里亚金和他的合作者发展了一系列方法，处理了许多实际问题．更重要的是这一原理有很多推广，对偏微分方程和随机过程理论的发展也有重大价值．
　　庞特里亚金和合作者们的专著《最优过程的数学理论》于1961年出版，并很快就有了多国译本，包括中译本．他为莫斯科大学本科生所写的教材《常微分方程》也受到广泛欢迎，1961年由苏联的数学-物理文献出版社出版，并在1975年作为优秀教科书获得国家奖金．
　　1968年以后，庞特里亚金对数学出版物的质量感到关切，他组织了一批数学家成立数学著作编辑与出版委员会，推动许多优秀数学书籍问世．他自己在1980年前后写了四本高等数学的普及读物，并拥有大量读者．他对中学数学教育改革也十分关心，时常提出直率的批评．
　　庞特里亚金出身社会下层，又双目失明，却传奇般地成了一代数学名家．这里除了他个人的天才和勤奋之外，社会给予他很多很多．他从中学起就有奖学金，又被保送进入莫斯科大学．31岁时，成了苏联科学院通讯院士．1940年和1962年两次获国家奖金．1966年再获学术性很高的罗巴切夫斯基奖．他曾三次被授予列宁勋章，1969年获得社会主义劳动英雄金星奖章．

作者: extras 时间: 24.4.2010 00:02

冯·诺伊曼

　　冯·诺伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯；1957年2月8日卒于美国华盛顿．数学、物理学、计算机科学．
　　冯·诺伊曼出生于犹太人家庭．父亲麦克斯·冯·诺伊曼(Max von Neumann)是位富有的银行家． 1913年，奥匈帝国皇帝弗朗西斯·约瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麦克斯贵族的封号，诺伊曼家族的姓中便有了“von”字．
　　冯·诺伊曼自幼受到良好的教育．父亲特地聘请了家庭教师，向他系统传授数学、外语、历史和自然常识，而他很早就显示出超人的记忆力和理解力．传说他6岁能心算8位数除法，8岁掌握了微积分，12岁时还学习了E．波莱尔(Borel)的《函数论教程》(Lecons sur la th

orie des fonctions)．
　　第一次世界大战爆发的1914年，冯·诺伊曼刚满10岁，被送入大学预科学习．他的过人才智引起了老师L．瑞兹(Ratz)的注意，瑞兹觉得让冯·诺伊曼接受传统的中学教育是在浪费时间，应该对他进行专门的数学训练，使其天才得到充分发展．瑞兹把冯·诺伊曼推荐给布达佩斯大学的J．屈尔沙克(K

rschak)教授，屈尔沙克则安排助教M．费克特(Fekete)担任了他的家庭辅导工作．他发表的第一篇论文，便是在不到18岁时与费克特合写的，推广了切比雪夫(Чеъыдев)多项式求根的费耶尔(Fej

r)定理．1921年他通过中学生毕业考试时，已被公认为前途远大的数学新秀．
　　这之后的四年，冯·诺伊曼先后在柏林大学和瑞士苏黎世的同业高等技术学院攻读化学，同时保留着布达佩斯大学数学系的学籍．每学期末，他都要从欧洲赶回布达佩斯，探望家人并参加数学考试．1925年和1926年春，他先后获得了苏黎世的化学工程学位和布达佩斯大学的数学博士学位．
　　在柏林，冯·诺伊曼参加过A．爱因斯坦(Einstein)关于统计力学的讲座并跟随E．施密特(Schmidt)学习；在苏黎世，他与H．外尔(Weyl)和G．波利亚(P

lya)都有过密切接触．冯·诺伊曼曾说，对他早年学术思想影响最大的数学家，便是外尔和施密特．
　　他还数次前往格丁根大学，拜访大数学家D．希尔伯特(Hi－lbert)．他被希尔伯特的量子力学和证明论深深吸引住了．希尔伯特也非常赏识这位年轻学者，1926年初他尚未拿到博士学位时，希尔伯特就设法为他谋到了格丁根大学的访问学者资格．
　　1927—1929年，冯·诺伊曼被聘为柏林大学的义务讲师，其间在集合论、代数学和量子理论方面取得了大量研究成果，受到数学界的瞩目．1929年他转入汉堡大学任义务讲师．经外尔推荐，他于1930年以客座讲师的身份来到美国普林斯顿大学数学系，第二年成为该系终身教授．这样，他每年有一半时间生活在欧洲，另一半则在美国度过．
　　1933年，高级研究院在普林斯顿成立．冯·诺伊曼从一开始便受聘担任研究院的数学物理终身教授，年仅29岁，是院内最年轻的教授．他在1937年取得了美国公民权．
　　当时，世界经济正处于大萧条时期，战争的阴云笼罩着欧洲，而普林斯顿却成为数学和物理学精英云集之地．在浓厚的学术气氛和安定的生活中，冯·诺伊曼一直全身心地从事着研究工作．1932年，他从数学上总结了量子力学的发展，出版《量子力学的数学基础》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一书，同时推出了著名的弱遍历定理．1937年他发表关于算子环的理论，还确立了连续几何学．希尔伯特第五问题的部分解决，也是他在这个时期的主要成就之一．
　　1930年。冯·诺伊曼与M·柯维斯(Kovèsi)结婚，女儿玛丽娜(Marina)在1935年出生．两年后，他们的婚姻破裂．1938年夏，冯·诺伊曼回布达佩斯讲学、探亲，与克拉拉·丹(KlaraDan)结婚并于年底一起来到了普林斯顿．克拉拉后来成为首批为计算机编制数学问题码的学者之一．
　　第二次世界大战爆发后，冯·诺伊曼的科学生涯发生了转折．1940年，他被阿伯丁弹道实验研究所聘为科学顾问，1941年受聘任海军兵工局顾问．从1943年底起，他又以顾问身份参加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指导原子弹最佳结构的设计，探讨实现大规模热核反应的方案．在数学上，除了解决各种数值计算问题外他的最重要成就是1944年正式创立了对策论和现代数理经济学．
　　大战后期，他转向电子计算机的研究．1944年夏，他参观了尚未竣工的第一台电子计算机ENIAC，并参加了为改进计算机性能而举行的一系列专家会议．此后一年里，他提出电子计算机及程序设计的崭新思想，制订出两份全新方案——EDVAC机方案和IAS机方案．1951年，IAS机研制成功，证明了他的理论的正确性．
　　大战结束后，冯·诺伊曼担任高级研究院计算机研究所所长，同时继续在美国海军武器实验室等军事机关中服务．1954年10月，他被任命为美国原子能委员会委员，便于次年辞去了在高级研究院的职务，由工作、生活了23年的普林斯顿迁居到华盛顿．
　　从40年代末直到逝世前，冯·诺伊曼还集中研究了自动机理论，包括对各种人造自动机和天然自动机的比较，解决自动机的自适应、自繁殖和自恢复等问题．1951年发表“自动机的一般逻辑理论”(The general and logical theory of automata)，开辟了计算机科学的一个新领域，并为以后人工智能的研究奠定了基础．
　　1955年夏，冯·诺伊曼被确诊患有骨癌，病情迅速恶化．他在轮椅上坚持进行思考、写作，参加学术会议，还为耶鲁大学准备了希利曼(Hilliman)讲座的讲稿．1957年2月8日，他在华盛顿陆军医院与世长辞，享年53岁．
　　冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937年获美国数学会博歇(B

cher)奖；1947年获美国数学会吉布斯(Gibbs)讲师席位，并得到功勋奖章(总统奖)；1951—1953年任美国数学会主席；1956年获爱因斯坦纪念奖及费米(Fermi)奖．
　　他发表的学术论文共有150余篇，全部收录在1961年珀格蒙出版社出版的《冯·诺伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是纯粹数学方面的，60篇关于应用数学，20篇属于物理学．冯·诺伊曼以其超人的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠．　
纯粹数学
　

　　冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。 ! |% Z7 j( i6 A9 V
　　1．集合论与数学基础
　　本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
　　冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einf

hrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
　　此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
　　“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(G

del)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
　　NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
　　与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
　　现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
　　与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
　　1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现．
# N3 [9 L3 A) o* x9 T　　2．测度论
　　测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
　　在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
　　他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
　　这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
　　这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
　　同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
　　另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：

　　其中ω为适当的权函数．m′不但具有m的所有性质，且具有右零不变性．这些方法在后来他与S．博赫纳(Bochner)研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．
　　1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书． " s1 ?8 H3 n6 ~0 j& h) s6 r% W, u" G
　　3．遍历理论
　　冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
　　从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：

，对保测变换T，遍历平均

　　依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子

UTf(x)=f(Tx),xX

　　而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
　　在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
　　尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
　　不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
　　论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
　　定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
　　保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
　　f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
　　冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
　　与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
　　对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．” 3 X% Q$ P+ l R. `: j7 ` a+ o
　　4．群论
　　冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
　　1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
　　问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
　　另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
　　则下述三个条件等价：
　　(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
　　(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
　　(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
　　他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围． ! q6 w( ^4 {5 O$ E+ r5 L
　　5．算子理论
　　对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
　　1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
　　冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Th

orie des operations li

naires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
　　20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
　　算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：

是算子环，

则交换子也是算子环，且

．
　　这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体

(H)中满足

)’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
　　从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
　　他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
　　受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于

(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于

(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
　　他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：

　　通过群测度空间的构造，他们得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“论算子环Ⅲ”又给出了Ⅲ型因子的例子．
　　继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答． 4 L1 O4 O) l2 Y5 a
　　6．格论
　　冯·诺伊曼在研究希尔伯特空间算子环时，遇到了一类完备有补模

定义L为连续几何(continuous geome－try)，并构造出一类重要的连续几何：对任意可除环F和自然数n，F上的2n维子空间构成2n—1维射影几何PG(F，2n—1)．将它度量完备化之后得到的有补模格就是连续几何，记为CG(F)．他证明了希尔伯特空间中的Ⅱ1型因子具有与CG(F)同构的不变子空间格．
　　正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单

何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
　　在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
　　他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．　
应用数学
　

　　1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
& Z: I$ |3 o3 J7 q% a0 n6 S　　1．计算数学
　　冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
　　大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
　　在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律

Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，

　　它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程

Ut+F(U)=εΔU

　　代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
　　电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)． 9 p1 b2 ~7 w7 W$ {. Z
　　2．对策论与数理经济
　　冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
　　文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得

　　同时，存在最优策略x*和y*，使

　　以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
　　极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
　　1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
　　对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
　　早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．　
物理学
　

　　冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
　　1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schr

dinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
　　这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
　　量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
　　他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
　　这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
　　1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
　　书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
　　此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
　　《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
　　1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．　
计算机的理论与实践
　

　　在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
　　1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
　　在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
　　根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
　　(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
　　(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
　　(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
　　(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
　　从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
　　由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
　　冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
　　古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
　　电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
　　蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天

和技术上都有着极大的启发意义．
　　1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
　　从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
　　本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
　　此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
　　进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
　　以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
　　1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
　　在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
　　冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
　　形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
　　在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
　　冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
　　对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
　　除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
　　他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．

作者: 月之女祭司 时间: 24.4.2010 08:41
本帖最后由月之女祭司于 30.4.2010 12:17 编辑

原来是frjj，真后悔回这个帖子。中国数学家拿不拿得出手，中国人逻辑思维水平怎么样，轮不到你来指摘。

作者: augustiner 时间: 24.4.2010 19:08
1，这些数学家都是有极高天分的大师，但要是说天才，个人认为还得是法国的那个加罗瓦。

2，把罗素和上述数学家放在一起，貌似也不太合适。

作者: augustiner 时间: 24.4.2010 19:42

你是学数学的吗?4 d9 ]7 q# B3 F1 ? E. Z+ D/ \
. [! F' k3 ^2 ~9 k( f
0 f u1 s; q; S @; S/ F
我估计不管在哪个国家学数学,0 X# l6 C7 V7 `, V5 G3 ~

1 ~: x4 y) i$ X( p* J4 h/ s数学专业的数学第一章就是集合, 逻辑这些东西啊 ...
2 P: m2 f- l; f* h" }extras 发表于 24.4.2010 20:29

不是说集合不重要，而是说罗素首先是一个哲学家，也是个社会活动家，甚至是个文学家，对他最简单的概括应该是历史上最后一位全才大师。而如果他单纯只有数学上的成就，他应该不会被列在上面大师的行列。

另外，可以把加罗瓦的事迹也弄上来，个人觉得挺震撼，拍个类似Amadeus那类电影应该很合适。

作者: orientalwolf 时间: 24.4.2010 21:54
统计局的都是天才。

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:28

楼主辛苦。7 X4 U/ R, C0 D" e

+ G0 D5 j/ o5 A说到数学天才，我先想到的好像是高斯、阿贝尔和冯诺依曼。我觉得这里的很多人令后人惊叹敬仰不 ..., P4 n, d5 B, |3 e. w @ X1 Y
月之女祭司发表于 24.4.2010 09:41

陈景润

　　陈景润 1933年5月22日生于福建福州．解析数论．
　　陈景润的父亲陈元俊系邮局职员，生母潘氏于1947年去世．由于父亲收入低微，加上兄弟姐妹多，因而家境十分贫寒．陈景润于1938—1948年先后在福州市三一小学、三元县小学、三元县立初中、福州市三一中学及英华中学就读．其间由于受到一些数学教师的影响，他对充满奇妙问题的数论产生了浓厚的兴趣．1949年他进入厦门大学数学系学习，1953年以优异成绩毕业，并被分配到北京市第四中学任教．由于他性格十分内向，极不善与人交往，因而对中学教师这一工作很不适应．当时的厦门大学王亚南校长了解到陈景润的处境和他希望献身于数论研究的志向后，即于1954年通过有关部门将陈景润调回厦门大学担任助教．就在这里他订出了研究哥德巴赫猜想的计划．经过几年的刻苦钻研，陈景润对我国数学家华罗庚及苏联数学家И．М．维诺格拉多夫等人的专著及一些重要的数论方法有了深刻的了解，很快便写出了第一篇有关塔利问题的论文，这篇论文引起了华罗庚教授的注意．1957年，经华罗庚的推荐，陈景润被调到中国科学院数学研究所任实习研究员．1962年任助理研究员，1977年升任研究员，1988年提升为一级研究员．从1978年开始，他参加了培养硕士及博士研究生的工作．先后受聘担任贵州民族学院、河南大学、厦门大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校兼职教授．还曾当选为第四、五、六届全国人民代表大会代表．并任《数学季刊》主编，国家科委数学小组成员及中国科学院学部委员．
　　为了追求自己的理想，多年来，陈景润始终过着普通人难以忍受的艰苦生活，踏踏实实、坚持不懈地从事着解析数论及应用数学等方面的研究工作．无论是在“文化大革命”中遭受批斗打击的时候，还是在遭受疾病折磨的时候，他都没有停止自己的追求．他关于哥德巴赫猜想的著名成果，就是在“文化大革命”这场浩劫中艰苦磨炼出来的．直到1980年8月他才结束独身生活，组织了自己的家庭．他的夫人由昆女士在北京某部队医院工作，俩人有一个活泼可爱的男孩．多年的营养不良及艰苦工作，严重损害了陈景润的健康，经先后在北京市一些医院住院治疗，身体有所恢复．但他仍患有帕金森氏综合症，这种疾病经冶疗得到控制，但无法根除，因而对他的生活和工作仍有不利的影响．
　　从1958年至1990年，陈景润共发表研究论文50余篇，出版专著4部．由于他关于哥德巴赫猜想等问题的杰出研究成果，于1982年荣获国家自然科学一等奖，并于1978—1979年应美国普林斯顿高级研究院等的邀请先后去美国、法国及英国讲学．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:30

丘成桐

　　丘成桐1949年4月4日生于广东汕头．微分几何．
　　丘成桐的父亲丘镇英曾在香港香让学院及香港中文大学前身崇基学院任教，不幸于1963年病逝，留下丘成桐的母亲及子女七人．父亲的突然去世，造成丘家生活上的极大困难．为维持一家人的生计，继续供养丘成桐兄弟上学，丘成桐的母亲及姐姐们每日工作十几个小时．即使这样，丘成桐也不得不经常出外打短工，帮人补习功课，来解决部分生活费用及学费．那时，他是香港培正中学初中三年级的学生．清苦的生活并没有动摇他积极向上、奋发图强的决心．他家住沙田，每天上学要步行一个半小时．由于刻苦学习，他于1966年秋以优异成绩考入香港中文大学数学系．在大学期间，他更加勤奋，在短短三年时间内，修完了全部必修课程，还阅读了大量的课外材料．1969年初，刚刚从美国加利福利亚大学伯克利分校取得学位的S．萨拉夫(Salaff)博士，来到香港中文大学执教．丘成桐的杰出才能及表现给萨拉夫留下了深深的印象．在萨拉夫的推荐下，伯克利分校录取丘成桐为博士研究生，并授予IBM奖学金．于是，丘成桐放弃中文大学学士学位，提前退学，于1969年秋到伯克利．他的导师是著名微分几何学家陈省身．70年代左右的加州大学伯克利分校是世界微分几何的中心，云集了许多优秀的几何学家和年轻学者．
　　在伯克利分校学习期间，丘成桐十分重视偏微分方程在微分几何中的作用．当时C．莫里(Morrey)教授仍在伯克利执教，他对偏微分方程理论有重大贡献，但他的讲课习惯使许多年轻人难于接受．加上偏微分方程历来是数学中难学的理论，因而导致众多学生中途退课，最后只剩下丘成桐一人．尽管如此，他仍孜孜不倦地学习偏微分方程理论，为他以后的杰出工作打下牢固的基础．
　　到伯克利分校一年后，即1970年底，丘成桐完成了他的博士学位论文．通过J．H．C．怀特海(Whitehead)等人在40—50年代在几何及拓扑方面的工作，人们早已知道具非正截曲率的紧黎曼流形的同伦类由其基本群完全决定，是一个所谓K(π，1)流形．因此自然且重要的问题是：作为这种流形的基本群的群是否具有一些特别的结构？这些特别结构的几何涵义是什么？丘成桐在他的博士论文中，对第一个问题给出了非常满意的回答．简单地说，他证明了这种流形的基本群的任何可解子群都必须是比伯巴赫(Bieberbach)子群．由此解决了当时著名的沃尔夫猜测，即如果一个具非正截曲率的紧黎曼流形的基本群是可解的，则这一流形实际上是平坦的．沃尔夫猜测在当时吸引了许多优秀数学家，包括在伯克利任教的J．沃尔夫(Wolf)本人．丘成桐对这一问题巧妙的解决，使当时的世界数学界意识到一个数学新星的出现．丘成桐的毕业论文发表在1971年的《数学年刊》上．之后，他与B．劳森(Lawson)合作，又给出这种流形基本群的可解子群的几何性质，他们的文章发表在1972年《微分几何杂志》．他们的工作及著名数学家J．米尔诺(Milnor)关于曲率与基本群大小的工作是具非正截曲率流形基本群方面的开创性工作．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:30

华罗庚

　　华罗庚 1910年11月I2日生于江苏金坛；1985年6月12日卒于日本东京．数论、代数与几何、复分析。
　　华罗庚出生在江苏省金坛县．他的父亲华瑞栋经营一个家庭式的小杂货店．当他初中毕业时，由于家贫未能进入高中继续学习．经过努力，华罗庚考取了上海中华职业学校商科(二年制)．仍因家贫，华罗庚仅差一学期未能毕业，弃学回家帮助其父经营小店．他只能利用业余时间自修数学．
　　这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣，而不能全力从事小店的工作．他的父亲对此很反感，多次要撕掉他的“天书”．1928年，华罗庚就职于金坛初中．1927年，他与金坛吴筱元女士结婚，一年后他们有了一个女儿．至1951年，他们又依次有了三个儿子及两个女儿．1928年，华罗庚染上了流行瘟疫(可能是伤寒)，卧床半年，后病虽痊愈，但左腿却残废了．
　　华罗庚的数学才能显示得很早．他的第一篇论文发表在上海《科学》杂志上(1929)．他的第二篇文章“苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由”发表在1930年《科学》上．这篇文章引起了当时清华大学数学系主任熊庆来的注意，但熊庆来并不知华罗庚其人．后来熊庆来从系里一个金坛籍教员唐培经那里了解到华罗庚仅为一个初中毕业生，现任金坛初中会计．熊庆来深受感动并邀华罗庚到清华大学工作．华罗庚于1931年到清华大学任数学系助理．两年后，他被破格提拔为助教，又晋升为教员．1934年，又任“中华文化教育基金会董事会”乙种研究员．在清华大学时，华罗庚的同事中有以后成名的数学家陈省身、许宝騄与柯召．他的最早研究领域为数论中的华林问题．他的工作曾得到清华大学数学系教授杨武之的指点与帮助．
　　1936年，经N．维纳(Wiener)推荐，G．H．哈代(Hardy)邀请华罗庚去英国剑桥大学访问．华罗庚到达英国时，哈代正在美国．华罗庚很快掌握了英语并与一些在英国的年轻数学家如H．海尔布伦(Heilbronn)、H．达文波特(Davenport)、T．埃斯特曼(Estermann)、R．A．兰金(Rankin)与E．C．蒂奇马什(Titchmarsh)等人结为好友，从他们那里得到不少帮助．华罗庚在剑桥期间至少发表了15篇论文．
　　1937年抗日战争爆发，清华大学与北京大学、南开大学迁至云南昆明，组成西南联合大学．华罗庚由剑桥回到昆明，1938年至1945年，他执教于西南联大．这时，华罗庚的研究兴趣拓广到矩阵几何学、自守函数论、多复变函数论与群论．他与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班，参加过他的讨论班而以后成名的数学家有段学复、闵嗣鹤、樊

与徐贤修等人．
　　1946年2月至5月，华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请，对苏联作了广泛的访问．他会见了И．Μ．维诺格拉多夫(Виноградов)与Ю．B．林尼克(Линник)．
　　1948年，华罗庚当选为中央研究院院士．1947年至1948年，华罗庚任普林斯顿高级研究院访问研究员，又在普林斯顿大学教授数论课．1948年至1950年，华罗庚应依利诺伊大学之聘，任正教授．在依利诺伊期间，他指导的几个学生以后均成为职业数学家(R．埃尤伯(Ayoub)，J．密席尔(Mitchell)与L．熊飞尔德(Schoenfeld))．这期间，除数论外，华罗庚还涉足有限域上的方程论、典型群与域论等领域．
　　1950年，华罗庚与他的妻子儿女一起回国，参加建立中国科学院数学研究所的筹备工作，1952年被任命为所长，从此他即全力投身于建设研究所的工作．按照华罗庚的意见，研究所包括纯粹数学、应用数学与计算机技术的一些分科．他还对培养青年教学家工作给予特别重视．在青年数学家中，数论方面有陈景润、潘承洞与王元，代数方面有万哲先，复分析方面有龚昇与陆启铿．为了他们及中国年轻数学家普遍受益，华罗庚写了一系列书：《堆垒素数论》(中文版，1957)、《数论导引》(1957)、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》(1958)、《指数和的估计及其在数论中的应用(中文版，1963)、《高等数学引论》(1963)与《典型群》(1963，与万哲先合著)．1955年，华罗庚当选为中国科学院学部委员．
　　1966年，发生了“文化大革命”．华罗庚的家被”红卫兵”抄过好几次，手稿散失殆尽，至今没有下落，他也遭到批判斗争，对他来说，这种情况至1967年才有明显的好转．这是由于他受到毛泽东主席与周恩来总理的特别保护，可以安静地呆在家里，甚至可以到工业部门去普及数学方法．
　　1958年，华罗庚被任命为中国科学技术大学副校长．他开始从事应用数学的研究工作，特别将数论用于高维数值积分法，他还到工厂和工业部门普及“优选法”(斐波那契(Fibonacci)方法)与“统筹法”(CPM与PERT)．近20年中，他与助手陈德泉、计雷走遍了20多个省市自治区，向工人宣讲并教会他们如何将这两种方法用于他们自己的工作中去．从而，工厂的产量增加了，产品的质量也提高了．
　　从1979年开始，中国执行开放政策．华罗庚在他的学生的协助下，完成了专著《从单位圆谈起》(1977)及《数论在近似分析中的应用》(1978，与王元合著)．由H．哈贝斯坦(Halberstam)主编的《华罗庚论文选集》也在1983年由施普林格出版计出版．华罗庚在1978年被任命为中国科学院副院长．1980年被任命为应用数学研究所所长．此外，他从1950年至1983年均被选举为中国数学会理事长．
　　华罗庚作为访问学者，多次访问欧洲、美国与日本．尽管年迈体弱，他仍坚持数学研究及其应用工作．1985年6月12日，他在日本东京大学作学术报告，当讲完最后一句话时，由于心脏病突然发作而去世．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:31

樊畿

　　樊畿1914年9月19日生于浙江杭州．数学．
　　樊畿，西文名Ky Fan，父亲樊琦(1879—1947)曾在金华、温州等地的地方法院任职．樊

八岁时随父到金华，初中阶段先后在金华中学、杭州宗文中学和温州中学就读．他各科成绩均优，唯不喜欢英文，原因是“讨厌呆板地记忆生词和不可理喻的文法”．1929年初中毕业时，考入不用英文的吴淞同济附中．这是四年制高中，第一年专习德文．1932年的“—·二八”事变后，同济附中不能开课，樊插班到金华中学读高三，半年后就高中毕业了．
　　1932年秋，樊

入北京大学数学系．他本想读工科，但因姑父冯祖荀在北京大学任数学系主任，更由于北大不考英文，因此决定樊走上了数学道路．樊

攻读数学得心应手．二年级时，德国数学家E．施佩纳(SPerner)来华讲学，在北大讲授“近世代数”，使用的教材是O．施赖埃尔(Schreier)和施佩纳合著的德文原版《解析几何与代数引论》(Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra)与《矩阵讲义》(Vorlesungen uberMatrizen)两书．樊

听完课之后，利用暑假将两者译出，合为《解析几何与代数》，由冯祖荀作序并推荐给商务印书馆．1935年，该书初版作为《大学丛书》之一发行．1960年在台湾印行了第七版．在大学生时期，樊

还译过E．兰道(Landau)的《理想数论初步》(Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale)，并与孙树本合著《数论》，先后由商务印书馆出版．
　　1936年，樊

在北京大学毕业之后，留校任教．1938年下半年，由法国退回庚子赔款设立的中法教育基金会，招考数学、化学、生物三科各一名去法国留学．樊

是数学科的被录取者．1939年初启程去巴黎．他本打算攻读代数学，但在临行前，程毓淮(北京大学)和蒋硕民(南开大学)两教授建议他跟随M．R．弗雷歇(Prechet)学习，指出“弗雷歇的分析和代数差不多”．对这一指点，樊

终生感激．确实，作为泛函分析先驱学者的弗雷歇，曾发展一套抽象的分析结构，在当时崇尚函数论等“硬分析”的法国独树一帜．樊到巴黎之后，请曾来中国访问的J．阿达玛(Hadam-ard)给弗雷歇写了一封介绍信，彼此渐渐熟悉，弗雷歇就成了樊的导师．
　　1941年，樊

以“一般分析的几个基本概念”的学位论文，获得法国国家博士学位．当时第二次世界大战正在进行，樊

幸运地成为法国国家科学研究中心的研究人员，并且在庞加莱数学研究所从事数学研究．战时的生活紧张而清苦，但研究工作不断取得成果．到1945年大战结束时，樊

已发表论文20余篇．他和弗雷歇合著的《组合拓扑学引论》(Introdution a la topologiecombinatoire)一书也于1946年刊行，以后又发行了英文版和西班牙文版．
　　樊

在第二次世界大战之后，转往美国发展．1945—1947两年，他是普林斯顿高级研究院的成员．当时，世界著名数学家云集普林斯顿，其中包括战前已来美国的H．外尔(Weyl)和J．冯·诺依曼(von Neumann)．樊后来的工作深受他们的影响，学术上也有更大的进展．
　　1947年之后，樊

去圣母大学任教，从助教授、副教授，到教授．1960年曾到底特律城的韦恩州立大学任教一年，随即转到芝加哥附近的西北大学，直至1965年应聘为加州大学圣巴巴拉分校数学教授．
　　1964年，台北中央研究院推选樊

为院士．1978—1984年1745 间，他曾连任两届该院的数学研究所所长．他还曾任德克萨斯大学(奥斯丁)、汉堡大学、巴黎第九大学及意大利的卑鲁加(Perugia)大学的访问教授．从1960年起，担任《数学分析及其应用》(Journal of Mathematical Analysis and its Application)的编辑委员共32年．他还是《线性代数及其应用》(Linear Algebraand its Application)的杰出编辑，1993年又被聘为荷兰的《集值分析》(Set Valued Analysis)和波兰的《非线性分析中的拓扑方法》 (Topological Methods in Nonlinear Analysis)的编辑委员．
　　1985年夏樊

正式退休．数学界为他举行了盛大的学术活动，世界各地的许多数学家前来参加．加州大学圣巴巴拉分校宣布成立樊

助理教授(Ky Fan Assistant ProfessorshiP)职位．这次为樊

荣誉退休而举行的学术会议论文集，题为《为樊举行的会议录：非线性分析和凸分析》(Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan)．其中收录了樊

到那时的全部论文目录．
　　樊

退休之后，继续担任杂志编辑，且仍有著作问世．1989年，他应邀访问香港中文大学，是该校联合学院的杰出访问学者．1990年5月，巴黎第九大学授予樊

名誉博士学位．1990年，他曾出席矩阵论方面的会议，应邀作宴会后演讲．1992年5月，应邀访问波兰．1993年到东京参加“非线性分析与凸分析”会议，是该会的四名学术委员之一．
　　樊

从1947年离开大陆之后，长期没有机会返回故土．1981年，他已准备好大陆之行，临时因手术而取消．1988年南开大学召开不动点理论会议，也因健康原因未能与会．1989年5月，樊

应北京师范大学之邀回到阔别50多年的北京，讲学两周之后，又去北京大学、中国科学院数学研究所、武汉大学、浙江大学、杭州大学等校演讲．访问期间被聘为北京大学和北京师范大学的名誉教授．樊

已将40余年收藏的数学书籍和杂志，除少量自己常用之外，全部捐献给母校北京大学．1993年5月，当杭州大学为纪念陈建功教授诞生100周年举行函数论国际讨论会时，樊再次回国讲学访问．
　　樊

的学术成就是多方面的．从线性分析到非线性分析，从有限维空间到无限维空间，从纯粹数学到应用数学，都留下了他的科学业绩．以樊

的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常见于各种数学文献．他在非线性分析、不动点理论、凸分析、集值分析、数理经济学、对策论、线性算子理论及矩阵论等方面的贡献，已成为许多当代论著的出发点和一些分支的基石．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:32

吴文俊

　　吴文俊 1919年5月12日生于上海．拓扑学、几何学、数学史、数学机械化．
　　吴文俊出生在一个知识分子家庭．父亲吴福同毕业于上海交通大学前身的南洋公学，长期在一家以出版医药卫生书籍为主的书店任编译，埋头工作，与世无争．家中收藏的许多“五四”运动时期的书籍与历史书籍对少年吴文俊的思想有重要影响．吴文俊在初中时对数学并无偏爱，成绩也不突出，只是到了高中，由于授课教师的启迪，逐渐对数学及物理，特别是几何与力学产生兴趣．1936年中学毕业后，并没有专攻数学的想法，而且家庭对供他上大学也有一定困难，只是因为当时学校设立三名奖学金，一名指定给吴文俊，并指定报考上海交通大学数学系，才使他考入这所以工科见长的著名学府．比起国内当时一些著名大学来，上海交通大学数学系成立较晚，数学内容也比较古老，数学偏重计算而少理论，这使吴文俊念到二年级时，对数学失去了兴趣，甚至想辍学不念了．到三年级时，由于武崇林讲授代数与实变函数论，才使吴文俊对数学的兴趣发生了新的转机．他对于现代数学尤其是实变函数论产生了浓厚的兴趣，在课下刻苦自学，反复阅读几种著作，在数学上打下了坚实的基础．有了集合论及实变函数论的深厚基础后，吴文俊进而钻研点集拓扑的经典著作(如F．豪斯多夫(Ha-usdorff)，W．H．杨(Young)等人的名著)以及波兰著名期刊《数学基础》(Fundamenta Mathematica)上的论文．前几卷几乎每篇都读，以后重点选读，现在他还保存着当时看过的论文摘要．然后又进而学习组合拓扑学经典著作．他的高超的外文水平(特别是英文、德文)大大有助于他领会原著．只是毕业之后无法接触现代数学书刊，加上日常工作繁重，只得中断向现代数学的进军，而抽空以初等几何自娱，实属迫不得已．实际上，他的现代数学基础主要还是靠大学三、四年级自学而成．
　　1940年吴文俊从上海交通大学毕业，时值抗日战争，因家庭经济问题而经朋友介绍，到租界里一所育英中学工作，不但教书同时还要兼任教务员，搞许多繁琐的日常事务性工作．1941年12月珍珠港事件后，日军进驻各租界，他失业半年，而后又到上海培真中学工作．在极其艰苦的条件下，勉强度过日伪的黑暗统治时期．他工作认真，在5年半期间里竟找不到多少时间钻研数学，对他的成长不能不说是一大损失．
　　抗日战争胜利后，他到上海临时大学任教．1946年4月，陈省身从美国返回国内，在上海筹组中央研究院数学研究所．吴文俊经亲友介绍前去拜仿，亲戚鼓励他说，陈省身先生是学者，只考虑学术，不考虑其他，不妨放胆直言．在一次谈话中，吴文俊直率提出希望去数学所，陈省身当时未置可否，但临别时却说：“你的事我放在心上．”不久陈省身即通知吴文俊到数学所工作．从1946年8月起，吴文俊在数学所(上海岳阳路)工作一年多．这一年陈省身着重于“训练新人”，一周讲12小时的课，授拓扑学．听讲的年轻人除吴文俊外，还有陈国才、张素诚、周毓麟等等．陈省身还经常到各房间同年轻人交谈，对他们产生了巨大的影响．
　　与陈省身的结识是吴文俊一生的转折点，他开始接触到当时方兴未艾的拓扑学，这使他大开眼界，使自己的研究方向也从过去偏狭的古老学科转向当代新兴学科的康庄大道．在陈省身的带动下，吴文俊很快地吸收了新理论，不久就进行独立研究．当时H．惠特尼(Whitney)提出的示性类，有一个著名的对偶定理，惠特尼对这个定理给的证明极为复杂，难以弄清，并且从来没有发表过．吴文俊独创新意，给出一个简单的证明．这是示性类的一个重要成果，现在已成为经典．陈省身对此十分欣赏，把它推荐到曾林斯顿大学出版的《数学年刊》(Annals of Mathematic)上发表．在数学荒疏多年的情况下，一年多时间之内，就在以难懂著称的拓扑学的前沿取得如此巨大成就，不能不说是由于吴文俊的天才和功力．
　　1947年11月，吴文俊考取中法交换生赴法留学．当时正是布尔巴基(Bourbaki)学派的鼎盛时期，也是法国拓扑学正在重新兴起的时代．吴文俊在这种优越的环境中迅速成长．他先进斯特拉斯堡大学，跟着C．埃瑞斯曼(Ehresmann)学习．埃瑞斯曼是E．嘉当(Cartan)的学生，他的博士论文是关于格拉斯曼流形的同调群的计算，这个工作对后来吴文俊关于示性类的研究至关重要，同时，他还是纤维丛概念的创始人之一．他的一些思想对吴文俊后来的工作是有一定影响的．在法国期间，吴文俊继续进行纤维空间及示性类的研究，在埃瑞斯曼的指导下，他完成了“论球丛结构的示性类”(Sur les classes caracteristiques des struc-tures es fibrees spheriques)的学位论文．这篇论文同G．瑞布(Reeb)的论文一起，于1952年以单行本出版．吴文俊于1949年获得法国国家博士学位．此后他还发表了多篇关于概复结构及切触结构的论文．在斯特拉斯堡他结识了R．托姆(Thom)等人．吴文俊的一些结果发表后，引起各方面的广泛注意，由于他的某些结果与以前结果表面不同而使H．霍普夫(Hopf)亲自来斯特拉斯堡澄清他们的工作．霍普夫同吴文俊交谈后才搞清楚问题，非常赞赏吴文俊的工作，并邀请他去苏黎世讲学一周．在苏黎世他结识了当时在苏黎世访问的江泽涵．他的工作还受到了J．H．C．怀特海(Whitehead)的注意．取得学位后，吴文俊到巴黎，在法国国家科学研究中心(CNRS)研究数学，在H．嘉当(Cartan)(他是E．嘉当的儿子)的指导下工作．这时，H．嘉当举办著名的嘉当讨论班，这个讨论班对于拓扑学的发展有重要意义．同时，反映国际数学主要动向的布尔巴基讨论班也刚刚开始，当时参加的人数还不多，一般二三十人．吴文俊参加这两个讨论班，并在讨论班上作过报告．当时嘉当致力于研究著名的斯廷罗德上同调运算．吴文俊从低维情形出发，已猜想到后来所谓嘉当公式．H．嘉当在他的全集中，也归功于吴文俊．同时吴文俊发表的论文也预示了后来的道尔德流形．
　　1951年8月，吴文俊谢绝了法国师友的挽留，回到解放了的祖国．他先在北京大学数学系任教授，在江泽涵的建议之下，吴文俊获准于1952年10月到新成立的中国科学院数学研究所任研究员．当时数学所在清华大学校园内，他和张素诚、孙以丰共同建立拓扑组，形成中国的拓扑学研究工作的一个中心．不久他结识陈丕和，并于1953年结婚，婚后生有三女一子，皆学有所成．从1953年到1957年短短5年间，吴文俊以忘我的劳动做了大量工作．在这段日子里，他主要从事C．庞特里亚金示性类的研究工作，力图得出类似于施蒂费尔-惠特尼示性类的结果．但是庞特里亚金示性类要复杂得多，许多问题至今未能解决，他在5篇论庞特里亚金示性类的论文中的许多结果长期以来是最佳的．1956年他作为中国代表团的一员赴苏联参加全苏第三次数学家大会，作关于庞特里亚金示性类的报告，得到好评．庞特里亚金还邀请他到家中作客并进行讨论．
　　其后，吴文俊的工作重点从示性类的研究转向示嵌类的研究，他用统一的方法，系统地改进以往用不同的方法所得到的零散的结果．由于他在拓扑学示性类及示嵌类方面的出色工作，他与华罗庚、钱学森一起荣获1956年国家第一届自然科学奖的最高奖——一等奖，并于1957年增选为中国科学院学部委员．1957年他应邀去波兰、民主德国并再次去法国访问，在巴黎大学系统介绍示嵌类理论达两个月之久，听众中有C．海富里热(Haefliger)等人，对于海富里热等人后来的嵌入方面的工作有着明显的影响．1958年吴文俊被邀请到国际数学家大会作分组报告(因故未能成行)．
　　从1955年起数学所拓扑组开始有新大学生来工作，在吴文俊的指导下，开始走上研究的道路．其中有李培信、岳景中、江嘉禾、熊金城及虞吉林等．
　　从1958年起，由于国内政治形势的影响，稳稳当当的理论研究工作难以继续进行，拓扑学研究工作也被迫中断．在“理论联系实际”的口号下，数学所的研究工作进行大幅度调整．吴文俊同一些年轻人开始对新领域——对策论进行探索．在短短的一两年中不仅引进了这门新学科，而且以其深厚的功力，作出值得称道的成果．从1960年起，他担任中国科学技术大学数学系60级学生的主讲教师，开出三门课程：微积分、微分几何和代数几何，共七个学期，他高超的教学水平使这届学生受益匪浅．
　　三年困难时期科学研究工作部分得到恢复．1961年，在颐和园龙王庙召开会议，讨论数学理论学科的研究工作的恢复问题．从1962年起，吴文俊重新开始拓扑学的研究工作，特别着重于奇点理论，其后又结合教学对代数几何学进行研究，定义了具有奇点的代数簇的陈省身示性类，这大大领先于西方国家．1964年起社会主义教育运动(“四清”)再一次使他的研究工作中断．1965年9月吴文俊以普通工作队员的身分到安徽省六安县参加半年“四清”运动．回京后不久，“文化大革命”开始了，数学所大部分研究工作从此长期陷于停顿，吴文俊也不得不参加运动并接受“批判”．他的住房也大大压缩了，六口之家挤在两小间屋子里，工作条件可想而知．但就在这种困难的条件下，他仍然抓紧时间从事科研工作，只是方向有所变化．他在1966—1967年注意到他的示嵌类的研究可用于印刷电路的布线问题，并于1973年完全解决．他的方法完全是可以算法化的，而这种“可计算性”是与以前在布尔巴基影响下的纯理论的方向完全不同的．大约从这时开始，他完成自己数学思想上一次根本性的改变．大约同时，他还参加仿生学的研究．1971年他到北京无线电一厂参加劳动．1972年科研工作开始部分恢复，同时中美数学家开始交流，特别是陈省身等华裔数学家回国，带来国际上的许多新情况．1973年数学所拓扑组开始讨论由D．沙利文(Sullivan)等人开创的有理同伦论，据此吴文俊提出他的I*函子理论，其显著特点之一也是“可计算性”．1974年，吴文俊的兴趣转向中国数学史，用算法及可计算性的观点来分析中国古代数学，发现中国古代数学传统与由古希腊延续下来的近现代西方数学传统的重要区别，对中国古算作了正本清源的分析，在许多方面产生独到的见解．这两方面是他在1975年到法国高等科学研究院访问时主要的报告题目．
　　1976年粉碎“四人帮”之后，科学研究开始走上正轨．年近花甲的吴文俊更加焕发出青春活力．他在中国古算研究的基础上，分析了西方R．笛卡儿(Descartes)的思想，深入探讨D．希尔伯特(Hilbert)《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)一书中隐藏的构造性思想，开拓机械化数学的崭新领域．1977年他在平面几何定理的机械化证明方面首先取得成功，1978年推广到对微分几何的定理机械化证明，这样走出完全是中国人自己开拓的新数学道路，并产生巨大的国际影响．到80年代，他不仅建立数学机械化证明的基础，而且扩张成广泛的数学机械化纲领，解决一系列理论及实际问题．
　　1979年以后，我国数学家的国际交往日益频繁，吴文俊也多次出国．从1979年被邀请去普林斯顿高级研究院任研究员起，其后几乎每年都出国访问或参加国际学术会议，对于在国外传播其数学成就起着重要作用．尤其是吴文俊机械化数学的思想与中国传统数学受到国际上的瞩目．1986年他在国际数学家大会上作关于中国数学史的报告，引起广泛的兴趣，这样，在近代数学史上第一次由中国数学家开创数学新领域，不再是沿袭他国的主题、他国的问题和他国的方法，吸引了众多的数学家向中国学习．1980年在陈省身的倡议下，吴文俊积极参与双微会议(微分几何与微分方程国际讨论会)的筹备及组织工作．从1980年到1985年共举行六届双微会议，对于国内外数学界的交流起了重要推动作用．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:34

陈省身

　　陈省身生于浙江嘉兴．微分几何、拓扑学．

4 O$ U1 j# f- U# Y1 `9 Q
　　早年
　　陈省身的父亲陈宝桢是晚清秀才，后毕业于浙江法政专门学校，在司法界服务．母亲韩梅，弟陈家麟，姊陈瑶华，妹陈玉华．
　　因为祖母钟爱，不放心陈省身进小学，由他的姑母在家教他国文．他的父亲在外地做事，不常在家．有一年，父亲回来，教他认阿拉伯数字，学四则运算．父亲走后，陈省身做了很多数学习题．因此，他虽然没有上过初小，却能在9岁时轻易地通过考试进入秀州中学附属小学五年级．
　　1922年，陈宝桢在天津供职，决定把全家接到天津．陈省身进天津扶轮中学，仍然喜欢数学，觉得它既容易又有趣，做了H．S．霍尔(Hall)及S．R．奈特(Knight)的高等代数及G．A．温特沃思(Wentworth)和D．E．史密斯(Smith)的几何学和三角学书中的大量习题．他也喜欢看小说和写文章． 9 y( m$ D" y4 i7 b; v% @: m8 y
　　1926—1930，南开大学
　　15岁时，陈省身考入天津南开大学学习数学．他的老师姜立夫对他的读书态度有很大影响．姜立夫是哈佛大学的数学博士(指导教授是J．L．库利奇(Coolidge))．当时全中国只有几个数学博士，而姜立夫的教学态度很严谨，总是布置很多习题，并且亲自批改作业，使学生获益极多，觉得数学非常有趣又有前途．
) h* F$ y# b$ Q& ~ n" O+ @　　1930—1934，清华研究院
　　30年代，很多在国外获得博士学位的留学生陆续回国任教．虽然各大学的数学系的水准有提高，但陈省身觉得那时的教学颇象学徒制，很少鼓励学生自己创新，所以要在数学上有长进，必须出国深造．因陈省身的父母无法供他出国念书，只有考公费．当时清华研究院规定，毕业后成绩优异者可以公费留学．所以陈省身在1930年从南开大学毕业后考进清华研究院．那时研究院的四位教授是熊庆来、孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)和郑之蕃(后来成为陈省身的岳父)．陈省身随孙光远念投影微分几何．
　　陈省身在南开大学时上过姜立夫开的空间曲线、曲面论的课，用的是W．J．E．布拉施克(Blaschke)的书．他觉得这门课深奥奇妙，所以当布拉施克在1932年到北平访问时，陈省身听了他的全部六个关于网络几何的演讲．
　　陈省身在1934年从清华研究院毕业时得到两年的留美公费．因受布拉施克的影响，陈省身要求清华研究院让他去德国汉堡大学．当时数学系的代理系主任杨武之帮他安排去德国留学．
　　当时正值希特勒当权，驱逐大学里的犹太籍教授．因汉堡大学刚成立不久，幸而比较安静，成为一个研究数学的好地方． u8 y5 r- Y7 r( t
　　1934—1936，汉堡大学
　　陈省身在1934年9月到达汉堡大学，随布拉施克研究几何，论文的内容是嘉当方法在微分几何中的应用，在1936年2月得到科学博士学位．因为布拉施克时常外出旅行，故陈省身和布拉施克的助手E．克勒(K

hler)的讨论最多．当时对陈省身在数学上影响最大的可能是克勒的讨论班“微分方程组论”，其中的主要定理现称为嘉当-克勒定理．这是一个崭新而复杂的理论．讨论班刚开始时研究院里每个人都来参加了，但到最后只剩下陈省身一个人．陈省身觉得他也因此而受益最多．
　　1936年夏天陈省身的公费期满，就接到清华大学与北京大学的聘约，同时又得到中华文化基金会的一年资助．所以他由布拉施克推荐去巴黎随当代几何大师E．嘉当(Cartan)工作一年． 6 l! [6 d3 ?/ g& Q- V1 ]+ k* A0 c
　　1936—1937，巴黎
　　陈省身在1936年9月到达巴黎．当时嘉当的学生众多，要会见他得在他的办公时间排队等候．幸而两个月后嘉当邀请陈省身每隔一周到他家去讨论一小时．陈省身在巴黎这段时间工作很勤奋、很快乐，全部精力花在准备这每两周一次与嘉当的面谈上．他学到了活动标架法和等价方法，以及更多的嘉当-克勒理论．更重要的是，陈省身觉得他学到了嘉当的数学语言及思考方式．他感到和嘉当工作10个月所得益处甚多，在那时所写的三篇文章只是研究成果的一小部分． 9 z3 _4 [, S$ i1 d8 {' `
　　1937—1943，西南联大
　　1937年夏天陈省身受聘于清华大学．不幸，未离巴黎就发生了卢沟桥事变，日本侵华战争爆发．清华大学要陈省身暂时先去长沙临时大学任教．1938年1月日军逼近长沙，陈省身随大学搬到昆明西南联合大学．西南联大是战时由北京大学、清华大学、南开大学三校合并而成的，师资力量很强．譬如华罗庚当时也在西南联大任教．陈省身在西南联大有很多好学生，不少后来在数学及物理学上有杰出贡献，例如数学家王宪钟和物理学诺贝尔奖获得者杨振宁．因战争之故，昆明与外界完全隔绝，且物资匮乏，幸而陈省身带了不少嘉当的论文研读，将自己完全投入了研究工作．他在这段困难时期开始的研究工作后来对于现代数学的发展具有极大的启示性． 5 {' N( W0 K, S7 q. g# T
　　陈省身的家庭
　　陈省身与郑士宁的婚姻是由杨武之促成的，他们于1937年在长沙订婚，1939年结婚．郑士宁是东吴大学生物学理学士．1940年她由昆明去上海待产，生下长子陈伯龙．但因战事，她无法回昆明，直到6年后的1946年才得以团聚．他们尚有一女陈璞(女婿朱经武是高温超导体研究的主要贡献者之一)．
　　陈省身的家庭美满，夫人一向陪伴在旁，陈省身非常感谢她为他创造了一个平静的气氛进行研究．在郑士宁60岁生日时，陈省身特别为她写下一首诗：

三十六年共欢愁，无情光阴逼人来．

摩天蹈海岂素志，养儿育女赖汝才．

幸有文章慰晚景，愧遗井臼倍劳辛．

小山白首人生福，不觉壶中日月长．

　　1978年陈省身在“我的科学生涯与著作梗概”中写下了如下的话：“在结束本文前，我必须提及我的夫人在我的生活和工作中所起的作用．近40年来，无论是战争年代抑或和平时期，无论在顺境抑或逆境中，我们相濡以沫，过着朴素而充实的生活．我在数学研究中取得之成就实乃我俩共同努力之结晶．” 3 v) b3 m+ P# ]4 |5 o& T7 b; j2 \
　　1943—1945，普林斯顿高级研究院
　　此时陈省身已是中国著名的数学家，他的工作也逐渐受到国际上的重视．但他对自己的成就并不满足，所以当O．维布伦(Veblen)在1942年邀请他去普林斯顿高级研究院做研究员时，他不顾世界大战正在进行中，毅然决定前往．(他坐军用飞机花了7天才由昆明到达美国！)
　　这是陈省身一生中最重要的决定之一，因为在普林斯顿这两年里进行的研究是最创新的工作，具有最深远的影响．他给出了“高斯-邦尼公式一个新的内蕴证明”，进而发现了“陈示性类”．H·霍普夫(Hopf)曾说：“推广高斯-邦尼公式是微分几何最重要和最困难的问题，纤维丛的微分几何和示性类理论……更将数学带入一个新纪元．”
t$ r7 W# N5 d$ c　　1946—1948，中央研究院
　　陈省身在1946年春天回国．当时中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备处主任．姜立夫聘陈省身为兼任研究员，但姜立夫很快离国去美，故筹备工作落在陈省身的身上．战后复员，筹备处确定在上海工作．陈省身着重于“训练新人”，他从全国各大学选了最好的大学毕业生集中到上海，由他每周讲12个小时的拓扑学．由此培养了一批新的拓扑学人才，如吴文俊、廖山涛、陈国才、张素诚、杨忠道等．1948年研究所迁到南京．该年秋天中央研究院举行第一届院士选举，共选出81人，陈省身是其中最年轻的一位．
　　陈省身专心于研究及教学，完全没有注意到内战的状况．一天，他忽然接到普林斯顿高级研究院院长R．奥本海默(Oppenhe-imer)的电报，说：“如果我们可做什么事便利你来美，请告知．”陈省身这才开始阅读英文报刊，了解南京的局面不能长久，所以决定带全家去美国．在去美国前，印度孟买的塔塔(Tata)研究院曾邀请他去那里工作，但那时他已不能接受．陈省身全家于1948年12月31日离开上海，在普林斯顿高级研究院度过了春季学季． , q4 E [3 z3 Y- y9 ]9 V
　　1949—1960，芝加哥大学
　　陈省身知道他无法很快返回中国，需要一个长期职位哺养家室．此时正值芝加哥大学M．斯通(Stone)教授揽才网罗最好的数学家，将芝加哥发展成世界上最好的数学研究中心．当时，陈省身的好友、著名数学家A．韦伊(Weil)就在那里．1949年夏，陈省身被聘为芝加哥大学教授．在芝加哥大学11年陈省身指导了10个杰出的博士生．他于1960年离开芝加哥去伯克利加州大学，一直到1979年退休． 7 M& I$ J. j4 T& ~- i
　　陈省身与杨振宁
　　陈省身在1946年发表示性类的论文，1949年在普林斯顿讲了一个学期的联络论．杨振宁和R．L．米尔斯(Mills)在1954年发表了杨-米尔斯场论．1949年陈省身、杨振宁均在芝加哥，1954年又同在普林斯顿．他们是好友，时常谈论自己的工作，却不知道他们的工作有密切的关系．20年后才知道两者的重要性，也才知道他们所研究的是同一个“大象”的两个不同的部分．下面是杨振宁送陈省身的一首诗：

天衣岂无缝，匠心剪接成．

浑然归一体，广邃妙绝伦．

造化爱几何，四力纤维能．

千古寸心事，欧高黎嘉陈．

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　　1960—1979，伯克利加州大学
　　陈省身曾说他去加州大学原因有二：一是加州大学正在发展阶段，有建成几何学中心的潜力；二是加州的天气暖和．
　　在加州大学，陈省身有很多学生，有31人随他完成博士学位．陈省身也是许多到加州大学做讲师的年轻博士们的良师(本文作者之一曾在芝加哥大学做讲师，另一位曾在加州大学做讲师，均受教于陈省身)．
　　陈省身在加州大学将数学系建成世界著名的几何学中心．他对人友善、益谈、多鼓励，再加上他的论文和讲稿从50年代起已成为学习微分几何的经典，因此可以说世界各地的几何学家几乎都受到他的影响．当他在1979年从加州大学退休时，学校为他举行了一个数学讨论会(Chern Symposium)，历时一周，300多人出席．其实陈省身并没有真正退休，而是继续在加州大学教到1984年，并且到“山顶”成为伯克利数学科学研究所首任所长。
2 a) ?3 {# |$ d' Z% w　　1981年以后，三个研究所
　　1981年，陈省身、C．穆尔(Moore)、I．辛格(Singer)以及旧金山海湾地区的几位数学家向美国国家科学基金会提出在伯克利成立数学研究所的计划．经过激烈的竞争，国家科学基金会宣布成立两个所，其中一个就是在伯克利的数学科学研究所(MSRI)，陈省身为首任所长，任期三年．此所办得很成功，陈省身的影响是显著的．
　　陈省身一共办过三个研究所：中央研究院数学研究所(1946—1948，上海，南京)，数学科学研究所(1981—1984，伯克利)，南开数学研究所(1984年以后，天津)．陈省身一向不愿意让琐碎的行政工作缠身，总是把老子的无为哲学用得恰到好处．
　　陈省身一直希望中国数学能跻身于世界数学领导地位．他觉得要达此目的必须做到下面两点：第一，要培养出一批年轻、有抱负、有信心、不求个人名利、且要“青出于蓝而胜于蓝”的数学工作者．第二，要有足够的经费支持，充实的图书，完善的研究室以及国内外的数学交流．(陈省身觉得这些资源对于数学研究的重要性不亚于仪器对于实验科学的重要性．)
　　为了促使中国早日成为数学强国，陈省身1946年回国，办中央研究院数学研究所．以后又在1984年从伯克利数学科学研究所退休后回到天津办南开数学研究所．
　　1966—1976年的“文化大革命”使中国损失了整整一代的数学工作者．从1972年起，陈省身常回中国讲学，培养中国年轻一代的数学家．南开研究所成立于1985年，在这里建有宿舍，常年有中外学者来访．研究所仿普林斯顿高级研究院的模式，其目的之一是让中国各大学里的教师和研究生可以到这里专心致志进行研究，并且有机会与中外数学家进行讨论和交流．另一个目的是希望创造一个好的研究环境吸引在国外获得博士学位的留学生回国工作．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:39
阿基米德
　

辽宁师范大学梁宗巨

　

　　阿基米德(Archimedes) 公元前287年生于西西里岛(Sicilia，今属意大利)的叙拉古(Sracusa，—译锡拉库萨)；公元前212年卒于叙拉古．数学、力学、天文学．
　　和其他的古希腊数学家相比，阿基米德的生卒年是比较确实的．J．策策斯(Tzetzes，约1110—约1180)在《史书》(Book of histories)中记载：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁”．阿基米德之死，T．李维(Livius，公元前59—公元17年)策斯等历史学家作了不同的描述，但一致同意他是在叙拉古陷落(公元前212年)时被罗马兵所杀的．倒推回去，应生于公元前287年．
　　阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王(Hiero Ⅱ，约公元前308—前216年，约公元前270—前216年在位)的亲戚，和王子吉伦(Gelon，后继承王位)友善．父亲菲迪亚斯(Phidias)是天文学家．
　　阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献．在那里结识许多同行好友，如科农(Conon of Samos，公元前245年前后)、多西修斯(Dositheus，公元前225年前后)以及埃拉托塞尼(Eratosthenes)等等．回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．后人对阿基米德给以极高的评价．数学史家E．T．贝尔(Bell，1883—1960)说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．普林尼(Pliny，公元 23—79年)甚至称阿基米德为“数学之神”这些过分的赞扬，反映了后世对阿基米德的崇敬．
　　赫拉克利德(Heraclides)曾写过阿基米德的传记，欧托基奥斯(Eutocius of Ascalon，约生于公元480年)止一次提到这件事，可惜传记已失传．阿基米德的生平事迹，散见于各种古代的文献中．

金冠

　　维特鲁维厄斯(Marcus Vitruvius Pollio，公元前1世纪上半叶—约公元前25年)罗马有名的建筑学家，以传世的10卷《建筑学》(De Architectura Libri X)称．这书第Ⅸ卷记述了一段传诵千古的逸事．叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神的德泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为谢恩的奉献物
　　金匠如期完成了任务，理应得到奖赏．这时有人告密说金匠偷去一部分金子，以等重的银子掺入．国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下，他也一时想不出好办法来．正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去的时候，水漫溢到盆外，而身体顿觉减轻．于是豁然开朗，悟到不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，阿基米德高兴得跳了起来，赤身奔回家中准备实验，口中不断大呼“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我找到了”．)
　　这问题可解释如下：设王冠重W，其中金与银分别重W1，W2，而W=W1＋W2分别取重为W与W1的纯金放入水中，设排去水的重各

的银放入水中，设排去水的重量各为F2与y，于是W∶W2=F2∶y，
　　

　　由此推得F(W1＋W2)=F1W1+F2W2，即

　　用实验可求出F，F1，F2，即可算出银与金之比值．如F=F1，说明没有掺银．实际情况是两者不等，从而揭穿了金匠的劣行．
　　经过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量．后来总结在他的名著《论浮体》(Flo－ating bodies)中成为第7命题．

豪言壮语

　　帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collections)
　　记载，阿基米德建立了杠杆定律(若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡)之后，解决了“用给定的力去移动任何给定的重物”的问题，曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动地球！”
　　

　　普卢塔克(Plutarch，约公元46—119年以后)的《马塞勒斯传》(Marcellus)中有更详细的描写．阿基米德对海厄罗王说：任何重物都可以用一个给定的力来移动．“如果另外有一个地球，就可以站在那上面移动这一个”．海厄罗王大为诧异，想考验一下这惊人的论断是否可靠，要求他用事实来证明．阿基米德从国王的船队中选定一艘有三根桅杆的货船，这种船通常要用很多人花很大力气才拖得动它．阿基米德安装了一组滑轮，自己站在远处，手握绳子的一端，轻而易举将船平稳地拉过来，好象它在海上行驶一样．
　　按普罗克洛斯(Proclus)的说法，这艘船是海厄罗王特地为托勒密王(Ptolemy)建造的，下水时几乎动员了所有的叙拉古人．而阿基米德凭着他发明的机械，使国王自己一个人就把它拖动．国王佩服得五体投地，当即宣布：“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信”．
　　辛普利休斯(Simplicius，6世纪上半叶)在注释亚里士多德的《物理学》(Physica)时，说阿基米德发明了一种“神力器”(cha-ristion)
　　

　　德宣称要用“神力器”去移动地球．
　　上述几种记载内容大致相同．阿基米德真的能移动地球吗？不妨作一个简单的计算．那时他并不知道地球有多重，现在知道地球质量是6×1027克．假想用杠杆来举起地球，加60公斤(6×104克)的力，那么力臂应该是重臂的 6×1027÷6×102=1023倍．要举起地球1/10000毫米，力臂的一端应走过1013公里以上．每天24小时以短跑的速度走过这个距离，至少要3000万年！换句话说，即使略去杠杆本身的重量不计，阿基米德用尽毕生的力量，也休想移动地球分毫．不过这位伟大的古代力学家，只因为不知道地球的大小，以致作出错误的判断，这是可以谅解的．

叙拉古保卫战

　　在阿基米德的一生中，最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯．
　　迦太基(Carthage)是古代腓尼基(Phoenicia)人建立的国家．以现今非洲北部的突尼斯为中心，领土东到西西里岛，西达西班牙和摩洛哥．由于商业和殖民利害的冲突，从公元前264年起到前146年为止，前后三次和罗马人进行了猛烈的大搏斗，延续120年之久．罗马人称迦太基人为腓尼(Poeni)，转为布匿(Punic)，故史称布匿战争．第二次布匿战争发生于公元前218—前201年，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌．公元前214年，罗马名将马塞勒斯(Marcus Claudius Marcellus，约公元前268—前208年)率领大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳．
　　详细记述这次保卫战的主要有三种书：波利比奥斯(Polybius，约公元前200—前118年)的《通史》(Historiae，共 40卷)，李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》(Vita Marcelli)．此外策策斯、卢西恩(Lucian，约公元120—180年以后)等也有所论述．
　　马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古．阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底．马塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5层橹船(quinquereme)，每两艘联锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”(sambuca)武器，准备攻城．可是叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的机械将巨大石块抛出，形同暴雨，打得“萨姆布卡”七零八落．同时万弩齐发，罗马兵死伤无数．吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵．在陆上，罗马兵也没有占到便宜．多次进攻，均未得逞．
　　有一种传说是阿基米德用巨大的火镜(burning－mirror)反射阳光来焚烧敌船，这大概是夸张的说法，最早见于卢西恩(Luci－an)的记载．不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质．有的书说成将燃烧的火球弹射出去使敌船着火，这也许比较可信．
　　无论如何，罗马兵已成惊弓之鸟，简直是“风声鹤唳，草木皆兵”，只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来，立刻抱头鼠窜，大呼：“阿基米德的机器又瞄准我们了”．
　　罗马人在一次军事会议上，决定夜间偷袭，他们以为飞弹只能在远距离起作用，黑夜可以避开城上的视线，一旦接近城墙，飞弹就无能为力了．谁知阿基米德早有防备，制造了一种叫“蝎子”的弩炮，专门对付近处的敌人．罗马兵又一次吃了大亏．
　　马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’(Briareus)下去吗？他轻松地稳坐在海边，把我们的船只像掷钱游戏(pitch and toss)似的抛来抛去，船队被搞得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害”．(《马塞勒斯传》，见[7]，p．29．)
　　后来罗马军放弃正面进攻，改用长期围困的策略．叙拉古终于因粮食耗尽，被叛徒出卖，公元前212年，在一个庆祝阿泰密斯(Artemis)神，75岁的阿基米德也光荣牺牲了．

为国捐躯

　　叙拉古陷落时，马塞勒斯虽然发布了许多禁令，仍然阻挡不住士兵的劫掠．出于对阿基米德的敬佩，他下令不准伤害这位贤者，
　　但阿基米德还是被愚蠢的罗马兵杀害了．关于他的死，几种记载颇有出入．
　　(一)最早的说法出自李维．在兵荒马乱之中，侵略军大肆杀戮，阿基米德正在沙上画图，一个罗马兵将他刺死，根本不知道他是谁．
　　这里所说的“沙”，是指沙盘(sand board)，在平板上铺上细沙，用来计算、画图和写字．也就是“算盘”(abacus)．李维的原文是pulvis(拉丁文，沙盘或沙上铺的细沙)，后来罗马历史学家瓦勒里乌斯(Valerius Maximus，活跃于公元20年前后)提到这件事，误以为是在沙地上画图，把pulvis写成terra(土地)，于是许多书就以讹传讹．
　　许多数学史书都转载一幅镶嵌的图案画(例如见［11］，p．135)，表现了阿基米德之死．它是在意大利赫库兰尼姆(Herculaneum)发现的，原为波拿巴(Jér

me Bonaparte， 1784—1860)的传家宝，后为威斯巴登(Wiesbaden)的F．E．沙贝尔(Schabell)所有，1924年由F．温特尔(Winter)将它发表出来．一般认为这件工艺品是艺术家根据古代一幅画来制作的．画面是一位老人，坐在小桌子后面，两手似在护着放在桌上的长方形沙盘，横眉冷对站在旁边的握剑士兵，他显然是命令老人跟他走．较多的学者认为它较真实地重现了当时的情景．
　　(二)策策斯的记载是，他俯身去画一些机械图，一个罗马人走过来拖他去当俘虏．阿基米德全神贯注在作图，没有注意是谁，口中说：“喂！站远一点，离开我的图．”那人继续拽他，他转过头来，看清是一个罗马兵时，立即喊道：“给我一样器械(指他发明的武器)！”士兵吓了一跳，马上杀了他，虚弱的老人就这样倒下了．
　　(三)普卢塔克还给出下面几种说法．阿基米德独自聚精会神去思考要解决的问题，目不转睛地看他的图，丝毫没有注意到城池已破．一个罗马兵突然出现在他的面前，命令他到马塞勒斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，他表示除非解答了问题并给出了证明，否则是不会去的．这激怒了罗马兵，于是丧生在刀剑之下．
　　(四)另一种说法是罗马兵不由分说，要立刻刺死他，阿基米德看了他一眼，请求他等一会儿，不要让一道只研究了一半而尚未解决的问题遗留给后人．但是士兵不懂这些，终于动了手．
　　(五)还有一种说法是阿基米德带了许多数学仪器去见马塞勒斯，如日晷、球以及测量太阳的工具等，那些士兵不知这些闪闪发光的东西是什么宝物，于是便谋财害命．
　　不管具体的情节如何，这位旷世的大科学家，为了拯救自己的祖国，曾竭尽心智，力挽狂澜，给侵略者以沉重的打击，最后献出生命，这是无可怀疑的事实．
　　阿基米德之死，马塞勒斯甚为悲痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念．因阿基米德发现球的体积及表面积，都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3．他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望．
　　后来事过境迁，叙拉古人竟不知珍惜这非凡的纪念物．100多年之后(公元前75年)，罗马著名的政治家和作家西塞罗(Mar-cus Tullius Cicero，公元前106—前43年)在西西里担任财务官，有心去凭吊这座伟人的墓．然而当地居民竟否认它的存在．众人借助镰刀辟开小径，发现一座高出杂树不多的小圆柱，上面刻着的球和圆柱图案赫然在目，这久已被遗忘的寂寂孤坟终于被找到了．墓志铭仍依稀可见，大约有一半已被风雨腐蚀．又两千年过去了，随着时光的流逝，这座墓也消失得无影无踪．现在有一个人工凿砌的石窟，宽约十余米，内壁长满青苔，被说成是阿基米德之墓，但却无任何能证明其真实性的标志，而且“发现真正墓地”的消息时有所闻，令人难辨真伪． 主要著作

　　阿基米德留下的数学著作不下10种，多数为希腊文手稿，也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿．有J． L．海伯格(Heiberg)校订的：Archimedis opera omnia cum commen-tariis Eutocii(《阿基米德全集，包括欧托基奥斯(Eutocius of Ascalan，约生于公元 480年)的注释》，1910—1915，莱比锡出版)，这是标准的本子：译成现代语的常见的有三种：T．L．希思(Heath)英译注释本：The works of Archimedes with the method of Archimedes(《阿基米德全集，包括阿基米德方法》，1912，纽约出版)； P．V．埃克(Eecke)法译本： Les oeuvres complètes d'Archimède(《阿基米德全集》，1921，巴黎出版)；E．J．迪克斯特惠斯(Dijksterhuis)：Archimedes[《阿基米德全集》，原文为荷兰语，1938—1944，C．迪克舒恩．(Dikshoorn)英译本，1956，哥本哈根出版]．
　　著作的体例，深受欧几里得《几何原本》的影响，先设立若干定义和假设，再依次证明各个命题．各篇独立成章，虽然不象《原本》那样浑然一体，但所言均有根据，论证也是严格的．现按海伯格本的顺序(为希思本所沿用)列举如下：
　　1．《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)；
　　2．《圆的度量》(Measurement of a circle)；
　　3．《劈锥曲面与回转椭圆体》(On conoids and spheroids)；
　　4．《论螺线》(On spirals)；
　　5．《平面图形的平衡或其重心》(On the equilibrium of planes or the centres of gravity of planes)；
　　6．《数沙器》(The sand-reckoner)；
　　7．《抛物线图形求积法》(Quadrature of the parabola)；
　　8．《论浮体》(On floating bodies)；
　　9．《引理集》(Book of lemmas)；
　　10．《群牛问题》(The cattle-problem)．
　　以上并不是写作先后的顺序，如按时间来排，大致是：5(卷1)，7，5(卷2)，1，4，3，8，2，6．另外，在本世纪初还发现阿基米德的一封信，这信非常重要，它记录了阿基米德研究问题的独特思考方法，后来以《阿基米德方法》(The method of Archimedes，简称《方法》)的标题发表出来．

《方法》的发现及其内容

　　1906年，哥本哈根大学古典哲学教授J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(现称伊斯坦布尔)仔细观看一部擦去旧字写上新字的羊皮纸书①，旧的字迹幸好没有擦干净可以判定是10世纪时写上去的．擦掉之后，大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献保存了下来．旧的字迹隐约可辨，海伯格惊喜地发现这是阿基米德的著作，因为在别处见过．于是用摄影等技术使旧字迹重现，1908年再一次去进行工作，经过不懈的努力，终于使 185页的文字(除少数完全看不清者外)重见天日．其中包活《论球与圆柱》及《圆的度量》、《平面图形的平衡或其重心》的一部分．还有《论浮体》的相当一部分，过去一直认为希腊文本已失传，只有莫贝克(William of Moerbeke，约1230—1286)的拉丁文译本存下来，现在居然得到希腊文原本，虽然也还不是全部．更令人兴奋的是有一封阿基米德写给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，还是初次看到．这是本世纪数学史料的重大发现．
　　《方法》包括15个命题．一开头是写给埃拉托塞尼的信用来说明本篇的主要内容，相当于序言．下面，以命题1为例，阐明阿基米德的思想方法．为了便于了解，暂用现代的术语和符号来推导．

　　设D是抛物线弧ABC的弦AC的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．要证明的是抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3．
　　当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是：
　　抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．
　　用解析几何来分析，设抛物线方程是
　　y=ax2 (1)
　　A，C的横坐标分别是x1，x2，则AC的方程是
　　y=ax1x＋ax2x-ax1x2 (2)
　　过C点的切线CF的方程是
　　

　　延长DB交CF于E，不难证明，B是ED的中点．事实上，将D，B，
　　

　　坐标，依次是

　　由此知B是D、E中点．
　　作AF‖OY，交CF于F．延长CB交AF于K，则K是FA的中点．再取KH=KC，过AC上任意点M作MQ‖OY，交CK于P，交CF于Q，交抛物线于N．将M的横坐标x2分别代入(2)、(1)、(3)得到M，N，Q的纵坐标

ym=ax1x0+ax2x0-ax1x2，

　　于是有

　　上面推出的几个性质，有的前人已证明，有的阿基米德在别处已证明，在这里是作为已知条件来使用的．例如：1)过D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B，且B是ED中点，在欧几里得以及阿里斯泰奥斯(Aristaeus，约公元前340年)的圆锥曲线论中已证明，在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 1，2中也讨论过；2)MQ∶MN=AC∶AM是同一篇论文的命题5．
　　下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法．
　　假想各线段都是有重量的，而且重量和长度成正比．又HP是一根以K为支点的杠杆．因为MQ∶MN=HK∶KP，如果将MN放在H点，就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．这关系对于任意的M都成立．弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成，而△AFC由许多的MQ线段所组成．如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H上(以H为重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H点，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，这重心位于中线KC上，与K的距离是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面积是△ABC的4/3．
　　阿基米德特别声明以上的推导不能算是证明，只是一种直观的试探或猜测问题结论的方法．以后还要在别的地方用几何方法(通常是用归谬法)去严格证明它．
　　《方法》的中心思想，是要计算一个未知量(图形的面积、体积等)，先将它分成许许多多的微小量(如将面分成线段，将体积分成薄片等)，再用另一组微小量来和它比较．通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡．再将后一组微小量集合起来，它的总体应该是较易计算的．于是通过比较，即可求出未知量来．这实质上就是积分法的基本思想．阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了！因此，称他为近代积分学的先驱，毫不为过．当然，和积分法还有相当大的差距．表现在：1)没有说明微小量(或元素)是有限的还是无穷多，这在古希腊时代是不可能解决的问题；2)没有极限的思想，现代的积分，是一个极限值而不是一个简单的和；3)就事论事，没有形成抽象的概念及一般的法则．
　　尽管如此，阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域．本篇后面的命题都是用类似的方法取得的．
　　命题2．球体积是以此球的大圆为底、以球的半径为高的锥体体积的4倍．以球的大圆为底、球的直径为高的圆柱的体积是球体积的3/2倍．
　　这在《论球与圆柱》中是命题34及其推论．也就是刻在墓碑上的那个著名的论断．
　　此外还有旋转椭圆体体积，旋转抛物线体体积及重心，半球的重心，以及相当复杂的圆锥体与球的交截体(两种立体相交的公共部分)等问题．在今天，只有用积分法才能解决，而阿基米德独辟蹊径，创立新法，取得正确的结果，使后人惊叹不已．

各篇著作的主要内容

　　(一)《论球与圆柱》
　　这是他的得意杰作，包括许多重大成就．序言是阿基米德给多西修斯(Dositheus)的信，后者是科农的学生和朋友．阿基米德的著作，过去一向是通过科农转给亚历山大的学者的．科农去世后，改由多西修斯代办．在《抛物线图形求积法》的序言中，阿基米德已经说明了这一点：“惊悉科农去世，我十分悲痛，这不仅仅因为失去一位好友，而且失去一位令人钦佩的数学家．你是他的朋友，而且精通几何，转交论文的任务，现在请你代劳”．以后好几篇著作都是先寄给多西修斯的．
　　在《论球与圆柱》的序言中，首先指出本篇的主要内容和成就，接着给出6个定义．阿基米德在这里将“定义”说成“公理”．按其性质来说应该是定义，后来欧托基奥斯在注中说明这一点．
　　下面给5个假定，相当于公理．例如
　　1．在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中，以直线为最短．
　　2．在以相同的平面曲线为边界的曲面中，以平面的面积为最小．
　　特别重要的第5个公理，这就是后来以阿基米德的名字命名的公理：如果两条线段或两个面、两个立体不相等，就可以在两者之差的上面，加上它的本身，一次一次加上去，使得每一个预先给定的同类量都被超过．在现代分析学中常用的说法是：对于任意二正实数 a，b，必存在自然数n，使得na＞b．
　　从这些定义和公理出发，推导出上卷44个，下卷9个命题．多次使用阿基米德公理及反证法(归谬法)，如要证A=B，则证明A＞B及A＜B均导致矛盾．以下面的命题为例来说明．
　　阿基米德引用了欧几里得《几何原本》Ⅻ，2的证法(穷竭法)建立了命题6：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积C与内接正多边形的面积1之差可以任意小．不同之处是欧几里得默认了阿基米德公理，而阿基米德在本篇中是明确地作为公理提出来的．在这基础上，证明了：
　　命题14．正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积．

　　设正圆锥的底面为A，半径为r，母线为l，r与l的比例中项为 R(即R2=rl)，则此正圆锥的侧面积S=πR2．
　　以R为半径作圆B，其面积为πR2，现要证明S=B=πR2．用反证法，设S＞B．根据命题6，可作B的外切正多边形Cn(同时表示其面积，下同)与内接正边形In，使得

　　又作底面A的相同边数的外切正多边形Dn，其周长记作Pn．以Dn为底，
　　

　　Dn，Cn是相似的，其比等于对应线段平方之比，

　　由此知Cn=Ln，代入上面的不等式有

　　这是不合理的，因为圆锥侧面积S小于其外切棱锥侧面积Ln，而圆B大于其内接多边形面积In．同理可证S＜B也是不合理的，故S=B=πR2．现在常用的形式是S=πrl．
　　下面较著名的命题还有命题33．球面积等于它的大圆面积的4倍．
　　命题34．球体积等于以它的大圆为底、它的半径为高的圆锥体积的4倍．推论：以球的大圆为底、球直径为高的圆柱的体积与表面积分别是球的体积与表面积的3/2．这命题在《方法》中已提出，此处用反证法加以证明．
　　命题35—44研究了球缺、球冠及球心角体(球扇形)的表面积及体积．
　　下卷9个命题主要讨论球缺，好几个是作图题．命题2给出球缺的体积．命题4在历史上占有特殊的地位．它要求用平面将一个球截成两部分，使这两部分体积之比等于给定的比．
　　设球半径为r，所分成的两个球缺的高各为h及2r-h，公共底的半

　　可改写为
　　

　　记x=2r-h，a=3r，又将右端的常数写成bc2，上式简写成x2(a-x)=bc2．
　　此问题的解相当于用几何方法去解这个3次方程．阿基米德说他将在后面给出分析与综合的解法，但现存本未见，大概已失传．后来欧托基奥斯(5世纪时)找到一些残页，是用多利安方言(阿基米德惯用的方言)写的手稿，上有这问题的解法，他认为是属于阿基米德的．解法的要点是求两条圆锥曲线的交点．一条是抛物线

　　另一条是双曲线(a-x)y=ab．残页还讨论了方程可解的条件，这

时，还比较了狄俄尼索多罗(Dionysodo-rus，公元前3世纪—公元前2世纪，居住在小亚细亚地区)以及狄俄克利斯(Diocles，约公元前190年)对此问题的解法．
　　(二)《圆的度量》，其中只有3个命题．
　　命题1．圆的面积等于一个以其周长及半径作两个直角边的直角三角形的面积．
　　更简单的说法是：圆面积等于半径乘半周长．这正是中国《九章算术》的说法：“半周长半径相乘得积步”．或刘徽(公元263年)注的说法：“半周乘半径为圆幂”．
　　但在古希腊，自从毕达哥拉斯学派发现不可公度量以后，每一条线段是否都有长度就成了问题．因此在几何学家的著作中，极力避免两条线段长相乘的说法，宁愿说成由两线段构成的矩形或三角形的面积．

　　证明仍用穷竭法．圆半径为r，周长为C，面积为S．以C，r为两直角边作直角三角形，设面积为K．现证明S=K．用反证法，假定S＞K，作边数足够多的内接正多边形In，使其面积In与圆面积S之差

S-In＜S-K，

　　于是有

In＞K．

　　这是不合理的，因为In的边心距d＜r，而In的周长小于C，故In应＜K．同理作外切正多边形，可证S＜K也导致矛盾，从而有S=K．
　　命题2．圆面积与外切正方形面积之比为11∶14．
　　

命题应该放在命题3的后面，也许是后人抄错了或阿基米德别有用意．
　　

　　这就是有名的阿基米德圆周率的出处．欧几里得在《原本》中讨论了很多圆的性质，但却完全没有提到圆周率的值及圆面积、圆周长的计算法．阿基米德弥补了这一不足，并在科学上首次创用上、下界来确定一个量的近似值，还提供了误差的估计。
　　他在推导中使用了一个不等式

分数的渐近分数．它具有这样的特性，以265/153为例，在一切分母

的性质．阿基米德是怎样得到这些分数的？这引起后人的极大兴趣．仅从17世纪以来，就至少有十几种不同的推测．较多的意见认为是利用了不等式

　　左右各平方，便可证其成立．试推演如下：

　　取右端

　　于是有　

　　本命题主要的推导思想如下：设O是圆心，OA是半径，作

∠AOB=30°，

　　过A作切线AB交OB于B．则

　　两式左右相加得

　　作∠AOB的平分线OC，则
　　

　　左端分母与右端分子交换，再由前面的不等式，有

　　或

　　由上面的不等式立刻推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径比值的上界．同样，计算内接正多边形的边长，可以确定比值的下界．再利用比例关系及勾股定理，重复上述手续，一直算到96边形，最后得到

一切分母不大于71的分数中它是最接近π的．比它更接近π的分数有

①①见梁宗巨，祖冲之密率的优越性，《辽宁师范大学学报》增刊(数学史专辑)，1986，p．6．

　　分母都大于71，除了最后一个外，都不是连分数的渐近分数．
　　(三)《劈锥曲面与回转椭圆体》
　　共32个命题，研究椭圆的面积以及回转圆锥曲线体被平面截取部分的体积等．证明的方法是穷竭法，十分接近今天的积分法思想．当时还没有“抛物线”(parabola)等名称，早期的希腊数学家如门奈赫莫斯(Menaechmus，公元前4世纪)，用平面去截三种不同的直圆锥面，产生三种圆锥曲线．令平面与直圆锥的母线垂直，当圆锥的顶角(母线所张的最大角度)是直角时，截口叫做“直角圆锥截线”(section of a right-angled cone)，现在叫抛物线；当顶角是锐角时，叫“锐角圆锥截线”(section of an acute-angledcone)，现叫椭圆；当顶角是钝角时，叫“钝角圆锥截线”(section ofan obtuse-angled cone)，现叫双曲线．欧几里得和阿基米德一直沿用这些旧名称，为简单起见，改用今名．
　　本篇一开头先给出两个引理，以备后面证明之用．第1个是等差数列求和公式，写成不等式

2(a＋2a＋3a+…+na)＞n2a

＞2[a＋2a＋3a＋…+(n-1)a]．

　　如用求和公式，左端是n(n+1)a，右端是(n-1)na，不等式成立是明显的．
　　第2个是自然数平方和公式，先证明
　　(n＋1)(na)2+a(a＋2a＋3a＋…+na)
　 =3[a2+(2a)2+(3a)2+…+(na)2]，
　　由此可知
　　a2＋(2a)2+(3a)2+…＋(na)2
　

　　写成不等式

3Sn-1a2＜n3a2＜3Sna2．

　　下面以一个较简单的命题来阐明阿基米德的证题思想．为了便于理解，改用现代的术语和符号．
　　命题21．回转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部分的体积等于同底等高的圆锥体的3/2．

　　抛物线AOB(不妨设方程为y=x2)绕其轴OC回转，产生回转抛物体．求被垂直于OC的平面ACB所截取的部分的体积V．将OC用分点O，C1，C2，…，Cn-1，Cn(=C)分成n等分，过这些分点作垂直于OC的平面将所求的体积分成n个小薄片．每一个小薄片介于一个内接圆柱与一个外接圆柱之间．例如

E1H2及

A1F2回转后就产生C1，C2间的小薄片的内接与外接圆柱．又每一个外接圆柱与紧接着上面的一个内接圆柱(如

A0F1与

E1H2回转产生的圆柱)相等．

=In．这是根据前面引理得出的不等式．现证明V=V*，否则，如V＞V*，

Sn-In＜V-V*，

　　这是不合理的，因Sn＞V而In＜V*．同理可证V＜V*也导致矛盾，故

　　其余各命题虽然都比这复杂，但基本思路是差不多的．除了没有取极限这一步骤之外，基本思想和现代积分是一致的．
　　(四)《论螺线》
　　共28个命题，前10个是关于圆及切线的各种比例关系的．命题11重新证明了自然数平方和的不等式，这在《劈锥曲面与回转椭圆体》中是作为引理提出的：

　　接着给出螺线(现在称为“阿基米德螺线”)的定义．

　　一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线(spiral)．射线开始时的位置叫做始线(OA)，固定端点叫做原点(O)．旋转一圈所产生的螺线与始线所包围的面积叫做“第1面积”(first area)．
　　现在在解析几何中螺线的极坐标方程是r=aθ，旋转一圈后动点到达A点，OA=2πa，以OA为半径的圆叫做“第1圆”．
　　命题21以后的几个命题探讨螺线所围的面积，命题24证明了“第1面积”S等于“第1圆”面积的1/3，即

螺线的内接与外接扇形．例如第3等分的内接扇形是ON2P3，外接扇形是OM2N3．设全部外接扇形面积的总和是Cn，内接扇形面积的总和是In，则Cn＞S＞In又根据自然数平方和的不等式，并注意到弓形面积公

，有

可以任意小．
　　应用前面多次用过的反证法，可证S=S*．否则，如S＞S*，则可使

Cn-In＜S-S*，

　　这是不合理的，因外接扇形面积总和＞S，而In＜S*．同样S＜S*也是不合理的．于是得到

　　命题13—20研究了螺线的切线，给出作图方法及种种性质．没有发现阿基米德有微分法的思想(那怕是粗浅的)，那么他是怎样得到切线的作法的？这有趣而且带有关键性的问题引起后人的注意．有些学者认为是运用了运动学的原理．射线作匀角速运动，而动点在射线上作匀速运动，两个速度按平行四边形法则所得到的合速度方向就是切线方向．如果这推测正确的话，那么这就是古代属于微分法的罕见的例子．
　　(五)《平面图形的平衡或其重心》
　　分两卷，卷Ⅰ先给出7个公理，都是显而易见之理．例如1．等重的物体放在相等的距离上(各在杠杆一端，与支点等距)，则处于平衡状态；等重的物体放在不相等的距离上则不平衡，向距离远的一端倾斜．
　　2．放在一定距离上的重物处于平衡状态时，若在其中的一个重物上加一点重量，则失去平衡，要向加重量的一端倾斜．
　　5．相似图形的重心，也处在相似的位置上．
　　从这些公理出发，导出了著名的杠杆定律：
　　命题6，7．若两重物平衡，则所处的距离(与支点的距离)与重量成反比．
　　证明是分可公度量与不可公度量两种情形来讨论的．下面的8个命题找出平行四边形、三角形以及梯形的重心．
　　卷2的10个命题集中研究了抛物弓形和它的一部分的重心．方法是作一系列的内接三角形，逐步去逼近所讨论的图形．
　　(六)《数沙器》
　　这是阿基米德遗留下来的唯一的算术著作，也可能是最后的一种．那时海厄罗王已去世(公元前216年)，他的儿子吉伦(Gel-on)继承王位，阿基米德也已年逾古稀．这篇文章是递交给吉伦王的．
　　文章首先表明写作的目的，是要纠正有些人的错误观点，他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数．阿基米德指出，任何大的数都可以表示出来．
　　全文只有一个定理，实际相当于现今的指数法则

Am·An=Am+n

　　他先给出地球、月球、太阳大小的估计，进而计算沙粒的数目．
　　1．地球的周长不大于3×106个“斯达地”(stadium，复数stadia)．斯
　　

　　的周长是5.55×105公里，而实际是40000公里．
　　2．地球直径大于月球直径，太阳直径大于地球直径．
　　3．太阳直径是月球直径的30倍．(实际是400倍)
　　这些估计数字和实际出入很大，不过他自己也说只是一种假定．接着推出

“宇宙”(相当于太阳系)直径＜1010斯达地．

　　当时希腊用字母表示数字，最大的单位是“万”(10000，myri-ad)，
　　

　　表示加大10000倍．
　　阿基米德以万为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来．
　　从1起到1亿(原文是万万，myriad myriads，按中文的习惯改称为亿)叫做第1级(first order)数；以亿(108)为第2级数的单位，从亿(108)到亿亿(108)2叫第2级数；再以亿亿(108)2为单位，直到亿亿亿(108)3叫第3级数；照此类推，直到第1亿级数的最后一

　　原文全用语言来叙述，没有创设记数符号，他是否在别的地方使用了符号不得而知．为了叙述简明，这里用P表示亿亿(108)108．从1到P叫做第1周期(first period)．下面列成表：
　　第1周期
　　第1级　　　从1到108 　　第2级　　　从108到(108)2
　　

　　第2周期
　　第1级　　　从P到P·108 　　第2级　　　从P·108到P·(108)2
　　　

　　第108周期　　

+1位．
　　阿基米德算出充满宇宙的沙数不过是1051，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的大球，也只能容纳1063个沙粒，远远小于前面列出的大数．
　　现今从理论上推测，可观察到的宇宙半径约为130亿光年，假想整个充满了具有最小可能体积的粒子(如质子)，其数也不超过10125．也还不能和上述的大数相比．
　　阿基米德的记数方法还可以继续下去，他企图说明任何大的数都可以表示出来，现在目的业已达到．可惜他没有再进一步去改革整个的希腊记数制度．也许那时已进行或临近叙拉古保卫战，致使改革工作功亏一篑．
　　(七)《抛物线图形求积法》
　　在《方法》中、阿基米德利用力学原理，已经得到“抛物弓形面积是同底等高的三角形的4/3”的结论．但他认为这不算证明，在本篇中另外用完全不同于力学的几何方法去严格证明它．基本思想是穷竭法，作一系列的内接三角形去穷竭(逼近)弓形，最后用归谬法完成证明．

　　全篇24个命题，最后一个命题才是所要的结论，前面的都可以看作是引理．为了避免叙述的冗长，下面用解析几何来说明．
　　设抛物线方程为

y2=2x

　　在抛物线上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，不妨设y1＞y2．过P1P2中点M作MV‖抛物线的轴OX，交抛物线于V，V是抛物弓形P1VP2的顶点，即过V的切线‖于P1P2，ΔP1VP2与弓形同底等高(命题1与18已证)．现要证明弓形面积S是ΔP1VP2面积的4/3．
　　

　　过VP1中点M1作M1Q1‖OX交抛物线于Q1，过P2V中点M2作
　　

　　称ΔP1VP2为1级三角形，面积记作Δ1，ΔP1Q1V及ΔP2VQ2称为2
　　

　　VQ2，Q2P2之上作4个3级三角形，其面积总和为Δ3，同样可证

　　这手续可以继续下去，直到作出n级三角形，其面积的总和
　　

　　由此知

　　又
　　

　　前面的命题已证明，内接三角形的级数越多，In越大，S-In越小，同时Δn也越小，以至小于任给的正数．
　　

　　或

　　这与前面的不等式矛盾．
　　

In＞S

　　这也是不合理的，因In是内接三角形面积之和，应有In＜S．综上所述，
　　

　　(八)《论浮体》
　　这是古代第一部流体静力学著作，阿基米德因此而被尊为流体静力学的创始人．20世纪之前，本书只有莫贝克13世纪时的拉丁文译本，1906年，海伯格发现了羊皮纸上的希腊原文，但不完全．现传的本子是两种文字参照编成的．
　　卷上命题7给出著名的“阿基米德原理”：重于流体的固体，放在流体中，所减轻的重量等于排去流体的重量．这原理因和他解决王冠问题联系起来而脍炙人口．
　　卷下的10个命题相当详细地讨论了正回旋抛物体在流体中的稳定性，研究了不同的高与底的比、具有不同的比重及在流体中处于不同位置时这种立体的性态．在推理中运用了高度的计算技巧．
　　(九)《引理集》

　　只有阿拉伯文译本传下来，是15个初等几何的问题集．也许不是阿基米德的原著而是后人收集整理的，因为在文章中不止一次提到阿基米德的名字．其中提出一种被称为“皮匠刀”(shoe-maker’s knife)的图形，是三个半圆所包围的部分，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆．这图形有许多奇妙的性质，如通过两小圆的外切点C，作CP⊥大圆直径AB(三个圆的直径是重合的)交大圆于P，则“皮匠刀”AGCBPA的面积等于以CP为直径的圆面积．又可以作两个小圆，分别切于CP、大圆及一个小圆，可证这两个小圆相等．设HE是‖于AB的一个小圆的直径，则切点F与H，A共线，F与E，B也共线．E是ΔABD的垂心，从A向DB作垂线，垂足I必落在大圆周上．又AE，HC必过切点G，等等。还有许多其他的性质．
　　命题8和3等分角问题有关．设AB是⊙O的任一弦，延长AB至C使BC等于圆的半径．联CO并延长之使交圆于E，D．求证

　　联OA，OB，只要证明∠AOE=3∠BOD即可．实际上∠AOE=∠OAC+∠OCA=∠OBA＋∠OCA=∠BOC＋2∠OCA=3∠BOD．
　　现将问题倒过来考虑．设有∠AOE，求它的三等分角．这就是古希腊的三大作图问题之一的“三等分任意角”问题．从理论上说用直尺和圆规是不可能解决的．受到本命题的启发，只要在直尺上加一个点，就能轻而易举地解决这历史难题．
　　在直尺ABC上记上一个点B，使B至尺端C的距离等于半径．现令尺通过A点，B在圆周上移动，当C落在直径的延长线EDC上时，作ABC直线，则∠C就是所求的三等分角．
　　当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法，因为工具已经改变(即使只加一点！)，而且不合作图公法．不过它说明了一个问题，有些初学者只知道三等分角是难题，但不知难在尺规的限制上，如不限于尺规、那真是易如反掌．
　　(十)《群牛问题》
　　阿基米德的论文向来是以命题的形式来表达的，而这篇的体例不同，它是用诗句写成的(原文见[7]，p．203)．标题是给埃拉托塞尼的信．胡尔奇(Hultsch)曾猜想这是阿基米德“显本领”(tour de force)之作，以此向亚历山大的学者们(特别是阿波罗尼奥斯)挑战．但它的真实性颇值得怀疑，“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已．诗句也未必出自他的手．内容如下：
　　太阳神赫利俄斯(Helios)有一大群牛在西西里岛草原上放牧．公牛和母牛各有4种颜色，各种头数之间的关系如下：令W，w分别表示白色公牛、母牛的头数；
　　X，x……………黑色……………；
　　Y，y……………黄色……………；
　　Z，z……………花色……………．
　　要求

　　个三角形．倒数第2个条件是含混的，原话是“黑色和白色的公牛可以合起来排成一个方形，长与宽是相等的”．有两种可能解释，一是长与宽的数目相等，即

W+X=n2(完全平方数)；

　　另一是方形的两个边长相等，但由于牛的身长与体宽不一样，方形两个边的数目并不相等，条件成为①①这种解释也很牵强，因为要挤成一个正方形，还需要考虑身长与体宽的比，故右端不是任意两个正整数之积mn而是kn2(k是常数)，这样问题并没有化简．

W＋X=mn．

　　后一种情形较易解决，称为“较简问题”，而前一种情形称为“完全问题”．
　　“较简问题”已由Jul．Fr．武尔姆(Wurm)解决．“完全问题”在1880年为阿姆托尔(Amthor)所解决．即使较简问题，牛的总数也已达到5916837175686头之多！而完全问题导致2元2次方程

t2-4729494u2=1．

　　最小解牛的总数是7 766×10206544，位数超过20万！当时阿基米德未必解得出来．

其他工作

　　(一)半正多面体(semi－regular polyhedron)
　　帕波斯在《数学汇编》中记述阿基米德发现了13种半正多面体．各个面是若干个不同类的正多边形，但同一类的都相等．例如12个相等的正5边形和80个相等的三角形构成一个92面体；6个正8边形，8个正6边形，12个正方形构成26面体；26面体又可以由18个正方形和8个正三角形构成．如此等等．
　　(二)三角形面积公式
　　阿拉伯数学家比鲁尼(Abū’l Raihān Muhammad al-Bīrūnī，973—1050？)记述，阿基米德发现了用边表三角形面积的公式

　　s是三角形三边a，b，c之和之半，这公式通常归功于海伦(He-ron，62年前后)，并称为海伦公式．
　　(三)正7边形作图法
　　另一个阿拉伯数学家塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，826—901)指出，阿基米德发现正7边形的作图法．自然不是尺规作图，可惜方法已失传，
　　(四)天文学方面
　　阿基米德对天文学也深有研究，但著作没有留下来．西塞罗的书记载马塞勒斯攻占叙拉古时，曾获得两座阿基米德制作的天文仪器．一座是天球仪，上刻各个星座，后放置在神庙中．另一座为加卢斯(Gain Sulpicius Gallus，公元前166年为罗马执政官)所有．可称为天象仪(planetarium)，借助机械或水力表演日、月、行星的运行，还可以演示日、月食．
　　(五)阿基米德螺旋泵
　　历史学家狄奥多罗斯(Diodorus Siculus，公元前1世纪)记载阿基米德在埃及时，发明一种螺旋水泵，被埃及人广泛使用．

结束语

　　历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理，有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前．阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体，更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来．正确地注意理论与实际的联系，常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论(如浮力问题)，再用理论去指导实际工作(如发明抗敌器械)．在严格性方面，实超过了15—17世纪的分析学家，他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接近柯西、外尔斯特拉斯的ε-δ方法(例如阿基米德公理及穷竭法的使用)．只是没有强大的生产需求和适宜的社会环境，未能进一步发展起来．
　　这位独步千古的科学家，还具有崇高的爱国热忱，在祖国危亡的紧急关头，献出了自己的一切．他的爱国精神和爱科学的精神同样为万世所景仰．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:40
毕达哥拉斯

辽宁师范大学梁宗巨

　

　　华达哥拉斯(Pythagoras) 约公元前560年生于萨摩斯岛(Samos，小亚细亚西岸)；约公元前480年卒于梅塔蓬图姆(Metapontum，今意大利半岛南部塔兰托附近)．哲学、数学、天文学、音乐理论．
　　毕达哥拉斯与中国孔子(公元前551—前479年)同时．他早年曾在锡罗斯岛(Syros，在爱琴海中)向费雷西底(Pherecydes)学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安纳西曼德(Anaximander)．以后游历埃及、巴比伦等地(一说到过更远的印度)，接受古代流传下来的天文、数学知识．回到家乡以后，开始讲学，未见成效．公元前520年左右，为了摆脱波利克拉底(Polycrates)的暴政，和母亲及唯一的一个门徒离开萨摩斯岛，移居西西里岛，最后定居在克罗托内(Crotone，意大利半岛南端)．在那里广收门徒，建立一个宗教、政治、学术合一的团体．他的讲学吸引了大量的听众，包括各个阶层的人特别是社会上层的人士．当时妇女是被禁止出席公开会议的，毕达哥拉斯打破这个界限，允许她们听讲．在热心的听众中有房主米洛(Milo)的女儿西雅娜(Theano)，绮年玉貌，后来成为他的妻子，还给他写过传记，可惜已失传．　　毕达哥拉斯将信徒们分为两等．一等是普通的听讲者，这是大多数．他们只能听讲，不能发问，更不能参加讨论，高深的知识是不向他

这就是欧洲文字“数学”(拉丁文mathematica、英文mathematics、德文Mathematik等等)一词的来源．
　　这个学派的组织是很严密的，带有浓厚的宗教色采．每个成员都要接受长期的训练和考核，遵守很多清规戒律，宣誓永不泄露学派的秘密和学说，在学术上要达到一定的水平．加入组织还要通过一系列的神秘仪式，以求达到“心灵的净化”．他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体．数学是教义的组成部分．他们不仅认为万物都包含数，而且万物都是数，宣称上帝用数来统御宇宙．这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别．
　　学派的成员有共同的哲学信仰和政治理想，训练是严格的，食物是简单的．学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从．他们起初在大希腊(Magna Graecia，今意大利南部一带)赢得很高的声誉，产生过相当大的政治影响，但却引起敌对派的忌恨．后来受到民主运动风暴的冲击，毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆，终于被暴徒杀害．在克罗托内的活动场所连续遭到破坏，许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯(Phlius，伯罗奔尼撒半岛东北部)重新建立据点，也有些人到塔兰托去，继续进行数学、哲学研究以及政治活动，直到公元前4世纪中叶．这个学派繁荣兴旺达一个世纪以上．
　　毕达哥拉斯本人没有留下什么著作，而学派内部的发明创造是秘而不宣的，外人鲜知其详．不过也有少数通过各种途径流传开来．以后组织渐渐分散，保密的教条被放弃，才出现一些公开讲述这个学派教义的著作．第一本这类的书是学派的晚期成员菲洛劳斯(Philolaus)在公元前370年左右写的，当时柏拉图等人曾看到过，现今只残留片断，其内容偏重哲学，数学的记载不多．此后许多学者开展毕达哥拉斯的研究，他的思想和学说逐渐为人们所知．　
数的理论
　

　　毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原．研究数的目的不是为了实际应用，而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理．他们对数作过深入的研究，并得到很多结果，但常常将数和迷信奇特地结合起来．他们注意到数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系．把整个学习课程分为四大部分：1．数的绝对理论——算术；2．数的应用——音乐；3．静止的量——几何；4．运动的量——天文．合起来叫做“四道”(quadrivium，四条道路，或“四艺”)，这名称一直沿用到中世纪．后来又加上文法、修辞、逻辑，合称“七艺”．中国古代有“四术”(诗、书、礼、乐)、“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之说，堪与媲美．　　毕达哥拉斯发现一根拉紧的弦弹出一个音调，比方说是do，那么

成等差数列，那么原来这三个数就叫做调和数列．这就是调和数列名称的起源．同样，取原长的3/4，弹出的音是fa．总的来说，如果两弦紧张的程度(张力)相同，长度为简单的整数比时，奏出来就是和谐悦耳的乐音．这原理对管乐(笛、箫之类)也是适用的，不过情况较为复杂，因为声波的波长并不严格地正比于管长，还和管的粗细有关．
　　根据“简单整数比”的原理，这个学派创造了一套音乐理论，1，2，3，4这头四个自然数，按4∶3，3∶2，2∶1的比构成几个主要的音调，而这四个数的和是10．于是他们认为10是一个完美的数，称之为“四数组”(tetractys)，用

来表示，作为神圣的象征，10同时成为宣誓时的誓词．后来斯皮尤西波斯(Speusippus，柏拉图的外甥，公元前347—前339年是柏拉图学园的领导人)指出10包含点、线、面、体各种类型的数：1是点，2是线，3是三角形，4是四面体．这更增加了10的神秘性．这是他们的信条“一切事物都按数来安排”的又一例证．
　　他们认为偶数是阴性的，奇数是阳性的．偶数可以分为相等的两部分，而奇数只能分成不相等的两部分．按照这个定义，1既不是奇数也不是偶数．5是第一个阴性数2与第一个阳性数3之和，所以是结婚的象征．
　　毕达哥拉斯特别厌恶17这个数，它正好在16与18之间．而16与 18是仅有的两个数(自然数)，它同时等于一个矩形(包括正方形)的面积与周长．边长是4的正方形面积与周长都是16，边长是3，6的矩形面积与周长都是18．容易证明不可能有别的自然数具有这种性质．事实上，设矩形的两边是x，y，解不定方程

　　x只可能取3，4，6，对应的y是6，4，3．xy只可能是16和18．
　　晚期的希腊学者如尼科马霍斯(Nicomachus of Gerasa)等对这一类数的神秘主义仍然很迷恋，在他的《算术入门》(Introduc-tio Arithmetica)一书中大力宣扬数的神秘性和神圣性．他虽然后于毕达哥拉斯好几个世纪，但他的思想和学说却比较全面地反映毕达哥拉斯学派的本来面目．更晚的伊安布利霍斯(Iamblichus，约250—330)也是如此，将数说得玄妙莫测，他们被后人称为新毕达哥拉斯学派．
　　在欧几里得的《几何原本》(Elements)中，卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ讲的是数论，毕达哥拉斯的理论有许多在这里得到了反映．不过完全摈弃了神秘的色彩，所有的论断都给出了严格的证明．　
完全数与亲和数
　

　　如果一个数等于除它本身以外的全部因子之和，这个数叫做完全数．例如

6=1＋2＋3，28=1＋2＋4+7＋14，

　　6，28就是完全数．完全数的发现，是毕达哥拉斯学派卓越贡献之一．尼科马霍斯给出四个完全数6，28，496，8128，并指出一般规律：若1＋2＋22+…+2n=P是素数，那么2nP就是完全数．这在欧几里得《几何原本》中已有证明(卷Ⅸ命题36)．道理很简单，因为2nP能被下列各数整除：

1，2，…，2n，P，2P，…，2n-1P．

　　除此以外，不能被任何小于它本身的数整除，而这些除数(因子)之和为

1＋2＋…+2n＋P＋2P+…+2n-1P=P＋P(2n-1)=2nP．

　　证明中用到等比数列的求和公式

1+2＋22＋…+ 2n-1=2n-1，

　　这公式曾在毕达哥拉斯学派的著作中出现．据此推测毕达哥拉斯本人可能已经知道完全数的这一性质：如果2n-1是素数，那么2n-1(2n-1)就是完全数．尼科马霍斯提到的4个完全数是6=2(22-1)，28=22(23-1)，496=24(25-1)，8128=26(27-1)．
　　2n-1类型的数，17世纪时M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾详加研究．由毕达哥拉斯开创的完全数研究，至今还有很多问题没有解决．
　　和完全数有关的还有亲和数．毕达哥拉斯发现，284这个数除它本身外的所有因子之和等于220，而220除它本身外的所有因子之和又等于284，即
　　220=1+2+4＋71+142，
　　284=1+2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110。
　　这一对数叫做亲和数，象征着友谊．当别人问及“朋友是什么”时，毕达哥拉斯回答说：“是另一个我(Alter ego)”，可用亲和数来表示．
　　两千多年之后，P．de费马(Fermat，1601—1665)才找到第二对亲和数17296和 18416．1750年，L．欧拉(Euler，1707—1783)写出62对亲和数(包括以前知道的)．现在已经知道上千对亲和数．

形数

　　毕达哥拉斯很注意形与数的结合，许多论断既是数的关系，也是形的关系．他把算术中的单位叫做“没有位置的点”，而几何中的点叫做“有位置的单位”．

　　形数(figurate num-ber)是形与数的结合物．用点子排成图1所示图形．每一个图的点数叫做三角数，第1个三角数是1，第2个三角数是1+2=3，第3个三角数是1＋2＋3=6，…，第n个三角数是

　　毕达哥拉斯大概已经知道这个公式，后来出现在尼科马霍斯的书中．同样(图 2)的点数1，4，9，16，…，n2，…叫做平方数．平方数可以看作从1起连续奇数之和，如图3所示：

1＋3+5+7＋9+11=62．

　　一般地说，作出平方数n2的图形之后，再镶上一个曲尺形

的边，点数是2n+1，就得到下一个平方数．即

n2＋(2n＋1)=(n+1)2．

　　曲尺形叫做磬折形(gnomon)，这字的原意是指一根直立的杆，观测日影的位置以定时刻，也就是日晷．后来和水平尺连起来，构成一个画直角的工具，同时也可以测日影．在中国叫做“矩”，它的用处很大，现今仍然是木工不可或缺的器具．在欧几里得《几何原本》中，磬折形的意义有所推广，它指在平行四边形的一个角上截去一个相似的平行四边形后所剩下的图形，如图4的阴影部分．后来再进一步推广．

　　类似地，可用点子排出五角数(图5)，六角数(图6)等等．

　　五角数是1，5，12，22，35，…
　　六角数是1，6，15，28，45，…
　　知道五角数(或六角数)的某一项，用镶边的办法可以得下一项．这一点从图形看得很清楚．所镶的边，仍然叫做gnomon，当然意义是推广了的．
　　这一类数列现在可归入高阶等差数列的范围．毕达哥拉斯本人及其学派开展了研究，但究竟深入到什么程度，很难确知．

勾股定理

　　传统的说法，一致认为勾股定理是毕达哥拉斯发现的，因此西方叫做毕达哥拉斯定理，这几乎是家喻户晓的．还传说他为了庆祝这伟大的胜利，宰了一头牛来祭神．这传说不大可信，因为他们的教义是极力反对以动物特别是牛作牺牲的，有的作者还肯定他们是素食主义者．
　　经过仔细的研究，现在有充分的证据表明巴比伦人在汉穆拉比(Hammurabi，约公元前1700年)时代已经知道这一定理．特别是O．诺伊格鲍尔(Neugebauer)等人1945年诠释了巴比伦泥板“普林顿322”，更肯定了这一结论．那上面列有15组“毕达哥拉斯数”(即满足x2＋y2=z2的整数)，最大的一组斜边是18541，一个直角边是12709．令人惊讶的是时间竟早了一千多年！毕达哥拉斯本人曾到过巴比伦，很可能从那里学来．不过从他们欣喜若狂的情况来看，也不排除重新发现的可能性，或者是找到了证明的方法．
　　对于勾股定理，现在至少有三种不同的理解，当然表达方式也不同：
　　1．在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．
　　这就是欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题47．注意这里讲的纯粹是几何图形之间的关系，完全不牵涉到数的问题．所谓相等，是指拼补相等，即将两个正方形剖分为若干块，可以拼凑成斜边上的大正方形．
　　2．直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积．
　　图形的面积是一个数，定理指出两个数的和等于第三个数．应注意欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算．
　　3．直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．
　　长度是数，数的平方还是数，定理讲的是数与数之间的关系．并不考虑数的平方的几何意义．
　　这三种提法的意义是不同的，第一种不妨称为“形的勾股定理”，后两种称为“数的勾股定理”．毕达哥拉斯当时怎样理解这个定理？根据他对于数的认识，似乎应该是第一种．这个学派虽然发现了不可通约量，但拒绝承认无理数是数．就拿最简单的等腰直角三角形来说，设直角边是1，如果数的勾股定理成立，斜边长度的平方应该是2，于是出现什么数的平方是2的问题．也就是要回答“斜边的长度是多少？”当他们进一步了解到任何数(他们所知道的有理数)都不是斜边的长时，必定会大惑不解．因此很难说他们已经建立了数的勾股定理．至于他们怎样发现这个定理，又怎样去证明它，后人倒作了一些合乎情理的推测．
　　这个学派曾研究过铺地砖的问题．像图7那样用等腰直角三角形来铺地是常见的．不难看出，△ABC的直角边上的两个正方形合起来正好是斜边上的正方形．受此启发，自然会推想对于非等腰的直角三角形这关系也能成立．

　　任给△ABC(图8)，各边为 a， b， c．以a＋b为边完成□CD，它由4个全等的△和C边上的□III拼成．如果将△移动一下位置，立刻看出□CD也可以由4个△和a，b上的两个□I，□II拼成图9．从而得到

□III=□I+□II．

　　毕达哥拉斯的证法也许和这个类似．

　　勾股定理大概是所有数学定理中证法最多的，有人已收集到367种之多．
　　毕达哥拉斯还发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式，也就是不定方程
　　x2+y2=z2 (1)
　　的一组解：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边，2n2＋2n＋1是斜边．满足(1)的正整数，现在叫做毕达哥拉斯数或勾股数组．上面这一组解并不是(1)的全部解，只限于斜边与一个直角边的差是1的那一种解．它很容易从前面提到的连续奇数和是平方数这一关系推出．讨论形数时已知

1＋3＋5＋…＋(2k-1)＋(2k＋1)=(k＋1)2

　　如果左端最后一个奇数恰好是某一个奇数2n＋1的平方(如25=52，49=72等)：
　　2k+1=(2n＋1)2 (2)
　　那么左端就是两个平方数k2，(2n＋1)2之和，又由(2)知k=2n2＋2n，于是有

(2n2＋2n)2+(2n+1)2=(2n2＋2n＋1)2．

　　毕达哥拉斯通过这一关系得出他的结果，是顺理成章的．
　　晚期的希腊代数学家丢番图(Diophantus)虽然已经知道(1)的一般解法，但未明显地表述出来．直到7世纪初，(1)的完整解答2mn，m2-n2，m2+n2(m＞n)才由印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)明确地给出．

正多面体

　　这个学派在几何方面还发现了5种正多面体．关于这一点，有几种不同的说法，一种说毕达哥拉斯本人原先只知道4种：四面体、六面体、八面体、二十面体．另一方面，他主张一切物质都由土、水、气、火四大元素构成．土是固体、水是液体、气是气体、火是比气体更稀薄的东西．他把这四大元素和四种正多面体联系起来，说土生于正六面体，水生于正二十面体，气生于正八面体，火生于正四面体．后来发现还有正十二面体，但没有第五种元素，只好同整个宇宙对应．
　　另一种意见认为毕达哥拉斯早就知道正十二面体，还有正四面体和正六面体．理由是正十二面体的每一个面都是正五边形，而这个学派对正五边形的作图法深有所知，并且用五角星来作他们秘密组织的徽章或联络的标志，称之为“健康”．有一则故事说这个组织的一个成员流落异乡，贫病交迫，无力酬谢房主的款待，临终前要求房主在门前画一个五角星．若干年后，有同派的人看到这个标志，询问事情的经过，厚报房主而去．
　　1885年，在意大利帕多瓦(Padua)附近的欧加内丘陵(ColliEuganei)发现用皂石制造的正十二面体，是公元前500年以前的遗物，源出于意大利西北部的伊特拉斯坎(Etruscan)．此外，在别处也发现类似的正十二面体，不下二十六个．可以推想当时毕达哥拉斯学派的人见过这种东西，以后便作为数学研究的对象．
　　不管是正五边形或是正十二面体，都和希帕索斯(Hippasus．约公元前470年，是梅塔蓬图姆地方的人)这个人物有关．他原先是学派的成员，后来被开除或被投入大海中淹死，也有的说是船只出事沉没，因而丧生．关于原因，至少有三种传说：1．是政治问题，他违反教规，参与反贵族的民主运动；2．自夸发现了正十二面体或不可通约量；3．泄漏了这些秘密．

不可通约量

　　不可通约量或无理量的发现，也许是这个学派最重大的贡献，但却和他们的信条相抵触．他们认为万物都可以用数来表示，所谓数，就是自然数与分数．除此以外，他们不认识也不承认有别的数．无理量的发现表明有些量不能用数来表示．这对他们的信条是一个致命的打击．他们惶恐不安，妄图用保密的办法来掩盖这一事实，但实际只能是掩耳盗铃．
　　他们通过什么途径取得这一项成就？众说纷纭．归结起来，有下列这几种可能：
　　1．用辗转相截的方法求正方形的边与对角线的公度，发现公度根本不存在．
　　如图10所示，BC是正方形的一边，AC是对角线，现求两者的公度．先在 AC上截取 DC=BC，作 DE⊥AC交 AB于E，易知AD=DE=EB．AC截去DC后剩下的一段AD＜AE＜AB=BC．下一步应该在BC上截取等于AD的线段，但AB=BC，故也可以在AB上截取．截取EB=AD之后，剩下的AE，正好是以AD为边的正方形的对角线．于是情况又和开始时一样，以下的步骤只是重复上述的手续，这种重复永远不会完结．因此不可能存在公度．即AC与AB不可通约．
　　2．用同样的方法求正五边形的一边与对角线的公度，或者将一个线段分为中末比之后，求大、小两部分线段的公度，最后证明公度不存在．
　　正五边形的五条对角线构成一个五角星形，它的中心形成一个小正五边形(图11)．容易证明 AB=AD=EC，AE=DC=FG．现在求一边AB与对角线AC的公度．先在AC上截取AD=AB，剩下一小段DC＜EC=AB，下一步应该用DC或AE去截AD，AD截去AE后剩下的ED是小正五边形的一边，而FG=AE是对角线．接着应该是用ED去截AE或FG．于是又重复上述求正五边形的一边与对角线的公度的手续．而且永远这样重复下去，所以不存在公度．

　　中末比的情形与此类似，不再复述．
　　3．建立了算术(等差)中项、几何(等比)中项、调和中项的概念之后，很自然会提出“两个最小的数1，2的等比中项是什么”的问题．后来证明不存在这样的数．
　　4．用几何方法证明了勾股定理之后，他们相信“数的勾股定理”也一定成立．于是便有“单位正方形的对角线等于多少”的问题．结果出现了不可克服的矛盾．　　3和4这两个问题都是要找出一个数来，使得它的平方等于2．设

方才能是偶数，故n是偶数．令n=2k，则n2=4k2=2m2，或2k2=m2，

在一个数(分数)，它的平方等于2．
　　这个“奇偶证法”有时叫做“欧几里得证法”，实际最早见于亚里士多德(Aristotle)的著作中，后来成为欧几里得《几何原本》卷X命题117，这是后人添加上去的．许多标准的版本都将它删去，只放在附录中．　　毕达哥拉斯学派有一个教规，就是一切发明都归功于学派的领袖，而且对外保密．所以讨论他们的学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开．不过不可通约量的发现，大约是在公元前470年左右，那时毕达哥拉斯已不在世．他们讨论比率与比例，仅限于可公度的量．设一个量是公度的p倍，另一个量是公度的q倍，那么两者的比就是p∶q，

转成拉丁文ratio，rationalis．ratio除了保留“比”的意义外，还有“理由”的意思．rationalis由ratio派生出来，它的意义应该是“可比的”，但同时又有“有理(合乎情理)的”的含义．前者渐渐被人遗忘，只剩下“有理的”、“合理的”的含义．转成英文rational，法文rationnel等也都已经没有“可比的”的意思．对于不可公度(不可通约)的量，这个学派认为

拉丁文inrationalis，英文irrational．
　　6世纪时罗马人 A．卡西奥多拉斯(Cassiodorius)首先在现代的意义下使用“有理的”(rationalis)、“无理的”(inrationalis)这两个词，确实认为有一些数是合理的，有一些数是不合理的．他未必想到原来的意义是“可比的”与“不可比的”．
　　对几何量建立一般的比例论，它适用于可公度量与不可通约量，这是欧多克索斯(Eudoxus)的功劳．他的理论后来成为《几何原本》第5卷的主要内容．

天文学

　　这个学派在天文方面也有不少独特的见解，有一些是正确的，也有一些是假说或臆断．例如他们认为日、月、五星以及其他天体都呈球形，浮悬在太空中．天体的运行都沿着圆形的轨道，因为圆是最完美的平面图形，而球是最完美的立体．毕达哥拉斯原先认为地球是宇宙的中心，但他的门徒如希塞塔斯(Hicetas，叙拉古地方的人)、菲洛劳斯等人放弃了这一主张，说地球绕着“中心火”(central fire，不是太阳)旋转．在中心火的另一面，还存在一个和地球对称的“对地星”(counter earth，或译“反地球”)．而人类永远不能看见对地星与中心火，因为居住人的那一半球总是朝着相反的方向．有人以为他们已经建立了太阳中心说，这是误解．
　　他们还认为天体与地球的距离以及运行的周期等等大文数据与和谐的音乐是合拍的，换句话说，天体运动就是在演奏音乐．有的信徒还牵强附会地说这种音乐只有毕达哥拉斯能够听到，一般人是听不到的．17世纪时天文学家J．开普勒(Kepler)将这一思想大加发挥，说太空的运动是一部乐曲，它为智力思维所理解，而不为听觉所感知．有趣的是，1979年竟有人用现代电子技术将开普勒的天文数据译成音乐，弹奏出来，幻想居然变成了现实．

结语

　　毕达哥拉斯和他建立的学派是不可分割的，它是继伊奥尼亚学派之后，古希腊第二个重要的学派．它存在的时间达两个世纪之久，影响之大，远远超过前一个学派．
　　近代数学特点之一是它的高度抽象性．人类最初认识数是从具体的事物开始的，3头牛、5棵树是容易理解的，但从这些实际的事物中抽象出纯粹的数3与5，却经历了漫长的岁月．这是人类认识上的一次巨大的飞跃，这一飞跃首先应归功于毕达哥拉斯学派．他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，和实际的事物有所区别．他们将抽象的数与形结合起来，进行了一系列的探讨，使数学逐渐成为一门独立的学科．同时又给它披上一层神秘的外衣，使人莫测高深．
　　在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，一般认为是从伊奥尼亚学派开始的，但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进．他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱．
　　这个学派延续的时间很长，因此早期和晚期的思想和学说并不完全相同．他们所取得的成果，在当时的确是最先进的，然而由于保密，没有立刻在广大群众中产生应有的影响．等到局外人得知这些成果时，他们已经被别的学派超过了．不过他们的历史功绩，是不可磨灭的．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:40
泰勒斯
　

辽宁师范大学梁宗巨

　

　　泰勒斯(米利都的) (Thales of Miletus)约公元前625年生于伊奥尼亚的米利都，约公元前547年卒．自然哲学、数学、天文学．
　　泰勒斯是希腊最早的哲学学派(伊奥尼亚学派)的创始人，也是最早留名于世的数学家和天文学家．伊奥尼亚(Ionia)包括小亚细亚(今属土耳其)西岸中部和爱琴海东部诸岛．公元前1200年到前1000年间，希腊部落伊奥尼亚入迁移于此，因而得名．在那里，氏族贵族政治为商人的统治所代替．商人有强烈的活动性，为思想的自由发展创造了有利条件．希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，这大大有助于科学和哲学同宗教分离开来．米利都(Miletus)是伊奥尼亚最繁盛的都市，位于门德雷斯(Men－deres)河口，地居东西方交通的要冲，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国累积下来的经验和文化．
　　泰勒斯生于米利都，父亲艾克萨米斯(Examyes)是卡里亚(Caria)人，母亲克利奥布林(Cleobuline)有腓尼基(Phoenicia)的血统．泰勒斯的生年有两种说法，根据第欧根尼(DiogenesLaertius)记载，阿波洛多罗斯(Apollodorus，活跃于公元前140年)将泰勒斯的生年定在第35个“奥林匹亚”第一年(即公元前640年)，卒年定在58个“奥林匹亚”(公元前548—前545年)，终年78岁．年龄和生卒年不合，差错的产生可能是将39(希腊数字γθ)误写成 35(γε)，这样生年应推迟 16年，即公元前 624年左右，此说较可信，和历史重大事件对照也相符．
　　泰勒斯早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地，很快学到那里的数学和天文知识，以后从事政治和工程活动，并研究数学和天文学，晚年转向哲学．他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，获得崇高的声誉，被尊为“希腊七贤之首”．实际上七贤之中，只有他够得上是一个渊博的学者，其余的都是政治家．例如，梭伦(Solon，约公元前630—约前560年)是雅典的执政官，著名的改革家；开伦(Chilon)是斯巴达的城邦监察官；柏利安得(Periander)是科林斯的统治者等等．　
传说与轶事
　

　　泰勒斯没有留下完整的传记．历史上流传着许多关于他的铁事，从各个角度去描绘这个人物，在一定程度上反映了他的生平事迹．这些传说未必完全真实，但和他的性格是相称的．
　　(一)早年的商旅活动，使他接触各种事物，了解各地的人情风俗，开阔眼界．他用骡子运盐，某次，一头骡滑倒在溪中，盐被溶解了一部分，负担顿觉减轻，于是这头骡每过溪水就打一个滚．泰勒斯为了改变这牲畜的恶习，让它驮海绵，吸水之后，重量倍增，这头骡再也不敢故伎重演了．亚里士多德(Aristotle)提到另一则故事：泰勒斯利用各方面的知识，预见橄榄必然获得特大丰收，于是就垄断了这一地区的榨油机，事情果然不出所料．他用自定的价格出租榨油机，获得巨额财富．他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果他真的聪明的话，为什么不发财呢？他现身说法，用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难．他终于走上了探讨大自然奥秘的道路．
　　(二)柏拉图(Plato)记述另一件铁事，说泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠中，一优秀丽的色雷斯(Thrace)女仆嘲笑他说：近在足前都看不见，怎么会知道天上发生的事惰呢？——“智者干虑，必有一失”．
　　(三)梭伦的故事．普卢塔克(Plutarch)记载，梭伦到米利都去探望泰勒斯，问他为什么不结婚．泰勒斯当时没有回答．几天之后，一个陌生人来到梭伦面前，声称十天前曾去过雅典．梭伦问他有何见闻，那人说：有一个青年人的葬礼轰动了全城，因为其父是一位尊贵人物．儿子死时父亲不在家，他很久以前就出外游历去了．梭伦急切地问：“他叫什么名字？”那人说已记不清，只听说他很聪明、很正直．当惊慌失措的梭伦就要猜出死者是自己儿子的时候，泰勒斯笑着说：“这就是我不娶妻生子的原因．这种事连你那么坚强都承受不了．不过，这个消息完全是虚构的，不必介意．”
　　(四)泰勒斯言谈幽默并常含有哲理．他对于“怎样才能过着正直的生活？”的回答是：“不要做你讨厌别人做的事情．”这和中国的“己所不欲，勿施于人”(《论语·颜渊》)如出一辙．有人问：“你见过最奇怪的事情是什么？”回答：“长寿的暴君．”又“你作出一项天文学的发现，想得到些什么？”他答道：“当你告诉别人时，不说是你的发现，而说是我的发现，这就是对我的最高奖赏．” 　
预测日食
　

　　泰勒斯最脍炙人口的事迹是预报了一次日食，使战争停止．
　　根据希罗多德(Herodoti，公元前5世纪中叶)的记载，公元前612年，米底王国与两河流域下游的迦勒底人(Chaldean)联合攻占了亚述(Assyria)的首都尼尼微(Nineveh)，亚述领土被米底和迦勒底瓜分．米底占有今伊朗的大部分，准备向西扩充，遇到吕底亚王国的顽强抵抗，在哈吕斯河一带展开激战，连续5年未见胜负，生灵涂炭，横尸遍野．泰勒斯预先知道有日食，便扬言上天反对战争，某日必用日食来作警告．到了那一天，果然发生了日食，白昼顿成黑夜．正在酣战的双方士兵、将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻．
　　除了希罗多德之外，第欧根尼也记载了克森诺芬尼斯(Xeno－phanes，约公元前560—约前478年)这次日食预测的赞颂，他是当时的目击者．
　　这次战争的结束，当然还有政治、经济等方面的原因，日食只是起到促进的作用．不过由此知道泰勒斯预测了日食．历史学家还反过来根据日食的日期来印证重大的历史事件，因为即使是两千多年前，日食也是可以较准确地计算出来的．多数学者认为这次日食发生在公元前585年5月28日下午3时．
　　泰勒斯是怎样预知的？这是很重要的问题．后人作过种种猜测，一般认为是应用了迦勒底人发现的沙罗周期(Saros)．一个沙罗周期等于223个朔望月，即6585.321124日或18年零11日(如其间有5个闰年则是18年零10日)．日月运行是有周期性的，日月食也有周期．日食必发生在朔日，假如某个朔日有日食，18年11日之后也是朔日，而日月又大致回到原来的位置上，因此很有可能发生类似的现象．例如1973年6月30日有日食，1991年7月11日又有日食．不过一个周期之后，日月位置只是近似相同，所以见食地点和食象都有所改变甚至不发生日食．泰勒斯大概知道公元前603年5月18日有过日食，因而侥幸猜对．
　　有的学者认为他利用了另一种较短的周期：47个朔望月或别的什么周期．也有人持否定态度，说对一个固定地区来说，根本不存在日食周期，所有周期都是对整个地球来说的．在当时的条件下，不大可能有全球性的统计资料．故泰勒斯预测是后人穿凿附会．现姑存此说．　
测金字塔的高
　

　　泰勒斯另一项备受赞扬的业绩是他在埃及时，测定了金字塔的高度．最早的记载出自海罗尼莫斯(Hieronymus，公元前4—前3世纪)，第欧根尼援引他的话，说泰勒斯利用人的身高和影子相等时，金字塔的高也和影子相等的道理，成功地测出金字塔的高．(［5］，p．129．)普利尼(Pliny，公元23—79年)也有类似的记述：泰勒斯发现怎样可以得到金字塔或者其他物体的高，他在人身和影子等长的时候去量物体的影子．普卢塔克的记载更进一步，认为是利用了相似三角形的原理．他记述尼洛克森纳斯(Niloxenus)对泰勒斯所说的话：你的其他贡献，最使他(雅赫摩斯二世)高兴的是金字塔的测量．不用许多工具，仅仅在金字塔影子的端点处树立一根杆子，借助太阳的光线，构成两个三角形，你指出塔高与杆高之比，等于两者影长之比．
　　前一种说法原理较简单，容易被人接受，因此可能性较大．但问题在于金字塔不是一根杆，它的底很大，底的中点不能到达，影长是难以直接量得的．历史上没有更详细的记载，现在只能作一些推测．如果太阳在适当的位置，影长还是可以量出来的．以最大的胡夫(Khufu)金字塔为例，原高 146.5米，底为每边长230米的正方形．四面正对着东南西北．如果太阳位于正东、正南、正西(正北是不可能的)，仰角又小于侧面与底的夹角∠OMP(约等于51°52′)，塔影就是一个等腰△AQB，影长应该是OQ=OM＋MQ，而OM等于底边长之半，现在只要量出MQ就行了．如果应用相似三角形的关系，下一步的工作是作比例计算．若避免用比例，可以等待太阳的仰角为45°时(即杆长与影长相等时)再量MQ，这时OQ就是塔高．

　　这种可能性是存在的．比方，每天正午(太阳在正南方)定时观测杆影，不难发现秋分以后影子逐渐增长，到了某一天，影长和杆长相等，这时太阳既在正南，仰角又是45°．如选择正东或正西方向，情况与此类似．总之，只要耐心观察，测度塔高不用比例就能解决．
　　如允许应用比例原理，就可以不必受时间的限制．较合理的办法是作两次观测．第一次记下杆顶影子的位置a，和塔顶影子的位置A，第二次观测时杆顶影子在b处，塔顶影子在B处．那么，AB∶ab就等于塔高与杆长的比．不管用哪一种方法，都可以说是西方测量术的滥觞，泰勒斯对相似形已有初步的认识．　
数学的贡献
　

　　泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想．命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程．它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论．这在数学史上是一次不寻常的飞跃．在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑．证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱．
　　欧德莫斯(Eudemus，约公元前335年)有资料可查的第一个科学史家，曾著《算术史》、《几何学史》、《天文学史》，可惜均已失传．普罗克洛斯(Proclus)是雅典柏拉图学园晚期的导师，公元450年左右，给欧几里得《几何原本》卷Ⅰ作评注，写了一个“几何学发展概要”，通常叫做《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)(以下简称《概要》，见［10］，pp．144—161)，或叫《欧德莫斯概要》(Eudemian summary)，因为它主要取材于欧德莫斯的《几何学史》．
　　《概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者．他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈．”
　　普罗克洛斯指出他发现的命题有：
　　(1)圆的直径将圆平分．
　　普罗克洛斯说泰勒斯第一个证明了这个命题．多数学者认为他大概只是认识了这个性质而不是确实证明了它．．在《几何原本》中，欧几里得也只是作为定义提出来(卷Ⅰ定义17：直径是通过圆心的直线，……将圆平分)．M．康托尔(Cantor)推测，可能是受到某些图形的启发．从埃及的纪念碑上常看到将圆分成若干扇形的图，这些扇形显然都是相同的．

　　(2)等腰三角形两底角相等．
　　在《几何原本》中，这是卷1命题5，也就是有名的“驴桥”．泰勒斯是用“相似”这个词来描述相等角的，说明他还未将角作为具有大小的量，而是看作有某种形状的图形．这和古代埃及人的观点一致．
　　(3)两直线相交，对顶角相等．
　　这是《几何原本》卷1命题15．
　　(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等．
　　这是《几何原本》卷Ⅰ命题26．欧德莫斯在《几何学史》中将这定理归功于泰勒斯，并说他利用这定理测出从船只到岸边的距离．具体怎样测法，数学史家作过几种猜测．T．希思(Heath)设计一种简单易行的方法，其原理实际就是“一顶军帽定河宽”：人站在岸边，将军帽戴得低一些，使得眼睛望着彼岸某一点，同时看到帽檐，这时，视线、河宽和身高构成一直角三角形．现在转过身来，同样顺着帽檐看到此岸的一点，这一点和人的距离就是河宽．如要更精确一些，可制作一个工具，站在高处测量．
　　(5)对半圆的圆周角是直角．
　　这是第欧根尼的记截，他引用潘菲拉(Pamphila)的话，说泰勒斯从埃及人那里学到了几何学，第一次在圆内作内接直角三角形，并为此宰了一头牛来庆祝．但也有人说这是毕达哥拉斯发现勾股定理时的故事．
　　如果这记载可靠，那么泰勒斯的几何学已经达到相当高的水平，应该能够掌握更多的知识，如三角形内角和等于两直角等．上述的命题看起来并不复杂，有些仅凭直观就能判断，然而泰勒斯不满足于“知其然”，还要穷究“所以然”．历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学．　
其他的成就
　

　　泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖，他第一次冲破了超自然的鬼神思想的羁绊，去揭示大自然的本来面目．他看到一切生命都依赖于水，而水无处不在，于是断言水是万物的本质．而地球像一个圆盘，漂浮在浩瀚无垠的水中．这种观点使他无法解释日月食的现象．他可能写过《航海天文学》，建议希腊的航海者按小熊星座去寻找北极，他们过去的习惯是看大熊星座．欧德莫斯说他已知按春分、夏至、秋分、冬至来划分的四季是不等长的．在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于他(见［11］，中译本p．11)．
　　泰勒斯思想的影响是巨大的．在他的带动下，人们摆脱了神的束缚，去探索宇宙的奥秘，经过数百年的努力，出现了希腊科学的繁荣．泰勒斯首创之功，不可磨灭．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:40
柏拉图

江苏教育学院周焕山

　　柏拉图(Plato) 公元前 427年生于雅典；公元前347年卒于雅典．认识论、数学哲学、数学教育．
　　柏拉图出生于雅典的显贵世家．父亲阿里斯顿(Ariston)据信是雅典历史上最后一个君主科德罗斯(Codrus)的后裔；母亲珮里克蒂妮(Perictione)的先辈可以上溯到公元前7世纪的雅典执政官德罗彼得(Dropides)，据说他是被称为七贤之一的著名政治家和诗人梭伦(Sclon)的兄弟．柏拉图有两个年纪比他大得多的哥哥：阿得曼图(Adeimantus)和格洛康(Glaucon)，还有一个姐姐波托尼(Potone)，其子斯标西波(Speusippus)后来成为柏拉图的继承人．
　　柏拉图幼年丧父，之后母亲改嫁．继父皮里兰佩(Pyrilampes)是建设民主政体的杰出政治家柏里克利(Pericles)的亲密助手，曾作为雅典使节被派往波斯等国，在国家事务中起过引人注目的作用．他的堂舅克里底亚(Critias)思想机敏，给柏拉图留下深刻的印象．在柏拉图的著作中，曾多次用颂扬的口吻满怀眷恋地提到他的继父、兄弟和其他亲属．他的著作的一些篇名如《克里底亚》等，就是以亲属的名字命名的．
　　柏拉图自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺，且体格健壮．他写过抒情诗和悲剧，也参加过摔交等激烈运动，除去家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底(Socrates)了．苏格拉底是柏拉图一家的老朋友，交往密切，所以，柏拉图很可能从小就认识苏格拉底．但是，热心追随苏格拉底则是从20岁时开始的．从此，苏格拉底成为柏拉图心目中最敬仰的导师．他在后来的著作中多次称苏格拉底是“人世间最有智慧的人”．
　　公元前404年，雅典在长达28年之久的伯罗奔尼撒战争之后被迫向斯巴达投降．柏拉图目睹了奴隶主民主政体的垮台，取而代之的是以他的堂舅克里底亚为首的史称“三十僭主”的专制政体，他的舅舅查密迪斯(Charmides)也成为“三十僭主”的成员之一．虽然这些亲戚们一上台就立即邀请柏拉图参加其行列，而且他也久怀从政的愿望，但是他没有响应．事态的发展迅速表明，“三十僭主”政体的所作所为，倒使得原先的民主政体在相比之下显得象一个黄金时代．他们滥杀无辜，任意剥夺，甚至老朋友也不放过，连正直的苏格拉底也险遭陷害．不到八个月，“三十僭主”的暴政就被推翻，克里底亚和查密迪斯也死于战乱，这一切都使柏拉图感到悲愤和失望．
　　在“三十僭主”垮台、民主派领袖恢复执政之后，尽管采取了比较温和、不施报复的政策，一些政客却指控苏格拉底犯有不敬神和蛊惑青年的罪名，并被处死．在苏格拉底受审时，柏拉图和他的哥哥阿德曼图曾去法庭聆听苏格拉底的雄辩、无畏的申辩词，并在他的早期著作《申辩》篇中记录了这件事．这一悲剧给柏拉图以极大的刺激，使得在他心中复萌的从政愿望熄灭了．随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗越来越感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，开始撰写以苏格拉底为主人公的《对话》，并从事于缔造理想国家的理论研究．
　　苏格拉底死后，柏拉图离开雅典，退避到欧几里得(Euclid)的家乡麦加拉．欧几里得是麦加拉学派的首领，他信奉苏格拉底的伦理学，“把善说成是普遍意义下的绝对本质”．黑格尔在谈到麦加拉学派时说：“他们曾经在一切观念中指出矛盾，这是他们的好辩”．柏拉图对于这种“好辩”似乎不太热心，转而对科学产生兴趣．离开麦加拉以后，他开始了长途游历．先后去过埃及、昔勒尼(Cyrene)、意大利南部和西西里等地．在昔勒尼，他在著名数学家德俄多儒(Theodorus)的指导下，特别钻研了数学．在意大利南部的塔林敦(Tarentum)，他结交了当时毕达哥拉斯学派的主要代表人物阿尔希塔斯(Archytas)．阿尔希塔斯在数学和力学上的造诣，他所维持的毕达哥拉斯学派的教育制度，都给柏拉图留下深刻的印象．在西西里岛的叙拉古，柏拉图结识了年青的狄昂(Dion，约公元前408—前354年)．狄昂是叙拉古僭主狄俄尼索(Dionysuis)的姻亲，他厌恶上层社会的奢侈淫逸的生活，虔诚地接受了柏拉图的哲学观点，成为追随柏拉图的忠实信徒．在柏拉图的第七封信札中提到过这次旅行，他说，40岁时他在意大利和西西里，那里看到的声色享乐使他惊骇不安．他还记载了对狄昂的良好的印象．
　　公元前387年，柏拉图在雅典城的东北角创办了一所好多方面颇象现代私立大学的学园(Academy)．柏拉图学园有教室、花园、饭厅、礼堂和学员宿舍，并有由柏拉图及其助手讲授的正式课程．仿效毕达哥拉斯学校的惯例，学员们吃公共伙食．学园同时也作为一个敬奉缪斯的宗教社团，以确保得到合法的承认．柏拉图自任校长，大概就住在学园的附近．
　　公元前367年春狄俄尼索去世，柏拉图的崇拜者狄昂成为首席大臣，他吁请柏拉图去叙拉古，以帮助教育他的外甥狄俄尼索二世，将他培养成一个能胜任他的职责的立宪君主．柏拉图应邀于公元前366年到达叙拉古．根据柏拉图的第七封信札，他到了那里发觉形势很复杂，一些叙拉古人认为，狄昂企图让他的外甥泡在没完没了的学习之中，以便他自己掌握实权．在柏拉图到达三个月之后，国王狄俄尼索二世怀疑起他的舅父来了，并以勾结敌国迦太基的罪名，将狄昂放逐到国外．柏拉图于次年(公元前365年)，在得到狄昂将被召回的诺言之后返回雅典．
　　公元前362年，柏拉图又应国王的邀请再次去叙拉古．据说这一次国王真正对哲学感兴趣了，按照柏拉图的第七封信札的说法，这次他同意去那里，是被狄昂的事有可能在他返回叙拉古的条件下得以解决的前景所促成的．狄昂在被放逐的那几年里一直在雅典度过，并成为柏拉图的姪儿斯标西波的朋友．然而，柏拉图的调解努力以失败告终．国王非但没有听从柏拉图的劝说，反而禁止狄昂的代理人向狄昂解送他的地产收入，柏拉图也被软禁起来，好不容易才于公元前361年逃回雅典．于是，狄昂采取步骤以实现武力返回叙拉古，并要以非礼罪惩处国王．虽然这次他恳求柏拉图的帮助，但被柏拉图以年老为由婉谢了．学园中的其他一些成员参加了这次远征．狄昂的冒险行动得到成功，国王被赶下台，并逃走了．然而在短期执政之后，狄昂被参加这次远征的一个雅典人谋杀了(公元前354年)．柏拉图的第七和第八封信札，就是在这时期写给狄昂的同党的．
　　除去上面说的第二和第三次西西里之行，柏拉图自创办学园之后的四十年，一直在雅典度过．他从事学园的管理、教学、研究和写作．除去一些早期作品外，他的大部分著作都是在雅典完成的．柏拉图逝世于公元前347年，享年八十．传说他是在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世的．　　
　　作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响．特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，在古代希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用．古希腊最大的科学家和思想家亚里士多德，曾师事柏拉图20年，被柏拉图誉为“学园的精英”；杰出的数学家欧多克索斯(Eudoxus)、门奈赫莫斯(Menaechmus)和泰特托斯(Theaetetus)等都是柏拉图的学生或同事，这决不是偶然的．
　　先说著作．除书札外，柏拉图的著作概用对话体裁．传世的有35篇《对话》和13封书札．《对话》中大多以苏格拉底为主角，常假托他的话来阐述柏拉图自己的哲学思想，行文优美，融哲学和文学为一体．关于这些著作的真伪和写作的先后，学者们的意见历来不太一致．比较公认的说法是大约20多篇对话出自柏拉图之手．其中经常为人们引用的名篇，按写作先后可大致排列为：《申辩(Apology)》，《克里托(Crito)》，《普罗塔戈拉(Protagoras)》，《高尔吉亚(Gorgias)》，《克拉底鲁(Cratylus)》，《美诺(Meno)》，《菲多(Phaedo)》，《会饮(Symposium)》，《理想国(Republic)》，《菲德罗(Phaedrus)》，《巴门尼德(Parmenides)》，《泰特托斯(Theaetetus)》，《智者(Sophist)》，《政治家(Statesman)》，《菲利布(Philebus)》，《蒂迈欧(Timaeus)》，《克里底亚(Critias)》，《法律(Laws)》等．其中《理想国》著于壮年，如日中天，包罗万方，堪称千古名作．在13封书札中，一般认为第六、七、八封是可信的．
　　柏拉图的认识论，通常被认为是客观唯心主义的．在哲学史上，是他试图论述诸如什么是知识、知识的来源、感觉与知识、理性与知识等基本问题的．因此，只有柏拉图才能称得上是认识论的真正创始人．柏拉图认识论的主要部分是理念论、回忆说、辩证法和灵魂转向说．
　　关于柏拉图构想理念论的原因，亚里士多德作过清楚的分析．柏拉图年轻时就和雅典人克拉底鲁相识．克拉底鲁信奉赫拉克利特(Heraclitus)的学说，认为凡可目睹的事物永远处于变化的状态，因而关于它们没有知识可言．柏拉图当时和以后都没有否认这一点，因此，为了继承和发展苏格拉底在道德领域内对永久不变的共相的探求，柏拉图把共相和可以感知的具体事物分离开来，使之成为独立的实在，并称之为理念(idea或form)．在他看来，具体事物是由于“分有”理念而得以存在的；当我们命名或说起这些具体事物时，我们所指的其实是同名理念．他把理念看做是可感事物的源泉，是正本；而把具体事物看做是模仿理念而成，是副本．他还设想在永恒不变的理念世界里，“善”理念具有太阳般崇高的位置，善是知识和真理的根源．并认为理念可以通过理性而不能通过感觉来认识．其实柏拉图的理念就是共相，是事物的本质属性．强调把事物的共相作为认识的起点，强调理性知识和感觉印象的区别，具有积极的一面．但是柏拉图在处理精神世界和现实世界的关系时，犯了本末倒置的错误．他的得意门生亚里士多德在《形而上学》里，对此提出了批评和纠正．亚里士多德完全否定在现实世界之外还有一个独立自存的理念世界，认为理念实际上就是共性，它只能寓于个性之中，存在于人们的抽象概念中．列宁指出：“亚里士多德对柏拉图的‘理念’的批判，是对唯心主义，即一般唯心主义的批判．”在哲学史上，黑格尔曾从哲学的辩证发展的角度，不无过誉地高度评价了师徒二人的贡献．他说：“哲学之作为科学是从柏拉图开始而由亚里士多德完成的．他们比起所有别的哲学家来，应该可以叫做人类的导师．”
　　按照柏拉图的神话般的设想，理念是不死的灵魂所固有的．但在转世出生时遗忘掉了，只有后天通过感觉和学习，通过别人的询问，才能回忆起先天固有的知识．听到别人讲的道理而能理解，并非接受了别人的知识，乃是自己原有的知识经别人的提醒得以回忆起来．这就是他在《美诺》篇中提出的回忆说．因此，他主张教育应注重诱导和启发，应通过问答式的对话引导对方进行由近及远的层层推理．在《美诺》篇中，苏格拉底就是这样从一个未受过教育的男仆嘴里，引导出一道几何题的答案．这种采用对话来推求真理的方法，即所谓“理智助产术”，有时也被他称为“辩证法”．不过当他使用“辩证法“这一术语时，含义要更加广泛些，更着重于理念的推演和对立意见的辩析，更着重于对所谓“纯粹思想”的考察．黑格尔说：“柏拉图的研究完全集中在纯粹思想里，对纯粹思想本身的考察他就叫辩证法．他的许多对话都包含这样意义的辩证法．这些纯粹思想是：‘有’与‘非有’、‘一’与‘多’、‘无限’与‘有限’．这些就是他独立地予以考察的对象，——因此这乃是一种纯逻辑的、最深奥的研究”．柏拉图在他的后期对话《巴门尼德》、《智者》和《菲利布》等篇中阐述了他的辩证法．特别是《巴门尼德》篇，被黑格尔誉为“柏拉图辩证法最著名的杰作”．这篇对话的主题是假借巴门尼德和芝诺之口说出来的辩证法．但应注意，希腊哲学家芝诺和柏拉图所说的辩证法，与马克思主义所讲的辩证法是有实质性的区别的．
　　柏拉图在他的对话中多处提到知识和意见(有时称为信念)之间的区别．他认为知识必须建立在理性的基础上，必须是真实的．而处于意见状态，则是指依据权威或仅仅出于习惯就接受的关于事实和原则的判断．由于没有把握事物之间的因果联系，意见可真可假．如果把握了事物之间的因果联系，就能用因果锁链把它们缚住，人们的认识也就由意见转变成知识．按照理念论，掌握知识的人通晓理念，并能将特殊情形和理念联系起来(虽然柏拉图未能成功地解释这种联系是怎样发生的)；而仅满足于持有意见的人，却只能在半真实的特殊事物间徘徊．
　　柏拉图在《理想国》第Ⅵ，Ⅶ两章中，通过三个有名的比喻：“日喻”、“线喻”和“洞喻”，在对认识过程进行深入分析的基础上，提出并阐释了他的“灵魂转向说”．所谓“日喻”，简言之，就是把理念世界中的善理念比作可感世界中的太阳．太阳是光的源泉，是万物生长和可感性的原因，并引发眼睛的视觉功能；而善理念是真理的源泉，是真实存在(理念)的可知性的原因，并引发灵魂的认识功能．至于“线喻”，是通过将一条直线划分为四段作为比喻以分析认识过程的．他将这四个部分比喻为四种等级的心理状态：最高等级是理性，第二等级是理智，第三等级是信念，第四等级是想象．这四种心理状态是根据认识的真实性与明确性来划分的，前二者是对可知世界认识的结果，后二者是对可感世界认识的结果．这四个等级其实代表着认识过程由初级到高级的四个阶段，只是柏拉图从理念论的唯心观点出发，把前后次序倒置了．第四等级想象，代表感性认识的初级阶段．处于对可感事物外表的模糊觉察．例如，对物体投在水中的影象留下的第二手印象．第三等级信念，代表对现象界的比较明确的感性认识．例如，对于自然界和日常生活中一般事物的印象或意见．第二等级理智，其对象是理念世界中的一些孤立的理念．常常要借助于图形等的帮助，根据某些假设进行逻辑推理．例如，从事数学研究时的心理状态就处于理智等级．第一等级理性，其对象是理念世界或所谓真实存在．凭借辩证法和纯粹思维，由理念到理念，直至达到终极真理．这就是以善理念为终极目标的纯哲学研究．而“洞喻”，是以在一个洞穴内面壁而居的囚徒走向光明的过程作比喻，形象地说明了从感性认识上升到理性认识的艰难历程．
　　然后，柏拉图十分自然地通过苏格拉底之口说：“每一个人在他的灵魂内部都隐藏着一种进行学习的能力，这种能力可比喻为知识之目．但正如必须转动整个身体，眼睛才能由黑暗转向光明一样，作为整体的灵魂也必须转移方向，知识之目才能离开变化的现象世界而朝向实在世界，并逐渐学会承受实在之光，直至看到最明亮、最美好的实在，换句话说，即看到善”．这就是柏拉图的“灵魂转向说”．他认为教育就是一种使灵魂转向的艺术，要研究用什么方式可使这种转向最易行、最有效．教育的目的不在于移植视力，因为灵魂本身已经有视力，而在于促使灵魂转移方向，转向该看的方向，让视力发挥作用．“转向说”不提知识是灵魂所固有的，而换成学习能力是灵魂所固有的．因此教育不是简单地唤起回忆，而是要采取确当的方式，引导灵魂转向，让学习能力向着正确的方向发展．虽然柏拉图没有宣布放弃“回忆说”，但是从《美诺》篇中的“回忆说”到《理想国》中的“转向说”，不能不说是他的认识论发展中的一大进步．
　　我们从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究．柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论、特别是理念论分不开的．他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系．因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形．他在《理想国》中说，“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象．”他在另一处谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象．…，他们力求看到的是那些只有用心灵之目才能看到的实在．”
　　如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了．他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，而且把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地区分开来．柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的．在柏拉图的第七封信札里，他曾以圆为例进行分析．他说，“有四种圆：(1)被世人称为圆的某种东西；(2)圆的定义：在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的；(3)画出的一个圆，即旋转圆规所得出的圆；(4)实质性的圆，即圆的理念，它与其它圆的存在密切相关，但又不同于任何其它的圆．”柏拉图接着评论道：(1)名称是无关紧要的，它只是由习惯形成的．我们甚至可称圆为直线，并反过来称直线为圆；(2)定义其实也不具有真正的确定性，它是由名词、动词等词语组成的；(3)是画出来或旋转出来的具体的圆，这里难免掺杂其它东西：它甚至充满着和圆的本质相抵触的成分．例如，虽然数学圆和数学直线仅能相切于一个公共点，但这在画图时是无法做到的．因此，(1)，(2)，(3)都不是完善的圆，许多具体的数学圆其实介于这些不完善的圆与唯一的圆的理念之间．亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念．举例说，三角形的理念只有唯一的一个，但存在许多数学三角形，也存在相应于这些数学三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体．
　　尽管柏拉图的数学理念带有唯心主义色彩，但从客观效果来看，这一词语的内涵和我们今天所说的数学概念的内涵是基本一致的．名称、定义和相应的图形都是用以描摹数学概念的，但是它们之中的任何一个都和数学概念自身有所区别．显然，定义要比名称和图形更能刻划一个数学概念的本质特征．事实上，柏拉图对数学定义极其重视．例如对偶数、图形、直线等定义，在其著作中都作过推敲．在某些方面，他继承了毕达哥拉斯学派的传统，但也常常提出自己的异议，并在他的学园内进行讨论．例如在谈到点的定义时，柏拉图对于毕达哥拉斯的“具有位置的单子(mo-naa)”这一定义明确地表示反对．事实上，“单子”并不比“点”更容易理解．虽经反复研究，但柏拉图也没有想出更好的定义来代替它．据亚里士多德说，柏拉图认为把点作为一类事物纯属“几何虚构”，他称点是“线段之端”，有时也用“不可分之线段”这一术语来表示同一意义．亚里士多德指出，即使不可分的线段也必然还有开端，因而这样解释于事无补；而把点定义为“线段之端”，则是不科学的．我们从这一段讨论中可以看出，柏拉图学派已接近于把点判为不可定义的原始概念了．
　　柏拉图在《理想国》第六卷中论及数学假设和证明．他说：“想必你知道，研究几何、算术以及这一类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及各学科中诸如此类的东西是已知的．这就是他们的假设，他们设想这些东西是任何人都知道的，因而认为无必要就此向他们自己或别人作任何说明．他们就从这些假设出发，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他们的结论．”这段话表明，从一些公认的假设出发进行演绎证明，这在当时的学园里已经是不争的事实，而且得到柏拉图的赞许．事实上，柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺和圆规．据普鲁塔克(Plutarch)的记述，当听说欧多克索斯和阿尔希塔斯应用机械工具来解决一个与立方倍积问题有关的几何作图时，柏拉图就愤愤地予以抨击．认为这样做“只能导致几何学的堕落，剥夺它的优点，因而使它可耻地背弃纯理智的抽象对象，倒退到感性，并求助于物质．”柏拉图的这种或许有点过激的主张，对于形成欧几里得几何的公理演绎体系，不无促进作用．但其副作用也是不可否认的：由于古希腊的实验科学和机械学受到哲学家的漠视，以致长期处于相对落后的状态．柏拉图也十分重视算术，但他是将算术和实用计算区分开来的．他所说的“算术”其实是指关于整数的学问．
　　希腊数学评论家普罗克拉斯(Proclus)和历史学家 D．拉尔修(Laertius，公元3世纪)，把两类方法论归功于柏拉图．第一类是分析法，第二类是归谬法或间接法．关于第一类方法，T．L．希思(Heath)认为普罗克拉斯所指是柏拉图在《理想国》中使用的那种哲学方法，被误解为数学中的分析法．但是很可能为了强调逻辑严格性，柏拉图曾指出在分析法证明之后有加以综合的必要．至于归谬法，有人认为应归功于希波克拉底(Hippocrates)．关于这两种方法的发明权问题，至今尚无定论．
　　柏拉图在相当大的程度上继承了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点．他认为宇宙间的天体以至万事万物都是按照数学规律来设计的．依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的．只有通过数学才能领悟到世界的实质．他因此逐渐对数学产生了强烈的兴趣．他对几何学如此崇拜，以至认为创造世界的神是一个“伟大的几何学家”．他甚至具体设想宇宙之初有两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半．由这些三角形组成四种正多面体，构成四种元素的微粒．其中火微粒是正四面体，土微粒是正立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体．至于各面为正五边形的正十二面体，则是构成天上物质的精英．后来，他特地对五种正多面体的特征和作图方法作了系统的论述，因而后人就把这五种正多面体统称为柏拉图体．他认为宇宙是活的，是运动的，而且是做的圆周运动，因为圆是完善的．他还认为万物都可以用一个数目来定名，这个数目体现其所含元素的比例，等等．这一切可以说明，柏拉图的宇宙观是数学化的宇宙观．这种宇宙观是形成柏拉图的数学教育观的思想基础．现代英国著名数学家B．罗素(Russell)评论说：“在认为没有数学就不可能有真正的智慧这一点上，他是一个十足的毕达哥拉斯主义者．”
　　自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业．虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人才，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但在具体课程设计上却继承和发展了毕达哥拉斯学派的以数学为主课的方针．在《理想国》第七卷中，他系统地论述了学园的教育方针．他批评了雅典人过早地以“辩论术”培训年轻人的传统做法，认为那样做“结果是损坏了自己和整个哲学事业在世人心目中的信誉”．他主张对20岁到30岁的学员进行长达十年的以数学为中心的教育．课程包括算术、平面几何、立体几何，天文学和谐音学．其中天文学不依赖对天象的观察，而主要凭借纯粹的数和图形来研究天体运动；谐音学不是凭借经验，而主要依据数本身的性质，去思考哪些数是和谐的，哪些数是不和谐的．因此，按照毕达哥拉斯学校的惯例，这两门课也被看成是数学学科．这些课程都是为学习辩证法作准备的．待30岁以后，花五年时间专心学习以辩证法为主的哲学，35岁以后方才出任公职．不过在上述五门课程中，主要是算术和平面几何，因为其它三门学科在当时发展得还很不成熟．柏拉图曾谈到立体几何没有得到发展的具体原因，并倡导人们对它进行研究．此外，他还讨论了关于选定哪些人去研习这些功课的问题．回答是要象选择统治者那样，“必须挑选出最坚定、最勇敢、在可能范围内也最有风度的人．此外，我们还得要求他们不仅性格高贵严肃而且还要具有适合这类教育的天赋．”接着还讨论了应有哪些天赋的问题．由此可见，柏拉图学园里实施的是一种英才教育．据F．拉瑟尔说，在柏拉图以及他的继任人斯标西波主持学园的共约46年期间，数学一直在学园内占据主导地位，柏拉图的数学大纲得到充分的贯彻．从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学院的大门口刻有“不懂几何者不得入内”的铭文．如果确有其事的话，这恐怕是有史以来从知识方面规定入学条件的最早记录．
　　柏拉图为什么如此重视数学教育呢？这主要是根据他的教育目标和他的认识论学说确定的．柏拉图的教育目标是通过长期的严格训练，培养出一批精通辩证法、能凭借理性去把握永恒不变的实在(理念)、直至能把握善理念的人才．只有这样的人才有资格统治国家，只有把握了善理念的哲学家才能以善理念为模型和蓝图，来塑造人间的理想国．要实现这一目标，从认识论的角度看，其关键是要实现由第三等级信念状态到第一等级理性状态的转向．而从事数学思考的认识能力，正好处于信念和理性之间的理智状态，因此，对学员进行长期的数学教育，就成为完成这一极其重要的心灵转向的必要措施了．他在《理想国》第七卷中说：“对于那些将来要在城邦肩负重任的人们，尤其要力劝他们学习算术，且不可象常人那样浅尝即止，而必须潜心研习，直到能从纯理性上洞察数的本质．因为对他们来说，学习算术的目的不是象商贩那样为了去做买卖，而是为了它在军事上的应用，为了灵魂本身去学的，因为这是使灵魂由变化的现象世界转向真理和实在的捷径．”他接着讨论了几何，指出几何学“能帮助人们较为容易地把握善理念”．并以肯定的语气说：“因此，我的好朋友，几何学将把灵魂引向真理，将缔造哲学精神，使灵魂转向上升，而不是象现今那样可悲地转向下降．”由以上一些引语可知，柏拉图确实是把学园里的数学教育作为引导灵魂转向，培养哲学家和统治者的必经途径的．
　　柏拉图倡导多层次的数学教育．其最高层次就是在学园中推行的为培养“英才”服务的那种数学教育．第二层次是培养为“理想国”服务的各类知识分子．即所谓“要用算术来训练那些天赋聪颖的人，务必不要疏忽了这门学问．”这里的教育对象只须天赋聪颖，不必具备为选择统治者所制订的条件．第三层次是提高庶民的文化知识水平．即所谓“天性迟钝的人，倘能接受算术训练，即使无其它方面的益处，至少也可变得比以前伶俐些．”这种多层次的数学教育，在某种意义上也体现了一种因材施教的原则．柏拉图接着提出了全体居民学数学的建议：“应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何．…，经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得多．”柏拉图在这里首次提出了普及数学教育的主张，并且点出了数学教育对于提高智力的功用．柏拉图还热心于教学方法的改进．他说，不应只向人们简单地灌输一堆知识，而应当让他们学会通过表面现象看到事物的深处，看到永恒的实在，看到藏在万物后面的“善”．为了启迪思维，柏拉图善于应用“理智助产术”，通过问答式对话，引导学生的思路向深层发展．他还鼓励学生提出一些问题来让大家进行讨论．这些教学方法即使在今天也还有一定的借鉴意义．　　在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功．在公元前4世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友．他们之间经常进行讨论或交流，而柏拉图学园则成为开展数学交流活动的中心场所．他们以柏拉图为核心形成一个学派，史称柏拉图学派．其中泰特托斯(约公元前415—前369年)是雅典人，在学园早期就是柏拉图的亲密助手．在他死后不久，柏拉图写了一篇以他命名的对话《泰特托斯》用以纪念他．泰特托斯对于数学的主要贡献有二．其一是继德俄多儒证

二次以及更高次的不尽根数，并讨论了一些有关性质．欧几里得《几何原本》第十卷中的某些定理据信出自他的成果．其二是在已知的三种正多面体的构造方法之外，加上自己发现的正八面体和正二十面体的构造方法，并且证明了在五种正多面体之外不可能有其它正多面体．欧多克索斯是尼多斯人，他年轻时就慕名去雅典学园聆听柏拉图的演讲．后来又带着自己的一些学生来雅典，并很可能一起加入了柏拉图学园．他对数学的最大贡献是创立了关于比例的一个新理论，从而克服了不可公度量的发现给几何学带来的危机．《几何原本》第五卷“比例论”主要采自欧多克索斯的工作．其次是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些求积定理．虽然穷竭法起源于安蒂丰(Antiphon)，但只有到了欧多克索斯，穷竭法才真正成为一种合格的几何方法．此外他对天文学亦有重要贡献．门奈赫莫斯是欧多克索斯的学生，也是柏拉图学园中的一员．他最大的功绩是发现了圆锥曲线．他也研究过立方倍积问题，得到两种几何解法．很可能由此得到启发，导致圆锥曲线的发现．还有一些知名数学家也是属于柏拉图学派的，但关于他们的工作已无从查考．后来的大数学家欧几里得(Euclid)早年也曾在柏拉图学园里攻读过几何学．事实上，他的《几何原本》中的大部分内容都是来源于柏拉图学派数学家的研究成果．美国数学史家C．B．波耶(Boyer)评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心，…，他对数学的满腔热忱没有使他成为知名数学家，但却赢得了‘数学家的缔造者’的美称”．
　　关于柏拉图对数学之外的科学发展的影响，褒贬不一．H．尤斯纳(Usener)曾于1884年断言学园是已知的第一个科学研究机关．由此引起的争议迄今尚无定论．持反对态度的人将学园和现代的政治学院或法学院作比较，后者的方向完全是实用的．他们认为，柏拉图的本意并非进行百科全书式的科学教育，也不是为了促进科学的全面发展，学园也不是让一切科学都得以研究的场所；它只是出于智力训练的目的才选教一些学科，并作一些基础研究的，以便为哲学和制订法律服务．虽然在《蒂迈欧》篇中提供了柏拉图本人对于医学和生理学表现出浓厚的兴趣的证据，在《政治家》篇中表现了对制造工艺的关注，在《克里底亚》篇中提出了关于雅典地质的奇妙的纲要，在《法律》篇中表现了对欧多克索斯的天体学说的支持，等等．这些足以说明柏拉图对自然科学的广博知识和强烈爱好，但似乎还不足以证实学园已经成为一个科学研究机构的说法．这些争论恐怕难得有统一的时候，但人们似乎会同意当代著名数学家A．怀特海(Whitehead)的名言：“在柏拉图的宇宙设想的背后，始终闪耀着一个强烈的信念，即数学知识终将被证明是解开天地间种种联系的奥秘的钥匙．”

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:42

芝诺

江苏教育学院周焕山

　

　　芝诺(埃利亚的) (Zeno of Elea)约公元前490年生于意大利半岛南部的埃利亚；约公元前425年卒．数学、哲学．
　　芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦．他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友．关于他的生平，缺少可靠的文字记载．柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巳门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问．其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂．那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构．然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的．据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护．但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点．他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”．芝诺有一本著作《论自然》．在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世．”公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论．芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯(Simplici－us)为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证．现存的芝诺悖论至少有 8个，其中关于运动的4个悖论尤为著名．
　　一则广为流传但情节说法不一的故事说，芝诺因蓄谋反对埃利亚(另一说为叙拉古)的僭主，而被拘捕、拷打，直至处死．
　　芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉．数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史．”但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的．直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见．英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了．他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩．遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…．”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨．而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的．然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述．由于目前对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚．比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”也不是简单地把两只羊说成一只羊．在这些悖论后面有着更深层的内涵．亚里士多德的着作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的．
　　下面来考察芝诺关于运动的4个悖论．引号内的是亚里士多德的《物理学》中的原话，前面的小标题是为了便于研究加上的．
　　(1)二分说．“运动不存在．理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处．”J．伯内特(Burnet)解释说：即不可能在有限的时间内通过无限多个点．在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷．亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触．须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限．因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的．因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的．”
　　(2)阿基里斯(Achilles，荷马史诗《伊里亚特》中的善跑猛将)追龟说．“这个论点的意思是说：一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人．因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先．”伯内特解释说，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了．这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它．亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事．“区别只在于：这里加上的距离不是用二分法划分的．由这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上．而这个结论是根据和二分法同样的原理得到的——因为在这两个论证里得到的结论都是因为无论以二分法还是以非二分法取量时都达不到终结．在第二个论证里说最快的人也追不上最慢的人，这样说只是把问题说得更明白些罢了——因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法．认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的．因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的．”
　　(3)飞箭静止说．“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着．如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的．”亚里士多德接着批驳说：“他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样．”又说：“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的．”
　　现在把这3个悖论联系起来分析．诚如亚里士多德所说，阿基里斯追龟说其实可以归结为二分说．按照二分说，阿基里斯在到达乌龟的起跑点之前，必须先走过这段距离的1/2，为此，又必须先走过1/4，1/8，等等，即必须在有限的时间内通过无限多个点，因此按芝诺的理由，阿基里斯根本就动弹不了．亚里士多德克服这个困难的办法是说，“时间本身分起来也是无限的”，而在解决飞箭静止说时又说，“时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量也都不是由不可分的部分组合成的那样．”亚里士多德曾明确地论证过“在时间里确有一种不可分的东西，我们把它称之为‘现在’．”于是问题的症结在于亚里士多德所说的不可分的“现在”究竟是什么？如果用区间表示时间，所谓“现在”是长度很短的线段呢，还是长度为零的严格的数学上的点？如果是前者，那么时间就是由“现在”组成的，飞箭就是不动的了．亚里士多德的意思显然是指后者．但按照亚里士多德对二分说的分析，线段(距离)被分割为和无限数的“现在”相对应的无限数的点．又按照二分法的含义，这里的无限是可数的，那么，由可数的无限个长度为零的点组成的线段，其长度必为零，这又矛盾了．因此，芝诺悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾，亚里士多德没有能觉察到这一点，当然实际上没有能驳倒芝诺．P．汤纳利(Tannery)在1885年指出，芝诺悖论所反对的是那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的总和的概念．换句话说，芝诺并不否认运动，但是他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的．
　　芝诺的类似观点还表现在他的两个针对“多”的悖论中．其中一个见于失传的芝诺原著的如下一段残篇：
　　如果有许多事物，那就必须与实际存在的事物相符，既不多也不少．可是如果有象这样多的事物，事物(在数目上)就是有限的了．如果有许多事物，存在物(在数目上)就是无穷的．因为在各个事物之间永远有一些别的事物，而在这些事物之间又有别的事物．这样一来，存在物就是无穷的了．
　　芝诺认为存在若是“多”就会导致无穷的论证，也表达在另一个悖论里．它被辛普里西奥斯至少是部分地逐字逐句记述下来．这些记述不象阿基里斯追龟说和飞箭静止说那样经后人或多或少地修改过，虽然表达得没有那么清楚，但是却更接近于芝诺的原话．辛普里西奥斯在他的引言里说，芝诺首先论证既无“大小”又无厚度的东西是不能存在的．“因为如果这样，它加在某物之上不能使其变大，从某物减去也不能使其变小．但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因减少它而使一物减小，这就明显地看出，所增加或所减少的是零．”接着就逐字引用以下一段：
　　如果是［这样？］，它就必须每一个部分与别的部分有一定的距离．对于位于这一部分前面的那个部分也是如此．那个部分也会有大小，也会有位于其前面的部分．依此类推，永无止境．这样，它的任何一个部分都不会是最外面的边界，也不会有任何一个部分不分割为其它部分．所以，如果存在是多，那末它必然既是小的又是大的：小会小到没有大小，大会大到无穷．
　　这段引文比较费解，特别是他只逐字引用了后半部分，以证明大会大到无穷．至于证明小会小到没有大小，芝诺依据的是物体的无限可分性，由此假定出发，他容易证明随着分割的继续，各部分越来越小，以至将会小到没有止境．如果有一个最后元素，那就只能是没有大小的“无”．因此，把任意数目的这些“无”元素加在任何东西上都不会使它增大，反之从任何东西里减去它们也不会使它变小；当然，把这些“无”元素通通加起来，即使其数目有无限多个，其总和还是“无”．上述悖论和关于运动的前三个悖论的共同点，在于假定了空间、时间和物体的无限可分性，实际上还讨论了无穷小和连续性．芝诺在这里其实还援引了如下两个假设：
　　i)无限多个相等的任意小的正量的总和必然是无穷大；
　　ii)无限多个没有大小的量的总和仍然是没有大小的量．
　　其中假设ii)是芝诺反对把线段(时间、空间)看成是一个无限点集(无限多个没有大小的量的总和)的主要依据．因此解决芝诺悖论的一个关键就是证明假设ii)不成立．A．格兰巴姆(Grünbaum)于1952年详尽地讨论了这个问题．他把只含有一个点的子区间定义为退化子区间，从而得出下列结论：
　　1)有限区间(a，b)是退化子区间的连续统的并集；
　　2)每个退化子区间的长度是零；
　　3)区间(a，b)的长度是b—a；
　　4)一个区间的长度不是它的基数的函数．
　　因此，芝诺的假设ii)不能成立．事实上，将一个线段(或别的量)按二分法进行无限分割，不可能有最后元素．因为既是无限分割，它就是一个没有最后一项的永远不能完成的过程．在取极限的意义上，按结论1)，有限区间(a，b)成为不可数的无限个退化子区间的并集，这时虽然每个退化子区间(或每个点)的长度为0，但整个并集的长度不是0，而是b—a(按结论3))．这样，作为对芝诺和亚里士多德的回答，时间和距离都是作为无长度元素(点)的无穷集合的线性连续统．换言之，线段是点的无穷集合，而时间是无广延的瞬刻的无穷集合，它们都是线性连续统．这样，飞箭静止说这一悖论，原来指在任一给定的瞬刻是不动的但在由无限多瞬刻组成的连续体上却是动的，现在转换成一个新的“悖论”：由无广延的点组成的无穷集却有广延．
　　(4)运动场悖论．“第四个是关于运动场上运动物体的论点：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等”．亚里士多德接着指出：“这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间．事实上这两者是不相等的．”他的证明可用下面的图解来表示，其中A，B，C代表大小相同的物体．
　　　　A A A A　　　　　　　A A A A
　　B B B B—→　　　　　　　B B B B—→
　　　　←— C C C C 　　←—C C C C
　　AAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体．于是当第一个B到达最末一个C的同时，第一个C也达到了最末一个B．这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半．因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等．这个错误结论是从上述错误假定得出的．
　　值得指出的是，这是古代文献中第一个涉及相对运动的问题．在现存的芝诺悖论中，它是唯一的和连续统问题无关的问题．不过也有学者(例如P．汤纳利等人)认为它和连续统问题是有着某种联系的．这样，我们一共讨论了六个芝诺悖论．在古代传说中保存下来的还有另外几个据信是属于芝诺的悖论，由于内容不那么深刻，也比较容易解决，这里就不作介绍了．
　　关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的．P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切．相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响．基于同样的假设，H．赫斯(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物．他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难．芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础．另有一些学者持有完全不同的意见．B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法．
　　虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止．不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销．正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难．”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来．当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学．欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题．因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献．
　　芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人．黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”．

作者: extras 时间: 26.4.2010 19:42
数学是几千年来人类智慧的结晶，已渗透到现实生活的一切领域．在数学发展的历史长河中涌现出了许许多多的杰出人物，本书所介绍的这些数学大师就是其中最优秀的代表．他们大都是某些数学领域的奠基人或集大成者，在确定数学进程方面起了决定性的作用．他们的思想和成就体现了各自所处时代数学活动的主流．著名数学家阿贝尔曾说：“一个人如果想要在数学上有所进步，就必须向大师学习．”因此，本书所收的传记对于数学工作者、数学教师，特别是有志于数学事业的青年学生，都有重要的参考价值．

作者: styler 时间: 26.4.2010 23:11
希尔伯特和冯诺依曼绝对top级
另外中国三大数学家华罗庚，陈省身，苏步青

作者: styler 时间: 27.4.2010 19:48
回复 65# extras

是庞加莱猜想吧

作者: 令狐药师 时间: 27.4.2010 23:33
楼主的这篇帖子，提高了开元的档次。
以前有学海无涯版的，可惜撤销了。
没时间，仔细阅读，简单提一下略读后的感想：
1。楼主列出了笛卡尔，却没有列出帕斯卡；列出了希尔伯特，却没有列出外尔；列出了罗素，却没有列出哥德尔。岂不知后者皆要比前者更卓越？
2。对康托的介绍中，为何没有康托函数？
3。柯瓦列夫斯卡娅的感情经历也是很动人的，可以考虑补充上；
4。描述哈密尔顿，还有一篇精彩的文章，如下 http://www.fuyin.com/sundayschool/week029/scientist/hamlton-t.htm
5。个人观点：罗素不配与以上诸数学家同列。
最后，赠一句帕斯卡的名言给楼主：“世上所有的宗教和教派都以天赋的理性为指导，唯独基督徒受到约束，要在他之外去寻求耶稣基督留下的救赎之道 ”。于是他在那个目中无神的时代，说出这句既温暖又令人伤感的话，人的尊严的确在乎他的思想，但“人不过是一根脆弱的芦苇 ”。这个著名的比喻来自圣经《以赛亚书》。 “ 压伤的芦苇，他不折断。将残的灯火，他不吹灭 ”。在帕斯卡尔看来，没有对宇宙中至高无上的真理的敬畏和顺服，就没有尊严可言，也就无所谓道德。没有十字架上道成肉身的救恩，一根芦苇不能自己拯救自己。因此他说，唯有基督信仰才能带来这种人的尊严和地位的确据，“因为上帝不肯在其他的宗教中显出这样的标志（十字架）来 ”。

作者: 滨海新区 时间: 28.4.2010 04:32
不要把科学和宗教联系起来。
不过，以楼上一贯的水准或者说是操行而言，说出这番贱话也不足为奇。
楼上不是说要自废ID吗，被人骂的还不够啊？贱逼玩意儿。

作者: extras 时间: 28.4.2010 04:39

不要把科学和宗教联系起来。
6 u/ C6 G- S! ?. N不过，以楼上一贯的水准或者说是操行而言，说出这番贱话也不足为奇。' J, p3 I5 C% `( A/ X1 J
楼上不是 ...
- j+ X) T" X- k* d& j" j: }滨海新区发表于 28.4.2010 05:32

作者: 令狐药师 时间: 28.4.2010 11:39
因为基督也不求自己的喜悦，如经上所记：『辱骂你人的辱骂、都落在我身上。』
—— 罗马书 15：3

作者: hupengcn 时间: 28.4.2010 13:44
惭愧啊，好歹我也是数学系毕业的，现在都沦落到什么地步了，哈哈

作者: extras 时间: 29.4.2010 22:32

楼主的这篇帖子，提高了开元的档次。, \- z; @$ h7 t
以前有学海无涯版的，可惜撤销了。
. F3 b; q7 ^, {! {没时间，仔细阅读，简单提一下略读 ...
1 @8 t/ i8 T# [4 J/ L: \. l令狐药师发表于 28.4.2010 00:33

能不能少推荐些繁体字的站点啊!!

看着头疼!!

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