中外著名的数学家

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莱布尼茨

　

　　微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列

0，1，4，9 16，…

　　的性质，例如它的第一阶差为

1，3，5，7，…，

　　第二阶差则恒等于

2，2，2，…

　　等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．

　　1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和

　　莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：

　　初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献．

　　对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值．

　　利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：

　　(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．

　　(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．

　　有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”．

　　根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将图1中特征三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)如图2，其中 ds2=dx2+dy2．

　　利用特征三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式

　　这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积．

　　1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式

　　同时，他还给出了曲线长度公式

　　在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式

　　1676年11月，他得出了公式

　　其中n是整数或分数(n≠-1)．

　　莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．
6 ?2 J# q  U) u9 u/ s

　　由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度，因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系，认识到要从y回到dy，必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系．

　　莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)

(A为曲线f下的图形的面积，图3．)

　　于1693年给出了这个定理的证明．以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．

　　莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．

　　早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则：

　　“如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx；

　　加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx；

　　乘法 y=vx，dy=vdx+xdv

　　

　　在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x)，当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，对于曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是极大值(或极小值)”，他详细讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取极大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．

　　以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等．

　　他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：

　　其中

n！=1×2×3×…×(n-1)×n．

　　莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．

　　品中出现了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语，并给出了曲率ρ公式：

　　其中R为曲率半径．

　　1692年和1694年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在

　　中消去α．实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．

　　无穷级数 在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．

　　在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式(图4)：

　　
* {1 a% s, N5 m) r# [6 P- p9 f　　
　　

　　1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．

　　
无穷级数展开式，得到了如下的式子：

　　


; ^( B! y- v- v0 v* `1 A误的．直到1734—1735年，L．欧拉(Euler)才得到

　　在1713年10月25日写给约翰·伯努利(John Bernoulli)的信中，莱布
“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数还相当混乱．

　　微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx，dy)的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．

　　1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如

　　型方程的求解问题．方法是，先写成

　　然后两边积分．

　　这一年，他还提出了求解一次齐次方程

　　的方法：

　　

　　因此经过这种变换，原来的一次齐次方程就变成了

　　

　　1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年，他和约翰·伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解．

　　1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程
& z  L# D4 a0 k7 C变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程

a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0

　　进行简化．

　　通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题．例如，1686年，他解决了这样的问题：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出，

　　
证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质．此外，他还考虑过概率方程．这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程：

　　

　　1691年，他给出了自达·芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为

　　1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题：

　　求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短(图5)；其中摩擦和空气阻力都忽略．

　　这是约翰·伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L’Hospital)、约翰·伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程

　　

　　表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究．

　　数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有

　

　　此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．

　　在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数
$ O1 _" ^; U1 n6 q+ V4 @3 h: g

用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介．

　　在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：

　　此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

　　

二进位制

　　莱布尼茨发明二进位制的时间，大约是在1672—1676年的巴黎时期．1679年3月15日，莱布尼茨写了题为“二进位算术”(De I’arthmetique binaire)的论文．文中对二进位制进行了相当充分的讨论，与十进位制进行了比较：

　　

　　给出了将二进位数改写成十进位制数的法则：

　　1011000(二进位制)写成十进位制数就是

　　26+0+24+23＋0＋0＋0

　　=64＋16＋8

　　=88．

　　下面就是1679年3月15日手稿的一页(见183页)．

　　莱布尼茨不仅完整地解决了二进位制的表示问题，而且给出了正确的二进位制加法与乘法规则．例如，他给出以下这类实例：

( l2 Q& h0 _# p

　　1695年5月莱布尼茨与鲁道夫·奥古斯特(Rudolphus Au-gustus)大公的一次谈话中，大公对他的二进位制非常感兴趣，认为一切数都可由0与1创造出来这一点，为基督教《圣经》所讲的创世记提供了依据．这是因为唯一完美的上帝是从无到有创造了世界，这与一切数的根源来自0与1的这种体系是对应的．莱布尼茨由此激起热情，试图以大公的这一想法来争取人们对他的二进位制的关注．1697年他在致大公的信函中，就将他创造设计的象征二进位制的纪念章图章当作新年礼品奉献给大公．纪念章正面是大公图象，背面的设计是这样的(见图7)：水面上笼罩着一片黑暗，顶部光芒四射——象征创世的故事；中间排列着二进位、十进位制数字对照表，两侧是加法与乘法的实例．

　　莱布尼茨希望能用二进位制证明圆周率π的超越性．

　　1701年，莱布尼茨将自己的二进制数表给了法国在中国的传教士白晋(F．J．Bouvet)，同时又将自己关于二进制的论文送交巴黎科学院，但要求暂不发表．同年11月白晋把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位两个图给了莱布尼茨．莱布尼茨对白晋提供的材料欣慰异常，发现中国古老的易图可以解释成0—63的二进制数表．莱布尼茨因为从二进制数学理解了六十四卦图(邵雍的六十四卦方圆图，图8)而高兴地说：“几千年来不能很好被理解的奥秘由我理解了，应该让我加入中国籍吧！”1703年，他将修改补充的论文“关于仅用0与1两个记号的二进制算术的说明，并附其应用以及据此解释古代中国伏羲图的探讨”(Explication de l’arthmetique binaire，quise sent des seuls caracteres 0 et 1，avec des remarques Surson utilite，et Sur ce quelle donne Le Sens des aneiennes fi-gures Chinoises Fohy，1703)再送巴黎科学院，要求公开发表．自此二进制公之于众了．

　　根据上述历史事实，表明莱布尼茨并不是受易图的启发而发明二进制的，而是他发现了易图结构可以用二进制数学予以解释．应该说，莱布尼茨的二进制数学能被用来理解古老的中国文化．自他发现了二者之间的这种关系后，在世界范围内兴起了对易学的数理研究，使人们对易学的兴趣日增．

　　莱布尼茨所进行的计算机设计，程序自动化、程序设计的思想，再加上二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础．

　　尽管莱布尼茨本人为计算机的设计、二进制的发明感到自豪，但他却没有将二进制用于计算机，没有使二者结合起来．在当时条件下，一个二进位制的机器只会增加技术上的困难，只有随着电子技术的发展，人们才能将二者有效地结合起来．那种认为他是为计算机而引进二进位制的说法是违背历史事实的．

逻辑学

　　莱布尼茨的逻辑学研究包括两个方面：数理逻辑与形式逻辑．

　　数理逻辑 莱布尼茨决心构造一门基本学科，这门学科在某些方面象数学，但也包括传统逻辑中一些尚未发展的研究内容．他注意到了传统逻辑与数学的共性，发现逻辑及其词项、命题和三段论与代数中的字母、方程式和变换，具有某种形式上的相似，因此他决心把逻辑表示成一种演算，这种演算研究非数量的抽象关系或形式关系，他曾称之为普遍数学．他希望建立一种哲学语言(lingua philosophica)或普遍语言(characteristica universalis)，这种语言不仅有助于思想交流，而且有利于思想本身．莱布尼茨力图发明一种对概念进行演算的理论，使得概念也能象数一样进行代数演算．

　　1679年，莱布尼茨开始进行了这方面的研究．他的思想是：每一个简单的词项用一个素数表示，每一个合成词项用素数乘积来表示．如用3表示“能思维的”，7表示动物，人是能思维的动物则可用21表示，写成21=3.7．一个全称肯定命题，如果主项的数能被谓项的数整除，则该命题为真．

　　1686年，莱布尼茨发展了关于概念相等和概念包含的理论，其中引入了词项a，b，c，…，运算符号—(non，表示“非”)．四个关系

　　利用这种演算，他成功地将亚里士多德的四种类型的一般命题，表示成了符号公式形式，从而使得用符号表示逻辑命题成为可能．他所考虑的方案和表达方式是：

　　莱布尼茨认为，有可能构造一种符号系统，这种系统可以作内涵的解释也可以作外延的解释．1690年他已经引入了概念的加、减法，用以表示逻辑概念演算及逆运算．他用
1 \7 T  G$ o: z# R表示逆运算，例如A—B=C，当且仅当A=B＋C，且B和C没有共同的东西．

　　意义．以此为基础，他建立了一套全新的理论体系．他的体系要点主要是公式及一套关于词项、命题的定义与演算规则，如A=B的定义：词项是同一的或一致的，就是说它们能在任何地方，以一个代之以另外一个而不改变任何命题的真值．A=B表示A和B是同一的．

　　这种体系在逻辑上是从未有过的，直到约一个世纪以后才由G．布尔(Boole)重新给出．可惜的是，莱布尼茨没有发展和写出系统的著作，只留下了大批手稿，其中还有许多是断简残篇，但D．希尔伯特(Hilbert)依然说：“数理逻辑的思想首先是莱布尼茨明显说出的．”而这种数理逻辑还仅仅只是莱布尼茨符号语言的一部分．

　　莱布尼茨符号语言的理想是，使一切推理过程、思维过程、争论过程都像数学一样能够计算，甚至能够交给机器完成．为此，他做了很多工作．

　　形式逻辑 莱布尼茨在形式逻辑方面的主要工作是，关于判断的分析理论，在此基础上的复合概念理论和关于偶然命题的理论，以及“充足理由律”的提出．

　　他不相信一切论证都可以纳入三段论式，因为他了解到条件论证和析取论证不能还原为三段论形式．对于形式证明，他承认经院哲学争论中使用三段论可能堕落为蠢笨迂腐的学究，但他认为不能没有形式化，否则就会丧失严格性．但对亚里士多德的推崇妨碍了他在这方面取得更大的成就．

　　区分和研究两类真理：理性的真理(必然性命题)与事实的真理(偶然性命题)是莱布尼茨整个科学思想体系特别是他的哲学认识论的核心内容．从逻辑方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它们的反面是不可能的，事实的真理是偶然的，它们的反面是可能的．”他又认为推理是建立在两大原则上的：(1)矛盾原则，凭着这个原则，我们判定包含矛盾者为假，与假的相对立和相矛盾者为真；(2)充足理由原则，凭着这个原则，任何一件事如果是真实的或实在的，任何一个陈述如果是真的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，也许这些理由常常不知道．因此他在逻辑学中引入了“充足理由律”，使之成为与传统的同一律、矛盾律、排中律相并列的一条基本思维定律．

物理学、力学、光学

　　1671年，莱布尼茨写下了《物理学新假说》(Hypothesisphysica noua)，其中包括两个部分：具体运动原理(Theoriamotus Concreti)，是奉献给伦敦英国皇家学会的；抽象运动原理(Theoria motus Abstracti)，是奉献给巴黎科学院的．他的具体原理是试图从较简单现象的角度来解释最重要的复杂现象的一种假说，这种原理建立在以太的相对循环的基础上，以太则是通过围绕地球的最初组成状态的物质才起作用的．他认为物体的全部内聚力依靠构成这些物体的微粒的运动，运动的起因是以太微粒的碰撞，它是物体的全部特性的终极原因．莱布尼茨的抽象原理来源于他对连续体的研究和对运动定律的看法，他认为物质的微粒完全处于静止状态时，对一个运动着的物质不存在阻力，只有当微粒构成部分的内在运动时，物体才具有阻力或内聚力．他认为，运动着的物体，不论多么微小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动．

　　他的物理学研究计划是：根据一个审慎的计划和规模，进行某些实验，借以在其上建立一个稳定的和论证的物理学堡垒．他的最终的奋斗目标是为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统．

　　莱布尼茨在物理学上最重要的工作是对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型．

　　1686年，莱布尼茨在《教师学报》上发表了反对笛卡儿关于力的度量的文章“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”(Breuis demonstratio erroris memorabilis Cartesii et aliorum circa Legem naturae)，提出了运动的量的问题，从而开始了与笛卡儿学派关于运动度量的长期争论，并发展成了力学中的两个派别．

　　莱布尼茨指出，如果只用动量(mv，m为物体质量，v为物体运动速度)度量运动，那么“力”(mv2)在自然界不断增加或减少时，就会导致动量(mv)不守恒，因此他认为动量(mv)不能做为运动的度量单位．

　　他把力分为“死力”和“活力”，“死力”是静止物体的“压力”或“拉力”，这种力是外来的，其度量是物体的质量和物体由静止状态到运动状态时具有的速度的乘积，即动量mv．“活力”(vis viva)是内在于物体的力，是物体的真运动．

　　在他看来，“活力”应该由物体的质量和该物体所能上升的高度来测量(mh)，按照伽利略落体定律，莱布尼茨成功地计算出高度h与速度v的平方成正比，“活力”保持不变m1v21=m2v22．因此，1695年他正式称mv2为“活力”(vis viva)，并以mv2作为运动的度量单位，动能的概念就这样被引入到物理学中来了．这是他在《教师学报》上发表的“动力学实例”(Specimen dynamium)中提出的，这篇论文是莱布尼茨力学的结晶，包含了他的大部分研究成果．莱布尼茨第一次认为“活力”mv2是物理学上的终极因，因而可以转化为各种各样的形式，同时还第一次认为mv2的守恒是一个普遍的物理原理，这样他就有充分的理由证明“永动机是不可能”这样的观点．究竟应该以mv2，还是以mv，作为运动的量度，经过长达半个世纪的争论，直到1743年J．R．达朗贝尔(d’Alembert)指出两者都是正确的，不过各自所着眼的角度不同罢了，争论才平息．

　　莱布尼茨反对牛顿的绝对时空观，与牛顿的学生S．克拉克(Clarke)进行了长时期的辩论．在莱布尼茨看来，时空与运动、物质是密不可分的，认为“没有物质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样．可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”．这些思想后来引起了A．爱因斯坦(Einstein)等人的关注．

　　在材料力学方面，莱布尼茨支持马里奥特关于梁受力性质的思想．1684年，他在“固体受力的新分析证明”(Demonstratonsnovae de Resistentia Solidorum)一文中指出，纤维是可以延伸的，它们的拉力与伸长成正比．因此，他提出将胡克定律F=-kx应用于单根纤维，这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特-莱布尼茨理论．

　　在光学方面，莱布尼茨利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律：

　　并尝试用求极值的方法解释光学基本定律．

地质学

　　1693年，莱布尼茨在《教师学报》上发表了一篇论述地球起源的文章，后来扩充为《原始地球》(Protogaea)一书．他认为，地球在早期是一个均匀的、灼热的熔融球体，形成之后开始逐渐冷却、收缩．当外表层冷却到一定程度后，一方面形成了原始的大气，另一方面形成一种玻璃质和熔洼质所组成的波质地壳，地壳由于收缩而形成褶皱．随着地球的进一步冷却，在这些褶皱的地壳上面，周围的水蒸汽便冷凝成汪洋大海，而由于水蒸汽融解了地壳表面的盐，因此海水就变咸了．引起这些地质大变化的原因，有些是地球内部的气体爆发使地壳破裂，有些是地球表面洪水泛滥所起的作用．前一种原因的作用结果形成火成岩，后一种原因的作用结果产生的是沉积岩层．

　　莱布尼茨进一步认为，在地壳不断变化，厚度增加的过程中，地表下形成了大量的气泡和空穴，当这些气泡和空穴由于重力等的作用而使其顶部发生坍陷时，地面上的水注入地下洞穴，从而使得原始海洋的水平面降低，因此就出现了山脉，地壳表面上也就有了大陆和海洋之分．同时，地壳表面由于海水的运动就形成了大规模的洪水，洪水对岩石造成了浸蚀，在冲刷、浸蚀的过程中，使得海水越来越咸，岩石碎片逐渐堆积，形成沉积岩．这种过程在地球的历史中多次进行，造成了各种沉积岩石和火成岩石交互出现的现象．在每一次大的运动之后，这些作用又达到新的平衡，从而又开始一个新的稳定时期．用这种观点，莱布尼茨成功地解释了岩石中含有动物遗迹以及含有年代不同的岩石碎块的沉积物这一现象．

　　对于石煤、合硫物质、石油等易燃物质，莱布尼茨认为火山爆发与地震是形成的原因．对于地层中的生物化石，有些甚至在今天的生物界中还没有找到与这些化石相应的生物，他认为，这些化石反映了生物的不断发展，这种现象的最终原因是自然界的变化而非偶然的神迹．

　　他的地球成因学说，尤其是他的宇宙进化和地球演化的思想启发了J．B．拉马克(Lamarck)、C．赖尔(Lyell)等人，促进了19世纪的地质学理论的新进展．

其他领域

　　莱布尼茨在化学、生物学、气象学、心理学等领域也做了重要的工作．

　　在化学方面，1677年，他写成《磷发现史》(Geschichte derErfindung der phosphois)，对磷元素的性质和提取作了论述，促进了磷元素的发现．他还提出了分离化学制品和使水脱盐的技术．

　　在生物学方面，他从哲学角度提出了有机论方面的多种观点，认为存在介乎动物、植物之间的生物，水螅虫的发现证明了他的观点．

　　在气象学方面，他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况的观察．

　　1696年，莱布尼茨提出了心理学方面的身心平行论(para-llelism)．他强调统觉(apperception)作用，与笛卡儿的交互作用论、B．D．斯宾诺莎(Spinoza)的一元论构成当时心理学三大理论．他还提出了下意识理论的初步思想．

　　1691年，他还曾致函D．帕潘(Papin)，提出了蒸汽机的基本思想．

　　1700年前后，他最早提出了无液气压机原理，其中完全省掉了液柱．

　　莱布尼茨一生中，总是希望在学术和政治活动的各个领域都出人头地，他呕心沥血地工作和学习，善于吸收别人的思想，无论何时，只要他抓住一个新课题，就查阅所能找到的与此有关的一切材料，从不囿于传统的观念，而是希望产生与他具有的天才相当的创造性作品．为此，他对于要发表的作品总是不厌其烦地反复推敲．

　　他善于用访问和通信的方式与人们讨论问题，阐发自己的观点，一生中曾与千余人有过书信交往，留下了一万五千多封信件．与他通信的有各种各样的人士，既有牛顿、沃利斯、伯努利家族、A．阿尔诺(Arnauld)、N．De马勒伯朗士(Melebranche)等科学界、哲学界的知名学者，也有欧洲各国的王侯皇妃，距离远至远东的中国．信件的内容广泛，涉及历史学、哲学、语言学、数学、逻辑学、化学、生物学、物理学、工程技术等等．这些信件记载着他的思想、见解和各种研究成果，有的信件其实就是学术论文．他的许多著作生前未发表，大量的手稿和书信现在还存放在汉诺威图书馆中．有许多学者陆陆续续编纂出版过莱布尼茨著作集．第一次世界大战前，柏林科学院曾计划编莱布尼茨全集四十卷，这一工作至今仍未能完成．法国科学院则准备在20世纪末编辑出版莱布尼茨全集．

　　莱布尼茨一生涉猎了各个不同的学术领域，都留下了深深的印记，并且对后世产生了不同程度的影响．他处于文艺复兴时期的整体主义和活力论的世界观与18，19世纪的新原子论和机械论唯物主义的交接时期，他的观点，对他那个时代来说是激进的，超前的，许多重要思想以后才为人们所接受和重新发现，他的有些工作和观点无疑还包含着至今尚未认识到的潜力．正如他自己所说的那样：“我有非常多的思想，假如别人比我更深入透彻地研究这些思想，并把他们心灵的美好创造同我的劳动结合起来，那么，这些思想总有一天会有某些用处的．”

　　作为哲学家，他在哲学史上与亚里士多德齐名，他的学说与其弟子C．沃尔夫(Wolf)的理论结合，所形成的莱布尼茨-沃尔夫体系极大地影响了德国哲学的发展，尤其是影响了I．康德(Kant)的哲学思想．他开创了德国的自然哲学，以后经过沃尔夫、康德、J．W．V．哥德(Goethe)，到G．W．F．黑格尔(Hegel)得到了长足的进展．莱布尼茨集科学研究与哲学研究于一身，科学思想与哲学思想相互联系和相互促进．例如他的单子论与其数学研究中的微分概念是相通的，他的单子概念和有机论自然观现在仍然受到人们的重视．他与英国哲学家J．洛克(Locke)在认识论方面的创造性的辨论以及他的名著《人类理解新论》(Nouveaux Essais Sur L Entendement Humain)丰富了哲学认识论，同时也加深了欧洲哲学两大派——经验主义与理性主义的对峙，而莱布尼茨则被认为是理性主义的重要代表人物之一．V．L．费尔巴哈(Feuerbach)曾经说：“近代哲学领域内继笛卡儿和斯宾诺莎之后，内容最为丰富的哲学乃是莱布尼茨．”他的逻辑学思想直接推动了20世纪B．罗素(Russell)等人对数理逻辑的研究和发展．

　　作为一位数学家，莱布尼茨对欧洲大陆数学的发展有着直接的重要的影响，突出地表现在欧洲大陆数学家宁愿采用他的d符号(微分符号)而成为“d主义”者，并与英国数学家的“点主义”展开了长达一个多世纪的抗争，使英国数学由于长期拒绝运用先进的符号和思想而落后于欧洲大陆的数学．直到19世纪英国的C．巴贝吉(Babbage)等青年数学家为改变这种状况而成立了一个数学分析学会，为反对“点主义”拥护“d主义”而奋斗，终于采用了莱布尼茨的微分符号．

　　莱布尼茨建立科学院的思想，直接促进了世界上几个著名科学院的建立；他的关于所有学科进行综合研究的观点，英明地预见了科学发展的趋势．在他的一生中，关心过各种各样的科学文化和社会政治问题，鼓吹和平与团结的济世胸怀贯穿始终，一刻也不懈怠地致力于旨在推动社会进步的学术、文化活动．

　　可以说，当今在各个学术领域都或多或少地看到他的影响．不过，许多情况是这样：只有在他的思想重新被发现以后，人们才开始注意到他在这些方面的“优先权”．

　　莱布尼茨一生没有结婚，一生没有在大学当教授．他平时从不进教堂，因此人们送给他一个绰号：Lovenix，即什么也不信的人．他去世时教士以此为借口，不予理睬，而宫庭也不过问，无人前来吊唁．弥留之际，陪伴他的只有所信任的大夫和他的秘书J．G．V．艾克哈特(Eckhark)．艾克哈特发出讣告后，巴黎科学院秘书B．L．B．封登纳尔(Fontenelle)在科学院例会时向这位外国会员致了悼词．1793年左右，在汉诺威为他建立了纪念碑；1883年，莱比锡的一个教堂附近竖起了他的一座立式个人雕像．1983年，汉诺威照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，以供后人瞻仰

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勒让德

　 勒让德，A．M．(Legendre，Adrien-Marie)1752年9月18日生于法国巴黎；1833年1月9日卒于巴黎．数学.
　　勒让德出身于一个富裕家庭，就读于巴黎的马扎林(Maza-rin)学院．他受过科学教育，特别是数学方面的高等教育．他的数学老师 J．F．M．阿贝(Abbè)是一个小有名气并且在宫庭中受到尊敬的数学家．1770年勒让德18岁时，就在阿贝的主持下通过了数学和物理方面的毕业论文答辩．他的经济条件足以使他全力以赴地从事科学研究工作．但尽管如此，他还是在1775年到1780年在巴黎的军事学校教过数学．他的研究工作受到科学界的注意，并在1782年获得柏林科学院的奖励．1783年3月30日，他取代 P．S．拉普拉斯(Laplace)作为一名力学副研究员被选进科学院，1785年被提升为合作院士．
　　1787年，他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作，并参加了皇家学会．1790年前后，与一位19岁的姑娘玛格丽特·库塞(Marguerite Couhin)结婚．1791年4月13日，他被任命为一个三人委员会的委员，设置该委员会的目的是解决为确立标准米而进行的天文运算和三角测量问题．1793年科学院被查禁，他一度被迫隐居，由他的年轻妻子帮助他创造了一个安静的环境继续从事研究工作．他们一直没有子女．
　　1794年，巴黎行政区的公众教育委员会任命勒让德为马拉(de Marat)专科学校的纯粹数学教授．不久该校解散，他又担任公众教育国家执行委员会第一办公室主任，领导处理度量衡、发明创造以及对科学工作者的奖励等事宜，不久成为该委员会的高级秘书．1799年，他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学校担任研究生答辩的数学主考人，1815年辞职，得到一笔3000法郎的养老金．1813年，J．L．拉格朗日(Lagrange)去世，由勒让德取代了他在经度局的位置，并在那里终其余生．
! @7 j! d# z2 \, e+ E! U7 F　　勒让德在数学方面的贡献，首先表现在椭圆函数论．有许多理由足以说明他是椭圆函数论的奠基人．在他之前，C．麦克劳林(Maclaurin)和 J．R．达朗贝尔(d'Alembert)曾研究过可以用椭圆或双曲线的弧表示的积分．G．C．法尼亚诺(Fagnano)在1716年曾证明，对任意给定的椭圆或双曲线，可以用无穷多种方法指定两条弧，使得其差等于一个代数量．他还证明过，伯努利双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的弧能够像圆弧那样被代数地加以乘、除．这是椭圆积分简单应用的第一个说明．这一积分被勒让德记作F(x)，他认为用它可以决定所有其他的积分．从法尼亚诺的研究出发，L．欧拉(Euler)着手处理更一般的椭圆积分，并得出了现在称为第一类和第二类椭圆积分的加法定理．1768年，拉格朗日把欧拉的发现纳入通常的分析程序．1775年，J．兰登(Landen)又证明了双曲线的每一条弧能够用一个椭圆的两条弧来度量．1786年，勒让德出版了他的关于椭圆弧的积分的著作．其中第一部分是在他知道兰登的发现之前就已写出的．他避免应用双曲线的弧，而采用作一个适当构造的椭圆弧的表的办法来代替．他给出兰登定理的一个新的解释，并且用同一方法证明了每一个给定的椭圆是一个无限多的椭圆序列的一部分．求出两个任意选定的椭圆的周长，就可以求得所有其他椭圆的周长．有了这条定理，就有可能把一个给定椭圆的求长问题化成两个其他的和圆相差任意小的椭圆的求长问题．
　　不过，这一课题及一般形式的超椭圆函数理论，需要更系统的处理．这正是勒让德在他的“关于椭圆超越性的论文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的．他提出对这一类型的所有函数应进行比较，将其区别归类，把每一个变成可能的最简形式，并利用最容易、最快速的近似法对其求值，进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统．
　　勒让德后来的研究，从几个方面完成了这一理论．1809年，他发表了“各种不同定义的积分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，继续从事对欧拉积分(这一术语是勒让德给出的)，特别是对Г函数的研究．1811年，勒让德在《积分练习》(Exercices de
& d2 V: l: U( d8 \5 a
# m) O3 `. U1 i- A+ G/ y+ \6 t/ b+ N

$ b, C% y+ D0 i' q6 ^+ A3 X2 u　
, G7 o) x8 _3 S6 u# q7 O4 o8 M, T　　第三类积分为

　　其中η为参数．每一个椭圆积分可被表示为这三种超越类型的一个组合．
, a: B6 n! O) U9 _, _　　

　

, K! i3 M% P3 \& M　　　
; V; n  ~7 f0 }0 g0 B& {　　定理指出：

　　　
. s, `- c% s: J9 A' I4 m9 q4 B' G(μ)可以被一个任意常数(整数或有理数)相乘．经过这样的研究，勒让德对三种类型的积分中的每一种都导出了许多结果．
# A  a: E; P/ F8 j" x' z　　
& \2 l. F+ z/ ]% s! e: h8 [角．根据兰登定理，他建立了一种变换，后来称之为二次变换，即如果
　　复使用这种变换，勒让德建立了椭圆函数表，于1817年公开发表．
. Z2 S) m8 A" Z0 ^* d　　1826年，勒让德又出版了《椭圆函数论》(Traité des foncti-ons elliptiques)，在第二卷中列有9张这种表．最后一张表是函数F和E的
时取10位小数，在45°至90°之间时取9位小数．他曾写信给 C．G．J．雅可比(Jacobi)，说他在无任何外力帮助的情况下致力于如此冗长而乏味的工作，但却乐此不疲，并认为这一工作的重要性完全可以和 H．布里格斯(Briggs)的对数表媲美．
　　1827年，雅可比也开始研究椭圆函数．他写信把自己的和N．H．阿贝尔(Abel)的发现告诉给勒让德．面对年轻对手的挑战，勒让德的态度是非常热心和直率的．他在《椭圆函数论》第3卷的序言中赞扬了这位“柯尼斯堡的年轻几何学家”以及阿贝尔．后来又发表了《椭圆函数论》的3个附录．前两个主要介绍了雅可比的工作，也提到阿贝尔，其中包括椭圆函数和勒让德积分的反函数．勒让德以其惯有的略嫌冗长的模式讨论了将椭圆函数推广到复数域和双周期．附录三主要讨论阿贝尔的工作和他的大定理．1832年3月4日，勒让德总结他的工作说：“我们仅接触到这一课题的表面．可以预言它将随数学家的工作而日趋成熟，最终将构成超越函数分析中的一个最漂亮的部分．”
　　数论是勒让德特别关注的第二个重要领域．早在1785年，他所发表的“不定分析的研究”(Recherches d’analyse indétermi-née)一文中即载有二次剩余互反律及其若干应用的一个说明，把数分解成三个平方数的理论的概述，还陈述了一条以后变得很有名的定理：“每一个首项和公比互素的算术级数中都含有无限多个素数．”1798年，他又发表了他的《数论随笔》(Essai sur la théoriedes nombres)一书的第一版．他在这本书里，用更系统和更彻底的方法处理了“不定分析的研究”中的那些论题．该书是18世纪数论学科的主要著作之一．第二版以《数论》(Théorie des nom-bres)为名于1808年出版．在这一版的引言中，勒让德提到要高度注意严密性，这一点是值得赞扬的．在这一版中，他利用和 P．de费马(Fermat)的无穷递减法有关的技巧证明了整数乘积的变换性．作为欧拉和拉格朗日的一个直接追随者，勒让德和他们一样，经常使用连分数的算法，用来解一阶不定方程，并用来证明费马方程x2-Ay2=1 恒有一个整数解．以后他又给第二版增加了两个附录(1816，1825)．第二个附录中含有方程x5+y5=z5不可能有整数解的一个漂亮的证明．接着就是对这条定理的更复杂情形的考察．该书第三版分成两卷，于1830年5月问世．第三版发展了第一版中的内容，并添上一些在很大程度上受到 C．F．高斯(Gauss)影响的新思想．这一版特别有价值．它和高斯的《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)一起同为这门学科中的标准著作．
: @2 r6 l2 R, n8 m1 A  P9 I　　勒让德还追随拉格朗日研究过二次型，在某些方面得到了完善的结果．例如，他证明了每一个非8k+7型的奇数是三个平方数的和．在这一结果的基础上，A．L．柯西(Cauchy)在1812年针对多项式数的情形证明了费马定理．
, `( c, u8 n2 P6 t$ a- z" b* |　　勒让德对数论的主要贡献是提出二次剩余的互反律．这是18世纪数论中最富于首创精神的可能引出最多成果的发现．1785年，他用一个冗长而不完善的说明提出这一定律．1801年，高斯对勒让德的陈述进行了批评，并宣称他是第一个能够严格叙述这一命题的人．1808年，勒让德采用了这位年轻的批评者所给出的证明．他发明了记号(p/q)，令其等于1或-1，以表示p是q的二次剩余或二次非剩余．在这种记号下，二次互反律说，如果p和q是不同的奇素数，那末

(p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4．

　　1830年，他又把他认为是更好的雅可比的证明补充了进去．
　　作为一个非常熟练的计算工作者，勒让德提出了有价值的数表．他编列了二次型的二次和一次的因子以及费马方程x2-Ay2=±1的最小解．后一张表出版于1798年，并在1808年用一种更简略的删节本形式重印．
　　勒让德还是解析数论的先驱者．他在1798年提出了素数分布定律的初步形式，1808年又使其更加精确化，呈现为如下形式：如果y是小于纳法发现这一定律的．1793年，高斯由直觉看出了素数的渐近分布定律．但是，第一个明确给出这一条非凡定律的，还是勒让德．
  \- B5 E  M: {# L1 x# r　　另一方面，勒让德早在1785年便说明了在每一个算术级数ax+b(此
　　对数论研究开辟了一个十分广阔的园地之后，勒让德在1830年又试图阐述阿贝尔的关于方程代数解的概念．勒让德认为，他已令人信服地证明了对于高于四次的方程来说，求得一般的解是不可能的．他还对研究方程的数值解法表示过兴趣，特别是研究过根的分离和把它们展开成连分数．1808年，他提出了关于代数基本定理的证明，与 J．R．阿尔冈(Argand)在1806年给出的证明十分类似．
, r, ]  L5 d3 [. }　　在他的《几何学原理》(Eléments de géométrie，1794)的附注4(发表于该书的第一版)中，勒让德利用连分数的算法建立了兰伯特定理(1761)：圆的周长和直径的比是一个无理数．他改进了这一结果，证明了这个比的平方也是一个无理数，并补充说：“很可能数π甚至不包含在代数无理数中，但是要严格说明这个命题似乎是非常困难的．”
6 Z' H; V) ]& N8 J　　在他整个一生中，勒让德都对数论有着极大的兴趣．他非常了解这个题目的困难．因此在他最后的几年当中，经历了一个对它不再抱希望的过程．例如，他在1828年写信给雅可比说：“我打算奉劝你不要化太多的时间去研究这类问题；它们是非常困难的，而且往往是毫无成效的．”
　　天体力学是勒让德在他早年科学研究生涯中关心过的另一个领域．他年轻时曾从事关于星球的相互吸引问题和它们的平衡方式的研究．1783年1月，他在科学院宣读过一篇关于这一问题的论文，该文发表在《外国博学者文集》(Recueil des savants étran- gers，1785)一书中．他在这篇文章中证明了一条定理：如果旋转体对位于轴的延长线上每一外点的引力为已知，则它对每一外部点的引力也可求得．文章中出现了我们现在所谓的勒让德多项式．对这一多项式的研究引起了以后一系列浩瀚的工作．
　　1784年7月，勒让德在科学院宣读了“关于行星形状的研究”(Recherches sur la figure des planètes)．他在此文中推导出勒让德多项式的一些性质，并将这些性质和其他性质运用到万有引力的问题上．此后不久，他又发表了“关于地球形状结果的三角运算”(Mémoire sur les opérations trigonomètriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre)．在这篇文章中有一个关于球面三角的“勒让德定理”：
+ b8 {8 p$ n2 A  M9 _$ z　　“当一个(球面)三角形的边相对球半径是很小的时候，它非常近似于一个直线三角形．如果从它的每一个角中减去这三个角之和与二直角(之和)之差的三分之一，则按这一方式所得的角可以被看作是一个直线三角形的角，这个三角形和已知三角形有相等的边长．”
　　1790年，勒让德发表了“论重积分”(Mémoire sur les inté-grales doubles)一文．他在这篇文章里完成了他关于球体吸引的分析、包括对非均匀球体情形的研究，以及某些微分方程的特殊积分的探讨．
% r4 ]! V# \7 |0 t  u8 @. J, a　　18世纪末，由R．de普隆尼(Prony)领导的法国勘测局编制了三张数学用表，即：按一直角的每千分之十度计算角的余弦，精确到小数第22位；按一直角的每千分之一百度计算正弦的对数，精确到小数第12位；以及从1到200 000各个数的对数，也是精确到小数第12位．这项工作由以勒让德为首的分析学家们组成的一个小组进行准备，勒让德设计了一些新的公式用以确定正弦的相继的差，并根据一些恒等式对计算出来的结果相互验证．1802年，勒让德写道：“这三张表是用新方法计算出来的，主要是基于差分演算的方法，它们是树立于科学事业中最出色的纪念碑之一．”这些手抄表的抄本被收存在经度局中．有一篇解释性的文章发表在《专科学校论文集》(Mémoires de l'Institut，1801)里．
$ M* z7 l) Z; Q7 Z: p' T1 s1 f# r　　还有一个重要领域是勒让德的著作中所涉及到的，即初等几何——特别是平行线理论．他在这方面的著作《几何学原理》多次再版并被翻译成英文、德文、罗马尼亚文，支配了这门课程的初等教育几乎达一个世纪．附于书中的详细注释至今尚有一定的价值．1793年，公众教育委员会又委托他和拉格朗日合写了一本题为《微分学和几何学原理》(léments de calcul et de géométrie)的教材．《几何学原理》中的教义式的表述，标志着法国在很大程度上对欧几里得的迷信．在非欧几何学家为了使他们的概念被公众接受所作的斗争中，这本书倍受责难．1832年，勒让德曾回忆起他在1794年至1823年为证明欧几里得平行公理所作的种种努力，他本人从未认识到这一切都是徒劳的．实际上，在他的一个似乎是无可挑剔的证明中，可以找到一个谬误．正如I．牛顿(New-ton)的众多信徒一样，勒让德也笃信绝对空间和直线三角形边的“绝对的量”．遵循拉格朗日在《都灵杂录》(Mémoires de Turin，1761)中所提出的倍受青睐的“量的齐次性法则”，勒让德在1794年建立了三角形的内角和定理．假若给定三角形的一条边a和该边的两个邻角B，C，则此三角形可以唯一确定．第三个角A应为已知各量的函数：
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1 C. Y5 P2 o* S　　认为：“这一结果说明一条边a可以等于一个没有维数的纯粹数量，这是荒谬的．”量的齐次性法则必然使得这个长度在一开始就不能在公式便容易得到A+B+C=π．
　　直到生命的结束，勒让德从不怀疑这一推理的价值．失败的原因是他在最后的分析中总是依赖那些按欧几里得的观点看来是“显然”的命题．例如：凹向相反的两条凸周线必在有限远处相交；在一个角的内部总可作出一条直线使其与角的两边相交；过不共线的三个点总可以作出一个圆．他在球面几何和球面三角方面的鉴别力并没有使他消除对绝对欧氏空间的盲目信任．他在1832年写道：“这条关于三角形的三个角的和的定理应该认为是那些基本真理之一．这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子．”
: N' m3 Z/ `/ I0 q0 h　　勒让德的科学活动从大约1770年起到1832年止，在18和19世纪各从事了30年．他是拉格朗日的一位杰出的门徒，也超过了欧拉的所有弟子．他和当时其他数学家一样，既处理抽象数学，也研究数学在宇宙系统中的应用．他的著作是过渡性的，很快就陈旧了．但尽管如此，他仍是一位不平凡的计算工作者，一位熟练的分析学家，而且总的说来，是一位优秀的数学家，特别在椭圆函数论和数论方面做出了杰出的贡献．

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雅格布·伯努利

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　 伯努利，J．(Bernoulli，Jakob)1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔．数学、力学、天文学．
　　雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)出生在一个商人世家．他的祖父是荷兰阿姆斯特丹的一位药商，1622年移居巴塞尔．他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官．他的母亲是市议员兼银行家的女儿．雅格布在1684年与一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉·伯努利(NikolausBernoulli)是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长．
　　雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位．这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及文法、修辞和雄辩术等七大门类．遵照他父亲的愿望，他又于1676年取得神学硕士学位．同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学．1676年，他到日内瓦做家庭教师．从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》(Meditationes)．1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系．然后他又在法国度过了两年的时光，这期间他开始研究数学问题．起初他还不知道L．牛顿(Newton)和G．W．莱布尼兹(Leibniz)的工作，他首先熟悉了R．笛卡儿(Descartes)及其追随者的方法论科学观，并学习了笛卡儿的《几何学》(La géometrie)、J．沃利斯(Wallis)的《无穷的算术》(Arithmetica Infinitorum)以及Ⅰ．巴罗(Barrow)的《几何学讲义》(Geometrical Lectures)．他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作．1681—1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家，如J．许德(Hudde)、R．玻意耳(Boyle)、R．胡克(Hooke)及C．惠更斯(Huygens)．通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣．这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关彗星的理论(1682年)以及受到人们高度评价的重力理论(1683年)．回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于液体和固体力学的实验讲课，为《博学杂志》(Jounal des scavans)和《教师学报》(Actaeruditorum)写了一些有关科技问题的文章，并且也继续研究数学著作．1687年，雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法”，这些成果被推广运用后，又被作为F．V．斯霍滕(Schooten)编辑的《几何学》(Geometrie)的附录发表．
! @! S1 O! |' E1 _9 W8 Y, r& A　　1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究．1685年出版了他最早的关于概率论的文章．由于受到沃利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学．在这同时，他的弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli)一直跟其学习数学．1687年雅格布成为巴塞尔大学的数学教授，直到1705年去世．在这段时间，他一直与莱布尼兹保持着通信联系．
6 ^9 {. p4 Y* H% Q( M' s　　1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701年被柏林科学协会(即后来的柏林科学院)接受为会员．
　　雅格布·伯努利是在17—18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族的重要成员之一．他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域．
' [" B' J2 Z* @2 i　　微积分学 雅格布和他的弟弟约翰经常一起研究莱布尼兹的文章，迅速接受了莱布尼兹微积分的学说，并对他的文章大力加工，使之能够较易被人接受．伯努利兄弟也对微积分做了大量的新发展，成为17世纪继牛顿和莱布尼兹之后，最先发展微积分的人．莱布尼兹承认，他们在微积分方面的工作和他一样多．
　　雅格布在微积分方面的工作，同牛顿和莱布尼兹一样，也是从关于求曲线的弧长、曲率、法包线(曲线的法线的包络线)、拐点等基本的微积分课题开始．他把牛顿和莱布尼兹的结论扩展到各种各样的螺线、悬链线和曳物线．1687年，关于“定长悬挂曲线的确定” (The determination of the curve of constant descent)已被莱布尼兹当作一个问题提出．1690年雅格布在《教师学报》中也提出类似的问题：一根柔软而不能伸长的绳子，自由悬挂于两个固定点，求这绳所形成的曲线，即悬链线(catenary)形状的确定问题．莱布尼兹立即指出这个问题的深远意义，并主动解决这个问题，他的结果发表在1691年的《教师学报》上，同期约翰·伯努利、惠更斯也都各自发表了这个问题的解答．雅格布自己当时却没有能解决这个问题，所以使约翰感到莫大的骄傲．1691年与1692年间，雅格布和约翰解决了更普遍的问题，即悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳，以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳的形状的问题．1694年，雅格布也研究了受力细杆(弹性物)所具有的形状问题．对一组端点条件，他发现曲线的方程为

　　这里涉及到无理函数的积分问题．1695年关于悬链线的研究被应用到了悬置桥梁的建筑中．
* H& r( M: ^$ l* H: U2 Z+ W- N9 t- @' f  F　　雅格布在1691年获得两项突出的成果．他检验了抛物螺线
　　具有特殊的对称性；对数螺线(logarithmic spiral)在极坐标中为r=aθ，雅格布对对数螺线有深入的研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线．如对数螺线的渐屈线和渐伸线都是对数螺线；自极点至切线的垂足的轨迹也是对数螺线；以极点为发光点经对数螺线反射后得到的无数根反射线，和所有这些反射线相切的曲线叫回光线(catacaustic)，它还是对数螺线．他在惊叹欣赏这曲线神奇巧妙之余，效仿阿基米德(Archi-medes)，在遗嘱里要求他的后人将对数螺线刻在他的墓碑上，作永久纪念，并附以颂词：“虽然改变了，我还是和原来一样”(Eademmutata resurgo)．
　　1694年，雅格布出版了一本论文集《微分学方法，论反切线法》(Specimen caluli differentialis；de methodo tangentiuminversa)．这本著作用通俗易懂的语言去解释微分法的原理，因而使莱布尼兹的微积分思想得到很大范围的普及．
　　微分方程 雅格布在分析学中，使专用术语“积分”第一次被赋予数学意义而使用．他也是用微积分求一阶常微分方程分析解的先驱者之一．1690年5月，他在《教师学报》上发表了关于等时问题的解答．这个问题是：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全的振动都取相等
1 g1 M5 W4 i* N+ ~　　解答：

　　这曲线是摆线．1691年雅格布研究了跟踪曲线问题，导出了跟踪曲线的微分方程．在求解一阶常微分方程时，雅格布在1695年的《教师学报》中提出了求解方程

的问题．这方程后来被称为“伯努利方程”．莱布尼兹在1696年证明了利用变量替换z=y1-n，可以把方程化为线性方程(y和y′的一次方程)来解．雅格布和约翰都各自给出了它的解法．雅格布还研究了船帆在风力下的形状问题，而且导出了一个二阶微分方程：d2x/ds2=(dy/ds)3，这里s为弧长．
, T& J# n4 R, D, E. ?6 a　　级数 雅格布在级数方面的大量工作，使他在级数理论方面成为当时的权威．1689—1704年间他写了5篇论文，共有60个命题，这些论文中大多数是讨论函数的级数表示的，其目的是求函数的微分和积分，以及求曲线下的面积和曲线的长度．他求级数和的一些方法及判别级数收敛性的方法是值得注意的，例如比较判别法就得到了成功的运用，对级数的研究起了很好的作用．但是这些命题的表述，并没有显现出他的独创性，也出现了一些相悖的结论．
　　在第一篇论文(1698年)中，他讨论了一些无穷级数的和，证明了

　　一项均大于或等于最后一项．但是

　　

- |9 z2 y* ^4 z4 E$ A( g8 P( T3 h$ j7 a　　因此就有

　　

　　他说，这样我们可以把项一组接一组的归并起来，使得每一个组的和大于1，于是我们能够得到有限多个项，其和大于任意指定的正数，从而是有限数，承认自己还不能求出它的和的精确值(欧拉在1737年首先得到成功)，但是他知道关于优级数

　　可以求出它的前n项和．在命题24中，写出

- n8 ]; {0 g. ^　　
  k2 D4 Z: A( t* I　　地应用了比较判别法．第二篇论文主要是在三次曲线不完全分类的基础上，根据它们的形态划分成33种不同类型．第三篇论文中的命题，对于双曲线求积分应用对数级数(命题42)，
　　释(命题44)，以及级数对于圆面积和二次曲线的扇形面积的解释(命题45，46)．雅格布1698年以前关于悬链线及有关问题的见解，关于抛物线求长法及对数曲线求长的见解等分别作为命题49、命题41和命题52增补进去．第三篇论文有雅格布对二项式定理的证明，尽管牛顿在1676年曾经陈述过这个定理，并用一些仔细挑选出来的例题说明它，但没有给出任何证明，雅格布所补充的证明是最早的，然而他只限于指数是正整数的情况．大约在60年后，欧拉才想出了一个适用于指数为非正整数的证明．在命题55中出现了待定系数法．命题56—58以及命题60，
, i7 _& s/ Y  R! {1 l. D) K) p　　布尼兹的信中，我们看出在命题59中他应用了J．克里斯托弗(Christophe)、F．D．丢勒(Duillier)的改进收敛性的思想．他的侄子尼古拉第一(1687—1759)把所有这些命题作为雅格布的名著《猜度术》(Ars conjectandi)的附录发表．
　　解析几何 在解析几何方面，1691年雅格布在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为他是极坐标的发明者之一．他引入了“极坐标”的概念，并说明了某些高次曲线应用极坐标可以比较容易地画出来．在研究它们的性质时，用极坐标表示它们的方程比用直角坐标表示更方便．1694年，雅格布在《教师学报》发表的论文中，提出了“伯努利双纽线”(lemniscateof Bernoulli)，并讨论了它的性质．如图，设F1，F2是平面上的两点，且F1F2=2a(a＞0)，平面上一动点P使得

PF1·PF2=b2(b是正常数)

/ P2 r1 B9 p% B1 \: C8 Y5 D　　成立的轨迹称为一条卡西尼(Cassini)卵形线．当b=a时得双纽线．双纽线在直角坐标系中的方程是

(x2+y2)2=a2(x2-y2)，

　　在极坐标系中的方程是

ρ2=a2cos2θ．

1 l% \( e% a0 F9 E3 E$ N+ q　　 它是等轴双曲线的切线与垂直于切线并通过中心的直线的交点之轨迹．双纽线ρ2=a2cos2θ所围成的面积是a2．1691年，雅格布和约翰给出了曲线的曲率半径的公式．雅格布称之为“黄金定理”，并写作

z=dxds∶ddy=dyds∶ddx，

" H, V( j6 U5 q　　 其中z是曲率半径，如果用ds2除每一个比的分子和分母，得到

　　雅格布也给出了在极坐标下曲率半径的公式．
3 a5 W8 f& D% r# E3 r8 f　　变分法 1696年约翰向欧洲数学家挑战，提出了一个难题：最速降线问题，雅格布作为还击，1697年5月又提出另一个难题：等周问题．对于这些问题的研究和解决，使他们成为新的数学分支——变分法的重要奠基者．
% g& q( x3 @, ~' ^5 c　　 变分法是微分学中处理单变量函数极大极小问题的一种推广．对变分法的产生和发展有巨大影响的有下列几类问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题以及最小旋转面问题．17—18世纪，力学的迅速成长刺激了这类问题的发展．伯努利兄弟与前面三个问题的解决都有关系，特别是最速降线问题的提出和解决，认为是对变分法的创立有决定的意义．1696年约翰提出的最速降线问题是：确定一条连结不在同一铅直线上的两点A和B的曲线，使质点只受重力的作用由A点沿曲线滑向B点，所用时间最短(介质的阻力和摩擦力不计)．这问题的困难之处在于它和普通的极大极小值的求法不同，它是要求出一个未知函数(曲线)，来满足所给条件．这个问题提出后，数学家们立即被它的新颖性所陶醉．雅格布、约翰、莱布尼兹、洛比达和牛顿都研究了这个问题，各用不同的方法得到了相同的答案，这条曲线是旋轮线(亦称圆滚线或摆线)．雅格布的解法是比较浅显的，1700年他在《教师学报》上发表了“等周问题实解”(Solution propria problematis isoperimetrici)一文，文中包括了他对“最速降线”的解答．
/ E, E5 ?: f. W' N' s- Q　　 雅格布在1697年5月的《教师学报》上，提出了一个包含几种情形的相当复杂的“等周问题”，向其弟弟约翰挑战．约翰最初给出的解都没有获得成功，雅格布在1700年的“等周问题实解”一文中，给出了正确的答案．
5 n8 o. V: D1 ~( i) }　　1698年，雅格布在关于变分法的第三个典型问题——测地线问题上，作出了新的贡献，他解决了柱面、锥面和旋转面的测地线问题．
. m- j& d* K! O0 a. N　　概率论 《猜度术》(Arc conjectandi)是雅格布一生中最有创造力的著作，这本书是在他死后8年，即1713年才出版的．这本书的出版是概率史上的一件大事，它是把数学的又一分支——概率论建立在稳固的数学基础上的首次认真的尝试．在这部著作中他提出了概率论中的“伯努利定理”以及在数论中很有影响的“伯努利数”和“伯努利多项式”等基本内容．“伯努利定理”是“大数定律”的最早形式．由于“大数定律”的极端重要性，1913年12月彼得堡科学院曾举行庆祝大会，纪念“大数定律”诞生200周年．
　　 早在雅格布的《猜度术》出版之前，P．de费马(Fermat)、E．帕斯卡(Pasccal)以及惠更斯等人就对概率论问题作过一些研究，获得某些成果．雅格布本人也在《教师学报》(1685)上写过一些论文，提出了有关赌博游戏中的输赢次数问题，对这些问题他在《猜度术》中也做出了解答．《猜度术》这部巨著中提出的大数定律是在随机现象的大量重复中往往出现的必然规律的总称，是对大量经验观测中呈现的稳定性的刻划．雅格布对大数定律的陈述与现代的标准概率论著作十分一致，“随着观测数目的不断增加，那记录在案的有利事件与不利事件的比接近真实比的概率也不断增加，以致这概率将最终超过所要求的任意的确定的度”．这一陈述对大量观测的复杂结构提出了一个简明的假设，并且证明了这一假设．如在掷钱币的游戏中，每次出现正面或反面虽是偶然的，但在大量重复时，出现正面次数与总次数之一．大数定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，成为概率论通向更广泛的应用领域的桥梁．
: n6 [0 N* q6 ]7 E  U% d　　“伯努利数”是雅格布在研究求自然数正整数次幂之和的公式时引入的．若

Sn(k)=1n+2n+3n+…+(k-1)n，

& {1 v& f* f4 F2 d3 g0 J　　当n=3时，有S3(k)=13＋23+…+(k-1)3

… …．

　　一般地，雅格布给出公式

　　这里Crn=n(n-1)…(n-r+1)/r！．雅格布对其中的系数B2，B4，B6，…很感兴趣，他计算出

# N6 R9 C" h; m* ?# o$ s　　而且还给出了计算这些系数的递推公式．现在人们通常把B2，B4，B6，…称为“伯努利数”．设f(x)是一个单变量实函数，在研

5 k2 q$ H% m# O4 P出现在《猜度术》一书中，被称为“伯努利多项式”．

% l4 x& v. r( h. P/ b# G9 M　　《猜度术》共有四篇，各篇的主要内容是：第一篇基本上是重新提出惠更斯问题；第二篇是排列组合理论的详尽论述．他以V．斯霍滕(Schooten)(1657)、莱布尼兹(1666)、沃利斯(1685)和J．普列斯特(Prestet)的《初等数学》(Elemens de mathematiques)的有关贡献为基础．主要结果是给出了关于指数级数的严格推导．这一篇的第四章和第五章的许多内容，即使拿到近代论著中也无不当之处；第三篇是给出了“机会对策”中所产生的各种各样新问题的解答，共有24个例题，有些例题很简单，也有一些很复杂的例题；第四篇是关于概率论在道德和经济等问题上的应用．“大数定律”就是在这篇中提出的．这部分还包括了雅格布特有的哲学思想，他是为回答匿名嘲笑者关于1686年在诡辩的逻辑问题上争论的需要而写的．《猜度术》一书鼓舞了一些学者研究这门诱人的学问，P．R．de蒙莫尔(Montmort)和A．棣莫弗(de Moivre)使这本书中的问题更加具体．雅格布关于概率论的思想，对于这个领域的进一步发展有决定性的贡献．
　　此外，雅格布·伯努利在物理学上也做了一些工作，如在关于一个半圆镜上平行入射光线的焦散线的研究中，提出了测量法包线的基本步骤；独立地发现了被风鼓起的帆的外形可以用微分方程
+ B8 u8 M9 V- N" f图书馆里还收藏有雅格布没有发表的关于固体和液体力学的讲演稿(手稿)，《大学实验学报》(Acta collegii experimen-talis)翻译了其中的一部分．但令人遗憾的是，雅格布对力学的贡献几乎没有在正式文献中提到过．
　　 雅格布、约翰经常与莱布尼兹、惠更斯以及其他数学家通信．约翰在格罗宁根工作期间，他们兄弟之间也经常互相通信．通过书信提出问题，研究解决问题，他们经常在相同的领域里工作，也相互争论．伯努利兄弟自悬链线问题上就产生了分歧，以后争论加剧．这些争论无疑会促进科学的发展．但由于双方过分敏感自尊，性格暴躁，相互批评指责又过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快．甚至双方的家庭也都卷入了争论，其后果之一是当雅格布死后，他的《猜度术》的手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年，直到他死后8年(1713年)才得以出版，几乎使这部经典著作的价值受到损害．
　　 雅格布·伯努利一生致力于数学研究，他是高等分析的正规方法的最重要的创建者之一，对17世纪下半叶近代数学的发展产生了巨大的影响．

extras

约翰·伯努利

# m4 ~$ U% t; }9 y6 i- y. @7 q/ H
　　伯努利，J．(Bernoulli，Johann)1667年8月6日生于瑞士巴塞尔；1748年1月1日卒于巴塞尔．数学、力学．
　　约翰·伯努利(Johann Bernoulli)是老尼古拉·伯努利(Nikolaus Bernoulli，1623—1708)的第三个儿子，雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)的弟弟．幼年时他父亲象要求雅格布一样，试图要他去学经商，他认为自己不适宜从事商业，拒绝了父亲的劝告．1683年进入巴塞尔大学学习，1685年通过逻辑论文答辩，获得艺术硕士学位．接着他攻读医学，1690年获医学硕士学位，1694年又获博士学位．
　　 约翰在巴塞尔大学学习期间，怀着对数学的热情，跟其哥哥雅格布秘密学习数学，并开始研究数学．两人都对无穷小数学产生了浓厚的兴趣，他们首先熟悉了G．W．莱布尼兹(Leibniz)的不易理解的关于微积分的简略论述．正是在莱布尼兹的思想影响和激励下，约翰走上了研究和发展微积分的道路．
" n3 B& N$ B, C# {3 n3 R& P　　1691年6月，约翰在《教师学报》(Acta eruditorum)上发表论文，解决了雅格布提出的关于悬链线的问题．这篇论文的发表，使他加入了C．惠更斯(Huygens)、莱布尼兹和I．牛顿(Newton)等数学家的行列．
0 H: Q4 c: q* e& j　　1691年秋天，约翰到达巴黎．在巴黎期间他会见了G．F．A．de洛比达(L’Hospital)，并于1691—1692年间为其讲授微积分．二人成为亲密的朋友，建立了长达数十年之久的通信联系．洛比达以后成为法兰西最有才能的数学家之一．
　　1691—1692年间，约翰写了世界上第一本关于微积分的教科书，积分学部分于1742年出版，微分学部分直到1924年才出版．
　　1693年约翰开始与莱布尼兹建立了通信联系，信中就一些数学问题交换意见．约翰是莱布尼兹的忠实拥护者，以至被卷入了莱布尼兹与牛顿关于微积分优先权的争论，他极力为莱布尼兹辩护，并猛烈地批评甚至嘲笑英国人．法国巴黎科学院院士P．瓦里尼翁(Varignon)也是约翰的密友，二人之间也进行了通信联系．
/ [( W- f. r: e( F　　1695年，约翰获得荷兰格罗宁根大学数学教授的职务．他接受职务后，工作特别努力，一面认真教学，一面在微积分方面做出了许多新的贡献．1705年，约翰的哥哥雅格布去世，他去巴塞尔大学继任数学教授的职务，致力于数学教学，直到1748年去世．
9 w) l' B7 ]+ _' ]- X7 H0 @4 g　　 由于约翰长期的教学活动和他对数学的贡献，受到当时科学界的高度评价．1699年被选为巴黎科学院的国外院士；1701年被接受为柏林科学协会(即后来的柏林科学院)的会员；1712年被选为英国皇家学会的会员；1724年被选为意大利波伦亚科学院的国外院士；1725年被选为彼得堡科学院的国外院士．他还在巴塞尔担任名誉官职，是地方教育委员会的成员，成为当时巴塞尔的知名人物．
　　 约翰由于在力学、天体力学、流体力学方面的研究成果，曾分别于1724年、1730年和1735年三次获得巴黎科学院的奖赏．特别是1735年与他的儿子丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)共同完成的关于行星轨道理论的获奖文章，受到人们的高度重视．
　　 约翰生活在17世纪下半叶到18世纪上半叶．这一时期数学上最突出的成就就是微积分的发明与发展．由微积分的创立，又产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法等．18世纪数学家的主要任务是致力于这些学科分支的发展，而要完成这些任务，首先必须发展、完善微积分本身．约翰就是一个对微积分和与其相关的许多数学分支都做过重要贡献的人，是18世纪分析学的重要奠基者之一．
　　 微积分学 约翰首先使用“变量”这个词，并且使函数概念公式化．1698年他从解析的角度提出了函数的概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数”，记作X或ξ，1718年他又改用φx表示x的函数．记号f(x)是欧拉于1734年才引进的．约翰对一些具体函数进行过研究，除一般的代数函数外，他还引入了超越函数，即三角函数、对数函数、指数函数、变量的无理数次幂函数及某些用积分表达的函数．指出对数函数是指数函数的反函数．
　　 约翰对微积分的贡献主要是对积分法的发展．他曾采用变量替换来求某些函数的积分，在1699年的《教师学报》上给出了用变量替换计算积分

　　　
; I2 a1 n1 U- d　　约翰在1702年注意到

　　从而立即可以把积分求出．这种方法就是把一个分式分解为部分分式的
: G6 ]/ e! \* u" N4 c" [/ n: [
$ m4 q5 E# `" U0 m& f　　设p(x)和q(x)都是x的多项式，若p(x)的次数高于q(x)的次
$ U! B8 _7 ]" O9 G/ L式，多项式部分积分是容易的．对于r(x)/g(x)的积分，约翰有一个重要的发现，首次提出了部分分式的积分方法，即

% \1 J3 S" a- q1 y/ W　　这里a，b，c以及f，q，h等均为常数．于是
　　
　　=aln(x＋f)＋bln(x＋q)+cln(x＋h)+…
　　=ln[(x＋f)a·(x＋q)b·(x＋h)c·…]，
: \* C: H+ M" p* }0 n　　 这就完成了这个积分．依据这种分析，约翰在1702年的《教师学报》上就断言，任何有理函数的积分，无需包含三角函数与对数函数以外的任何其他超越函数，因为有理函数的分母是x的一个n次多项式．在约翰给莱布尼兹的信中，就曾用部分分式法来求积分

/ A! E) ]  R; O3 s5 {　　但是，由于ax2＋bx＋c的一次因子可能是复数，这就导致了约翰、莱布尼兹及欧拉之间关于复数的对数和负数的对数的争论．这种争论推动了复变函数的发展和欧拉公式的建立．即

　　约翰还提出了现在微积分中的一个著名定理——洛比达定理(或法则)，它是用导数求一个分式当分子和分母都趋于零(或无穷大)时的极限的．这个定理是由他的学生洛比达在1696年编写的一本非常有影响的微积分教材《无穷小分析》(Analyse des infi－niment petits)中引入的，后称为洛比达法则．这个法则实际上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的．
: ~  [; E  p" V7 }　　1742年约翰出版了他的著作《积分学教程》(Lections mathe－maties de method integralium)，在这本书中约翰汇集了他在微积分方面的研究成果，他不仅给出了各种不同的积分方法的例子，还给出了曲面的求积，曲线的求长和不同类型的微分方程的解法，使微积分更加系统化．这部著作成为微积分学发展中的一本重要著作，在当时对于推动微积分的发展和普及微积分的知识都起了积极的作用．
　　 微分方程 微积分的迅速发展和应用，必然导致了微分方程这门新学科的诞生．其实微分方程的发展是与微积分的发展交织在一起的．约翰在这方面也是一位开拓者．
　　1691年6月约翰在《教师学报》上发表文章，解决了他哥哥雅格布提出的“悬链线”问题，即“一根柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于两固定点，求这绳所形成的曲线”．约翰设法列出了该问题的微分方程

　　其中s是由B点到任一点A之间的弧长，而a是A点处绳的张力在水平方向的分量与单位绳长重力的比值．通过解此方程就得到悬链线的方程
　　
　　 在此基础上，约翰与雅格布还在1691—1692年间解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳、以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的形状的问题．

/ y* v, m6 x( N* w. V5 ]9 F, Z　　约翰和莱布尼兹在1694年引进了找等交曲线族的问题，即找一曲线或曲线族，使得与已知曲线族相交成给定的角．约翰称等交曲线为轨线．他将这个问题作为向雅格布的一个挑战．雅格布只解决了一些特殊的实例，约翰导出了一特殊曲线族的正交轨线的微分方程，并在1698年找到了它的解．这个问题后来由莱布尼兹与雅格布的学生J．赫曼(Jacob Hermann)得到较完美的解决．
( K; r5 e& @" C, s　　 在求解1695年雅格布给出的“伯努利方程”

y′+P(x)y+Q(x)yn=0

　　时，莱布尼兹采用变量替换法，使方程化为线性方程．而约翰提出了另一种解法，他设想把函数y分解为两个关于x的函数M(x)与N(x)的乘积，即y=M(x)N(x)，于是方程化为

　　函数M(x)，N(x)带有很大的任意性，令

) R9 v) f7 e) v. m$ b8 g$ d5 q　　即取M=exp［-∫P(x)dx］，则方程又化为

　　这个方程容易求出它的解N(x)，于是就得到了伯努利方程的解y=M(x)N(x)．约翰这种解方程的思想，在求解二阶偏微分方程时，得到了应用．
, c, f8 W& h0 Y) c$ F% I  `9 F+ J　　1727年，约翰在一篇论文中研究了弦振动问题，考虑一根无重量的弹性弦，在弦上等间隔地放置着n个等质量的质点，当放置6个质点时，
4 n3 {: q) h  y% K: U　　
　　从而证明了在任何时刻弦的形状必定是正弦曲线．这一事实也出现在约翰给他的儿子丹尼尔的信中．约翰后来还解决了一个抛射体在阻力正比于速度的任何次幂的介质中运动的问题，得到它的微分方程为

　　变分法 变分法的产生和发展，最初来自三大问题：最速降线问题，等周问题和测地线问题．约翰在这些问题的研究中都做出了贡献．
7 |: V2 |# J: I  B( l- [( {7 k, i  n　　 约翰在1696年6月号的《教师学报》上提出了一个作为向雅格布和欧洲数学家挑战的题目：设不在同一铅直线上的两点A与B，使一质点只在重力的影响下从A点滑向B点，求所需时间最短的途径(摩擦和空气阻力不计)．这就是最速降线问题．对这个问题，牛顿、莱布尼兹、洛比达、雅格布·伯努利和约翰·伯努利都得到了正确的解答．最速降线是一条联结A，B两点的上凹的旋轮线(又称圆滚线或摆线)．他们的答案相同，而解法各异．除雅格布的解法外，其他人的解法都发表在1697年5月号的《教师学报》上．后来欧拉和J．L．拉格朗日(Lagrange)给出了这类问题的一般解法．在这个问题的解决过程中，显示了约翰的才能，他是通过机灵的直觉解决这个问题的．他将这一机械问题，通过已有的费马最小时间原理的分析转化为光学问题，从光的折射定律推出了旋轮线的微分方程．雅格布从另一个角度给出了一个较麻烦但更一般的解法．伯努利兄弟对旋轮线是最速降线问题的解感到惊奇和振奋，约翰说：“我们之所以钦佩惠更斯，是因为他首先发现了在一个旋轮线上的大量质点下落，它们总是同时到达，与质点的起始位置无关紧要．然后，当你听到我肯定说旋轮线就是惠更斯的等时曲线的时候，可能惊讶得简直发呆．等时曲线是最速降线我们看得很清楚．”
" f0 [* G2 h8 n/ ]) Z　　 在1697年5月号的《教师学报》上，雅格布·伯努利提出了一个含几种情形的相当复杂的等周问题(即在给定周长的所有封闭曲线中求一条曲线，使得它所围的面积最大)，作为向约翰的挑战．约翰开始过低地估计了这个问题的复杂性，没有弄清这个变量问题的特性，所以在1697年和1701年两次给出的解答都没有得到成功，这受到了雅格布无情的批评．1700年5月雅格布在《教师学报》上发表了关于等周问题的解，指出这条曲线是一个圆．1718年，约翰继续研究了等周问题，他沿着雅格布的思路，改进了雅格布的解法，在《科学院论文集》(Memoires de l’Académie dessciences)中约翰的论文给出了一个精确的、形式上漂亮的等周问题的解法．这篇论文包含了关于变分法的现代方法的核心，提出了变分法的一些概念，奠定了变分法的基础．
　　 约翰与他的哥哥雅格布还对测地线问题进行了研究．测地线是指曲面上两点间长度最短的路径．1697年，约翰在《博学杂志》(Journal des scavans)中，提出了在凸曲面上求两点间的最短弧问题，1698年8月26日，他还写信给莱布尼兹，谈到他觉察到的测地线的特有的性质．1698年，雅格布解决了锥面和旋转面上的测地线问题，1728年约翰又用雅格布的方法取得了一些进展，并且求得了另外几类曲面的测地线．由于在最速降线问题、等周问题及测地线问题的研究中约翰的出色工作，使之成为变分法的先驱者之一．
4 U! Y* \# Y! V+ d　　 此外，约翰在数学的其他领域，如解析几何等学科中，也做过一些有益的工作．1715年约翰在给莱布尼兹的信中引进了现在通用的用三个坐标平面建立空间坐标系的方法，提出了用三个坐标变量的方程表示曲面的方法．
$ g2 \: V+ p9 ?2 ?/ n# H2 g: n　　 力学 约翰不仅在纯数学方面做了大量的工作，而且他在把微积分应用到物理学特别是力学和天体力学方面所作的著述，也有很高的价值．
  K- N) L, O; h& w" s6 A  W　　 约翰对一些力学上的概念作出了准确的解释．1714年，他发表了《军舰操作技术原理》(Theorie de la manoeuvre des vaisse-aux)，在这本书中，他澄清了笛卡儿理论中关于力与“能量”(当时称为vis viva)的混乱．1715年，他又提出了所谓虚拟(virtual)速度原理，用现代的记法为
7 l) u# h; n, n! N: h/ X　　
* F5 s. b: o  m" z3 ^到，约翰把这个原理看作力学的第二个一般原理．对于有心力(central force)的二体反问题，他应用了能量(vis viva)方程来解决，第一次用现代形式来表示轨道方程

9 x8 Q* F5 S" X$ Q6 T　　这一结果发表在1710年科学院论文集中．对于在一种有阻力的媒质中的向心加速度运动问题，他给出微分方程

$ O5 ~! p0 U2 E5 U7 L. _6 r　　ρ为轨道曲线的曲率半径．在v=M(r)N(r)的前提下确定的向心力与惠更斯的公式

) z4 |/ G+ S9 Z1 h+ O8 z9 ^/ h/ b　　一致．1727年，他发表了论文“论运动的交换规律”(Discourssur leslois de la communication du mouvement)，在这篇论文中，讨论了行星的椭圆轨道和行星轨道的倾斜度．但是在引力理论方面，由于他的偏见，不支持牛顿的理论，而且为笛卡儿的旋涡理论辩护，推迟了牛顿力学在欧洲大陆的传播．
& U; G7 r# Q$ o; \" o) M+ t* d　　 在实验物理方面，他研究了光学现象，提出了焦散面理论．在1692年的《教师学报》中，他得到了某些焦散面方程，例如当一束平行光线投射到球面镜上时，从球面上反射出来的光线的焦散面方程．他还把最速降线问题的研究扩展到了可以确定光线在各种不同密度的介质中所通过的路径．他还研究了弦振动问题及水力学等问题，提出过二阶甚至三阶的方程．
% @6 v- Y9 s! P' _, a' r) s　　 约翰·伯努利是17—18世纪在欧洲有影响的数学家．约翰在他的科学生涯中，采用通信等方式与其他科学家建立了广泛的联系，交流学术成果，讨论和辩论一些问题，这是他学术活动的一大特点．他与110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件大约有2500封，这大大促进了学术的发展．约翰一生另一特点是致力于教学和培养人才的工作，他培养出一批出色的数学家，其中包括18世纪数学界中心人物欧拉，这不能不说是约翰·伯努利的功绩之一．

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丹尼尔·伯努利

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　　伯努利，D．(Bernoulli，Daniel)1700年2月8日生于荷兰格罗宁根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞尔．数学、物理学、医学．
9 N( h  j6 m- t; Q% J$ b- M0 A　　丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)是著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二个儿子．丹尼尔出生时，他的父亲约翰正在格罗宁根担任数学教授．1713年丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年获得学士学位，1716年获得艺术硕士学位．在这期间，他的父亲，特别是他的哥哥尼古拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II，1695—1726)教他学习数学，使他受到了数学家庭的熏陶．他的父亲试图要他去当商业学徒，谋一个经商的职业，但是这个想法失败了．于是又让他学医，起初在巴塞尔，1718年到了海德堡，1719年到施特拉斯堡，在1720年他又回到了巴塞尔．1721年通过论文答辩，获得医学博士学位．他的论文题目是“呼吸的作用”(De respiratione)．同年他申请巴塞尔大学的解剖学和植物学教授，但未成功．1723年、丹尼尔到威尼斯旅行，1724年他在威尼斯发表了他的《数学练习》(Exercitationes mathematicae)，引起许多人的注意，并被邀请到彼得堡科学院工作．1725年他回到巴塞尔．之后他又与哥哥尼古拉第二一起接受了彼得堡科学院的邀请，到彼得堡科学院工作．在彼得堡的8年间(1725—1733)，他被任命为生理学院士和数学院士．1727年他与L．欧拉(Euler)一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位．这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学，做出了许多显露他富有创造性才能的工作．但是，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及严酷的天气等原因，1733年他回到了巴塞尔．在巴塞尔他先任解剖学和植物学教授，1743年成为生理学教授，1750年成为物理学教授，而且在1750—1777年间他还任哲学教授．
! T/ y, }' ~8 Q; R: f2 i: h　　1733年丹尼尔离开彼得堡之后，就开始了与欧拉之间的最受人称颂的科学通信，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉运用杰出的分析才能和丰富的工作经验，给以最迅速的帮助，他们先后通信40年，最重要的通信是在1734—1750年间，他们是最亲密的朋友，也是竞争的对手．丹尼尔还同C．哥德巴赫(Goldbach)等数学家进行学术通信．
8 O& `4 h, K( D" F) ?: n! |　　丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种．1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)．1725—1757年的30多年间他曾因天文学(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁学(1743，1746)洋流(1748)、船体航行的稳定(1753，1757)和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏．特别是1734年，他与父亲约翰以“行星轨道与太阳赤道不同交角的原因”(Quelle est alcause physique de l’inclinaison des plans des orbites des pla－nètes par rapport au plan de léquateur de la révolution du soleilautour de son axe，1734)的佳作，获得了巴黎科学院的双倍奖金．丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而受到了欧洲学者们的爱戴，1747年他成为柏林科学院成员，1748年成为巴黎科学院成员，1750年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚(意大利)、伯尔尼(瑞士)、都灵(意大利)、苏黎世(瑞士)和慕尼黑(德国)等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号．
　　丹尼尔·伯努利的研究领域极为广泛，他的工作几乎对当时的数学和物理学的研究前沿的问题都有所涉及．在纯数学方面，他的工作涉及到代数、微积分、级数理论、微分方程、概率论等方面，但是他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，他被推崇为数学物理方法的奠基人．
　　数学 1724年丹尼尔·伯努利在意大利撰写医学著作期间，发表了《数学练习》，内容涉及法洛(faro)游戏、流体问题、里卡蒂(Riccati)微分方程和由两个弧组成的半月形问题．在《练习》的第一部分，他借助于级数获得了代数方程数值解的近似值．丹尼尔提出循环级数，并将这些级数应用到求代数方程的根的近似计算中
　
该级数的一般项及随后一项为：
- V) _! a: u. y3 c' y! F　　P=(Aqn＋Bqn+…)zn，
　　Q=(Apn+1＋Bqn+1+…)zn+1．
- f7 h7 O4 D& z  z  ~& M　　若p比q大得多，那么对充分大的n，P可由Apn近似得到，Q可由
将这种方法应用到无穷幂级数中去．
/ m7 R9 o% |7 X　　在级数理论方面，丹尼尔主要研究了正弦级数和余弦级数，他曾给出过像

1 R( w* f0 t: H" B　　的一类表达式，他认识到级数只在x的某些区间上表示这些函数．
4 [  j7 W0 w& I. M  {2 _8 X! B　　在《数学练习》这部著作中，他还针对1724年《教师学报》(Acta eruditorum)上发表的意大利人J．里卡蒂(Riccati)提出的“里卡蒂方程”，拟定了解决的方案．里卡蒂方程为

　　其中A，B，C是x的函数．这是一个具有重要意义的非线性方程，因为它与二阶线性方程密切相关．对于里卡蒂方程的特殊形式

axndx＋y2dx=bdy，

' ?' |& u/ o1 t2 K3 l　　丹尼尔指出，当n=-4c/(2c±1)时，可用分离变量法求解．这里c可取全部整数，包括正、负整数和零．这个方法他发表在1724年的《教师学报》上．对于这个方程，里卡蒂本人及约翰·伯努利、尼古拉·伯努利第一和尼古拉·伯努利第二都各自独立地给出了解答．
3 U- J# r8 D; q; r( u$ x' n0 S　　丹尼尔在概率论和人口统计方面做出了重大贡献．早在《数学练习》这部著作中，就已经显露出他对概率问题的兴趣．在彼得堡期间他又认真地研究了这方面的问题，发表了有影响的、有重大价值的论文“关于度量的分类”(De mensura sortis)．在这篇论文中他探讨了资本利润的计算，提出了政治经济学中新型价值理论的数学表述．他研究了财产增值与道德值之间的关系．特别提出，若一个人获得利润g1，g2，g3，…的机会是P1，P2，P3，…，这里P1＋P2＋P3+…=1，那么利润道德值的平均值为

bp1log a(a＋g1)＋bp2log a(a＋g2)+…-bloga，

　　且道德期望为

H=(a＋g1)p1(a＋g2)p2…-a．

　　若利润与此人的原有资产比较是很小的，那么道德期望转化成为数学期望

H=P1g1＋P2g2＋…．

" r/ \/ T! s! d5 d/ k/ p　　紧接着，丹尼尔又将这一研究应用到风险保险业和解决由他哥哥尼古拉第二提出的“彼得堡赌博悖论”．甲先付给乙一笔赌注，然后甲扔硬币，只要第一次出现了正面朝上，赌博就结束，此时乙必须付给甲2n-1元，其中n表示在第n次扔硬币时，首次出现了正面朝上．现在要问：甲预付给乙的赌注应为多少才算公正．根据概率知识，这笔赌注应等于甲将获得的期望值，但是计算一下，这个期望值应等于

6 _* b7 R1 ?. M6 {/ r　　这就出现了赌博悖论．当时许多人都研究过这个悖论，但没有得出满意的结果．丹尼尔主张用所谓“有节制的道德期望”代替计算结果为无穷大的数学期望来解决这个矛盾．
　　丹尼尔1760年又研究了一类医学统计问题，这类问题涉及在各不同年龄组中天花病的死亡率．运用微分方程，丹尼尔计算出有关的数值表，其数据在24年中是有效的．由丹尼尔提出的已知某些结果的条件，在这些条件下推测出未知原因的逆概率问题，有特别重要的应用价值．这类问题以后由T．贝叶斯(Bayes)等人发展了．丹尼尔还将概率论应用于人口统计，探讨了误差理论，提出了正态分布误差理论，并用这一理论将观察误差分为偶然的和系统的两类，发表了第一个正态分布表，使误差理论更接近现代概念．
# t, i1 U6 ?6 t: ~! v: L2 W! Y5 ^　　丹尼尔在研究由椭圆积分产生的一类新的超越函数中，也曾经提出过插值问题；在对偏微分方程解的研究中，丹尼尔引入了某些函数的级数展开式；他还将其高超的数学技巧应用到关于弦的振动、悬重链线的摆动及用空气发声的乐器频率的研究中，提出了有创造性的预见．
- Z& O8 x9 j+ T0 t) L　　物理学 18世纪，由于几类物理问题的研究，促进了微分方程理论的发展，其中很重要的就是弹性问题．自1728年，丹尼尔和欧拉就致力于柔性物体和弹性物体的力学研究．他们研究过一端固定的水平弹性带的曲率的确定．由于重物P作用在自由端，而它自身的重力p作用在其重心上，均匀弹性带绕s点的总力矩与曲率半径R的关系，丹尼尔·伯努利用以下方程表示

$ F5 r2 A: `3 |: c　　式中s是弧长，x为从自由端处取的横坐标，m为弯曲模量，L是长，R为曲率半径．
　　在1733年，丹尼尔离开彼得堡之前，发表了论文“关于用柔软细绳联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线的振动定理”(Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorumet catenae verticaliter suspensae)，在这篇论文中，他指出上端固定的悬挂链线，本身没有重量，但带等间隔的重荷．当链线振动时，质点系相对于通过悬挂点的垂线作不同模式的小振动，这些模式中的每一个有各自的特征频率，当有n个负荷时，整个系统有n个不同的带有一个特征频率的主要模式．他发现，对于一个均匀的，长度为L的自由悬挂链线，从最低点算起，相距x处的位移为y，它满足方程

6 {0 T$ z7 m6 _5 e- d" i* E　　　

　　J0是第一类零阶贝塞尔(Bessel)函数．他指出，α表征振动模式和特征频率．此方程有无穷多个实根，因此这个链线可以表现出有频率
　　
　　(d’Alembert)原理．在此基础上，他又讨论了非均匀厚度的振动链，他引进了微分方程

. |2 A5 `" H( E$ Z　　　
% P- ^, ?% h9 K) y  {　　他给出了一个级数解

3 ^5 r$ v# A' \/ B% b　　　
　　在1741—1743年间，丹尼尔又研究了关于弹性弦的横向振动问题．在论文“弹性振动的叠加”(De vibrationibus et sono lamina- rum elasticarum)中，他研究了一端钉在竖直墙上的长度为L的水平棒的振动．实际上，早在1734年他就开始了这方面的研究，他导出了一个四阶方程

　　　
1 M. B- H# r# L) _7 K　　18世纪中叶，丹尼尔·伯努利、欧拉、约翰·伯努利、达朗贝尔等人对弦振动和杆振动的研究已经导出了一阶、二阶或更高阶的微分方程，如果把引起弹性振动的惯性力考虑进去，就可以得出弹性体的动力学的基本方程，从这个基本方程出发，可以得出各种情况下的波动方程，欧拉和达朗贝尔就是用偏微分方程

- b: u/ f$ h5 r- V. ~　　来表示弦振动的波动方程．但是丹尼尔却以完全不同的形式即用函数的级数展开式给出弦振动问题的解，从而引起了在丹尼尔、欧拉与达朗贝尔之间的关于弦振动可允许的解的争论，后来J．L．拉格朗日(Lagrange)也参加了这种争论．
　　早在1733年前的论文中，丹尼尔就明确地说明振动的弦能有较高的振动模式．在1741—1743年的振动杆的横向振动的论文中，他又明确地说明了简单振动(基音)和叠合振动(高次谐音)可以同时存在．但是这些思想都是从物理学上加以理解，而没有从数学上加以描述．当他看到欧拉和达朗贝尔的波动方程并给出它的解时，他在1753年又发表文章，断言：振动弦的许多模式(简单的和叠加的)能够同时存在．假定长度为a的弦，从单一的振动

　　出发，它的全部振动可用一个级数形式表示

- _+ w5 o0 Q8 T8 p0 D3 l: p* W2 h& J　　因此他认为这个振动是第一基音、第二谐音、第三谐音……的一切可能的简谐振动的一个叠合．丹尼尔的这个观点是非常重要的，因为他首次提出了将问题的解表示为三角级数的形式，这为将一个函数展为傅里叶(Fourier)级数的纯数学问题奠定了物理基础，促进了分析学的发展．欧拉赞同丹尼尔的关于许多模式能够同时存在，使得一个振动中的弦能发出许多谐音的观点，但是又和达朗贝尔一起反对丹尼尔关于在弦振动中全部可能的初始曲线能表示成为正弦级数的主张．丹尼尔坚持认为有足
* i- U0 k( N% ]. U% |/ ]; }　　充分的数学论证，争论长达十几年之久．实际上，这涉及到能用正弦级数表示的函数类的宽窄，直到1773年争论已经过去，丹尼尔自己也才认识到这个问题．
; r0 T" I. M% t　　正当弦振动问题研究还在进行时，丹尼尔又研究了声音在空气中的传播问题．1762年，丹尼尔发表一篇关于在琴管内(圆柱形管)空气振动的论述，发现了风琴管泛音的频率是基音频率的奇数倍的定理．这篇论文也首次创立了锥形管发声乐器的理论，提出了无穷长锥形管的泛音与基音是和谐的．他通过物理实验证实了他的结论．丹尼尔还研究了不均匀弦的振动，首次解决了从密度分布确定振动弦的频率的振动逆问题；研究了由不同密度和不同长度组成的弦的振动的特殊情况；比较了一个物体挂在柔性链的摆动与绕一固定点的振动这两种情形；1774年还完善了他的关于振动的叠加原理．总之，丹尼尔在弹性振动力学中做出了很大的贡献．
  T. p* U- V2 v- S　　丹尼尔除了对刚体振动，柔性物体和弹性物体的力学研究外，还对刚体的旋转运动，固体在对抗媒质中的运动，以及摩擦力问题及“活力”(live force，即动能)守恒问题都分别进行了探讨，先后发表论文10多篇．他也探讨了作用到海船上的风力所产生的结果，以及在海洋中减少船只的横摆和纵摆的稳定性问题，把欧拉研究的关于船的自由振动问题扩充到受迫振动的情况．在天体力学上，他和欧拉等人研究了太阳与潮汐、月亮与潮汐之间的由于引力影响而产生的平衡理论；和他的父亲约翰共同研究了朝向太阳赤道的行星轨道的倾角增加的原因．
/ R& {# ^8 q% j　　丹尼尔还和他的弟弟约翰·伯努利第二(Johann Bernoulli II，1710—1790)试图建立关于磁学的理论，1743年，他提出了通过改进罗盘结构，减少罗盘倾角误差的意见．
　　丹尼尔在物理学上的成就，以流体力学最为突出．1738年，出版了他的名著《流体动力学》，这本书的出版，开创了“流体力学”这门学科．书中汇集了他在这方面的研究成果．
7 \7 ]- n" _1 Y* ~' ?/ y  S　　《流体动力学》一书共有13章．这部著作开头就展现了关于水力学的历史以及对流体静力学的简短的描述，紧接着他用流体的压强、密度和流速作为描写流体的基本物理量，他认真研究了流体流入和流出的水平面变化情况，考察了流体束的初始过程(非静态流)和流束受阻情况，给出了揭示三者之间关系的“伯努利方程”．丹尼尔从实例入手，设一个平放的水管道，管内壁的压力为P，接通一个充水的非常宽的容器，让水从管道以速度v流出，若z为容器中水表面到管道口间的距离，他推得方程

P+z+v2=A=常数．

　　由于丹尼尔的特有的测量方法，这个公式中的常数有其特定的数值．对于密度均匀的水沿着高度z有变化的管道中的定常流的伯努利方程为

. O6 Y7 V0 u6 w. g2 H8 Z. [　　此处v为水流速度，P为大气压力，ρ为水的密度，gh为重力势能．伯努利方程可由无旋的、无粘性的流体作定常流运动时的欧拉方程

: s1 U9 w7 v" |" C　　沿任意曲线积分得出．伯努利方程不仅对液体(如水)的定常流的运动是成立的，而且对于在高压下自小孔喷出的气体，其运动也可以看作是定常的无旋流动，因此伯努利-欧拉方程也是成立的．
, M) C9 ~/ ^4 ?: X  ~# P5 V8 n　　在这本著作中，丹尼尔也专门讨论了“弹性流体”即气体的特性及运动，他提出了“流体由于速度增大，而使压力减小”的观点．通过实验证明了分子对器壁的碰撞，并以此解释压强和气体的某些常数，也指出了分子的无规则运动，以及随着温度的增高，气体的压强和运动增加的事实，从而奠定了“气体动力学(分子运动论)”和热学的理论基础．丹尼尔在这部著作中还讨论了流束受阻的反作用力的计算及对作用物体表面的压力的测定问题．
　　丹尼尔在流体力学中建立的“伯努利方程”及“内压”概念是有漏洞的，他的父亲约翰和欧拉在这方面作了改进．
　　丹尼尔·伯努利不仅在数学上和物理学上取得了许多成就，而且在医学领域里也有研究成果．1721年，他的博士论文就是关于呼吸力学的综合理论；1728年，他发表了关于肌肉收缩的力学理论的论文，提出了心脏所作机械功的计算方法；在生理学上，他提出“极大工作”的概念，即一个人在一段持续的时间内(如一个工作日)所能做的工作量．由于他在数学上的兴趣远比医学大，因此他虽然起初成了一名外科大夫，但最终还是转向了数学和力学．
5 {/ c/ h+ @( {8 ^! r! h# t　　丹尼尔·伯努利头脑机敏和富有想象力．他是第一个把牛顿和莱布尼兹的微积分思想连接起来的人．他又是在18世纪以新的无限小数学为主要武器探索由实验揭示的自然现象的数学物理方法的奠基者之一．他同时也对实验物理及仪器设备表现出极大兴趣．
+ W$ X: ]; [4 c9 x8 V" x　　丹尼尔在学术研究方面与欧拉、达朗贝尔、拉格朗日及其父兄保持着密切的联系，特别与欧拉有着极深厚的友谊，密切合作，互为辅成．他们经常交流学术上的某些观点，争论一些数学和力学的疑难问题，促进学术的发展．“争鸣”成为丹尼尔治学思想的一个重要内容，这种学术上的争论方式至今仍是科学发展的动力之一．
8 ~/ n& z6 ]/ w2 W/ a' |　　丹尼尔由于在学术研究上涉及的领域极为广泛，有时这也防碍了他某些计划的完成．尤其令人遗憾的是，他未能跟上由于偏微分方程的发现而引起的数学前进步伐，例如在弦和杆的振动问题的研究中，他的物理思想是正确的，但没有用恰当的数学来支持它．尽管如此，丹尼尔丰硕的科学成就完全足以确保他在科学史上持久的地位．

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欧 拉

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' L6 P/ a3 k" n$ ]$ r9 a# l2 i1 C　 欧拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学．
　　欧拉的祖先原来居住在瑞士东北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城——林道．16世纪末，他的曾祖父汉斯·乔治·欧拉(HansGeorg Euler)带领全家顺莱茵河而下，迁居巴塞尔．这个家族几代人多为手艺劳动者．欧拉的父亲保罗·欧拉(Paul Euler)则毕业于巴塞尔大学神学系，是基督教新教的牧师．1706年，保罗与另一位牧师的女儿玛格丽特·勃鲁克(Margarete Brucker)结婚．翌年春，欧拉降生．1708年，保罗举家迁居巴塞尔附近的村庄——里亨(Riehen)．欧拉就在这田园静谧的乡村度过他的童年．
　　欧拉的父亲很喜爱数学．还在大学读书时，他就常去听雅格布·伯努利(Jakob Bernouli)的数学讲座．他亲自对欧拉进行包括数学在内的启蒙教育，并盼望儿子成为教门的后起之秀．贤惠的母亲为了使欧拉及时受到良好的学校教育，把他送到巴塞尔外祖母家生活了几年，入那里的一所文科中学念书．可是，这所学校不教数学．勤勉好学的欧拉独自随业余数学家J．伯克哈特(Bu-rckhart)学习．欧拉聪敏早慧，酷爱数学．他曾下苦功研读C．鲁道夫(Rudolf)的《代数学》(Algebra，1553)达数年之久．
* {9 b5 U% N4 O4 E/ ?9 p　　1720年秋，年仅13岁的欧拉进了巴塞尔大学文科．当时，约翰·伯努利(Johann Bernoulli)任该校数学教授．他每天讲授基础数学课程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座．欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众．他勤奋地学习所有的科目，但仍不满足．欧拉后来在自传中写道：“……不久，我找到了一个把自己介绍给著名的约翰·伯努利教授的机会．……他确实忙极了，因此断然拒绝给我个别授课．但是，他给了我许多更加宝贵的忠告，使我开始独立地学习更困难的数学著作，尽我所能努力地去研究它们．如果我遇到什么障碍或困难，他允许我每星期六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……无疑，这是在数学学科上获得成功的最好的方法．”约翰的两个儿子尼吉拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II)、丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)，也成了欧拉的挚友．
　　1722年夏，欧拉在巴塞尔大学获学士学位．翌年，他又获哲学硕士学位．但授予这一学位是在1724年6月8日的会议上正式通告的．此前，他为了满足父亲的愿望，于1723年秋又入神学系．他在神学、希腊语、希伯莱语方面的学习并不成功．他仍把大部分时间花在数学上．尽管欧拉后来彻底放弃了当牧师的念头，但他却终生虔诚地信奉基督教．
　　欧拉18岁开始其数学研究生涯．1726年，他在《博学者》(Acta eruditorum)上发表了关于在有阻尼的介质中的等时曲线结构问题的文章．翌年，他研究弹道问题和船桅的最佳布置问题．后者是这年巴黎科学院的有奖征文课题．欧拉的论文虽未获得奖金，却得到了荣誉提名．此后，从1738年至1772年，欧拉共获得巴黎科学院12次奖金．
　　在瑞士，当时青年数学家的工作条件非常艰难，而俄国新组建的圣彼得堡科学院正在网罗人才．1725年秋，尼古拉第二和丹尼尔应聘前往俄国，并向当局力荐欧拉．翌年秋，欧拉在巴塞尔收到圣彼得堡科学院的聘书，请他去那里任生理学院士助理．然而，故土难离．欧拉开始用数学和力学方法研究生理学，同时仍期望在巴塞尔大学找到职位．恰好，这时该校有一位物理学教授病故，出现空席．欧拉向学校教授评议会递交了“论声音的物理学原理”(Dissertatio physica de sono，1727)的论文，争取教授资格．在激烈的竞争中，未满20岁的欧拉落选了．1727年4月5日欧拉告别故乡，5月24日抵达圣彼得堡．从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起．他再也没有回过瑞士．但是，出于对祖国的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍．
8 N. X" g; h7 I) S2 x　　欧拉到达圣彼得堡后，立即开始研究工作．不久，他获得了在真正擅长的领域从事研究工作的机会．1727年，他被任命为科学院数学部助理院士．他撰写的关于圣彼得堡科学院学术会议情况的调查报告，也开始在《圣彼得堡科学院汇刊(1727)》(Comme－ntarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae)第二卷(St．Petersburg，1729)上发表．尽管那些年俄国政局动荡，圣彼得堡科学院还处在艰难岁月之中，但周围的学术气氛对发展欧拉的才华特别有利．那里聚集着一群杰出的科学家，如数学家C．哥德巴赫(Goldbach)、丹尼尔·伯努利，力学家J．赫尔曼(Hermann)，三角学家F．梅尔(Maier)，天文学家和地理学家J．N．德莱索(Delisle)等．他们同欧拉的个人情谊与共同的科学兴趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，欧拉成为物理学教授．1733年，丹尼尔·伯努利返回巴塞尔后，欧拉接替了他的数学教授职务，担负起领导科学院数学部的重任．这对亲密的朋友，以后通信40多年，促进了科学的竞争和发展．是年冬，欧拉和科学院预科学校的美术教师、瑞士画家G．葛塞尔(Gsell)的女儿柯黛林娜·葛塞尔(Katharina Gsell)结婚．翌年，其长子约翰·阿尔勃兰克(Johann Albrecht)降生．1740年，卡尔(Karl)出世．恬静、美满的家庭生活伴随着欧拉科学生涯的第一个黄金时期．
　　还在圣彼得堡科学院建成之初，俄国政府就责成它除了进行纯科学研究之外，还要培养、训练俄国科学家．为此，科学院建立了一所大学和预科学校，大学办了近50年，预科学校一直办到1805年．俄国政府还委托科学院制定俄国的地图，解决各种具体技术问题．欧拉积极参与并领导了科学院的这些工作．从1733年起，他和德莱索成功地进行了地图研究．从30年代中期开始，欧拉以极大的精力研究航海和船舶建造问题．这些问题对于俄国成为海上强国，是具有重大意义的．欧拉是各种技术委员会的成员，又担任科学院考试委员会委员．他既要为科学院的期刊撰稿、审稿，还要为附属大学、预科学校准备讲义、开设讲座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在数学研究上．
　　在圣彼得堡的头14年间，欧拉以无可匹敌的工作效率在分析学、数论和力学等领域作出许多辉煌的发现．截止1741年，他完成了近90种著作，公开发表了55种，其中包括1936年完成的两卷本《力学或运动科学的分析解说》(Mechanica sive motus scie－ntia analytice exposita)．他的研究硕果累累，声望与日俱增，赢得了各国科学家的尊敬．欧拉从前的导师约翰·伯努利早在1728年的信中就称他为“最善于学习和最有天赋的科学家”，1737年又称他是“最驰名和最博学的数学家”．欧拉后来谦逊地说：“……我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件．”
6 }/ ?) L, t4 A% W2 a' G1 M　　由于过度的劳累，1738年，欧拉在一场疾病之后右眼失明了．但他仍旧坚韧不拔地工作．他热爱科学，热爱生活．他非常喜欢孩子(他一生有过13个孩子，除了5个以外都夭亡了)．写论文时往往膝上抱着婴儿，大一点的孩子则绕膝戏耍．他酷爱音乐．在撰写艰深的数学论文时，他的“那种轻松自如是令人难以置信的”．
' y  W+ M, T6 s9 Z$ p3 @0 [! B　　1740年秋冬，俄国政局再度骤变，形势极不安定．欧拉此时与圣彼得堡科学院粗鲁、专横的顾问J．D．舒马赫尔(Schuma－cher)也产生了磨擦．为了使自己的科学事业不受损害，欧拉希望寻求新的出路．恰好这年夏天继承了普鲁士王位的腓特烈(Frederick)大帝决定重振柏林科学院，他热情邀请欧拉去柏林工作．欧拉接受了邀请．1741年6月19日，欧拉启程离开圣彼得堡，7月25日抵达柏林．
　　柏林科学院是在G．W．莱布尼茨(Leibniz)的大力推动下于1700年创立的，后来它衰落了．欧拉在柏林25年．那时，他精力旺盛，不知疲倦地工作．他鼎力襄助院长P．莫佩蒂(Maupe－rtuis)，在恢复和发展柏林科学院的工作中发挥了重大作用．
　　在柏林，欧拉任科学院数学部主任．他是科学院的院务委员、图书馆顾问和学术著作出版委员会委员．他还担负了其他许多行政事务，如管理天文台和植物园，提出人事安排，监督财务，以及历书和地图的出版工作．当院长莫佩蒂外出期间，欧拉代理院长．1759年莫佩蒂去世后，虽然没有正式任命欧拉为院长，但他实际上一直领导着科学院的工作．欧拉和莫佩蒂的友谊，使欧拉能对柏林科学院的一切活动，尤其是在选拔院士方面，施加巨大影响．
　　欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金等问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，设计改造费诺运河(1749年)，曾主管普鲁士皇家别墅水力系统管系和泵系的设计工作．他和德国许多大学的教授保持广泛联系，对大学教科书的编写和数学教学起了促进作用．
　　在此期间，欧拉一直保留着圣彼得堡科学院院士资格，领取年俸．受该院委托，欧拉为其编纂院刊的数学部分，介绍西欧的科学思想，购买书籍和科学仪器，同时推荐研究人员和课题．他在培养俄国的科学人才方面起了重大的作用．他还经常把自己的学术论文寄往圣彼得堡．他的论文约有一半是用拉丁文在圣彼得堡发表的，另一半用法文在柏林出版．另外，他还先后当选为伦敦皇家学会会员(1749年)、巴塞尔物理数学会会员(1753年)及巴黎科学院院士(1755年)．
& G8 {* ^' W2 E3 S　　柏林时期是欧拉科学研究的鼎盛时期，其研究范围迅速扩大．他与J．K．达朗贝尔(D’Alembert)和丹尼尔·伯努利展开的学术竞争奠定了数学物理的基础；他与A．克莱罗(Clairaut)和达朗贝尔一起推进了月球和行星运动理论的研究．与此同时，欧拉详尽地阐述了刚体运动理论，创立了流体动力学的数学模型，深入地研究了光学和电磁学，以及消色差折射望远镜等许多技术问题．他写了大约380篇(部)论著，出版了其中的275种．内有分析学、力学、天文学、火炮和弹道学、船舶建造和航海等方面的几部巨著，其中1748年出版的两卷集著作《无穷分析引论》(Introdu－ctio in analysin infinitorum)在数学史上占有十分重要的地位．
　　欧拉参加了18世纪40年代关于莱布尼茨和C．沃尔夫(Wolff)的单子论的激烈辩论．欧拉在自然哲学方面接近R．笛卡儿(Descartes)的机械唯物主义，他和莫佩蒂都是单子论的“劲敌”．1751年，S．柯尼格(Knig)以耸入听闻的新论据，发表了几篇批评莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．欧拉翌年撰文反驳，并同莫佩蒂用更浅显的语言来解释最小作用原理．除了这些哲学和科学的争论以外，对于数学的发展来说，欧拉参加了另外三场更重要的争论：与达朗贝尔关于负数对数的争论；与达朗贝尔、丹尼尔·伯努利关于求解弦振动方程的争论；与J．多伦(Dollond)关于光学问题的争论．
! M7 Q4 h/ ]# `6 s　　1759年莫佩蒂去世后，欧拉在普鲁士国王的直接监督之下负责柏林科学院的工作．欧拉同腓特烈大帝之间的关系并不融洽．1763年，当获悉腓特烈想把院长的职务授予达朗贝尔后，欧拉开始考虑离开柏林．圣彼得堡科学院立即遵照卡捷琳娜(Catherine)女皇旨意寄给欧拉聘书，诚挚希望他重返圣彼得堡．但是达朗贝尔拒绝长期移居柏林，使腓特烈一度推迟就院长入选作最后的决定．“七年战争”之后，腓特烈粗暴地干涉欧拉对柏林科学院的事务管理．1765年至1766年，在财政问题上，欧拉与腓特烈之间引发了一场严重的冲突．他恳请普鲁士国王同意他离开柏林．1766年7月28日，欧拉重返圣彼得堡，他的三个儿子和两个女儿也回到俄国，伴于身旁．
　　欧拉的家安置在涅瓦河畔离圣彼得堡科学院不远的舒适之处．他的长子阿尔勃兰克这年成为科学院院士、物理学部教授，三年后又被任命为科学院的终身秘书．1766年，欧拉父子还同时当选为科学院执行委员．欧拉的工作是顺心的，然而，厄运也接二连三地向他袭来．回到圣彼得堡不久，一场疾病使欧拉的左眼几乎完全失明．这时，他已经不能再看书了．只能勉强看清大字体的提纲，用粉笔在石板上写很大的字母．1771年，欧拉双目完全失明．这一年，圣彼得堡的一场特大火灾又使欧拉的住所和财产付之一炬，仅抢救出欧拉及其手稿． 1773年 11月，欧拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父异母的妹妹莎洛姆·葛塞尔(SalomeGsell)成为欧拉的第二个妻子．
# I' B' c- o3 g. g3 S　　欧拉晚年遭受双目失明、火灾和丧偶的沉重打击，他仍不屈不挠地奋斗，丝毫没有减少科学活动．在他的周围，有一群主动的合作者，包括：他的儿子阿尔勃兰克和克利斯朵夫(Christoph)； W．L．克拉夫特(Krafft)院士和A．J．莱克塞尔(Lexell)院士；两位年轻的助手N．富斯(Fuss)和M．E．哥洛文(Golovin)．欧拉和他们一起讨论著作出版的总计划，有时简要地口述研究成果．他们则使欧拉的设想变得更加明确，有时还为欧拉的论著编纂例证．据富斯自己统计，七年内他为欧拉整理论文250篇，哥洛文整理了70篇．欧拉非常尊重别人的劳动．1772年出版的《月球运动理论和计算方法》(Theoria motuum lunae， nova methodoPertractata)是在阿尔勃兰克、克拉夫特和莱克塞尔的帮助下完成的，欧拉把他们的名字都印在这本书的扉页上．
　　重返圣彼得堡后，欧拉的著作出版得更多．他的论著几乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《积分学原理》(Institutiones calculi integralis， 1768—1770)和《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》(Lettresà une princesse d’AllemagneSur divers sujets de physique et de philosophie， 1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者产生于欧拉给普鲁士国王的侄女的授课内容．这本文笔优雅、通俗易懂的科学著作出版后，很快就在欧洲翻译成多种文字，畅销各国，经久不衰．欧拉是历史上著作最多的数学家．
　　欧拉的多产也得益于他一生非凡的记忆力和心算能力．他70岁时还能准确地回忆起他年轻时读的荷马史诗《伊利亚特》(Iliad)每页的头行和末行．他能够背诵出当时数学领域的主要公式和前100个素数的前六次幂．M．孔多塞(Condorcet)讲述过一个例子，足以说明欧拉的心算本领：欧拉的两个学生把一个颇为复杂的收敛级数的17项相加起来，算到第50位数字时因相差一个单位而产生了争执．为了确定谁正确，欧拉对整个计算过程进行心算，最后把错误找出来了．
　　1783年9月18日，欧拉跟往常一样，度过了这一天的前半天．他给孙女辅导了一节数学课，用粉笔在两块黑板上作了有关气球运动的计算，然后同莱克塞尔和富斯讨论两年前F．W．赫歇尔(Herschel)发现的天王星的轨道计算．大约下午5时，欧拉突然脑出血，他只说了一句“我要死了”，就失去知觉．晚上11时，欧拉停上了呼吸．
　　欧拉逝世不久，富斯和孔多塞分别在圣彼得堡科学院和巴黎科学院的追悼会上致悼词．孔多塞在悼词的结尾耐人寻味地说：“欧拉停止了生命，也停止了计算．”
　　欧拉的菩作在他生前已经有多种输入了中国，其中包括著名的、1748年初版本的《无穷分析引论》．这些著作有一部分曾藏于北京北堂图书馆．它们是18世纪40年代由圣彼得堡科学院赠给北京耶稣会或北京南堂耶稣学院的．这也是中俄数学早期交流的一个明证．19世纪70年代，清代数学家华蘅芳和英国人傅兰雅(John Fryer)合译的《代数术》(1873)和《微积溯源》(1874)，都介绍了欧拉学说．在此前后，李善兰和伟烈亚力(Alexander Wylie)合译的《代数学》(1859)、赵元益译的《光学》(1876)、黄钟骏的《畴人传四编》(1898)等著作也记载了欧拉学说或欧拉的事迹(详见文献［32］)．中国人民是很早就熟悉欧拉的．欧拉不仅属于瑞士，也属于整个文明世界．著名数学史家A．П．尤什凯维奇(Юшкевич)说，人们可以借B．丰唐内尔(Fontenelle)评价莱布尼茨的话来评价欧拉，“他是乐于看到自己提供的种子在别人的植物园里开花的人．”
+ Y. K8 @& l  o( e: k& T  ]　　在欧拉的全部科学贡献中，其数学成就占据最突出的地位．他在力学、天文学、物理学等方面也闪现着耀眼的光芒．

　

数 学

　

　　欧拉是18世纪数学界的中心人物．他是继I．牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一．在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起．他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法．欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因．其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想．因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述．他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子．欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点．现代版的《欧拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷(74部分；近况详见文献［1］)中有29卷属于纯粹数学．
　　欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一．但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学．这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关．欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础．他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域．他被同时代的人誉为“分析的化身”．
/ U, {* W4 O: R' S+ {　　欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比．他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法．只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足．他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性．欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者．
　　这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解．譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
( q+ Q  m# x) I  b% L　　欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师．他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现．但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的．他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的．
　　欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示
号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今．
　　在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19世纪最著名的数学家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．
6 W) D$ _/ U7 U+ N0 ~1 X) T# |: k　　罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路．
7 r5 W+ U1 w1 }3 @% z　　1．数论
　　古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，P．de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．
　　欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760

要的发现是二次互反律．它表述在1783年的一篇论文中，但未给予证明．这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意．二次互反律是18世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现．后来，A．M．勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它．高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801年发表了二次互反律的完整的证明．他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”．二次互反律后来引起了许多数学家，如E．E．库默尔(Kummer)、D．希尔伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作．1950年，I．R．沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律．
. L6 W9 q5 L, n+ g0 N4 y　　欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研究．费马重新发现了求解方程x2-Ay2=1的问题(其中，A是整数但非平方数)，J．沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题．欧拉在1732—1733年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了．1759年，
5 k( C: z) C9 j/ D后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)开始对这个问题进行全面研
0 A9 `' G- \$ m  g5 D6 ^9 U　　究．对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明 n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如
# U* x( q: J5 ]6 w' C　　(Vollstndige Anleitung Zur Algebra， 1770，德文版)一书中详尽地叙述了这个证明．此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。
: J* e& C" M$ v- O　　欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河．他利用调和级数

! t. c4 X7 ~8 a+ }! ^　　的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：

" s5 }! V+ y" Z& D) J/ w　　
/ K" M! z3 u/ G: ~* H函数ζ(s)．1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有

" e9 b/ Q8 Z- o/ P　　黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ函数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家．19世纪和20世纪，ζ函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿达马(Hadama- rd)等人关于素数分布的研究中更是如此．
　　欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题．J．H．兰伯特(Lambert)1768年证明e和π是无理数时，曾用连分数表示e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的．1873年，C．埃尔米特(Hermite)证明e是超越数．1882年，F．林德曼(Lindemann)应用欧拉公式eiπ=-1 (欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题．欧拉常数

　　的超越性的猜测，则至今尚未解决．
" Z1 N( ]1 E7 c- y. ?; Y+ U$ @　　2．代数
- @6 `* L8 \& n$ g　　17世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对G．卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有n个形如a＋bi的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19世纪有了更精确的证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于19世纪和20世纪代数学教科书的编写产生极大影响．
　　3．无穷级数
5 Y, {7 b  W% b# c" z　　在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题

6 d7 L( i* Q( D9 W9 ^5 F% j　　伯努利兄弟、J．斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它．1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数2K＞0，

ζ(2K)=a2kπ2k，

: {. Z- m; p6 a# b　　这里a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示．欧拉还给出了当2K＋1是前面几
( A1 S; k  ~/ u& d$ Q. D" J性质至今尚不清楚．
　　欧拉大约在1732年发现了上述求和公式，他于1735年给出了证明．C．马克劳林(Maclaurin)不谋而合地在几年后又独立地发现了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．这个公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特灵奠基的．欧拉的《微分学原理》(Introductio calculi differentialis， 1755)是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子．借助于这个求和公式，1735年，欧拉把前述的欧拉常数γ的值计算到小数点后第16位

γ=0.57721566…．

8 [7 x. b  Y; e) P! O　　欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：

0 N3 T+ [, m9 M8 I+ K3 v* s　　它发表在1755年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗1759年的相应工作．
　　欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的．
　　形式观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对19世纪末、20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响．
  U. z8 e* G; Z7 l　　4．函数概念
　　18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中．这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此．专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹．

图1 《无穷分析引论》的扉页，洛桑，1948年

　

: Y+ {! ~; H' X  s# x0 f5 N+ M　　《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极其重要．
　　在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利等许多数学家卷入的关于弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论．它促使欧拉去推广自己的函数概念．1755年，欧拉在《微分学原理》一书中给函数下了一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数．”不过，在《无穷分析引论》中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述．
　　5．初等函数
　　《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论．其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式

e±xi=cosx±isinx

　　的一个推导．虽然R．柯特斯(Cotes)在1714年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用．欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式

　　　
; M% m9 Y6 D# y　　虑了正自变量的对数函数．1751年，欧拉发表了完备的复数理论．他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的．欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前1747—1748年在莱布尼茨和约翰·伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争论．但他的工作当时并未被人们接受．
0 w8 j$ h3 ?6 J0 K! i, l: S  b　　6．单复变函数
) s, o! \8 z& h/ _& F2 S: {　　通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747—1751年间先后得到了(用现代术语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论．他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展．1752年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数u(x，y)＋iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程．177年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程

0 l# g; z  B+ @) {) [% d　　其要点是借助于虚代换z=x＋iy，利用实函数去计算复函数的积分，展

' w, _; `' _4 R; R+ y  z$ D　　欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究．他在1768年的一篇论文中，利用复变函数，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法．1775年，他又证明球面不可能全等地映入平面．这里，他再一次用了复变函数而且讨论了相当一般的保角表示．
& t+ b% E: X& Y: O- ~9 {　　欧拉的这些思想，19世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展．譬如，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的．
/ U! `: ^7 r9 D* h. p+ f9 g　　7．微积分学
　　欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支．
7 y: K' [' s$ d. l2 L　　在《微分学原理》中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式．他在1734年的一篇论文中证明，若z=f(x，y)，则

　　导出了函数f(x，y)恰当微分的必要条件．1736年，他又揭示了关于齐次函数的定理，即若z是x和y的n次齐次函数，则

　　他还就函数f(x)和f(x，y)的极值问题，得到许多重要的结果．
- k( x; t  F$ k5 s. [2 I　　欧拉在《积分学原理》第一卷中，用相当现代的方式叙述了不定积分的方法．他创造了“欧拉代换”等许多新方法．他计算了许多困难的定积分，进一步奠定了特殊函数论的基础．例如，1729年欧拉就研究了序列1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函数和Γ函数，继而还发现了B函数和Γ函数的许多性质，如：

, E0 ^2 x% S6 W- E) j8 I$ k　　在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理．1770年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序．
) ?( ]4 E6 ~% b+ M　　《微分学原理》和《积分学原理》是欧拉那个时代的标准课本．他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上．这至少为后来基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路．
. b2 t' h$ H0 X4 j! Z9 v　　8．微分方程
! q7 m3 t# f: I2 b1 g8 p　　《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现．他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科．
　　在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名词．1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低．欧拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法．他在1734—1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在1768—1770年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程．欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究．1768年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法．这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件x=x0，y=y0的方程

6 @' s$ `+ ^$ M$ F% ?% t　　的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程．这个现称“欧拉折线法”的方法，为19世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径．
/ x! x2 d/ _& K　　欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分方程的研究．他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的．数学物理中的许多问题都可以归结为二阶线性方程．弦振动问题是一个著名的例子．1747年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程

　　得到形如两个任意函数之和的解：

　　欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究．他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法．于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)发表为止．其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了．欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程．例如，位势方程

. S4 c9 y+ X3 v: j　　最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中．1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解．

0 |4 C# J5 ~, x* V9 n; s/ p& @8 G% _　　9．变分法
6 L  ]% P. j1 W! J; `( ]: o- E　　欧拉从1728年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题．然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广泛使用了几何论证．书中系统地总结了欧拉在18世纪30年代和40年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分

　　取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程

. g1 P8 T6 I" |% O, P1 s( l　　以及大量应用的例子．这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程．
$ m; [; v  h7 e: L8 m0 |　　18世纪50年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”(the calculus of variation)． 1770年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值．
# E* f7 x5 X$ o' b! ^; h) [　　10．几何学
　　18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程．
! `: y+ m) ?! a( F4 b　　在微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪60年代和70年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件．1775年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论．

0 n2 g  i3 g3 N) x2 }+ }- V; ?7 J

: s: R* G0 L9 H8 y* V1 N　　欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平．1735年，欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图3，有7座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏．)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质．其中，有一条是：如果用V，E和F分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有V-E＋F=2．次年他给出了这条性质的一个证明．尽管100年后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识V-E＋F这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉．他之所以对这一关系感兴趣，是要用它来作多面体的分类．欧拉示性数V-E＋F以及由H．庞加莱(Poicaré)提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点．”他用图形(图4)表示了这种关系．

　

力 学

　

　　欧拉在1736年的《力学》导言中，概述了对这门科学各个分支的巨大研究计划．与其前辈采用综合法、几何法来研究力学不同，欧拉第一个意识到把分析方法引入力学的重要性．欧拉系统而成功地将分析学用于力学的全面研究．他的《力学或运动科学的分析解说》(图5)的书名就清楚地表达了他的这一思想．欧拉在力学的各个领域都有突出贡献，他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人．

　　1．一般力学
+ C* e0 q& U5 _$ K　　《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动．欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”．他所提供的基本概念和定律接近我们今天所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义．
/ I# S% _" [0 f4 f* G　　1765年，欧拉的著作《刚体运动理论》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅(Ковaлескaя)于1888年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题．
+ ~1 [( w% d* e; U4 i; b; s9 G$ Z　　2．流体力学
　　欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752年至1755年，欧拉相继写了“流体运动原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流体运动的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流体运动理论续篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．这三篇论文于1757年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题．
) v% ]9 E) _" j　　除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔·伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用．

　

天文学

　

9 v% c0 k2 n$ ]0 x; c5 B　　对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关．这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金．
% {% l& E* A# l/ x# e! y& e' T1 h　　17世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745年，克莱罗和达朗贝尔用万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18年，而实际观察则表明它应该是9年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院1752年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753年，他的《月球运动理论》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一书出版．在这部著作中，欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致．
　　欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755年，格丁根大学的天文学家T．迈尔(Mayer)根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过10年的航海实践，1765年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作．
7 w1 ]/ i( ]* q4 @　　1772年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19世纪末，当G．W．希尔(Hill)发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价．
& I2 }- y2 [, A# z3 Q* Y. @　　欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．

　

物理学

　

; G4 L  z; M2 M　　18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
　　1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
　　欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
: H( q% L: ?4 I" j: V; t1 D　　欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
　　欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．

extras

达朗贝尔

) n* H/ P5 L5 H6 r　 达朗贝尔，J．L．R．(D'Alembert Jean Le Rond)1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎．物理学、数学．
　　达朗贝尔是私生子，母亲德唐栅夫人(Madame de Tencin)当过修女，当时是一位著名的沙龙女主人；为了她自己的名誉而将出生不久的婴儿遗弃在巴黎的圣·让勒龙(Saint Jean le Rond)教堂的石阶上．后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名．姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的．他的父亲名为谢瓦里叶(Chevalier)，姓德杜歇-卡农(Detouches-Canon)，是骑兵军官．他得到消息后很快把婴儿找回来，寄养于工匠卢梭(Rous- seau)夫妇处．达朗贝尔同养父母的感情很好，47岁以前一直住在他们家中．
　　达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校(由路易十三时代的教皇马萨林创建)，主要学习古典文学、修辞学和数学．他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础；虽然在教会学校中受到很多宗教教育，但后来仍不信神，成为反对宗教的著名启蒙学者和“百科全书派”的主要骨干．
% W- u0 Z& x$ P6 S　　达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了I．牛顿(Newton)和当代著名数理科学家们的著作．1739年7月，他完成第一篇学术论文，内容是批评C．雷诺(Reyneau)神父的数学教程．以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告，内容是研究微分方程的积分方法和物体在介质内的阻尼运动．这些报告由A．C．克莱洛(Clairaut)院士回复．经过几次联系后，达朗贝尔于1741年5月正式进入科学院．当时科学院的职称分四个等级：荣誉院士，只有声望很高的人担任；终身院士，每个学部(当时有6个)只有3名；副院士，或称通讯院士；助理院士．严格讲来，只有前两种才是正式院士，但有些文献中把这四种统称为院士．达朗贝尔刚进科学院时任天文学助理院士；1746年提为数学副院士；1754年提为终身院士．
, ^  z  {1 l$ p　　在1741年1743年间，达朗贝尔对理论力学的大量课题进行了研究，并在1743年底出版了历史性名著《动力学》(Traité dedynamique)， 1744年又出版《流体的平衡和运动》(Traité del'equilibre et du mouvement des fluides)．1747年发表了两篇重要论文：其中一篇关于喷流反射的文章获普鲁士科学院奖金，文中首先在数学物理中应用偏微分方程；另一篇是关于弦振动的，其中第一次正式采用波动方程．1749年又发表了有关春分点、岁差和章动的论文，对天体力学发展作出重要贡献．
+ H6 o2 ]* e* }　　达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名．他进入科学院后，就以克莱洛作为竞争对手，克莱洛研究的每一个课题，达朗贝尔几乎都要研究，而且尽快发表．多数情况下，达朗贝尔胜过了克莱洛．这种竞争一直到克莱洛去世(1765)为止．
　　自1750年开始，达朗贝尔中断了数理研究工作，加入了“百科全书派”，与启蒙运动成员一起编辑出版宣传启蒙思想的《百科全书》．由D．狄得罗(Diderot)主编，达朗贝尔任科学副主编，但工作已超出科学范围．达朗贝尔为《百科全书》写的长篇序言，成为启蒙运动的主要文件．在序言中，全面讨论了科学和道德问题，并用唯物主义观点阐明了科学史和哲学史．虽然达朗贝尔为了应付书刊审查员，口头承认宗教的真理性，但在序言中仍然明确指出，科学的基础是实际的感受；道德的基础是激情、同情和倾向等，而这些都是人们自身能够弄清的．正因为如此，序言出版后经常受到攻击．此外，达朗贝尔还撰写了不少数学和其他知识条目，刊载于《百科全书》．
　　由于牵涉到的知识面很广，达朗贝尔在这几年内的著作超出了数理方面的研究．1752年出版的《M．拉莫(Rameau)原理下的音乐理论和实用基础》，属于心理物理学领域；1753年出版的《文学和哲学论丛》两卷集，是关于音乐、法律和宗教的小品文集．
　　1757年，达朗贝尔访问住在瑞士的文学家M．A de伏尔泰(Voltaire)后，写了一个“日内瓦”条目，刊登在《百科全书》第7卷上．他在文中表面赞美，实质上是诅咒这个城市．而《百科全书》正好在瑞士出版，结果被当局吊销了《百科全书》的出版许可证．达朗贝尔这样作违背了《百科全书》的编辑总方针，受到启蒙运动内部人员的攻击．著名哲学家J．J．卢梭(Rousseau)攻击得最厉害．达朗贝尔引咎辞去副主编职务．
4 M! x1 J5 z$ g# m& q　　1760年以后，达朗贝尔继续从事数理研究，主要专著是8卷巨著《数学手册》(Opuscules mathematiques)，到1780年才出齐．1770年以后发表的论文不多，1777年发表的有关流体阻尼的论文，是以合作者A．波苏(Bossut)和J．A．de孔多塞(Condorcet)为主．
　　达朗贝尔终生未婚，但长期与沙龙女主人J．de勒皮纳斯(Lespinasse)在一起．他的生活与当时哲学家们一样，上午到下午工作，晚上去沙龙活动．达朗贝尔很少旅行，最长的一次是1764年应普鲁士国王菲得烈之邀，到柏林王宫住了三个月．虽然国王再三请他移居德国，就任普鲁士科学院院长，达朗贝尔仍婉言谢绝，并推荐L．欧拉(Euler)担任．但国王始终未委任欧拉．1762年，俄皇卡捷琳娜二世曾邀请达朗贝尔任皇太子监护人，被他谢绝．由于他在数理学科中的重要贡献，1772年被选为巴黎科学院的终身秘书，成为影响最大的院士；欧洲多数国家的科学院聘请他为国外院士．达朗贝尔还是青年科学家的良师益友，著名科学家J．L．拉格朗日(Lagrange)和P．S．拉普拉斯(Laplace)在青年时代，都得到他的鼓励和支持．他推荐拉格朗日去普鲁士科学院，推荐拉普拉斯去巴黎科学院，以后还一直进行学术讨论．
* f" \/ @0 F! b　　1765年，达朗贝尔因病离开养父母的家，住到勒皮纳斯小姐处．在她精心照料下恢复了健康，以后就继续住在那里．任科学院秘书后，他组织编辑和出版巴黎科学院已故院士的文集，但因院内意见分歧而进展缓慢．1776年，勒皮纳斯小姐去世，达朗贝尔非常悲痛；再加上工作的不顺利，他的晚年是在失望中度过的．达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市郊墓地，由于他的反宗教表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼．
　　达朗贝尔是多产科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究；论文和专著很多，还有大量学术通信．仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔《文集》(Oeuvres)就有23卷．
　　达朗贝尔作为数学家，同18世纪其他数学家一样，认为求解物理(主要是力学，包括天体力学)问题是数学的目标．正如他在《百科全书》序言中所说：科学处于从17世纪的数学时代到18世纪的力学时代的转变，力学应该是数学家的主要兴趣．他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者．
. D% J- Y3 z( m　　1．力学基础研究
　　(1)动力学基础的建立牛顿力学体系的建立，是18世纪的科学家们完成的．达朗贝尔是这批学者的杰出代表之一．他在力学基础上的贡献，集中反映在他的《动力学》中．
　　《动力学》于1743年出版，1758年再版．全书分为两部分，前面还有很长的哲学序言．该书是他的科学工作中最有名的作品．
& k; c( ~! ^7 D　　在哲学序言里，他首先指出科学革命已经发生，需要很多人长期努力才能完成．他自己的任务是把力学这门新科学系统化和公式化．他主张以感觉论的认识论作为科学的基础，但也保留了R．笛卡儿(Descartes)的观点：真理就是明白和简单的．序言中发挥了他对力学的哲学观点，强调基本概念必须符合明白和简单的原则．他认为运动是时间和空间概念的一种组合；他根据物体不能互相穿透的事实，定义物质的不可入性，认为物质由原子组成，原子是坚硬不可入的，原子间由某种弹簧联结．但这些弹簧是什么？不见得比牛顿用的以太(ether)更高明．限于当时的物理学水平，不可能更深入了解物质的结构．
, u+ T. |$ v* P' V　　《动力学》第一部分中，达朗贝尔提出了自己的运动三大定律：第一定律与牛顿的惯性定律相同，但给出一个几何学证明；第二定律为运动的合成，给出一个利用平行四边形法则的数学证明；第三定律为平衡定律，但不是讲作用力与反作用力，而是用动量在撞击前后的守恒来表示，其中撞击时间为离散间隔．动量守恒中隐含质量定义，而不用力来定义质量．
　　《动力学》第二部分中阐述了著名的达朗贝尔原理，并用不同形式的例子来说明．下面以现代语言和符号简述此原理：
$ B! \  l: y3 u, w9 |　　作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零．即
　　F＋(-Ma)＋N=0， (1)
　　其中m，a为物体质量和加速度，F为物体受到的直接外力，N为物体受到的约束反作用力(也是外力)．在没有约束时，相应的N=0，(1)式成为
1 E8 t4 `0 h* C! D! W# R　　F-Ma=0， (2)
　　与牛顿的运动第二定律一致，只是进行了移项．但这是概念上的变化，有下列重要意义：
　　①用(2)式表达的是平衡关系，可以把动力学问题转化为静力学问题来处理．
　　②在有约束情况下，用(1)式非常有利；它与虚功原理结合后，可列出动力学的普遍方程．
　　③用于刚体的平面运动时，可利用平面静力学方法，使问题简化．
　　实际上，达朗贝尔原理还为不久后创立的分析力学打下了基础．
　　(2)流体力学研究流体的力学研究从牛顿开始，但作为一门学科——流体力学，则是18世纪的欧拉，D．伯努利(Bernoulli)，克莱洛和达朗贝尔打下的基础．
1 {% ~; S* N  i* b& x6 B　　在提出达朗贝尔原理后，他自已就用于研究流体运动的一些主要问题，包括笛卡儿提出的行星系运动的旋涡理论以及克莱洛的有关地球形状理论．
# m4 I+ H3 s1 C8 @4 n* n) {　　1752年发表的“流体阻尼的一种新理论”(Essai d'un nouvellethéorie de la resistance des fluides)一文，第一次用流体动力学的微分方程表示场，并提出了著名的达朗贝尔佯谬(D' Alembert's paradox)．它实际上是流体力学中的一个定理：物体在大范围的静止或匀速流动的不可压缩、无粘性流体中作等速运动时，它所受到的外力之和为零．这是达朗贝尔从理论上导出的结果，看起来有矛盾，因为物休在流休中运动总会受到阻尼，这是一种耗散力，总和不会为零．达朗贝尔在文中对此未作解释．按现在观点，这个定理并没有错，只是现实中不存在无粘性流体．即使粘性非常小的流体，对其中运动的物体都会起重要的作用，因为粘性使流体在物体表面产生切向应力，即摩擦阻尼．
　　虽然文中还有一些其他问题，如有些假定破坏了连续性定律，后人仍公认该论文对流体力学基础理论有重大贡献．H．劳斯(Rouse)和S．英斯(Ince)曾说：“是达朗贝尔第一次引入了流体速度和加速度分量概念．”
　　达朗贝尔在流体力学上的建树，与当时欧拉、克莱洛、伯努利等齐名．其中欧拉的贡献最大，但其余几人很难排名次，因为他们不断地相互讨论，很难说哪一个想法是谁先提出来的．
　　(3)天体力学的奠基者之一达朗贝尔把力学理论用于研究天体运动，成为天体力学的奠基者之一．其贡献主要集中在两部著作中：一是1749年出版的《分点岁差和地球章动的研究》(Recherches sur la précession des equinoxes et sur la nutationde la terre)，在此书中虽然采用了与克莱洛相似的方法，但在运动方程的积分过程中，用了更多的摄动项，使得结果更符合观测；二是《宇宙体系的几个要点研究》(Recherches sur differénspoints importants du système du monde)，共分3卷，1754年出版前两卷，1756年出第3卷．其中贡献最大的是下面两个课题：
/ G' o  Z- ^" B1 |) e, V7 v; K　　一是月球运动理论．在18世纪40年代，欧拉、克莱洛和达朗贝尔几乎同时研究月球运动理论；因为按牛顿理论，已不能解释月球运动的现象，而且理论计算位置和观测之间的差愈来愈大． 1747年，达朗贝尔与克莱洛在同一天向巴黎科学院提交了关于月球运动的报告．他们都解释了月球近地点移动的现象，并在1749年提供了更详细的结果．1754年，他们两人又几乎同时发表了各自的月球运动数值表，成为最早的月球历表之一．达朗贝尔的月球运动研究成果，载于《宇宙体系的几个要点研究》第3卷．
& `- F# \' s1 c$ V　　二是关于地球形状和自转的理论．这也是达朗贝尔同克莱洛竞争的课题之一，是牛顿时代就存在的老课题．达朗贝尔给出了流体自转时平衡形状的一般结果，克莱洛立即用来研究地球的自转，首先在1743年出版了《地球的形状理论》(Theorie de lafigure de la Terre)．达朗贝尔对克莱洛关于不均匀流体自转时的形状理论进行推广和补充，研究结果载于《宇宙体系的几个要点研究》第2卷．他以此为基础，更准确地研究了岁差和章动现象，以及相似的月球天平动，为天体力学的奠基作出贡献．
　　2．数学分析的开拓者
　　自牛顿和G．M．莱布尼茨(Leibniz)发现微积分后，数学发展到一个新阶段．英国数学界由于坚持几何方法而进展缓慢；欧洲大陆数学家却继续在分析方法上不断探索而迅速发展，进入数学分析的开拓时期．达朗贝尔是重要的开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和D．伯努利(Bernoulli)．
　　达朗贝尔的数学成果后来全部收入《数学手册》．下面介绍其主要贡献．
5 q& ?( z" G" W6 @! A5 Y, r: x1 L　　(1)极限概念达朗贝尔在《百科全书》的“微分”条目中写道：“微分学是作为最初比和最终比的方法，即求出这些比的极限的一种方法．”文中还把导数看成极限，并论证0/0可等于任何量．
　　在其他一些文章中，他说极限论是微积分学的真正抽象，不是微分学中无穷小量的一个问题，而是有限量的问题．他给出了极限的较好定义：“一个变量趋于一个固定量，趋近程度小于任何给定量，且变量永远达不到固定量”．但他没有把这种表达公式化．
　　正如C．波义尔(Boyer)指出：达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几乎唯一把微分看成是函数极限的数学家［2］．
　　(2)级数理论无穷级数在18世纪中，形式讨论占主导地位，一般都作为多项式的推广，只有少数人区别开收敛级数和发散级数．达朗贝尔是其中之一，他在《百科全书》中的“级数”条写道：“当级数的项数增加而级数值愈来愈趋向某有限量，则称此级数为收敛级数．”接着他提出了一个判别无穷级数绝对收敛的办法：若级数

u1＋u2＋u3＋…＋un＋…

的相邻两项之比的绝对值|un+1/un|，在n大于某固定正整数N时，永远小于一个与n无关的正数r，且r＜1，则上述级数为绝对收敛．这就是至今仍在应用的著名的达朗贝尔判别式．
, p* W3 i6 o0 W$ W　　对于发散级数，当时一般人照样采用，达朗贝尔在1768年出版的《数学手册》第5卷中说：“所有基于不收敛级数的推理，在我看来都是十分可疑的．”可是他的看法在当时并未引起重视．
( m+ T' G5 i% L- q5 l　　18世纪已出现三角级数，达朗贝尔就是否所有函数都能表示为三角级数的问题，同欧拉和拉格朗日等进行了热烈的讨论，为19世纪建立三角级数理论打下基础．
2 E, `7 A% [4 _+ S　　(3)微分方程随着18世纪中的力学和天体力学课题的广泛深入研究，常微分方程得到迅速发展．达朗贝尔在这方面的贡献集中在求解上．
; I+ x2 C0 t7 b" k# G　　解高阶常微分方程的一种基本方法是降阶法，达朗贝尔首先把二阶方程降阶为一般形式的方程

　　并且命名为“黎卡提(Riccati)方程”(1763)．
7 x) p. T. Q# n) C* V* i! V$ g8 S　　在常微分方程奇解的讨论中，达朗贝尔的贡献是加强了欧拉在1768年提出的判别法，即在未知通解时，从一个特殊积分鉴别奇解的判别法(1769)．
　　在达朗贝尔以前，常微分方程的解只用初等函数表示，欧拉和达朗贝尔开始研究用求积形式的函数作为解．达朗贝尔在1767年指出，椭圆积分可以作为常微分方程的解．
6 S# T1 X* D  \/ E# {& S) f　　达朗贝尔也为偏微分方程的诞生做出了重大贡献．早在1743年出版的《动力学》中，已出现偏微分方程；1746年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线研究》(Recherches des courbes formé parvibration de la corde tendue)中，首先提出了波动方程

　　其中a为常数，与弦的密度和张力有关．达朗贝尔证明了它的解为at＋x的函数与at-x的函数之和，并讨论了这两个函数在初始条件下的关系．
; I, t0 d; x3 m# }# ?$ }* f　　1750年，达朗贝尔引入分离变量的方法，把(4)式的解表示为

y(t，x)=g(t)h(x)，(5)

! h; s; U; s' ?" `/ K& E, e2 B　　代入(4)式后，可化为g(t)和h(x)的两个常微分方程，并证明在弦振动的初始条件下，g(t)，h(x)分别为t和x的周期函数．这是现在仍采用的一种解偏微分方程的基本方法．
　　1763年，达朗贝尔进一步讨论了不均匀弦的振动，得出广义的波动方程

　　在用分离变量求解过程中，出现了常微分方程的边值和特征值问题，但未深入下去．
　　达朗贝尔坚持偏微分方程的解是自变量的解析函数，这就局限了他取得更多的成果；他首先区别了偏微分方程的特解和通解，但认为通解更重要，没有认识到在解决实际问题(如弦振动)时，满足初始和边界条件的特解才有用．
3 c( M6 J6 Y$ i　　达朗贝尔在数学上还有很多其他成果：他是早期研究复数性质的人；还是证明代数学基本定理的最早数学家之一，虽然证明不完全；他对概率论也有研究．
　　由于18世纪的历史特点，达朗贝尔同其他数学家们一样，尽量从力学、天文学、光学和声学的各种课题研究中，开拓出数学分析的各分支．但因未能从严密和系统化方面深入，故在晚年同意拉格朗日的看法，认为数学的思想差不多快穷尽了．实际上，在他们的贡献基础上，19世纪的数学发展得更快．

extras

拉格朗日

' ]5 W( |/ r* U  ?
　 拉格朗日，J．L．(Lagrange，Joseph Louis) 1736年1月25日生于意大利都灵；1813年4月11日卒于法国巴黎．数学、力学、天文学．
3 b2 o& v9 B5 c+ ]5 C2 G. c/ R" g　　拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia)．拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico，Lagrangia)．父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚(Francesco Lodovico， Lagrangia)；母名泰雷萨·格罗索(Teresa Grosso)．他曾用过的姓有德·拉·格朗日(De la Grange)，拉·格朗日(La Grange)等．去世后，法兰研究院给他写的颂词中，正式用现在姓名．
　　父系为法国后裔．曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚．父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大．
; |- G' W2 x. N9 e　　据拉格朗日本人回忆，如幼年家境富裕，可能不会作数学研究．父亲有一条家规：必须有一子继任他的职业，拉格朗日也不反对．但到青年时代，在数学家F．A．雷维里(Revelli)指导下学几何学后，萌发了他的数学天才．17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析．
  N, g: J4 s& Q/ s  v/ a0 n& P　　18岁时(1754)，他曾用意大利语写出第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商．寄给数学家G．法尼亚诺(Fagnano)，并用拉丁语写出寄给在柏林的L．欧拉(Euler)．可是当年8月他看到了公布的G．莱布尼兹(Leibniz)同J．伯努利(Bernoulli)的通信，正是这个内容，即后来的莱布尼兹公式．此不幸开端并未使拉格朗日灰心，9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线，并于年底开始研究变分极值问题．
　　拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中，给出了用纯分析方法求变分极值的提要；欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值．他本人也认为这是第一篇有意义的论文，对变分法创立有贡献．此成果使他在都灵出名．9月28日，年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授．从此走向数学研究的道路，逐步成为当时第一流的科学家，在数学、力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献．其学术生涯自然地可分为三个时期．
/ ^& J0 ?9 e% i- k　　都灵时期(1766年以前)．拉格朗日任数学教授后，积极进行研究．1756年给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题．欧拉把信送交上级P．莫培督(Maupertuis)和科学院院长．莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者、建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授，条件比都灵优越，但拉格朗日谢绝．同年8月，他被任命为普鲁土科学院通讯院士，9月2日选为副院士．
& j/ i  |  u) f4 U: a/ ^+ z8 ?　　1757年，以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家，成立了一个科学协会，即都灵皇家科学院的前身．并从1759年开始，用拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》(Miscellanea Taurine- nsia，法语名Mélanges de Turin)．前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文．其中有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面的成果都是当时最出色的，为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础．此外他在岁差章动，大行星运动方面也有重要贡献．
  u- ^  p" ~; T8 m　　1763年11月，都灵王朝代表去伦敦赴任时，带拉格朗日到巴黎．受到巴黎科学院的热烈欢迎，并初次会见J．R．达朗贝尔(d’Alembert)．在巴黎停留六周后病倒，不能去伦敦．康复后遵照达朗贝尔意见，回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D．伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F．伏尔泰(Voltaire)，他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发．
　　回到都灵后，拉格朗日的声望更高．朝野都认为他在都灵不能发挥才能．1765年秋，达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世，热情赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日一个职位．国王同意后通知拉格朗日．但他回信表示不愿与欧拉争职位．1766年3月，达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林，并请他担任留下的职位．拉格朗日决定接受．待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于8月21日离开都灵．
" e' B3 n0 U/ J$ [, t9 k) e# e　　柏林时期(1766—1787)．去柏林途经巴黎时，拉格朗日与达朗贝尔合作两周，于10月27日到达柏林．11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任．他很快就与院内主要骨干友好相处，如J．伯努利(Johann BernoulliⅢ)等．
　　1767年9月，拉格朗日同维多利亚·孔蒂(Vittoria Conti)结婚．他给达朗贝尔的信中说：“我的妻子是我的一个表妹，曾与我家人一起生活很长时期，是一个很好的家庭妇女．”但她体弱多病，未生小孩，久病后于1783年去世．
　　在普鲁士科学院，拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文，内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l'Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin)上发表．他还接受达朗贝尔的建议，经常参加巴黎科学院竞赛课题研究，并获得1772，1774，1776，1780年度的奖金．
　　拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在上述两刊物中发表，少量仍寄回都灵．其中有关月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究．此外，还在概率论、循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献．他还翻译了欧拉和A．棣莫弗(De Moivre)的著作． 1782年给P．拉普拉斯(Laplace)的信中说：“我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique)，但无法出版．”拉普拉斯安排在巴黎出版，出书时已是1788年，拉格朗日已到巴黎了．此书成为分析力学的奠基著作．
; C/ S. X  S; R/ {. ?6 E　　1783年，老家建立“都灵科学院”，任命拉格朗日为名誉院长．原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l’Acade-mie des sciences des Turin)．拉格朗日也常寄论文回去发表．到1786年8月，因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世，决定离开柏林．他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国．
　　巴黎时期(1787—1813)．拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作．由于他从1772年起就是该院副院土，这次来工作受到了更热情的欢迎，可惜达朗贝尔已在1783年去世．
　　到巴黎的前几年，他主要学习更广泛的知识，如形而上学、历史、宗教、医药和植物学等．1789年爆发资产阶级革命，他只是有兴趣地旁观．1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法，科学院建立相应的“度量衡委员会”，拉格朗日为委员之一．8月8日，国民议会决定对科学院专政，三个月后又决定把A．L．拉瓦锡(Lavoisier)，拉普拉斯，C．A．库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院．但拉格朗日被保留，并任度量衡委员会主席．
' A* w/ q. V3 D8 Z. {' U. p　　1792年，丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚，虽未生儿女，但家庭幸福．
　　1793年9月政府决定逮捕所有在敌国出生的人，经拉瓦锡竭力向当局说明后，把拉格朗日作为例外．1795年成立国家经度局，统一管理全国航海、天文研究和度量衡委员会，拉格朗日是委员之一．同年成立的两个法国最高学府：师范学校和综合工科学校中，拉格朗日等为首批教授．在取消对科学院的专政后，1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院，选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主席．此后他才重新进行研究工作，但主要是整理过去的工作，并结合教材编写完成一批重要著作．
- {$ n; A: O# E+ a: i2 f" {5 W　　《分析力学论述》于1788年出版后，拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况．他在1810年前发表的一些论文，
7 B5 \: j! m) t& L* P1 i  _* q　　如在《法兰西学院文献》(Memoires de l' Institute)中刊登的“关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论”(Memoirs sur
　　la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique，1809年3月宣读)等，都是为修改出第二版作准备．第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique)，分两卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年．
4 D$ r$ ~/ k# g2 F' a4 A　　他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l'cole Normale)于1796年出版，后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange，下面简称《文集》)，第七卷的内容他在1812年作过大量充实．
1 T/ v; d) ?4 _* X0 n& ~9 P* I　　1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés)，总结了早年在方程式论方面的成果，并加以系统化，充实后于1808年再版．
% ?# w5 }  J/ t! P/ |　　关于函数论方面他出版了两本历史性著作．一是《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或用在消失的量，或极限与流数等概念，而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits， d'éranouissa-nts， de limites et de fluxions， et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies)，1797年出版，1813年再版；另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions)， 1801年出版，由师范学校讲义改编．
　　1799年雾月政变后，拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员，封为伯爵；还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章．此时拉格朗日已重病在身，终于在4月11日晨逝世．在葬礼上，由议长拉普拉斯代表上议院，院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词．意大利各大学都举行了纪念活动，但柏林未进行任何活动，因当时普鲁士加入反法联盟．

　

主要贡献评述

　

　　拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力．全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇．
　　拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期．当对数学、物理学和天文学是自然科学主体．数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学．数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力．当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献．下面就拉格朗日的主要贡献分别评述．
　　数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派．英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法)，进展很快，当时叫分析学(analysis)．拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献．
* f0 n9 Y/ j) X) \0 v, q5 I0 x　　1．变分法．这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果．他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)［2］是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)［3］是用分析方法建立变分法的代表作．发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”(themethod of variation)．欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”(the calculus of variation)．变分法这个分支才真正建立起来．
　　拉格朗日方法是对积分

4 v5 P. Z, x- z$ B　　进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线

y(x)＋δy(x)，

1 j' S0 ~' G: o; W4 K　　δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程

　　他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．
: c! p1 g( d! s: q' v0 a- \+ k- ~5 U　　2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．
　　在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)［22］中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．
　　常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)［8］中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．
% {1 _5 f/ E+ g. Q; c- j2 s. Y　　拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)［21］和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)［23］中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．
* V+ T. w  _5 k. E2 |7 n) i　　他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如

4 j" K0 j" O) M! I/ L0 B1 E5 G5 X1 ]5 H　　的非线性方程，化为解线性方程

& O9 B, U6 l: G  P　　后来又进一步证明了解线性方程

Pp＋Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)

8 \6 {& S( Z' C0 e; j( J6 s, s/ Y　　与解

　　等价，而解(6)式又与解常微分方程组

/ [* U# u4 v* [　　等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自已在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．
1 g( P) d; a! q% v- ]7 @4 ?　　3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．
6 A* g6 a* b) d' c6 ~5 Q　　他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．
　　拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程

; f2 E- t3 U" x, l) K　　　
  d: r- r6 B# W7 y. b　　　

　　这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．
　　4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés［14］和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)［15］中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程

x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)

$ k# J. R% n# K$ f7 v, D　　
不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)［16］中得到更一般的费马方程

x2-Ay2=B(B也为整数)(10)

　　的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程

ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)

& O; p0 N/ d5 x+ x! u; X　　并解决了整数解问题．
　　拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来．在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)［17］中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！＋1能被n整除．
　　拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新．如在证明(9)式
　　研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献．
( w7 u+ K" t- d　　5．函数和无穷级数．同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广．他还试图用代数建立微积分的基础．在他的《解析函数论……》(《文集》Ⅸ)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点．由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展．
　　拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)

　　后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)

　　Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收题．
　　他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础．
+ n3 S$ Q# g7 b% U! q　　最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式

, T1 h2 Y# X1 k7 J　　直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用．另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
　　除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
　　分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
　　拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
7 z4 g7 `8 l  \2 O　　他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj·qj和时间t的函数后，定义

5 {6 p8 a  U' U9 r  X$ L　　为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为

　　其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为

6 R% [0 v" H0 {* i　　(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
* W" o7 F1 |3 e7 {　　
% R* t0 X, A. v! G; {" t/ R　　L就取名为拉格朗日函数．
6 ]' A9 L6 m8 X) P7 e9 ?- ^! `  Z　　拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
　　最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
　　动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
) m- i. j6 S7 t( K* C1 W# O! _　　拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
　　天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
# H+ a# p* _* O- K3 {. |　　首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)［13］中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖文章中［8］，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
2 L( j$ u1 e4 {　　在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解［8］，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星［后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588］，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记·天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用．
2 e: q# X' A; d) c' }) y4 t& X　　在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)［6］获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文［8］，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)［9］，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文［10，11，12，］其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇［13］．
6 u2 j7 X3 S2 {9 X. x3 q5 g　　获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)［7］，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
# z. P- g) B- }2 \# d5 n　　拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集)》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
　　总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．

　

结束语

　

　　拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具．同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天体力学)更深入发展．由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多的成果．
( |( a& _+ [1 _! E, H1 V　　拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世后，法兰西研究院集中了他留在学院内的全部著作，编辑出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主编，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都灵时期的工作，发表在《论丛》第一到第四卷中的论文；第二卷收集他发表在《论丛》第四、五卷及《都灵科学院文献》第一、二卷中的论文；第三卷中有他在《柏林科学院文献》 1768—1769年， 1770—1773年发表的论文； 第四卷刊有他在《柏林科学院新文献》1774—1779年， 1781年，1783年发表的论文；第五卷刊载上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年发表的论文；第六卷载有他未在巴黎科学院或法兰西研究院的刊物上发表过的文章；第七卷主要刊登他在师范学校的报告；第八卷为1808年完成的《各阶数值方程的解法论述及代数方程式的几点说明》(Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques)一书；第九卷是1813年再版的《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术》一书；第十卷是1806年出版的《函数计算教程》一书；第十一卷是1811年出版的《分析力学》第一卷，并由J．贝特朗(Bertrand)和G．达布(Darboux)作了注释；第十二卷为《分析力学》的第二卷，仍由上述二人注释，此二卷书后来在巴黎重印(1965)；第十三卷刊载他同达朗贝尔的学术通讯；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，欧拉等人的学术通讯，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作注释．还计划出第十五卷，包含1892年以后找到的通讯，但未出版．

extras

傅里叶

　

4 R6 Y: q+ c& s　　傅里叶，J．B．J．(Fourier，Jean Baptiste Joseph)1768年3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎．数学、物理学．
8 z/ p+ D4 h) _' q' T% F; O* _　　傅里叶出身平民，父亲是位裁缝．9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好．他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭到拒绝．后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究．可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教．
　　在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱．出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象．1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教，协助J．L．拉格朗日(Lagrange)和G．蒙日(Monge)从事数学教学．这一年他还讽刺性地被当作罗伯斯庇尔(Robespierre)的支持者而被捕，经同事营救获释．1898年，蒙日选派他跟随拿破仑(Napoleon)远征埃及．在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动，但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究．
' ~+ ?/ R. x0 W) @　　1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学校，但因拿破仑赏识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员．由于政声卓著，1808年拿破仑又授予他男爵称号．此后几经宦海浮沉，1815年，傅里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究．但是，失业、贫困以及政治名声的落潮，这时的傅里叶处于一生中最艰难的时期．由于得到昔日同事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究．
+ ^6 Q( }# L# I* O' e　　1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员．初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十八所拒．后来，事情澄清，于1817年就职科学院，其声誉又随之迅速上升．他的任职得到了当时年事已高的 P．S．M．de 拉普拉斯(Laplace)的支持，却不断受到 S．D．泊松(Poisson)的反对．1822年，他被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职位．1827年，他又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员．
　　傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他们的忠诚爱戴，并成为他们的至交好友．在他帮助过的科学家中，有知名的 H．C．奥斯特(Oersted)、P．G．狄利克雷(Dirichlet)、N．H．阿贝尔(Abel)和 J．C．F．斯图姆(Sturm)等人．有一件令人遗憾的事，就是傅里叶收到．伽罗瓦(Galois)的关于群论的论文时，他已病情严重而未阅，以致论文手稿失去下落．
) E2 q7 M) ^1 d' [　　傅里叶去世后，在他的家乡为他树立了一座青铜塑像．20世纪以后，还以他的名字命名了一所学校，以示人们对他的尊敬和纪念．
　　傅里叶的科学成就主要在于他对热传导问题的研究，以及他为推进这一方面的研究所引入的数学方法．早在远征埃及时，他就对热传导问题产生了浓厚的兴趣，不过主要的研究工作是在格勒诺布尔任职期间进行的．1807年，他向科学院呈交了一篇很长的论文，题为“热的传播”(Mémoire sur la propagation de la chaleur)，内容是关于不连结的物质和特殊形状的连续体(矩形的、环状的、球状的、柱状的、棱柱形的)中的热扩散(即热传导，笔者注)问题．其基本方程是

0 F  E5 B9 j7 e' R　　这是三维情形．
　　在论文的审阅人中，拉普拉斯、蒙日和 S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)都是赞成接受这篇论文的．但是遭到了拉格朗日的强烈反对，因为文中所用如下的三角级数(后来被称为傅里叶级数)

  E- l  S- }7 l$ `　　表示某些物体的初温分布与拉格朗日自己在19世纪50年代处理弦振动问题时对三角级数的否定相矛盾．于是，这篇文章为此而未能发表．不过，在审查委员会给傅里叶的回信中，还是鼓励他继续钻研，并将研究结果严密化．
6 K/ W8 O! ^# `- F" x% y3 _　　为了推动对热扩散问题的研究，科学院于1810年悬赏征求论文．傅里叶呈交了一篇对其1807年的文章加以修改的论文，题目是“热在固体中的运动理论”(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，文中增加了在无穷大物体中热扩散的新分析．但是在这一情形中，傅里叶原来所用的三角级数因具有周期性而不能应用．于是，傅里叶代之以如下的积分形式(后来被称为傅里叶积分)：

- v4 V' |( {3 S　　这篇论文在竞争中获胜，傅立叶曾获得科学院颁发的奖金．但是评委——可能是由于拉格朗日的坚持——仍从文章的严格性和普遍性上给予了批评，以致这篇论文又未能正式发表、傅里叶认为这是一种无理的非难，他决心将这篇论文的数学部分扩充成为一本书．他终于完成了这部书：《热的解析理论》(Théorie anatylique de la chaleur)，于1822年出版．他原来还计划将论文的物理部分也扩充成一本书，名为《热的物理理论》(Théorie physiquede la chaleur)．可惜这个愿望未能实现，虽然处理热的物理方面的问题也是他的得奖论文中的重要内容，而且在他的晚年的研究工作中甚至是更重要的内容．
  I# A7 _' F  g: b　　《热的解析理论》，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过的重要历史文献，在数学史，乃至科学史上公认是一部划时代的经典性著作．然而，对于傅里叶在数学上和数学物理上工作的具体评价，历来众说纷坛．有些人只注意了傅里叶级数和傅里叶积分本身的推导，从非时代的严格性标准来要求他．实际上，要全面地理解傅里叶的成就，还应该注意到以下两个方面：一是他把物理问题表述为线性偏微分方程的边值问题来处理．这一点，连同他在单位和量纲方面的工作，使分析力学超出了I．牛顿(Newton)在《原理》(Principia)中所规定的范畴．二是他所发明的解方程的强有力的数学工具产生了一系列派生学科，在数学分析中提出了许多研究课题，极大地推动了19世纪及以后的数学领域中的第一流的工作，并且开拓了一些新的领域(见后文)．况且，傅里叶的理论和方法几乎渗透到近代物理的所有部门．
　　傅里叶在《热的解析理论》这部基本著作中，写进了他的差不多所有有关的工作，而且在此书的各个版本中几乎丝毫未加更动．因此，把这些内容与其他没有发表的、为人引述的、散见于各处的资料联系贯串起来，就可以切实地概现他的全部研究成果，以及他表述和处理问题的风格．同时，通过这些材料，也可以看出，在某些关键之处，傅里叶未能克服的困难和他失败的原因．
　　傅里叶在热的分析理论方面的第一件工作中，采用了这样的模型：热是由分立粒子间的穿梭机制传送的，其物理理论是简单的混合过程，所用数学属于18世纪50年代．在他所从事研究的问题中，其一是关于排列在一圆环上的n个粒子．他获得在n为有限的情形下的完全解．他想把结果推广到连续的情形，未能成功，因为当n无限增大时，指数上的时间常数趋于零，从而使所得的解与时间无关．后来他才明白应如何修正他的传输模型以避免这一反常的结果．此外，在他集中注意于完全解及其困难时，他未能意识到，当t=0时，他的解给出一个内推公式，可用以得到连续情形下的傅氏级数．(拉格朗日前此之所以未能发现傅氏级数也可类似地来解释，而并非象通常所认为的那佯，是由于顾虑到严格性所致．)
! \* ]/ k/ c) u5 }' w1 m　　傅里叶成功地建立的热传导方程可能是得益于 J．B．毕奥(Biot)早先关于金属条中的稳定温度的工作，毕奥区分了体内传导和体外辐射．但是毕奥的分析，由于用了一个错误的物理导热模型而导出一不正确的方程．傅里叶则因构建了较好的物理模型而克服了困难，容易地获得一、二维情形下充分显示与时间的关系的类似于(1)这一型的方程．
$ e* C- G" S6 Y6 A  E0 V: W　　傅里叶的杰作是选择这样一种情形的问题来应用他的方程的，即一条半无穷的带，一端是较热的均匀温度，沿其边则是较冷的均匀温度；具有极其简单的、导源于伯努利兄弟(Bernoullis)和L．欧拉(Euler)的分析力学传统中的物理意义．稳定情形无非就是笛卡儿坐标下的拉普拉斯方程．傅里叶可能试用过复变函数方法(这样的解见于他的《热的解析理论》一书)．但其后就用分离变数法得到了级数解和以下边界条件的方程

　　用无穷矩阵的方法来求方程(4)的解，并将它推广到任意函数f(x)，这一工作曾屡次遭受评议．但不应忘记，这一工作是在柯西-魏尔斯特拉斯(Cauchy-Weierstrass)的正统理论建立之前几十年做的．傅里叶不是一个头脑简单的形式主义者；他精于处理有关“收敛”的问题，在他讨论锯齿形函数的级数表示时就显示出了这种能力．有关傅里叶级数的收敛性的几种基本证明，例如狄利克雷的证明，其主要思想均可在傅里叶的著作中找到．而且，比任何人更早，他已看到，在计算傅氏级数的系数时，对一给定的三角级数逐项积分，是不能保证其正确性的．
　　傅里叶的三角级数展开的使人震惊之处在于，他示明一种似乎是矛盾的性质：在一有限区间内，完全不同的代数式之间的相等性．对于很广泛的一类函数中的任何一个函数，都可以相应地造出一个三角级数，它在指定的区间内具有与这函数相同的值．他用例子说明，那给定的函数甚至可以在基本区间内分段有不同的代数表示式．虽然三角级数展开和任意函数两者都曾为其他人(包括泊松)用过，但前者只限于有关周期现象的问题，而后者，当作为偏微分方程的解出现时，由于其性质，是假定不可能用代数式表示的．
% R4 v5 K! w% h6 u　　关于傅里叶这一首次成功的研究结果的早期记载，说明了这个结果的生命力和他本人对此成果的惊异．在他的工作中，有受到蒙日影响的痕迹，如用曲面表示解，以及确定方程的解的边界值的分离表示．此后，傅里叶满怀信心地进入了新的领域．在三维情形遇到了一些困难，但把原方程分为两个方程就解决了．这两个方程，一个与内部传导有关，一个则与表面上的温度梯度所产生的辐射有关．应用于球体时运用球坐标，结果是一非谐的三角级数展开，其中的本征值是一超越方程的诸根．傅里叶运用他关于方程式论的知识，论证了这些根的实数性．当然，这一问题曾使他困惑了多年．在圆柱体的热传导问题中他又作了进一步的推广，其傅里叶解就是如今所称的贝塞耳(Bessel)函数．所用的技巧由傅里叶后来的同事 J． C．佛朗索(Francois)、斯图姆和 J．刘维尔(Liouville)全面地予以普遍化．
　　在研究沿一条无穷长的线上的热传导问题时发展出来的傅里叶积分理论，可能是基于拉普拉斯把热扩散方程的解表示为一任意函数的积分变换的思想，这函数表示初始的温度分布．傅里叶通过对有限区间中级数展开的推广，分别导出了对原点是对称的和反对称的情形之下的余弦和正弦变换．逐渐地他才认识到，把一给定的函数分解为偶函数和奇函数的普遍性．
　　傅里叶在这方面的创造性工作于1817—1818年间又最后一次绽发光辉，他成功地洞察到积分变换解与运算微积之间的关系．当时，傅里叶、泊松、柯西之间形成了三足鼎立之争．后二人于1815年已开始运用这样的技巧，但是傅里叶针对泊松的批评给予了摧毁性的反击．他展示了几个方程的积分变换解，这几个方程是长期以来未能得到分析的，同时他还指出了导至系统理论之门径．其后，柯西运用复变函数中的残数(residue)理论也获得了同样的结果．
% Z& z' _/ S8 G2 S$ K: _: o　　作为一位数学家，傅里叶对于实际问题中的严格性的关心，不亚于除柯西和阿贝尔以外的任何人．但他未能想到极限理论本身的重要意义．在对他1811年获奖论文的评议中，关于缺乏严格性和普遍性的批评，长久以来是被误解了．那些批评，其动机有许多是带有非学术成分的．泊松和毕奥，是在热扩散理论方面被他超过的劲敌，多年来总是力图贬低傅里叶的成就．关于严格性的批评，可能是根据泊松的观点，即认为在球形问题中出现的本征值未能证明是实数，而复数根将导致在物理上是不可能的解．(泊松自己在数年后为傅里叶解决了这一问题．)所谓傅里叶级数解(2)缺乏普遍性，可能是将它同拉普拉斯早先得到的积分解对比，而在后者中，被积函数清楚地含有任意函数．
4 R/ O* e/ m" x# [　　傅里叶的机智在于分析力学方面．他对分析技巧和符号表示极为精
" T6 a8 D6 C. G% Z$ f观力，使他的研究能够获得成功．在他之前，分析力学中出现的主要方程常是非线性的，所用解法都是专设的近似法．当时，微分方程领域也象是一个尚无通路的丛林．傅里叶为解偏微分方程创造了和说明了一种连贯的方法，即可以把一个方程及其级数解按照不同的物理情况清楚地分离为不同的分部来加以分析．我国数学家、微分方程方面的著名学者申又枨教授(1901—1978)曾经说：傅里叶的创造，是给各种类型的偏微分方程(波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程等)提供了一种统一的求解方法，就好比从前解“四则问题”时，各种难题有各种解法，而运用代数方程以后，就有了统一的简便的解法．这个比喻，很好地形容了傅里叶的方法在微分方程领域的重要意义和广泛的实用价值．事实上，傅里叶的方法是如此之强有力，以致过了整整一个世纪，非线性微分方程才重新在数学物理学中突起．
: @1 \$ _( ~% {, J5 s9 i9 N　　对傅里叶来说，每一数学陈述(尽管不是形式论证中的每一中间阶段)都应有其物理含意，包括展示真实的运动和能够(至少原则上)被测量两个方面．他总是如是地说明他的解，使所得到的极限情况能为实验所检验，而且一有机会他就自己动手来作实验．
, {( s# d( F- l+ b5 L3 s" B$ o　　 傅里叶早年草设的物理模型虽很粗糙，但在他1807年所写的文章里，就已全面地把一些物理常数揉进他的热传导理论中．对物理意义的关注，使他看到在他的形式技法中所存在的潜力，能检验在傅里叶积分解的指数上出现的成群的物理常数的相关性．由此出发，他得出了关于单位和量纲的全面理论，虽然其中一部分是L．卡诺(Lazare Carnot)曾预期到的．这是自伽利略以来在物理量的数学表示理论方面第一个有成效的进展．与他同时代的人，如毕奥，在同一问题上的混乱情形相比，就更显示出傅里叶的成就．
　　虽然傅里叶多年从事热的物理理论的研究．但是他最初基于热辐射现象方面的贡献却未能存在长久．他对他的理论的各种应用都很关心，诸如对温度计的作用和房间供暖问题的分析，以及最重要的、对地球年龄下限首次作出的科学的估算等．令人不解的是，傅里叶相信热作为宇宙中的首要媒介的重要性，但他似乎对于热作为一种动力方面的问题却不感兴趣，以致对 S．卡诺(Sadi Carnot，是 L．卡诺的儿子)有关热动力问题的著名论文毫无所知．
/ {) d! v3 K  t3 w( s　　和傅里叶的著名的热传导问题的成就相比，他在数学的其他方面的工作就鲜为人知了．首先是他对方程式论有着长时间的浓厚兴趣．早在16岁时他就作出了对笛卡儿正负号法则的一个新证明．这一法则可表述如下：
+ F0 D' O5 y) b7 v+ D4 v2 J　　设f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am，则f(x)的诸系数具有一系列正负号．如果把同号的两相邻系数称为“不变”，异号的称为“变”，那么 f(x)的正(或负)根的数目最多等于序列中“变”(或“不变”)的数目．
& W# r! Y% ~* Q2 {& M! e　　傅里叶的证明方法是这样的：以(x+p)乘f(x)，得一新的多项式，它比 f(x)多了一个系数，使系数序列中多了一个正负号，同时多了一个正(或负)根 p；并且可以看出系数序列中“变”(或“不变”)的数目至少增加1个．因为傅里叶的这一成果很快就成为标准的证法，所以证明的详情可见于任何一本讲述这一法则的教科书，虽然人们未尝知道这一证法的发明者就是青年傅里叶．
/ \) \4 Z, C7 b+ Q　　傅里叶还把笛卡儿法则推广到估计在一给定区间[a，b]内f(x)的实根数，并于1789年向科学院递交了一篇文章，其中有他对自己的定理的证明，可惜文章在巴黎那革命动荡的年代里丢失了．大约30年后这篇文章才得以发表．由于另有一位兼职数学家比当(Ferdinand Budan de Bois-Laurent)也发表过类似的结果，所以关于在给定区间内n次代数方程的实根数的判定法，后来被称为傅里叶-比当定理．直到傅里叶逝世之前，他始终没有中断过方程式论方面的研究，并且计划写出一部七卷本的专著：《方程判定之分析》(Analyse des équations déterminées)．他已写出头两卷，但他预感到生前大概不可能完成这部著作，于是写了一个全书提要．1831年，即他逝世的第二年，由他的友人纳维(Navier)将这部未完成的著作编辑出版．从全书提要中，可以看出傅里叶对方程式论有过十分广泛的研究．其中最重要的是各种区分实根和虚根的方法，对牛顿-拉夫逊(Raphson)求根近似法的改进，对D．伯努利求循环级数中相继项之比的极限值的法则的推广，等等．由于傅里叶还有线性不等式的求解法和应用方面的工作以及他对这一问题的出众的理解，因而也被后人称为线性规划的先驱．
　　在傅里叶的最后的岁月里，当他支持统计局的工作时，他的研究接触到概率和误差问题．他写下了一些关于根据大量观测来估计测量误差的重要文章，发表于1826年和1829年的统计局报告上．
　　傅里叶对力学问题也作过相当多的探讨，他曾发表过关于虚功原理的文章．
　　纵观傅里叶一生的学术成就，他的最突出的贡献就是他对热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就为数学物理学的前进开辟了康庄大道，极大地推动了应用数学的发展．从而也有力地推动了物理学的发展．
# B5 i3 G9 y9 S3 B- }* E　　傅里叶大胆地断言：“任意”函数(实际上是在有限区间上只有有限个间断点的函数)都可以展成三角级数，并且列举大量函数和运用图形来说明函数的三角级数展开的普遍性．虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创出“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念．l837年狄利克雷正是研究了傅里叶级数理论之后才提出了现代数学中通用的函数定义．1854年 G．F．B．黎曼(Riemann)在讨论傅里叶级数的文章中第一次阐述了现代数学通用的积分定义．1861年魏尔斯特拉斯运用三角级数构造出处处连续而处处不可微的特殊函数．正是从傅里叶级数提出来的许多问题直接引导狄利克雷、黎曼 G．G．斯托克斯(Stokes)以及从 H．E．海涅．(Heine)直至 G．康托尔(Cantor)、H．L．勒贝格(Lebesque)、F．里斯(Riesz)和E．费希(Fisch)等人在实变分析的各个方面获得了卓越的研究成果，并且导致一些重要数学分支，如泛函分析、集合论等的建立．傅里叶的工作对纯数学的发展也产生了如此深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且，这种影响至今还在发展之中．
& d$ ~  D- S# e2 w　　傅里叶之所以能取得富有如此深刻内容的成就，正如撰写过傅里叶传记的两位作者所说：这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到．从傅里叶的著作中，我们看到：他坚信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学发现的最富饶的源泉”．这一见解是傅里叶一生从事学术研究的指导性观点，而且已经成为数学史上强调通过研究实际问题发展数学(包括应用数学和纯粹数学)的一派数学家的代表性格言．
　　傅里叶的研究成果又是表现数学的美的典型，傅里叶级数被一些科学家称颂为“一首数学的诗”．他的工作还引起了他的同时代的哲学家的重视．法国哲学家、实证主义的创始人 A．孔德(Comte)在《实证哲学教程》(Cours de philosophie positive，1842)中，把牛顿的力学理论和傅里叶的热传导理论都看作是实证主义基本观点在科学中的重要印证．而辩证唯物主义哲学家 F．恩格斯(Engels)则把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家 G．W．F．黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论，他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗．

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泊 松

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　　泊松，S．-D．(Poisson，Siméon-Denis)1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶；1840年4月25日卒于巴黎．数学、力学、物理学．
  S- z# Z/ P+ e  t: d　　泊松出生于一个普通人家．由于身体孱弱，他母亲曾把他托给一个保姆照料．他父亲当过兵，后来成了地方低职官吏．老泊松不仅是教儿子读书写字的启蒙老师，而且是选择职业的指路人．最初，泊松到巴黎东南面的市镇枫丹白露学外科．但他缺乏外科手术所需的灵巧，于是放弃医学，1796年进入枫丹白露中心学校．泊松在数学的学习上大有进步，1798年以第一名的成绩考入巴黎综合工科学校．J．-L．拉格朗日(Lagrange)刚开始讲授解析函数课程时，便发现这个外地来的学生发表的见解不错．而 P．-S．拉普拉斯(Laplace)则对泊松透彻理解困难问题的能力留下深刻的印象．但是泊松对于 G．蒙日(Monge)为这所新学校安排的重要基础课画法几何，却显得十分笨拙．他在1799—1800年关于方程论和贝祖(Bezout)定理的一篇论文中初露锋芒，表现了在数学分析上的才能．泊松于1800年毕业，在拉普拉斯的支持下，留校任辅导教师．后来，他成了拉格朗日和拉普拉斯的朋友．1817年，泊松跟一个家庭移居英国的孤儿 N．de 巴尔迪(Bardi)结婚．
0 U, n/ a2 U# P# W3 K　　1802年，泊松在巴黎综合工科学校升任副教授，1806年接替J．B．J．傅里叶(Fourier)成为教授．1808年成为法国经度局的天文学家．1809年巴黎理学院成立，泊松出任该校力学教授．1815年，他兼任军事学校的主考官．翌年又兼任巴黎综合工科学校毕业生的主考官．1820年，泊松任大学皇家教育顾问．他于1803年加入科学普及协会．1812年，因．L．马吕斯(Malus)去世出现空缺，泊松被选入法国科学院物理学部．1826年获彼得堡科学院名誉院士称号．1837年，泊松被封为男爵．
　　泊松是一位数学家、力学家和物理学家．他毕生从事数学的研究和教学．他说过，生活的乐趣就在于这两件事．泊松工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理学问题，并由此得到数学上的发现．他发表过300多篇论文，所著两卷《力学教程》(Traité de mécanique，1811年第一版，1833年增补第二版)在很长的时期内被认为是标准的教科书．
1 ?" W2 m+ e# V' d2 |! P　　泊松在一般力学上的贡献涉及分析力学和天体力学等几个方面．他第一个用冲量分量形式撰写分析力学．求解哈密顿正则方程所用的一种数学符号，后来被称为泊松括号．现在在其他领域如量子力学中，泊松括号也有应用．在 L．欧拉(Euler)等人对刚体在重力作用下绕一定点转动的研究之后，泊松独立地获得轴对称重刚体定点转动微分方程的积分，通常称为拉格朗日的可积情况(拉格朗日的工作在泊松之前，但发表在后)．他推广了拉格朗日和拉普拉斯有关行星轨道稳定性问题的研究结果，所建立的泊松方程成为星系动力学的基本方程之一．现代科学家根据对人造地球卫星运行轨道精确测量的结果，利用泊松的公式，便可知道地球的精确形状．此外，泊松还研究了地球转动对弹道曲线的影响等问题．
　　泊松在固体力学上作过多方面的探讨．在1829年发表的“弹性体的平衡和运动的研究报告”(Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques)中，他用一种分子模型，推导了弹性体平衡和运动的普遍方程，并应用于一些具体问题．泊松发现在弹性介质中可以传播纵波和横波，他从理论上得到各向同性杆件受拉伸时横向与纵向弹性应变之比为一常数，其值等于0.25．这就是有名的泊松比．实验表明，泊松比的数值随材料而异，一般与泊松的理论值有出入．从1812年开始，泊松反复研究了平板问题．他得到圆板弯曲和振动问题的解答．泊松讨论过杆件的纵向、横向和扭转等振动问题，并首先得出了弹性球体径向自由振动的解答．最先用三角级数研究梁挠度曲线的大概也是他．可惜这种非常有用的方法当时未能引起工程界的注意．
　　在流体力学方面，泊松对纳维埃-斯托克斯方程的建立作出了自己的贡献．在1831年发表的“弹性固体和流体的平衡和运动一般方程的研究报告”(Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides)中，他第一个完整地给出了说明粘性流体物理性质的本构关系．此外，他解决了无旋的空间绕体流动的第一个问题(绕球流动问题)；并推动了小振幅波理论的发展．
2 }, [8 ]% ]  s　　泊松还将数学应用于物理学，涉及电、磁、热、声、光等许多方面．他把引力理论的泊松方程推广应用到电学和磁学的理论，为静电势理论的建立作出了贡献．大约从1815年起，泊松就开始研究热传导问题．1835年出版、两年后又增补再版的《热学的数学理论》(Théorie mathématique de la chaleur)，就是他在这方面的代表作．书中讨论了二维稳态热传导等问题．所导出的理想气体在可逆绝热过程中压强和体积的关系式，现在一般称为泊松绝热方程．对于拉普拉斯修正 I．牛顿(Newton)的声速公式，泊松也做过研究．此外，在《毛细管作用新理论》(Nouvelle théorie de l'action capillaire，1831)一书中，他探讨了毛细现象问题．
　　泊松晚年从事概率论研究，作出了重要贡献．与他通过力学和物理学问题研究数学的惯常做法不同，泊松是从法庭审判问题出发研究概率论的．为了确定一个陪审员在裁定罪行上可能出错的概率，泊松考察了先前的有关著作，并研究了法律条文和刑事法庭的记录．当时陪审团有12个成员，要定罪所需的多数曾有过不同的规定：1831年以前是7∶5，从1831年开始改为8∶4，统计数字表明，在1831年以前，宣判无罪的一直保持在38％至40％之间，每年平均为39％，而以7∶5的票数定罪者为7％．泊松据此指出，即使在1831年之前就可以预料到，执行8∶4的新规定以后，定罪的将占54％，宣判无罪的则变为46％．1831年法庭记录的事实与他的分析相符合．尽管泊松的分析简单明了，但当时却遭到非议．油松在法国科学院宣读论文后，L．潘索(Poinsot)就极力反对这种将演算应用于“伦理学”方面的作法．泊松在《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》(Recherches sur la pro－babilité des jugements en matière criminelle et en matièrecivile，1837)等著作中，提出了描述随机现象的一种常用的分布，即泊松分布．这种分布在工业、农业、商业、交通运输、公用事业、医学、军事等许多领域都有应用．在大量生产中当废品比例预计很小时，泊松分布对于产品检验和质量控制特别有用．它在管理科学、运筹学和自然科学的某些问题中都占有重要的地位．
) u3 K8 C: M0 R/ U: R4 U/ n- i　　泊松在数学上的研究涉及定积分、有限差分理论、偏微分方程、变分法、级数等许多方面．他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人．他给出了调和分析中的泊松求和公式．欧拉-马克劳林求和公式的余项也是由泊松首先加上去的．由于泊松研究的范围十分广泛而有成效，所以不少数学名词都与他的名字联系在一起．例如，在数学物理方面，有热传导问题中的泊松积分、波动方程柯西问题解的泊松公式、位势理论中的泊松方程等．在概率论方面，除泊松分布外，还有泊松变量、泊松过程、泊松试验、泊松大数定律等．将摄动函数展开成幂级数和三角级数的混合级数，就叫做泊松级数．有时甚至对完全不同的公式采用了同样的“泊松方程”的名称．然而，泊松等大数学家未能赏识E．伽罗瓦(Galois)在群论方面的创始之作，实在是数学史上的一件憾事．