埃尔朗根大学历史上最著名的数学家“代数女皇”艾米·诺特

Xerxes

Emmy Noether的一生<br /><br />(1882.3.23-1935.4.14)<br /><br />颜一清<br /><br />一. 楔子<br /><br />1964年在纽约举行的万国博览会中有一室专门开辟成与数学有关的展览。其中有IBM 所提供, 很出色的约十三尺长壁画。题名为“现代数学名人录“, 列出约从十世纪到当时的数学发展史。更早时期的以艺术, 特别是建筑物来表达。从十六世纪以后就列出数学家们的肖像, 并附上他们的简历与或就。有八十幅左右的人像画集中在约14平方英尺的面积里面。其中只有一幅是女士, 她便是Emmy Noether。由照片看来她是一位充满智慧, 有创意而和蔼可亲的人, 不过一点也称不上漂亮。围绕着她的肖像有Joseph Liouville(1809-1882), Georg Cantor (1845-1918), David Hilbert(1862-1943) 等重量级数学人物。(1)<br /><br />二. 家世<br /><br />Amalie Emmy Noether 在1882年3月23日出生于德国埃尔朗根市的一个犹太家庭里。父亲是Max Noether, 母亲是IdaAmalia Kaufmann.<br /><br />Max Noether(1844.9.24-1921.12.13)是埃尔朗根大学的教授, 为当时的代数几何学与代数函数论的权威。Max 的祖先从事五金批发。父亲Elias Samuel(1774?-1846)在1797年左右从德国黑森林的北方地区搬到犹太人较容易被接纳的Bruchsal。当时它是Baden 大公的属地。1809年Baden 大公诏令每一犹太家庭的家长须为他的家族取当地传统的姓氏。因此Elias Samuel 就由Netter(出自Nathan) 改姓为Noether(官方纪录为N&ouml;ther)。他那些未搬出的亲戚们仍姓Netter。他的一子Hertz 改名为Hermann Noether。<br /><br />Hermann是他家庭中第一个受高等教育的人, 他在Mannheim 的Klaus School学过神学, 不过后来还是从事祖业。Hermann的太太Amalia Würzburger 是Mannheim 人。她的父亲虽然是生意人, 可对数学有兴趣。Hermann 夫妇生了三男二女。小儿子Max 不想做生意。Max 不幸地十四岁时得了小儿麻痹症, 终其一生都跛脚。所以他大学以前的教育都是在家里完成的。后来Max 在海德堡大学学数学, 得了无须论文的博士学位, 他在那儿教过一阵后1875年到埃尔朗根大学教书。<br /><br />Max在1880年因他的资历与背景, 娶到了科隆非常富有的犹太家庭之女Ida Amalia Kaufmann (1852,科隆,-1915,埃尔朗根)。她有兄弟姊妹十个, 有事彼此都很帮忙。Ida Amalia 的祖先几代都在莱茵低地区。他们因从事牛的买卖与屠宰业而致富。<br /><br />Max与Ida Amalia 除了Emmy 外有三个儿子Alfred(1883-1918), Fritz(1884.10.7-1928)与Gustav Robert(1889-1928)。他们的生活安定, 家庭气氛祥和, 并有知识阶级的气息。<br /><br />三. 埃尔朗根时期<br /><br />Emmy小时候功课并不怎么出色。她有平凡的面孔, 还带一副近视眼镜。不过老师和小朋友们都知道她聪明, 友善, 很讨喜。<br /><br />1889年至1897年Emmy 念埃尔朗根的女子高等学校。课程内容差不多是现今的中学程度, 没有拉丁文, 而德文、法文与数学程度可能高一些。Emmy 也免不了中等阶级的习俗, 学了钢琴。可是她的程度只止于弹奏“快乐的农夫“(舒曼的作品, 一首初级程度的演奏曲) 的程度而已。她也做家事, 但不会喜欢。课余她喜爱念英文与法文。她还有一个嗜好: 很爱跳舞。她常常巴望有机会参加教授们的家庭舞会。家长们也都嘱咐儿子们要邀请Emmy 跳舞, 可是男生对她不感兴趣。<br /><br />1900年Emmy 十八岁了。四月她参加Bavaria 省的英文和法文的教师资格考试。考试成绩分成十二等级。第一级最高。Emmy 两学科的平均分数考到1.2级, 很不错。这样, 她拥有英文和法文教师的资格了。但是家庭环境使然吧, Emmy 想深造。依她的个性, 她是温顺的, 要读大学在当时是一件违反习俗, 非常叛逆的行为。不过时机帮上了忙, 德国的大学之门逐渐开放给女生了。最先在1901年Baden 省的Freiburg 与Heidelberg两大学准许女子入学, 直到1908年各大学才许可男女同校。埃尔朗根大学在1900年左右规定“在授课教授同意之下女生才可以旁听, 不得参加考试“。(1)<br /><br />1900年至1902年Emmy 在埃尔朗根大学旁听之余, 也准备考Nürnberg 有好名声的皇家准古典教育学院的学位考试, 以便取得进大学的资格(2)。1903年6月4日她考试通过。过后她在1903/04的冬季学期在哥廷根大学当旁听生。教授有天文学家Karl Schwarzschild(1873-1916), 数学家Hermann Minkowski(1864-1909), Otto Blumenthal (1876-1944), Felix Klein(1849-1925) 与David Hilbert。一学期后她回埃尔朗根, 这时候埃尔朗根大学已经准许女子入学了。<br /><br />1904年10月24日Emmy 得到埃尔朗根大学的入学许可, 登记号码是468。她只选数学为学习科目。数学属于哲学院第二部门。入学时, 共有男生46名, 她是唯一女生。比Emmy 小一岁的大弟Alfred 也进埃尔朗根大学的化学科。他除了1904/05冬季学期在Freiburg 外都待在埃尔朗根, 并在1909年获得博士学位。但是在1918年第一次大战末年的物质缺乏与诸多不便中, 他因体弱早逝了。Emmy 的二弟Fritz 在埃尔朗根与慕尼黑学数学与物理。他在Aurel Voss(1845-1931) 指导之下拿到慕尼黑大学的博士学位。因此, 在1900年代Noether家有三个孩子从家里赶路到埃尔朗根大学上课。Emmy与Fritz 也上过他们父亲的课。当时Max Noether 与Paul Gordan(1837-1912) 教数学部门的主要课程。<br /><br />在Gordan 的影响之下Emmy 做不变量理论的研究, 写了博士论文“On the construction of the system of forms forthe ternary biquadratic forms”(英译), 发表在Journal für die reine und angewandte Mathematik,(又称Crelle’s Journal)134, 1908, pp23-90。1907年12月13日。Emmy 以最优等通过博士学位的口试。1908年开始Emmy 在埃尔朗根大学无薪无职地工作。她一边为自己做研究, 一边照顾老父。Max 生病时她就替他上课。这时候她已然决定要终身献身数学了。1908年她成为意大利Palermo 数学学会会员, 1909年她又成为德国数学学会(DMV) 会员。DMV的年会可以使年轻的数学家们聚在一起交谈, 彼此沟通, 也看得到那些大牌们在做些什么。早些年Emmy 是与会者中唯一女性。Emmy很喜欢这种集会, 她说这是在“谈数学“。从1909年至1929她一共在DMV 中演讲过九次, 并在1928年、1932年的国际数学家会议中演讲了两次。<br /><br />Gordan在1910年退休, 继任者是Erhard Schmidt(1876-1959)。后来由Ernst Fischer(1875-1954) 继任。Fischer 的的确确是Emmy 的好导师。Fischer引导Emmy从Gordan 的演算方式的研究转变成为采用Hilbert 的抽象代数模式来研究不变量理论。Emmy与Fischer 经常“谈数学“。他们都住在埃尔朗根, 在学校里也常有见面的机会。可是他们还是很勤快地写明信片讨论数学。通讯期间从1911年持续到1929年。尤其在Fischer 被征调当兵的1915年信写得最勤快也最多。难能可贵的是Fischer 把这些信珍藏到二次大战后。<br /><br />往后Emmy 走向抽象代数的研究, 对以前写博士论文那一段时期使用的不变量理论形式化的运算方式不复记忆。当有人提及她的博士论文时她会说“那只是一堆杂碎“。<br /><br />Emmy在1913年间在维也纳待过一阵,有时她会去拜访数学家Franz Carl Joseph Mertens(1840-1927)。Mertens 的孙子描述他当时对Emmy 的印象, 说:“她像从偏僻地区来的神父般穿及踝的黑长袍, 套上难以名状的外衣, 在短发(当时的女人稀有) 上带着一顶男用帽子, 还斜背着皮包, 就像帝政时代的铁路督导员那般。看来她的年纪近三十岁,. . . „。(1)<br /><br />1914年5月Emmy 完成论文“Fields and systems of ratonal functions.”(英译)。她承认Fischer 与她的讨论引导了她对抽象代数学的兴趣, 让她决定她日后研究的方向与目标。这是她在Fischer 影响之下写成的第一篇论文。因深入研究Hilbert 的n 变数不变量的问题, 她在当时已经被认为是有关不变量理论的专家了。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />四. 哥廷根时期<br /><br />1915年4月底Felix Klein (1849-1925) 与Hilbert 邀请Emmy 去哥廷根大学(公立大学) 当私讲师(Privatdozent, 由学生付学费, 不领学校薪水的讲师职) 的候补者。他们请Emmy 去哥廷根除了她是同行Max Noether 的女儿, 想给她一个工作机会外主要是要借重于她对不变量理论的知识。他们当时在研究一般相对论,很用得着这方面的知识, 而Emmy 也真帮上了忙。<br /><br />Emmy去哥廷根整两星期后她的母亲Ida Amalia 突然去世了, 她早先只是在治疗眼疾而已, 这很出人意料之外。IdaAmalia 生前操持家务非常节俭, 有空她喜欢弹钢琴自娱。Emmy与Fritz 是她喜悦的源泉, 但是Alfred 与Gustav Robert 体弱多病, 常使她忧伤。1915年, 即第一次世界大战第二年,Emmy 为了多少要照料家, 就哥廷根与埃尔朗根两地来回跑。<br /><br />1915 年11 月, 为要得私讲师资格,Emmy 在哥廷根数学学会演讲“On transcendental integers”(英译)。但是因哲学部与历史部的教授们的反对而申请没有成功。他们反对的理由是性别问题。他们说:“让女性当私讲师, 往后她有资格当教授,这样她就可以成为学校评议会会员。评议会会员怎么可以有女性?“。Hilbert很气忿地回答他们:“诸位, 大学评议会并不是澡堂, 为什么女性就进不得?“。Hilbert等人向教育当局申诉过, 但是没有用, 被驳回。Hilbert 无奈,从1916年冬季学期开始一直到1919年夏天,在他的名下开一些课, 但是让Emmy 以助教的名义讲解课程, 不收费。(1)<br /><br />在第一次大战世界期间(1914-1918)德国的海上运输长期遭到英军的封锁, 德国境内物质非常缺乏。1918年末海军陆续有叛变, 并继续扩大。到了11月7日, 饥饿的人民发动革命, 指摘德皇威廉二世领导国家无方。战事又节节败退的情况之下, 德皇终于11月9日逊位, 由刚成立的临时政府在11月11日11点与协约国签定停战协议, 于是第一次世界大战宣告结束。直至1919年8月11日德国国会在魏玛(Weimar) 开会, 德国才正式为魏玛共和国。<br /><br />大战中参战双方死者逾九百万人, 伤者约两千万人, 他们大都是年轻男子。他们的死伤改变了各国的社会结构。妇女们须得出现在许多行业中, 这使妇女们获得比战前更多的平等与自由, 她们的社会地位随着也提高了。<br /><br />社会形态的改变有利于Emmy 申请私讲师资格了。Emmy 在1917/18年间, 专注于微分不变量的研究。1918年, 她把结果写成“Invariant variational problems”(英译), 发表在G&ouml;ttinger Nachrichten, 1918,pp.235-257上。它便是Emmy 申请私讲师资格的论文。1919年5月21日哥廷根同仁通过Emmy 的资格申请, 5月28日有论文演讲。于是6月4日她在Courant(1888-1972), Debye(1884-1966), Hilbert,Klein, E. Landau(1877-1938), Prandtl(1875-1953), Runge(1856-1927) 与Voigt(1850-1919) 等大人物面前做她申请私讲师后的第一堂试课。<br /><br />在Emmy 名下的第一个课程是1919年9月22日至12月20日特别为退伍军人开的“解析几何学“。1919的冬季学期开始Emmy有机会开她研究的专长科目了, 如高等代数、有穷论、体论、数论、代数数论等。这些课程每星期都有四堂课。<br /><br />学生们上Emmy 的课所产生的反应走两极端。有些学生后来成为有名的数学教授。其中有一个人说他觉得Emmy 没有充分准备课程内容。而且学生如果没有好好预习过, 很难跟上她天马行空式的教法。有一回, 上一点钟要结束的课时他在笔记边缘涂写: „好极, 已经到十二点五十分了&#33;“。可是有些Emmy 最出色的学生却说, 上她的课是“很好的经验“, 受益良多。这是因为Emmy上课时常以思考与推论方式渐进, 以期能达到某一结果。她未必全部说完, 以便听者有发挥的余地。她不会有头绪地把概论, 定理等从头到尾清清楚楚地说出来。所以她授课的方式未必能迎合众人的胃口。<br /><br />B.L. van der Waerden(1903- ) 在1923/24来哥廷根前已经是成形的数学家了。他来受教于Emmy, 很快地吸收了Emmy 的方法, 加上他自己的观念, 使抽象代数学得以发扬光大。他写的“近世代数“是脍炙人口, 影响深远的代数学书。它的内容多少采用了Emil Artin(1898-1962) 与Emmy 的授课内容。Van der Waerden 就形容过Emmy 上课的一个情景: Emmy要证明Maschke(1853-1908) 的一个定理。她想以公理与概念的方式渐进, 应该写很少, 也用不着运算就可以导出结果来。她事先想过,没有完全做出来, 她以为在课堂上可以推演得出来。但是眼看下课前没法子完成它, 她生气了, 扔掉粉笔, 用脚去踩碎它, 还叫出:“讨厌, 我只能用我不喜欢的方式导出这个定理了&#33;“就以传统的方式无误地证出Maschke定理来。(1)<br /><br />Emmy上课时常把手帕塞在她的胸口。要用时她会不经心地抽出手帕来, 使用完了她又塞回原处。她的头发可能早先是夹得好好的, 但是上课后一下子这里一束, 那里一绺地垂掉下来。她又长得胖, 穿好的上衣经过上课时手的比画而变了样, 那一副狼狈相成为上她课的学生们的看头。<br /><br />而上课时“正常班“的学生都占据前座。坐后面的旁听生半个小时后往往听不下去了, 便退席。这时候前座的人会回过头来叫道:“敌人已被击败, 退却了&#33;“。<br /><br />Emmy对不苟同她的想法的人态度相当不友善。她会用她的大嗓门粗鲁地, 还带嘲弄的语气把她的想法直接地说出来而得罪人。但是对须要她帮忙的人她是慈爱而无私的。她会竭她所能去帮助人。她也时常与人分享她的创意。(1)<br /><br />Emmy是一位忠实的朋友兼而是一位严苛的批判者。因此她很适合当数学杂志编辑。她的确也从事Mathematische Annalen 的编辑工作多年, 但是她这份工作也是不挂名的, 这颇使她伤感。(3)<br /><br />Emmy在1915年赴埃尔朗根奔母丧后又几次回去奔丧:1918年是她大弟Alfred,1921年是父亲, 而1928年是她的幼弟GustavRobert。因而她养成一种习惯把她的哀伤、心思都默默地压在她的心底。可是一看到别人遇到同样的遭遇她会表达出十分的同情心来。每当非犹太朋友帮助她时她也由衷地表示感激。几次家人故去后她的亲人只剩下二弟Fritz。他在Breslau 当数学教授。Emmy 跟他的家庭很亲近, 也会跟他们一起渡假。Fritz 生有两男, Emmy尤其宠爱有数学天份的小侄儿Gottfried(1915- )。他后来成为数理统计学家, 1939年移居美国。Fritz一家人在1934年因纳粹的追逐, 移民到苏俄后Fritz 在西伯利亚Tomsk 的“数学力学研究所“当教授。<br /><br />1922年哥廷根大学的自然科学与数学部门向教育当局申请Emmy 的升等。文件中说“Emmy Noether 无疑是一位很出色的数学家, 不适合当私讲师教大班学生的一般课程。她有能力影响一批优秀学生, 其中有人甚至于有教授资格。“终于在当年4月6日Emmy 收到普鲁士(地方) 科学部长发给她“非文官副教授“(nichtbeamteter Ausserordenticher Professor) 的证书, 也就是说, 她虽然升任副教教, 但是像私讲师一样不支薪。不过Emmy 还是满开心的。她写信给1920年代开始跟她合作, 并研究非可换代数的Helmut Hasse(1898-1979):“这个冬天我终于可以讲授有关超复数, 这对于我和学生们都有趣多了。“(1) 直到1923年Courant(他除了数学外组织与管理能力也广被称许), 当哥廷根大学的主任( Director)时替Emmy 力争才得到“委任教学“(Lehrauftrag) 的名义, 她这才领到少许薪水, 一个月在200至400马克之谱, 而且这个“委任教学“每年还得复审。(4)<br /><br />1930年Hermann Weyl(1885-1955)继任Hilbert 的教授席。这在当时的德国是最崇高的地位。他认为Emmy 在数学上各方面都比他强许多,他的职位却比Emmy 高高在上, 这使他不安。因此他向教育当局争取过她的名位, 也争取Emmy 成为哥廷根大学科学会会员, 但是都没有成功。(5)<br /><br />Emmy的生活一向很简朴。她起先无薪, 即使在1923年后从国家获得的薪水也很少。她虽然稍有遗产, 但是在她多病的幼弟生前, 她几乎都把钱用在他身上。1933年她被普鲁士(地方) 政府赶出职位时就靠这份遗产过日子。1934年她受聘美国的Bryn Mawr学院, 她那些在普林斯顿的哥廷根老同事问她: „现在日子可以过得好些了吧&#33;“她说: „那里, 我只花一半, 一半要留给侄儿呢。“<br /><br />有一次下着雨Emmy 虽然撑着伞, 但不怎么管用, 一个学生看不过去说“伞该修了“, 她答: „是的, 但是单知道没有用, 不下雨时我不会想到它, 下雨时我又用得着它。“<br /><br />Emmy经常在一间简陋的餐厅里同一时间、同一座位上吃她同样的简单晚餐。在礼拜天她也会在她阁楼的房间里煮食, 不过这时候差不多都有她的学生们在一起。在哥廷根, 大家称Emmy 为”Der Noether”(Der, 男性冠词) 表示尊敬, 而她的学生们被称为”Noether boys”, 她跟学生们被合称为”Noether family”。她学生们往往从下午就跟她边散步边“谈数学“, 最后落脚在她的住处吃晚餐, 再继续谈数学。<br /><br />Hermann Weyl 说: „Emmy 这个人就像刚烘培出炉的面包, 暖烘烘的“。(5) 她照顾她的学生无微不至, 就像母鸡呵护小鸡般。她的学生遇到攻击, 她是会很凶猛地反击的。可是她受到委曲, 她可以一笑置之。就如, 有一次她被“请出“学校的公寓, 因为有一批学生提出抗议说:“不愿意跟亲马克思主义的犹太婆共屋顶“, 而事实上她在1918年左右较亲社会民主党外对政治一向是不干不预的。<br /><br />五. 指导的学生们<br /><br />在埃尔朗根时Emmy 就指导过两次博士论文。第一次是指导Hans Falckenberg(1885-1946)。他是Emmy 父执辈的孩子,也是弟弟Fritz 的朋友。他在1911年拿到学位。后来当了Giessen 大学的数学教授。<br /><br />Emmy 在埃尔朗根与哥廷根来回跑的1915年间Landau 介绍给她Dedekind(1831-1916) 提出的问题: „任何置换群是否可为某一方程的Galois 群?“她开始想这个问题。刚好那时候Fritz Seidelmann(1890- ) 在埃尔朗根一所学校当讲师。早先他在慕尼黑大学跟Friedrich Hartogs(1874-1943) 学过。当时他做出: „给定一群,可求得一四次方程“的特殊情形。他问MaxNoether 是否可以用它写成博士论文? MaxNoether 认为他的题目与Emmy 研究的课题相近, 就介绍给Emmy。Emmy 建议Seidelmann用参数表示法试一试。结果他成功地做出三次和四次方程的一般情形。写成的博士论文是: “The set of cubic and biquadraticequations with affect over anarbitrary field”(英译)。1916年付印, 他还写着: „献给Emmy Noether 博士“。他以最优成绩通过口试, Emmy 跟他一样, 好高兴&#33; Emmy 也完成了一篇“Equations withpre-assigned group”(英译), MathematischeAnnalen, vol. 78(1917/18)。它是这类问题在当时的最佳文献。<br /><br />在哥廷根大学Emmy 指导博士论文的第一人是Grete Hermann (1901-?),她在1925年2月25得到学位。过后Grete一直很感戴Emmy 的指导。Emmy指导的其他哥廷根大学的博士学位的学生都是男生。跟Grete Hermann 差不多时候有Rudolf H&ouml;fzer(1903-1926) 与Heinrich Grell(1903-1974)。Rudolf H&ouml;lzer 完成论文但未得学位前因肺病在23岁病亡。Grell在1926年得学位。后来当Humboldt 大学教授。Emmy 对Grell 的评价很高。Grell对Emmy 也很感恩。因他,Emmy 的“Idealdifferentiation and the difference”(英译),Journal f¨ur die reine und angewandteMathematik 188, 1950, pp.1-21, 才得以付梓。这是Emmy 遗留下, 生前未及出版的著述。<br /><br />Emmy 的另一个学生Werner Weber(1906-194?) 在1929年得博士学位。他在“Dedekind 全集“的编纂及van der Waeden的“近世代数“第一版上帮了些忙。<br /><br />Jakob Levitzki(1904-1956) 在乌克兰出生, 之后全家移民到巴勒斯坦。他从特拉维夫来哥廷根念书, 经济情况很差。Emmy 尽力替他申请助教奖学金。后来他拿Sterling 奖学金在耶鲁大学学习。1931年起在希伯来大学教书。在美国与巴勒斯坦他的表现俱佳。<br /><br />1930年经Emmy 指导拿到学位的有Max Deuring(1907-1984)。Emmy 对他的期许很高。他写的“非可换代数“很符合Emmy 的意思。后来他在Marburg 与Hamburg 教书。1950年后在哥廷根教书当到永久教授。新竹清华大学徐道宁教授是Deuring的学生。(博士学位口试:1961年12月20日)。<br /><br />1931年由Emmy 指导而获得博士学位的有Hans Fitting(1906-1938)。他后来在K&ouml;nigsberg 大学当讲师, 但因骨癌在1938年32岁去世。至今在代数构造中留有Fitting’s lemma, Fitting’s radical 这些名词。<br /><br />1933年Emmy 指导的学生还有ErnstWitt(1911-1991)。他因1933年6月的考试与入营卡在一起, Emmy又已被停职, 由G.Herglotz(1881-1953) 当审稿者。(1)<br /><br />中国学生曾炯之(1898-1940) 的论文题目是“Algebrasover function fields”(英译)。他由Emmy 指导论文, 但是他的论文口试在1933年12月6日, Emmy 赴美之后。曾烔之后来回中国大陆, 1935至1937年间在浙江大学当教授, 1937年后在天津北海大学教书, 中日战争时他随校辗转迁移到四川, 在1940年病逝<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo-->。他在代数学上留有Tsen’s Theorem。Emmy在哥廷根最后指导的学生是Ottosschiling(1911-1993)。他同时也研究Hasse 的专长。Emmy 赴美后一年(1934), 他在Hasse 所在的Marburg大学得到博士学位, 一年后他也移居美国。他最出色的著作是“The Theory ofValuations”(1950)。(1)<br /><br />六. Emmy Noether与学者们<br /><br />哥廷根大学在十九世纪有Gauss,Riemann, 二十世纪有Klein 与Hilbert等数学大师, 蔚然成为“数学界的麦加“; 许多国家的数学学者都想赴哥廷根大学“朝圣“一番。第一次大战后哥廷根的数学阵容有Hilbert, E. Noether, Landau,C. Caratheodory(1873-1950)。Courant(接Klein 的教授席)、Herglotz、Hermann Weyl 等人。来哥廷根浸洷在Noether圈的法国数学家有A. Chˆatelet (1883-1960), C. Chevalley(1909-1984), A.Weil(1906- ), Jacques Herbrand (1908-1931)。后者很优秀, 但因登法属阿尔卑斯山失事而早亡。朋友们为纪念他出了一本刊物,其中有Emmy 生前最后一篇文章“Splitting crossed products and their maximal orders”(英译)。Actualités ScientifiquesIndustrielles, Paris, 148(1934)。Emmy悲叹: „我不能忘怀Herbrand 的早逝。“<br /><br />日本学人从东京大学来哥廷根跟Emmy学习的有高木贞治(1875-1960) 的高足正田建次郎(1902-1977) 与末纲恕一(1898-1970)。在Emmy 的影响之下正田建次郎在1932年写出“抽象代数学“。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--> 末纲恕一在1950年出版“解析的整数论“等, 这些书广被使用, 成为日本代数学家走向国际舞台的诱因之一、二。又, 正田从1935年至61年担任大阪大学校长。他是Osaka Journelof Mathematics 与日本数学学会的成立的一位关键性人物。<br /><br />美国学者中有Solomon Lefschetz(1884-1972),Oswald Veblen(1880-1973),Saunders Mac Lane 等来哥廷根。Lefschetz的想法与Emmy 相近, Veblen 对以后德国数学家移居美国帮了大忙。(1) MacLane 听过Emmy 的课。他与G. Birkholf(1911-1996) 合着的“A Survey of ModernAlgebra” 出过好几版, 是一本着名的代数书。<br /><br />苏俄数学家P. S. Alexandrov(1896-1982) 是莫斯科大学教授。他英、德语都很流畅, 从1923年起他经常来德国, 尤其几次到哥廷根大学当客座。他跟Emmy不但是好朋友, 他还很尊敬她。HeinzHopf(1894-1971)与Alexandrov 的交谊很深, 他们常彼此沟通想法。他们在拓扑学的代数化上的确受过Emmy 的影响。又Alexandrov在当时的苏俄可以自由出入苏俄国境, 对东西欧文化, 尤其是数学的交流与推展功不可没。<br /><br />Emmy 跟苏俄数学家, 如数学家兼北极探险家Otto Juljewitsch Schmidt (1891-1956), W. W. Stepanov (1889-1950), N.G. Tschebotar&ouml;v(1894-1947) 等人也经常有连系。<br /><br />1928年冬天至1929年夏Emmy 应Alexandrov 的邀请去莫斯科大学当客座。她享受Alexandrov 与他的朋友们的友谊。回国后她还受到哥廷根同仁的羡慕, 因为由于她的影响, I. A. Arnold(1900-1984)与L. S. Pontrjagin(1908-1988,1935 当莫斯科大学教授) 分别用德文发表了他们心得的文章。(1)<br /><br />Emmy向来不跟人争夺著作优先发表权。她甚至由她的构思而诱导出学生的结论成为学生独有的作品。像在1914年, Kurt Hentzelt(?-1914) 在埃尔朗根完成论文,但是论文还没有发表, 他就被调去当兵, 那年十月传出他出任务失踪的消息。在1921年的DMV 的年会中Emmy 简述Hentzelt 论文的内容, 并替他登载在Mathematishe Annalen上。题名为“On the theory of polynomialideals”(英译)。1923年冬到1924年夏, Emmy 根据Hentzelt 的概念得到很好的结果, 使在课当上讲起。1924年秋天van der Waerden 来哥廷根, 他也从Hentzelt 的论文中得到启示, 导至Emmy同样的结果。后来他由Emmy 的学生H.Grell 口中才知道有这一回事。Emmy 没跟他争优先权。van der Waerden 便把结果发表在Mathematishe Annalen vol.96(1927) 上, 是为“Theory of zeros ofpolynomial ideals”(英译)。在代数几何学上它是一篇有份量的论文。Emmy只是在给Hasse 的信中慨叹过: „我的方法像蔓藤般,到处爬行。“(1)<br /><br />七. 哥廷根时期的黄昏<br /><br />1929年Rockefeller 基金会捐款在哥廷根大学盖成新大楼, 里面有一些小办公室是给讲师和助教的。Emmy分得了特别的一间, 蛮有校方酬庸她多年来优异的教导的意思。<br /><br />1930-32年间哥廷根大学出版“Dedekind 全集“。Dedekind留下五十来本备忘录。要整理这些着实不容易。编纂者是Robert Fricke (1861-1930), &Ouml;ystein Ore(1899-1968) 与Emmy Noether 。Fricke只做了少许, 其他都由Ore 与Emmy 所完成。(1) 由此Emmy 对Dedekind 的著作更加了解, 对他的人品也就更加祟敬, 她说:“Dedekind 都没有犯过错误。“<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />1932年Emmy 与Artin 因他们在数学上的贡献同时被颁授Alfred-Ackermann-Teubner纪念奖。同年哥廷根大学的代数学家们庆贺Emmy 的五十大寿。这一年九月在Zurich 有国际数学家会议。它像一个大家族的会合, 与会者有420人。9月7日Emmy 演讲“Hypercomplex systems in their relations to commutative algebra and number theory”(英译)。开完会后不久哥廷根的好日子便过去了, 麻烦事开始发生。<br /><br />早在1929年10月29日, 纽约证券市场大暴跌引发世界性大萧条。第一大战后德国的繁荣仰赖美国的信用贷款与活跃的国际贸易。这两项财源枯竭后德国民众穷困不堪,对魏玛政府的温和派作风也就失去了信心。于是希特勒(1889-1945) 领导的纳粹党及德国共产党的势力趁机而盛。到1932年德国境内失业人口高达六百万人以上, 人民对政府的失望更甚。同年11月纳粹党在德国国会选举中大举得胜, 获可观席位。1933年1月30日当时的魏玛政府总统兴登堡(1847-1934, 第一次世界大战时德国名将) 无奈, 任命希特勒为总理, 组成联合内阁。同年2月27日希特勒假借国会大厦被共产党纵火, 搜捕共产党, 除去异己, 攫取独裁权。4月1日纳粹党公然采取迫害犹太人政策: 抵制犹太人经营的生意; 在公职人员方面, 凡是犹太人及有犹太血统(追溯到祖父或祖母是犹太人) 的人都在被迫退职之列。(2) 4月2日教育局发令禁止Emmy Noether在哥廷根大学教书。理由是她是“危险人物“, 说她曾经借房间给左翼学生开会过。遭遇到同样禁令者有Courant,Max Born(1882-1970, 1954年诺具尔物理学奖得主) 与James Franck (1882-1964,1925 年诺贝尔物理学奖及第一次世界大战大战铁十字架勋章得主)。Otto Neugebauer (1899-1990), Landau与Paul Bernays (1888-1945) 先被停止一切教学与行政工作。他们都是犹太人。HermannWeyl 继任Courant为数学部门主任。<br /><br />八. 赴Bryn Mawr女子学院<br /><br />1933年间世界性不景气还在持续中。在欧美各国一职难求。不过Weyl 积极为Emmy 安排在美国的出路。据P. S.Alexandrov 说, 他当时也替Emmy 奔走莫斯科大学的差使,但是进行得很缓慢, Emmy等不住, 终于接受Weyl 给她找到的美国Bryn Mawr (女子) 学院客座教授一年的职位。(4) 薪水由Rockefeller 基金会支付。1933 年10 月底Emmy 整装赴美。<br /><br />在美国宾州东南部的Bryn Mawr 学院1933年秋季开学典礼时Park 校长告诉师生将有一位最出色的德国女学者Emmy Noether 莅校教书。她的名字对学数学的人来说如雷贯耳, 大家都很振奋。学校当局为Emmy 要来教书还募款设立“Emmy Noether 奖学金“。当时的数学系系主任是Anna Pell Wheeler(1883-1966)。她在1906/07年间在哥廷根待过, 1910年得Chicago 大学博士。Wheeler 太太的安排是, 让拿Emmy Noether 奖学金的Marie Weiss(已得Stanford 博士, 1903-1949) 与在Bryn Mawr奖学金之下攻读博士学位的Ruth Stauffer(1910- ) 跟随Emmy 读书。她们师生之间可能须要一段缓冲时期, 等到Emmy 准备妥当方始。起初学生没有碰过抽象代数。Emmy 让她们从van der Waerden的“近世代数“第一册学起, 还念E. Hecke的“Theory of Algebraic Numbers”。学生们对德文名称的英译感到困惑。Emmy教她们以德文专有名词来了解。这样, 她们德、英文并用, 结果还蛮好。Emmy上课就像开讨论会, 好像她也是学生之一, 大家一起讨论,解答。两位女生觉得很受用。(2)<br /><br />1934年夏天Emmy 回德国看弟弟Fritz 一家人与老朋友。那里的政治气候越来越险恶。有些朋友甚至于回避Emmy。Fritz是犹太人, 被迫从Breslau 大学退休。他倒是拿到了退休金。为了两个儿子的前途,Fritz 打算移民到苏俄西伯利亚。(1)<br /><br />Emmy在美国第二年的差使还没有着落。不过朋有们应该会帮忙。看来她再回德国的机会很渺芒。她便清理自己在德国的财物,夏天过后又回美国, 并参加美国数学学会。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />为了要获得学人的支持留住Emmy,Bryn Mawr 的Jacob Billikopf 透过数学家Arnold Dresden 请Solomon Lefschetz,Norbert Wiener(1849-1964) 与GeorgeD. Birkholf(1884-1944) 表示对Emmy 的意见。他们都齐口称赞Emmy 是至今最优秀的女数学家, 理当给她留任的机会。不过他们也有共识, Emmy 不适合教大学部课程。<br /><br />至于经费方面, 有Emmy 的朋友典当物品获得1700美元, 他愿意捐出这笔钱来。普林斯顿高等究所愿意负担1500美元做为Emmy 每星期去普林斯顿授课的报酬,而Bryn Mawr 付给Emmy 的年薪是3000美元, 因此在Rockefeller 基金会答应补助2800 美元的情况下Emmy 在BrynMawr 学院从1935年至1937年的薪水便有眉目了。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />在Bryn Mawr 的第二年, Emmy 多出两名学生。一名是Grace Shover(1906-), Grace 跟Mac Duffee 学过抽象代数学, 这回她拿到1934/35年Emmy Noether奖学金来做博士后研究。另一名是Olga Taussky (1906-1995)。Olga 是Emmy 在哥廷根的旧识,维也纳大学博士。她本来早一年就有Bryn Mawr 外国人奖学金, 但Bryn Mayr 因财务困难, 延后一年。刚好Emmy 又在Bryn Mawr, Olga 便拖延一年她稍后才获得的剑桥大学Girton学院的三年奖学金, 先来Bryn Mawr。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />Olga早年是奥匈帝国子民。第一次大战后她的国家独立, 她便成为捷克人了。(7) 她在1930年的DMV 与Emmy 相识。那时候她已是渐露头角的数学家了, 专长是Classfield theory。刚好哥廷根大学打算在1932年出版Hilbert 的数论第一册来庆贺他的七十大寿, 急需Class field theory方面的年轻专家来整理Hilbert 的资料。Courant便在1931年至1932年6月间请Olga 来当编纂者之一。在这期间Emmy 与Olga 常有接触的机会。那时候Emmy 老嫌Olga 的德语带奥地利腔。不过这回她们在异乡相逢, Olga 的德语Emmy 听来都觉得亲切了。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />Emmy与她的四名研究生一起讨论功课, 一起玩, 仿佛她又组成了一个Noether家庭。有时候她们会边谈边穿过田野, 越过铁轨。Emmy 体态臃肿, 行动可还蛮灵活哩。最后她们会聚集在某个人的住处或是Wheeler太太的客厅。Wheeler 太太跟她们也都很合得来。(2)<br /><br />1934年2月起Emmy 每星期二一早便搭火车去普林斯顿教书。Olga 来后间或陪Emmy 一起去。有时候四个女生搭Wheeler 太太的便车去听讲。据Olga说, Emmy 星期一给她们上什么课, 星期二就去普林斯顿讲这些, 等于她都预演过了。普林斯顿的听众差不多是研究员以上, 他们习惯于实际演算, Emmy 的抽象讨论法对他们还是新颖的。教完课后Emmy 经常与Weyl(1933年来普林斯顿) 与R.Brauer(1934年来普林斯顿) 相聚。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />Emmy 对Olga 是满任性的, 她会对Olga 使性子。还会批评Olga 这个那个, 再责备Olga 在乎她那些话。Olga这个人也比较敏感, 她总觉得Emmy 在美国这一阵与在哥廷根时不一样, 好像有什么心事积压在她心里。<br /><br />原来Emmy 身体有毛病, 她想拖到夏天回德国去治疗。她跟Bryn Mawr 的医生商量的结果, 医生劝她趁早开刀治疗才好。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />47年后Grace Shover 回忆起1935年3月31日至4月14日的事: 那时候, 学校正放春假, 宿舍关闭, 大家各自散了。Grace住靠近学校的朋友家。3月31日Emmy 找Grace 陪她去太平洋城看在那里的Olga, 三个人谈得很开心。过后Grace 有德国来的朋友,Grace 在4月7日(礼拜天) 傍晚便带她去见Emmy。朋友与Emmy 用德语谈故国事。但是在4月8日Wheeler 太太告诉女学生们Emmy 当天进Bryn Mawr的医院要开刀切除子宫瘤。(2) Emmy离家赴医院前被要求写出一份名单捐赠她的所有物以备万一。Olga与Grace 也都在名单之内。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--> 4月9日四名女生们去医院看Emmy 并送她“Townand Country”的复印本。10日Emmy 开刀, 听说过程很顺利, Emmy还高兴只取出病灶(一个大卵巢瘤), 不必割除其他部位。13日女生们想去探病房, 但是还谢绝访客。14日是星期天, 大家都在宿舍里, 想着Emmy的病大概快好了。突然间有Ruth 的电话:Wheeler太太来电话告诉Ruth, Emmy 的病况发生变化, 她因栓塞(embolism) 刚刚断气。这真是青天霹雳, 女孩子们听后当夜无法合眼。(2)<br /><br />4月7日Emmy 还发信给Hasse, 长篇讨论Ruth 的论文。但是Hasse 又收到Fritz Noether 4月15日由柏林寄的信, 告诉他姊姊Emmy Noether 在4月14日过世了。(1)<br /><br />九. 终局<br /><br />1935年4月15日的纽约时报简略报导Emmy 去世的消息。当天的New York Herold Tribune 刊载得多一些。(1)<br /><br />4月18日Emmy Noether 的遗体在火化前, Bryn Mayr学院Park 校长的客厅里举行了一场Quaker 教的告别仪式。在柔和哀伤的音乐中Emmy 的德国和美国的少数知己, 如Weyl, Brauer, Wheeler 太太和Olga 等以各自的语言向她告别。骨灰埋在M. Carey Thomas 图书馆的回廊砖道底下, 与首任校长M. Carey Thomas 的骨灰为邻。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />4月19日S. Lefschetz 告诉在哥伦比亚大学开会的美国数学学会会员Emmy Noether去世的消息, 大家起立默祷一分钟。<br /><br />4月26日Emmy Noether 逝世纪念礼拜在Bryn Mawr 的Goodhert 礼堂举行。许多人来参加, 由Hermann Weyl 用英语很感性地说及Emmy Noether 的生平与着述。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--> 他说Emmy 是很有创意且影响众人的代数学家。她并不是上苍的巧手用粘土塑造成的人, 而是一个石块由他吹进创造的生命力而成的人。她心地善良, 不知恶为何物。(5)他的演讲词附上Emmy 的照片在第二次大战后分赠给连系到的Emmy 的亲友们。(1)<br /><br />爱因斯坦(1879-1955) 在5月1日投稿给纽约时报编辑, 题名为“故Emmy Noether“, 内容是: „人类生而为食卖力, 有一些人得天独厚, 可免去这一份劳力, 他们便去追逐人世间的享受。在他们的下意识里认为这便是人生中最值得追求的目标。幸而有少数人从他们生命的早期就认定人类最完美的经验不是来自外界, 而是由个人内心的感觉、思想与行为启发出来。这些人便是真正的艺术家、做研究的人与思想家等。这些人的一生不管是否多不起眼, 他们所得到的成果是这一代传给下一代最珍贵的贡献。<br /><br />几天前Emmy Noether 教授去世了,享年53岁。她是代数界的奇芭, 女性受高等教育以来最杰出的学者。她在代数领域中发现的概念式方法证实可使现代代数学发展起来。她在哥廷根大学教学多年, 虽经Hilbert 等人的极力争取, 于公无法取得她该有的名位。但是她还是无怨无悔地教导, 影响周遭的学生与学者。可是, 她无私的奉献所换得的报酬却是因犹太人而被停止教学, 让她失去维持简单的生活与做研究的机会。幸好经有识人士的安排她得以在美国Bryen Mawr 学院与普林斯顿执教。由于同事们的友爱及学生们的爱戴, 使她的晚年过得快乐、充实。“<!--emo&(8)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/musical_note.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='musical_note.gif' /><!--endemo--><br /><br />Mathematische Annalen 杂志社在6月21日收到van der Waerden 的“Emmy Noether 事略“, 便登载在该杂志111卷(1935)pp.469-476上。van der Waerden在文章中给Emmy 在学术上的成就定位。(3)<br /><br />1935年9月5日莫斯科数学学会在莫斯科开“Emmy Noether 追悼会“。在Tomsk大学的Fritz Noether 也参加。与会者还有来莫斯科参加第一届国际拓扑学会的学者们。主席P.S. Alexandrov 告诉大家Emmy Noether 在4月14日去世。众人起立默祷后Alexandrov 生动地描述他所认识的Emmy。(4)<br /><br />9月25日DMV 的年会中秘书告诉大家Emmy Noether 是近年内去世的第十四位数学家。会员们全部起立悼念。从此Emmy Noether 便从DMV 除名了。<br /><br />Emmy所指导论文的最后一名Ruth Stauffer 后来转由Brauer 指导, 在1936年拿到博士学位。她离开数学界, 在宾州州政府做研究员, 但还是称赞Emmy 的教学法对她处理资料有帮助。(2)<br /><br />Emmy在Bryn Mawr 的其他学生如Marie Weiss 在Tulane 大学Newcomb学院教书, 她写了广被使用的“Higher Algebrafor the Undergraduate”(1949)。在序文中她强调van der Werden 等人给她的影响。第二版还没问世她就去世了。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />Grace Shover 在美国大学(AmericanUiniversity) 教书。1936年她去Oslo 参加国际数学家会议时Courant 特地给她介绍信, 她便取道哥廷根会见Hilbert 夫妇与Hasse。为的是这些Emmy 的故旧很想知道Emmy 在美国最后一年来的情况。在大会中Grace 也会见了Fritz Noether。(2)<br /><br />Olga Taussky 在1938年9月与JohnTodd 在英国结婚。夫妇从1957年开始在美国加州理工学院执教一直到退休。<!--emo&(8)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/musical_note.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='musical_note.gif' /><!--endemo--> Olga 于1995年去世。她生前在代数学上的表现很出色。<br /><br />1945年第二次世界大战结束。一切逐渐回复正常, 学术交流更是没有国界。抽象代数学以哥廷根精神(其中包括E. Artin与Emmy Noether 等) 继续发展开来。德国学术界开始为当年被放逐的学人(其中数学家最多) 做一些补偿工作。为Emmy Noether 做的有:1957年埃尔朗根大学庆祝Emmy Noether 得博士学位五十周年纪念。1960年埃尔朗根市更以一条新住宅区的街名命名为Noether Strasse, 来纪念Noether 父女。1982年是Emmy Noether诞生一百周年。2月27日埃尔朗根数学研究所举行Noether 纪念碑揭幕典礼。埃尔朗根市还建立一所男女合校, 强调数学、科学、现代语言学的“Emmy Noether 高中(Gymnasium)“。(20)<br /><br />在美国,1982年3月17日至19日BrynMawr 学院在女数学家学会赞助之下举办了“Emmy Noether 百年诞辰纪念会“。有九场演讲, 还有Emmy 当年在BrynMawr的学生与Gottgried Noether 讲述他们所认识的Emmy Noether。这些都付印成册为“Emmy Noether in Bryn Mawr”,Springer Verlag, New York, 1983。会后Grace Shover Quinn 把她挂看的首饰,Emmy的遗物, 取下转送给Gottfried 的独生女Monica 做为姑婆Emmy 的纪念品。(2)<br /><br />这些, 如果Emmy 地下有知, 一定觉得很宽慰的吧。<br /><br />据van der Waerden 在1924年后的了解, Emmy看一个定理或课题须得把它抽象化, 在她的心目中变成透明的架构她才能够把握它。她只能以概念而非公式来思考, 所以也想出概念化的形式来, 它可适用于一般化的数学理论。而她所采用的工具便是代数与算学。(1)<br /><br />Emmy Noether 早年(1907-1919) 的作品第一篇是在Gordan 完全以运算方式的指导之下完成的博士论文。不久她受E. Fischer的影响, 被Hilbert 的思考方式所吸引,完成一些研究。如, 有关differential invarints的论文。它在一般相对论上是很好用的文献。在这期间她最重要的工作是: „给定一Galois 群, 求出方程式“。<br /><br />1919年第一次世界大战后Emmy 开始自己摸索研究的方向。在1920年她与W.Schmeider 完成论文“Modulu in nichtkommutativenBereichen, ins besondereaus Differential-und Differenizenausdr¨ucken”Math Zs 8 (1920) pp.1-35。这是她往后一连串一般ideal 理论的先声。<br /><br />1927年后Emmy 研究的方向转向不可交换系统的理论上。她在还有充沛创意中去世, 发表的论文共有44篇。<!--emo&(6)--><img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/devil_smile.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='devil_smile.gif' /><!--endemo--><br /><br />参考文献<br />1. Auguste Dick, Emmy Noether, Birkha¨user, Boston, 1981.<br />2. Emmy Noether in BrynMawr, SpringerVerlag, New York, 1983.<br />3. B. L. van der Waerden, Obituaries ofEmmy Noether, Mathermatische Annalen111, 1935, 469-476.<br />4. P. S. Alexandrov, In memory of Emmy Noether, Memorial adress deliveredbefore the Mathematical Society ofMoscow, Moscow, Sptember 5, 1935.<br />5. Hermann Weyl, Emmy Noether,Scripta Mathematica III, 3, 1935, 201-220.<br />6. Emmy Noether, A Tribute to Her Lifeand Work, edited by J. W. Brewer andM. K. Smith, Marcel Dckker lnc. 1981,New York and Basel.<br />7. Albers Alexanderson, MathematicalPeople (Profiles and Interviews),Birkha¨user, Boston 1985.<br />8. Albert Einstein, The Late Emmy Noether, The New York Times. May4, 1935, 12.<br />