崇高的人格与光辉的数学成就

令狐药师

崇高的人格与光辉的数学成就——希尔伯特的数学生涯 <br /><br />摘要：本文叙述了希尔伯特的生平，列举并论述了他的数学研究成果，探 <br />讨希尔伯特对后世数学发展的巨大影响。 <br /><br />关键词：《几何基础》 公理化 哥廷根 “23个数学问题” <br /><br /><br />前 言 <br /><br />作为一个时代数学界的领袖，德国人民伟大的儿子，当大卫•希尔伯特<br />1943年在哥廷根与世长辞时，人们开始回顾他所留下的精神印记和正在<br />消失在地平线下的那个数学时代，似乎感到希尔伯特的时代比起以往和<br />以后贯穿着更完美的平衡——精通单个具体问题和形成一般抽象概念之<br />间的平衡。 <br />我们称之为希尔伯特的时代，正因为是他，希尔伯特，通过自己的工作<br />做出了巨大的贡献，开创了二十世纪初那个数学大发展的时代。而后继<br />者们所走的道路，也几乎都可以追溯到他的推动。希尔伯特是推动着一<br />个时代的数学的人，“在以后的时代里我们还没有找到可以达到与他相<br />比的崇高形象”（赫尔曼•外尔语）。 <br /><br /><br />大卫•希尔伯特对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数<br />不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理<br />学和数学基础等。当然，他在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著<br />名的几何基础和“23个数学问题”，它们贯穿整个20世纪的数学乃至现<br />在，影响之深远是我们所无法估量的。 <br />另一方面，希尔伯特的崇高人格更加为人称道的。许多在数学发展中 <br />起了相当大作用的年轻数学家，都曾在1900至1914年间侨居哥廷根，师 <br />从希尔伯特。而他的问题、观点和数学研究方法的影响更远远超过直接受 <br />他教导所鼓舞的那些人的范围。希尔波特的政治人格同样崇高，是“独一 <br />无二地没有国家和种族偏见的人”，他反对沙文主义，并且主张“科学无<br />国界”，在政治上始终站在自由和民主的一方。 <br />我们研究希尔伯特的数学思想和数学成就，以及产生这种成就的源泉， <br />就要领略他伟大的人格，追溯他的人生轨迹。 <br /><br />一、 生平与为人 <br /><br />1861年春的一天，奥托•希尔伯特和他夫人玛丽亚的遗传基因偶然地 <br />结合，孕育了一个非同寻常的天才人物；1862年1只23日下午一点钟， <br />他们的第一个孩子降生在靠近东普鲁士首府哥尼斯堡的韦洛。父母给他起 <br />了个名字叫大卫。 <br />希尔伯特和德国的国家主义几乎同时诞生。他来到人世前的几个月， <br />已故普鲁士国王的兄弟到哥尼斯堡进行了一次传统的朝拜。在那座古老的 <br />城堡里，他带上了王冠。东普鲁士首都建于公元13世纪中叶，是条顿族骑 <br />士修筑的城堡。市内有七座各具特色的大桥，横跨普累格尔河。其中有五 <br />座把河岸同河中的克亲芳福岛相连接。这些桥可不简单，哥尼期堡因此而 <br />载入了数学史：桥的配置能引出一个数学问题，牵涉著名的拓扑学基础， <br />之前的一个世纪被欧拉(Euler)所解决。哥尼斯堡大教堂在克余芳福岛，近 <br />旁是一所古老的大学，还有哥尼斯堡最伟大的居民伊曼努尔•康德 <br />(1mmanud Kant)的墓地。像哥尼斯堡所有的孩子一样，大卫的成长也深受 <br />康德言论的抚育。 <br />1880年秋天，18岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法 <br />官的父亲希望他子承父业的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时 <br />的大学，数学还设在哲学系内）．希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有 <br />多自由．意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费 <br />在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上。然而对希尔伯特来说，大学生活 <br />的更加迷人之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了． <br />许多德国学生有从一个大学到另一个大学周游的习惯，希尔伯特却不 <br />同，一直在家乡求学，正是在嘉兴的大学里，他攀上了学术界的最初几级 <br />台阶，成为大学讲师，在适当的时候升为副教授。1895年在费力克斯•克 <br />莱因的建议下，被授予哥廷根的正教授的职位，这是他的一流代数家的声 <br />誉已经建立起来了。而哥廷根由于有希尔伯特和稍后闵可夫斯基的加盟， <br />一下子成为了世界数学的中心。从这时一直到去世，希尔伯特一直在哥廷 <br />根直至1930年退休。 <br /><br />希尔伯特与三个人的关系很值得关注。 <br />一是他与克罗内克不免充满矛盾的态度。希尔伯特是康托尔的一般集 <br />合论的早期一个少数的拥护者之一。而克罗内克正是康托尔的死敌。在希 <br />尔伯特看来，克罗内克的数学就是普洛克鲁斯的梯床，这位老数学家利用 <br />自己的全市和声望，压制那些不符合自己数学思想的其它声音。克罗内克 <br />坚持定理的证明必须通过整数明显构造出来。然而另一方面。他又依赖克 <br />罗内克，因为在希尔伯特的代数时期，克罗内克的工作的重要性是毋庸讳 <br />言的。晚年的希尔伯特在这一方面的矛盾其实更加尖锐，与布劳维尔的直 <br />觉主义的论战，其实是在与克罗内克的鬼魂的论战。希尔伯特一方面同克 <br />罗内克斗争事实上又在另一方面追随他：他须沿着严格的直觉主义的路线 <br />来思考，以求保护非直觉主义的数学。 <br />另两位是阿道尔•胡尔维茨和闵可夫斯基，前者是希尔伯特的老师、 <br />朋友和前任，后者则在青年时就成为希尔伯特挚友并且成为希尔伯特前半 <br />生最忠实的数学伙伴。1902年希尔伯特和闵可夫斯基在哥廷根重新聚首， <br />这之后的十年，直至闵可夫斯基逝世，数学领域因二人的共同工作经历了 <br />一段伟大而光辉的时期。希尔伯特后来这样谈到他的朋友和他们共同工作 <br />的这段时期：“我们的科学，我们爱它超过一切，它把我们联系在一起。在 <br />我们看来，它好像鲜花盛开的花园。在花园中，有许多踏平的路径可以使 <br />我们从容的左右环顾，毫不费力的尽情享受，特别是有趣味相投的游伴在 <br />身旁。但是我们也喜欢寻求隐秘的小径。发现许多美观的新景，当我们向 <br />对方指出来，我们就更加快乐。”这也不仅证明他们基于共同的科学兴趣的 <br />友谊是如此的深厚，而且我们似乎由这几句话听到希尔伯特这位吹笛人所 <br />吹的甜蜜的芦笛声，它诱惑许多老鼠跟着他投入数学的深河（赫尔曼•外 <br />尔语）。 <br /><br />这篇文章的主旨只是想简略谈一下希尔伯特个性中的个性方面，因此 <br />笔者并不准备过多涉及他对人们生活中的态度，像社会及政治、艺术、宗 <br />教道德和规范、家庭、友谊、爱情等等方面，也更加没有必要指出在的人 <br />格光环下的某些阴影。然而不可忽略的是以上我们所谈到的他的同行和更 <br />多的环境因素。像哥廷根那样的小镇中的大学，特别是处于1914年以前美 <br />好平静的日子里，正是发展理论科学的最有利场所。教授们的崇高的科学 <br />地位，以及大学城中一切事情都和大学密切相关，这在当今的中国几乎是 <br />一种不可想象的气氛。此外，一旦一帮充满求知欲望的学生围绕着希尔伯 <br />特，不被教学杂务打扰而专门从事研究，彼此之间相互激励，又怎能不产 <br />生丰富的数学硕果。 <br />当然，这其中更加不能忽略的是希尔伯特的个人魅力。一个希尔伯特 <br />的学生回忆说：“我去听希尔伯特开的课，课程讲的是数的概念和化圆为方。 <br />他讲的内容一直钻进我的脑子里。新世界的门向我敞开了。我在他的班上 <br />听课没多久就在我年青的心里下了决心，我必须用一切方法去阅读和研究 <br />他所写的一切。……这之后几个月使我一生中最幸福的几个月，经历了我 <br />们共同分担的疑虑和失败的岁月之后，它的光辉仍抚慰着我的心灵。” <br />一个数学家对于他所处时代的推动并不直接和他科学研究工作的分量 <br />成比例。希尔伯特的数学工作博大精深，然而他的影响并不完全来自这些 <br />工作。同样是哥廷根历史上领军人物的高斯，其数学成就甚至要高过希尔 <br />伯特，但是他对同时代的人的激励却很少，不仅没有形成学派，甚至给某 <br />些年青数学家的前途带来了毁灭性的灾难。高斯与小波尔约和阿贝尔的纠 <br />葛中，高斯都未能表现出一个数学领袖应有的风范。这或许是个人的天性 <br />所决定。尽管很多的创造性的天才习惯于孤独与默默无闻，但是希尔伯特 <br />充满生活热情的天性使他选择了另一种方式。他喜欢和其他人交往，尤其 <br />是同年青科学家交往，并在交往中发展自己，也给对方带来启发。正如他 <br />从胡尔维茨那儿学到东西，在年青时不顾世俗的偏见和闵可夫斯基结成了 <br />终生的友谊。他也在环绕哥廷根的树林中长时期漫步或雨天在有顶的花园 <br />中走来走去时，把科学传授给自己的学生，至少是那些他深感兴趣的学生。 <br />他的乐观主义，他的热情，他对科学的崇高价值的不可动摇的信念以及他 <br />坚信对于简单明了的问题能够求出简单明了的答案的理性的力量，都具有 <br />不可抗拒的感染力。 <br />他憎恶假装冷淡的势利态度与游手好闲甚至玩世不恭的犬儒主义，他 <br />对人对事总是采取直截了当的态度。即使这样。在他周围总是充满快乐和 <br />欢笑。他惊人的勤奋。“天才就是勤奋”是他的座右铭。而最卓著的是他伟 <br />大的启示性力量，有时甚至使平庸的智利提高到远远超过你所期待的水平 <br />而取得惊人的成就。 <br /><br />二、 数学工作 <br /><br />希尔伯特的数学工作涉及的领域非常广泛而且成就巨大。他的工作可 <br />以清楚的分为不同的时期，每一时期他都几乎集中于一组特殊的问题，当 <br />他全神贯注于微分方程时，微分防城似乎就是一切，放弃一个题目，他就 <br />永远的离开，转向另外的题目。他就是以这样特殊的方式造就他的广博。 <br />一般的，将他的工作氛围五个主要时期： <br />1、不变式理论 （1885－1893） <br />2、代数数域理论 （1893－1898） <br />3、基础论 <br />a、几何基础（1898－1902） <br />b、一般数学基础（1922－1930） <br />4、积分方程（1902－1912） <br />5、物理学（1910－1922） <br />尽管以上前4个时期的每个时期的数学成就都足以使希尔伯特位列一 <br />流数学家，但论及对整个数学的发展真正举足轻重的还是他的公理化理论 <br />和“23个数学问题”。后者虽然不是一项严格意义上的数学成果，但它的 <br />影响却不比任何一个理论的成果影响小。 <br /><br />（一）、《几何基础》与公理化理论 <br /><br />1、《几何基础》 <br />希尔伯特在名著《几何基础》中第一次给出了自然、简明、全面、严 <br />格的公理系统，提出了形式公理法，这是公理学上的里程碑。 <br />在欧几里德的实质公理法中，所讨论的对象是在所列举的公理也是不 <br />完备的。公理系统以前早就已知的，而这些对象（指基本概念）的定义仅 <br />限于直觉描述而不是逻辑定义。因而在定理的证明过程中并非为严格的逻 <br />辑推演，往往诉诸“直观”和“经验”。 <br />希尔伯特还注意到，要研究数学的逻辑推理，要考察哪种推理过程可 <br />以实现，哪种过程不能实现，与作为前提的诸命题和作为结论的命题的具 <br />体含义无关，只与其逻辑构成形式有关，例如，由“如果A则B”与“如 <br />果B则C”可以推出“如果A则C”，这种推理是常见的、正确的和可以 <br />实现的。并且这种推理与命题A、B、C的具体含义无关。 <br />因此，希尔伯特在研究欧式几何的基础上，放弃了《几何原本》里公 <br />理系统的直观显然性，而强调逻辑结构，给出了由五组公理构成的公理系 <br />统。这便是希尔伯特《几何基础》的主要内容，也就是所谓的形式公理法。 <br />在希尔伯特的公理系统中，把“点、线、面”作为一组抽象元素，把 <br />“在…之上”，“在…中间”，“合同于…”作为一组抽象的关系，这是六个 <br />基本概念。然后把他们的基本属性用五组公理形式陈述出来，也就是说与 <br />欧式的实质公理法不同，不是把所讨论的对象作直接的定义，做明显的直 <br />觉描述。而是把它们之间的基本关系的根本性质用公理来刻画。从而把所 <br />讨论的对象整体的公理形式做“隐”的规定，所以，作为抽象元素的点、 <br />线、面和作为抽象关系的“在…之上”，“在…中间”，“合同于…”完全不 <br />必与直觉关系下的点、线、面和他们之间的关系发生任何联系。这六个基 <br />本概念，我们只知道他们是适合上述五组公理的元素和关系，换言之。这 <br />些公理就是在其中出现的概念的定义。同时公理自身就是自己的证明。应 <br />用纯粹逻辑推理来建立几何是，所需要的一切都包含在公理之中了。“ <br />当我们把这些基本概念看成某一具体领域的元素的关系时，若公理成 <br />了该领域的真命题，就称给公理系统一个解释，或者说给出公理系统的一 <br />个模型。举一例如下： <br />考虑非空的集合S＝{x, y, z,…}，S上有一抽象关系R：“在…之前”， <br />简记为“&lt;”。这里x， y， z……作为抽象的元素，“&lt;”作为抽象的关系， <br />还并未说明由什么具体含义。 <br />我们列举两条关于它们的公理： <br />1、任何元素不再自身之前，即关系“&lt;”不自反。 <br />2、如果x&lt;y，y&lt;z，则x&lt;z,，即关系“&lt;”是传递的。 <br />不难看出公理系统{1,2}是有模型的。例如，当x, y, z指的是人，而人 <br />与人之间有个年龄的大于关系，如果把“x&lt;y”解释作“x大于y”，那么 <br />公理系统{1，2}的一个解释就是：人的集合和人之间的年龄大于关系。 <br />再如，把x, y, z看成整数，则S就成了整数集Z，而把“&lt;”看成“Z <br />上的小于关系”，那么整数集Z和他们之间的小于关系就是公理系统{1,2} <br />的又一解释。 <br /><br />2、公理系统的系统特征 <br />A、 系统的无矛盾性 <br />希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理 <br />系统的协调性，即无矛盾性。也就是基于它的公理系统作逻辑演绎时不会 <br />推出互相矛盾的命题来。否则这个公理系统就不能反应“真”、“假”，因而 <br />也就没有意义了。希尔伯特认为公理系统的协调性是解决悖论问题的方法。 <br />为了给出协调性的证明，希尔伯特创立了证明论和有穷方法。这对数学思 <br />想的发展，对数理逻辑和数学基础的研究有很大的促进作用和深远的影响。 <br />以协调性为中心论题的证明论已发展成为数理逻辑的西大分之之一。 <br />B、系统的独立性 <br />在一个公理系统中，若一个公理A不能从其他公理对出，则称A对于 <br />其它公理是独立的。公理系统应该尽可能的精简。然而一条独立的公理就 <br />不能轻易删除，否则它所包含的内容不能有其它公理推出，系统也就具有 <br />缺陷。 <br />C、系统的完备性 <br />从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命 <br />题，即为公理的完备性。 <br /><br />公理化方法的出现和研究可以上溯到古希腊时期。在希尔伯特的《几 <br />何基础》问世之后，公理化方法则成为数学研究中的主要研究方法。几乎 <br />现在所有的数学分支都经历过公理法的分析和讨论。可以讲，没有希尔伯 <br />特形式公理法的数学是难以想象的。 <br /><br />（二）、希尔伯特的23个数学问题 <br /><br />在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问 <br />题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势， <br />提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称“希尔伯特问题” ，后 <br />来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻 <br />的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决， <br />有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的 <br />信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。 <br /><br />希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7 <br />到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19 <br />到第23问题属于数学分析。 <br />（1）康托的连续统基数问题。 <br />1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即 <br />著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明 <br />连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思 <br />（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能 <br />用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 <br />（2）算术公理系统的无矛盾性。 <br />欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提 <br />出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定 <br />理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明 <br />了算术公理系统的无矛盾性。 <br />（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可 <br />能的。 <br />问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限 <br />个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。 <br />（4）两点间以直线为距离最短线问题。 <br />此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条 <br />件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况 <br />下，问题获解决。 <br />（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 <br />这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是 <br />李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾 <br />（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。 <br />（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 <br />1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力 <br />学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多 <br />人有怀疑。 <br />（7）某些数的超越性的证明。 <br />需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越 <br />数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929 <br />年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证 <br />明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越 <br />数，尚无统一的方法。 <br />（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。 <br />素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann） <br />猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解 <br />决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中 <br />国数学家陈景润。 <br />（9）一般互反律在任意数域中的证明。 <br />1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以 <br />基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 <br />（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ <br />求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊 <br />数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南 <br />（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔 <br />（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。 <br />1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。 <br />尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和 <br />计算机科学有密切联系。 <br />（11）一般代数数域内的二次型论。 <br />德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。 <br />60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。 <br />（12）类域的构成问题。 <br />即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问 <br />题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。 <br />（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 <br />七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。 <br />这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联 <br />数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1， <br />x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。 <br />柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξ <br />i3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964 <br />年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。 <br />（14）某些完备函数系的有限的证明。 <br />即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K <br />［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…， <br />fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式 <br />生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959 <br />年用漂亮的反例给出了否定的解决。 <br />（15）建立代数几何学的基础。 <br />荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 <br />注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 <br />一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这 <br />四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一 <br />般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学 <br />有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。 <br />（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 <br />此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要 <br />求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y <br />是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔 <br />得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣 <br />布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑 <br />问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不 <br />超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程 <br />具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗 <br />庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年， <br />秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构， <br />从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第 <br />（16）问题提供了新的途径。 <br />（17）半正定形式的平方和表示。 <br />实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等 <br />于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。 <br />（18）用全等多面体构造空间。 <br />德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart） <br />1928年作出部分解决。 <br />（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ <br />德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基 <br />（1939）已解决。 <br />（20）研究一般边值问题。 <br />此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。 <br />（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性 <br />证明。 <br />此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒 <br />尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅 <br />（Deligne）作出了出色贡献。 <br />（22）用自守函数将解析函数单值化。 <br />此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变 <br />量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。 <br />（23）发展变分学方法的研究。 <br />这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。 <br /><br />希尔伯特认为，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命正是在于 <br />各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，但是在作为整体的数学中， <br />数学家们都在使用着相同的工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的 <br />不同部分之间，也有大量相似之处。并且希尔伯特相信，数学理论越是向 <br />前发展，它的结构就变得越加的调和一致，并且，这门科学一向相互隔绝 <br />的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它 <br />的有机的特性不会丧失，只会更清楚的呈现出来。 <br />时至今日，希尔伯特的高度预见性已经得到了验证，他向人们指出的 <br />数学方向和具体问题也被证明是极为正确的。 <br /><br />三、 希尔伯特带给我们的启发 <br /><br />希尔伯特是一个伟大的数学现象,这个现象可以用三个方面来概括： <br />1、 数学领域中基础性和革命性的成果； <br />2、 对于数学未知的关键领域的高度敏感和预见性； <br />3、 一代数学领袖的光辉、无比高尚的人格和巨大的精神感召力。 <br />是什么给了他这些呢？ <br />通过以上的探讨，我想可以从以下几个方面来阐述： <br />1、少年和青年时代生活环境的影响。哥尼斯堡是一方具有伟大文化和 <br />科学传统的沃土。伟大的先辈，古老的传统，浓重的文化与科学氛围，都 <br />对处于发展时期的希尔伯特产生着潜移默化的影响。 <br />2、一直处于像哥廷根这样的数学研究中心，长期有杰出的数学家共同 <br />工作。相互之间的交流和关怀对于产生数学硕果具有的决定性的影响。 <br />3、对朋友真挚的热情，对数学无限的热爱，对知识的不懈追求和严谨 <br />的治学态度，这些都是希尔伯特成其为希尔伯特的关键因素。 <br />4、在数学道路上对简单性和严格性的坚持和把握。应该说，公理化理 <br />论和“数学问题”都是这两个精神或者说原则的产物。 <br /><br />希尔伯特是20世纪真正意义上的数学大师，他的研究成果博大精深， <br />无论是生前还是身后，人们对他的评价都是那样高崇。 <br />由于希尔伯特的杰出贡献，德国政府授予了他“枢密顾问”的称号。 <br />在他六十八岁那年，哥尼斯堡市政会授予了他“荣誉市民”称号。 <br />希尔伯特毕生投身于数学研究。在他去世时，德国《自然》杂志发表 <br />了这样的观点：“现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源 <br />于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留 <br />下了他那显赫的名字。” <br /><br /><br />参考资料： <br />《希尔伯特》 康斯坦西•瑞德著 上海科学技术出版社（1982） <br />《公理化方法的由来,特征,作用和意义》 温学先 周金安 南都学坛 <br />（1995年第6期） <br />《大卫希尔伯特及其数学工作》 赫尔曼•外尔 <br />《数学问题》 大卫•希尔伯特 （以上两篇来自《数学史译文集》 上 <br />海科学技术出版社） <br />《数学思想史》 王树禾著 中国科学技术大学出版社

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　　希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。<br /><br />　　1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的&quot;希尔伯特23个问题&quot;。<br /><br />　　1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。<br /><br />　　1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。<br /><br />　　下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：<br /><br />　　1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 <br /><br />　　2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 <br /><br />　　1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。<br /><br />　　3． 两个等底等高四面体的体积相等问题<br /><br />　　问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。<br /><br />　　4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。<br /><br />　　《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。<br /><br />　　5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 <br /><br />　　6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 <br /><br />　　7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。 <br /><br />　　8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。<br /><br />　　9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。<br /><br />　　10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。 <br /><br />　　11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。<br /><br />　　12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。<br /><br />　　13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。<br /><br />　　14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。<br /><br />　　15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。<br /><br />　　16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。<br /><br />　　17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。<br /><br />　　18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。<br /><br />　　19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。<br /><br />　　20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。<br /><br />　　21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。<br /><br />　　22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。<br /><br />　　23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。<br /><br />　　这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。 <br /><br />

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希尔伯特<br /><br />　　希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。 <br /><br /><br />希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.G?del，1906～1978)获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。 <br /><br />

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（一）、《几何基础》与公理化理论 <br /><br />1、《几何基础》 <br />希尔伯特在名著《几何基础》中第一次给出了自然、简明、全面、严 <br />格的公理系统，提出了形式公理法，这是公理学上的里程碑。 <br />在欧几里德的实质公理法中，所讨论的对象是在所列举的公理也是不 <br />完备的。公理系统以前早就已知的，而这些对象（指基本概念）的定义仅 <br />限于直觉描述而不是逻辑定义。因而在定理的证明过程中并非为严格的逻 <br />辑推演，往往诉诸“直观”和“经验”。 <br />希尔伯特还注意到，要研究数学的逻辑推理，要考察哪种推理过程可 <br />以实现，哪种过程不能实现，与作为前提的诸命题和作为结论的命题的具 <br />体含义无关，只与其逻辑构成形式有关，例如，由“如果A则B”与“如 <br />果B则C”可以推出“如果A则C”，这种推理是常见的、正确的和可以 <br />实现的。并且这种推理与命题A、B、C的具体含义无关。 <br />因此，希尔伯特在研究欧式几何的基础上，放弃了《几何原本》里公 <br />理系统的直观显然性，而强调逻辑结构，给出了由五组公理构成的公理系 <br />统。这便是希尔伯特《几何基础》的主要内容，也就是所谓的形式公理法。 <br />在希尔伯特的公理系统中，把“点、线、面”作为一组抽象元素，把 <br />“在…之上”，“在…中间”，“合同于…”作为一组抽象的关系，这是六个 <br />基本概念。然后把他们的基本属性用五组公理形式陈述出来，也就是说与 <br />欧式的实质公理法不同，不是把所讨论的对象作直接的定义，做明显的直 <br />觉描述。而是把它们之间的基本关系的根本性质用公理来刻画。从而把所 <br />讨论的对象整体的公理形式做“隐”的规定，所以，作为抽象元素的点、 <br />线、面和作为抽象关系的“在…之上”，“在…中间”，“合同于…”完全不 <br />必与直觉关系下的点、线、面和他们之间的关系发生任何联系。这六个基 <br />本概念，我们只知道他们是适合上述五组公理的元素和关系，换言之。这 <br />些公理就是在其中出现的概念的定义。同时公理自身就是自己的证明。应 <br />用纯粹逻辑推理来建立几何是，所需要的一切都包含在公理之中了。“ <br />当我们把这些基本概念看成某一具体领域的元素的关系时，若公理成 <br />了该领域的真命题，就称给公理系统一个解释，或者说给出公理系统的一 <br />个模型。举一例如下： <br />考虑非空的集合S＝{x, y, z,…}，S上有一抽象关系R：“在…之前”， <br />简记为“&lt;”。这里x， y， z……作为抽象的元素，“&lt;”作为抽象的关系， <br />还并未说明由什么具体含义。 <br />我们列举两条关于它们的公理： <br />1、任何元素不再自身之前，即关系“&lt;”不自反。 <br />2、如果x&lt;y，y&lt;z，则x&lt;z,，即关系“&lt;”是传递的。 <br />不难看出公理系统{1,2}是有模型的。例如，当x, y, z指的是人，而人 <br />与人之间有个年龄的大于关系，如果把“x&lt;y”解释作“x大于y”，那么 <br />公理系统{1，2}的一个解释就是：人的集合和人之间的年龄大于关系。 <br />再如，把x, y, z看成整数，则S就成了整数集Z，而把“&lt;”看成“Z <br />上的小于关系”，那么整数集Z和他们之间的小于关系就是公理系统{1,2} <br />的又一解释。 <br /><br /><br />

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2、公理系统的系统特征 <br />A、 系统的无矛盾性 <br />希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理 <br />系统的协调性，即无矛盾性。也就是基于它的公理系统作逻辑演绎时不会 <br />推出互相矛盾的命题来。否则这个公理系统就不能反应“真”、“假”，因而 <br />也就没有意义了。希尔伯特认为公理系统的协调性是解决悖论问题的方法。 <br />为了给出协调性的证明，希尔伯特创立了证明论和有穷方法。这对数学思 <br />想的发展，对数理逻辑和数学基础的研究有很大的促进作用和深远的影响。 <br />以协调性为中心论题的证明论已发展成为数理逻辑的西大分之之一。 <br />B、系统的独立性 <br />在一个公理系统中，若一个公理A不能从其他公理对出，则称A对于 <br />其它公理是独立的。公理系统应该尽可能的精简。然而一条独立的公理就 <br />不能轻易删除，否则它所包含的内容不能有其它公理推出，系统也就具有 <br />缺陷。 <br />C、系统的完备性 <br />从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命 <br />题，即为公理的完备性。 <br /><br />公理化方法的出现和研究可以上溯到古希腊时期。在希尔伯特的《几 <br />何基础》问世之后，公理化方法则成为数学研究中的主要研究方法。几乎 <br />现在所有的数学分支都经历过公理法的分析和讨论。可以讲，没有希尔伯 <br />特形式公理法的数学是难以想象的。 <br /><br />（二）、希尔伯特的23个数学问题 <br /><br />在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问 <br />题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势， <br />提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称“希尔伯特问题” ，后 <br />来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻 <br />的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决， <br />有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的 <br />信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。 <br /><br />希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7 <br />到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19 <br />到第23问题属于数学分析。 <br />（1）康托的连续统基数问题。 <br />1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即 <br />著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明 <br />连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思 <br />（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能 <br />用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 <br />（2）算术公理系统的无矛盾性。 <br />欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提 <br />出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定 <br />理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明 <br />了算术公理系统的无矛盾性。 <br />（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可 <br />能的。 <br />问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限 <br />个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。 <br />（4）两点间以直线为距离最短线问题。 <br />此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条 <br />件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况 <br />下，问题获解决。 <br />（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 <br />这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是 <br />李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾 <br />（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。 <br />（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 <br />1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力 <br />学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多 <br />人有怀疑。 <br />（7）某些数的超越性的证明。 <br />需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越 <br />数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929 <br />年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证 <br />明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越 <br />数，尚无统一的方法。 <br />（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。 <br />素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann） <br />猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解 <br />决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中 <br />国数学家陈景润。 <br />（9）一般互反律在任意数域中的证明。 <br />1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以 <br />基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 <br />（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ <br />求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊 <br />数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南 <br />（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔 <br />（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。 <br />1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。 <br />尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和 <br />计算机科学有密切联系。 <br />（11）一般代数数域内的二次型论。 <br />德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。 <br />60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。 <br />（12）类域的构成问题。 <br />即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问 <br />题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。 <br />（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 <br />七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。 <br />这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联 <br />数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1， <br />x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。 <br />柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξ <br />i3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964 <br />年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。 <br />（14）某些完备函数系的有限的证明。 <br />即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K <br />［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…， <br />fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式 <br />生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959 <br />年用漂亮的反例给出了否定的解决。 <br />（15）建立代数几何学的基础。 <br />荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 <br />注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 <br />一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这 <br />四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一 <br />般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学 <br />有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。 <br />（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 <br />此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要 <br />求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y <br />是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔 <br />得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣 <br />布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑 <br />问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不 <br />超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程 <br />具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗 <br />庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年， <br />秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构， <br />从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第 <br />（16）问题提供了新的途径。 <br />（17）半正定形式的平方和表示。 <br />实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等 <br />于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。 <br />（18）用全等多面体构造空间。 <br />德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart） <br />1928年作出部分解决。 <br />（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ <br />德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基 <br />（1939）已解决。 <br />（20）研究一般边值问题。 <br />此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。 <br />（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性 <br />证明。 <br />此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒 <br />尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅 <br />（Deligne）作出了出色贡献。 <br />（22）用自守函数将解析函数单值化。 <br />此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变 <br />量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。 <br />（23）发展变分学方法的研究。 <br />这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。 <br /><br />希尔伯特认为，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命正是在于 <br />各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，但是在作为整体的数学中， <br />数学家们都在使用着相同的工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的 <br />不同部分之间，也有大量相似之处。并且希尔伯特相信，数学理论越是向 <br />前发展，它的结构就变得越加的调和一致，并且，这门科学一向相互隔绝 <br />的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它 <br />的有机的特性不会丧失，只会更清楚的呈现出来。 <br />时至今日，希尔伯特的高度预见性已经得到了验证，他向人们指出的 <br />数学方向和具体问题也被证明是极为正确的。 <br /><br />

令狐药师

三、 希尔伯特带给我们的启发 <br /><br />希尔伯特是一个伟大的数学现象,这个现象可以用三个方面来概括： <br />1、 数学领域中基础性和革命性的成果； <br />2、 对于数学未知的关键领域的高度敏感和预见性； <br />3、 一代数学领袖的光辉、无比高尚的人格和巨大的精神感召力。 <br />是什么给了他这些呢？ <br />通过以上的探讨，我想可以从以下几个方面来阐述： <br />1、少年和青年时代生活环境的影响。哥尼斯堡是一方具有伟大文化和 <br />科学传统的沃土。伟大的先辈，古老的传统，浓重的文化与科学氛围，都 <br />对处于发展时期的希尔伯特产生着潜移默化的影响。 <br />2、一直处于像哥廷根这样的数学研究中心，长期有杰出的数学家共同 <br />工作。相互之间的交流和关怀对于产生数学硕果具有的决定性的影响。 <br />3、对朋友真挚的热情，对数学无限的热爱，对知识的不懈追求和严谨 <br />的治学态度，这些都是希尔伯特成其为希尔伯特的关键因素。 <br />4、在数学道路上对简单性和严格性的坚持和把握。应该说，公理化理 <br />论和“数学问题”都是这两个精神或者说原则的产物。 <br /><br />希尔伯特是20世纪真正意义上的数学大师，他的研究成果博大精深， <br />无论是生前还是身后，人们对他的评价都是那样高崇。 <br />由于希尔伯特的杰出贡献，德国政府授予了他“枢密顾问”的称号。 <br />在他六十八岁那年，哥尼斯堡市政会授予了他“荣誉市民”称号。 <br />希尔伯特毕生投身于数学研究。在他去世时，德国《自然》杂志发表 <br />了这样的观点：“现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源 <br />于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留 <br />下了他那显赫的名字。” <br /><br /><br />参考资料： <br />《希尔伯特》 康斯坦西•瑞德著 上海科学技术出版社（1982） <br />《公理化方法的由来,特征,作用和意义》 温学先 周金安 南都学坛 <br />（1995年第6期） <br />《大卫希尔伯特及其数学工作》 赫尔曼•外尔 <br />《数学问题》 大卫•希尔伯特 （以上两篇来自《数学史译文集》 上 <br />海科学技术出版社） <br />《数学思想史》 王树禾著 中国科学技术大学出版社 <br /><br />

令狐药师

理性看待数学问题——希尔伯特<br /><br /><br />　　大卫·希尔伯特（David·Hilbert，1862～1943）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。<br /><br />　　在哲学光辉下成长的数学大师<br /><br />　　希尔伯特出生在东普鲁士的柯尼斯堡城郊外。他的童年和青年都是在柯尼斯堡度过的。柯尼斯堡是德国著名哲学家康德的故乡和工作、执教过的地方，具有浓郁的理性主义传统。像该市所有的孩子一样，希尔伯特的成长也深受康德传统的抚育。希尔伯特的母亲爱好哲学。每年康德诞辰纪念日，希尔伯特都要陪伴母亲去教堂瞻仰康德的半身塑像，一字一句地拼读圣堂墙上康德的格言：“世界上最奇妙的是我头上的灿烂星空和我内心的道德准则。”理性地探索奇妙的灿烂星空便成了希尔伯特的终生愿望。<br /><br />　　18岁时，希尔伯特进入柯尼斯堡大学攻读数学。他在大学学习数学的同时，也学习康德哲学。1884年他博士论文答辩的第二个论题就是“论康德哲学”。他对康德哲学的准确理解，对其合理性和局限性的深刻分析，博得了评委们的一致好评。他一生中多次表明，康德哲学思想渗透到他的数学研究活动之中。23岁时，希尔伯特获得了博士学位。大学毕业后他曾赴莱比锡、巴黎等地作短期游学，访问了众多的著名数学家。1886年获柯尼斯堡大学讲师资格，1892年任副教授，1893年任正教授。1895年转任格丁根大学数学教授，直至1930年退休。<br /><br />　　希尔伯特是20世纪的数学大师，研究成果博大精深，领域涉及代数不变量、代数数域、几何基础、变分法与积分方程和数学基础等，享有很高的学术声誉。1910年，他荣获匈牙利科学院第二届波尔约奖，1902年起一直任有影响的德国《数学年刊》主编。他还是许多国家科学院的荣誉院士。<br /><br />　　由于希尔伯特的杰出贡献，德国政府授予了他“枢密顾问”的称号。在他六十八岁那年，柯尼斯堡市政会授予了他“荣誉市民”称号。<br /><br />　　希尔伯特毕生投身与数学研究。在他去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。<br /><br />　　理性的洞察力<br /><br />　　希尔伯特的一生都充满了理性的精神。在柯尼斯堡市政会授予他“荣誉市民”称号的仪式上，希尔伯特作了“认识自然和逻辑”的著名演说。他从宣布“认识自然和生命是我们的最高任务”的论题开始，论及到自然客体、经验事实、逻辑思维、理论表述在人类认识自然中的地位和作用，人类认识自然的途径、机制和法则，以及数学在认识自然中的地位。希尔伯特的演说，充满着哲理，闪烁着理性地看待自然的光辉，引人入胜，感染着众多的听众。<br /><br />　　希尔伯特在数学研究中的理性精神，充分表现在他对“数学问题”在数学研究活动中的作用和地位的认识上。历史上众多的数学家整天忙于解决数学问题，但常常对数学问题本身的认识论问题缺乏反思。1888年希尔伯特成功地解决了代数不变量中的“哥尔丹问题”，1898年又成功地解决了变分法中的“狄利克雷原理问题”。这两个问题都是当时著名的数学难题，它们的解决对数学这两个分支领域的发展起了积极的作用。希尔伯特切身地体验到：重大的个别问题是数学的活的血液；单个重大问题的解决，其意义远远超出了问题的本身。接着，他对数学问题的一般认识论意义进行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二届国际数学家大会上作了“数学问题”的演说。在这篇著名的演说中，他论述了“数学问题对数学发展的推动作用”，论述了“数学问题产生的源泉”，论述了“解答数学问题的一般要求和途径”等认识论和方法论问题。接着，他在总结19世纪数学研究成果和发展趋势的基础上，在世纪之交向全世界的数学家们提出了“二十三个数学问题”，他认为这些问题可能是20世纪数学领域中最活跃、最关键、最有影响的课题。20世纪以来数学发展的历史表明，这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，引起了数学界持久的关注，对20世纪数学发展的确起了重要的指导作用。不管哪位数学家，若能解决其中一个问题，就能在数学家共同体内获得一个荣誉地位。<br /><br />　　挽救数学危机<br /><br />　　希尔伯特在数学研究中的理性精神，还充分表现在他关于数学基础研究中“形式主义数学哲学思想”的创立。<br /><br />　　19世纪80年代，数学家创立了集合论，并将整个数学建立在集合论的基础之上。但是，当人们试图证明集合论的相容性时，发现集合论中存在着悖论，也就是说集合论是自相矛盾的。于是数学基础陷入了深深的危机。<br /><br />　　面对这种危机，希尔伯特理性地认识到：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。”“在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”<br /><br />　　当这种危机来临时，一些数学家甚至是著名的数学家放弃了自己传统数学的观点，并退出了数学基础研究的战场；还有一些数学家主张对传统数学进行严厉的批判，禁止使用数学中的一些重要概念（如“实无限”）、重要定理（如与“选择公理”等价的定理）和常用推理方法（如“排中律”）。<br /><br />　　与上述两种人的做法不同，希尔伯特试图理性地寻找一条完全令人满意的解除危机的道路，它既能绕过这些悖论，又不致于大量地排斥传统数学的内容。他在总结自己数学研究经验的基础上，于1925年提出了一个解决数学基础危机的方案：以形式化、公理化为基础（即先将一个数学理论形式化、公理化，将它组织在一个形式公理化的系统之中），以有限立场的推理方法为工具，去证明该数学理论的相容性；一旦这种证明得以完成，就说明该数学理论的基础绝对牢固。这就是现代数学基础研究活动中的“形式主义数学哲学思想”，它是由希尔伯特率先提出来的。<br /><br />　　1934年和1939年希尔伯特与他的学生贝尔奈斯合著的《数学基础》第1卷、第2卷出版了。在这部名著中，他把形式主义数学哲学思想在可能的范围内付诸数学研究的实际，取得了可观的成果。 <br />