中外著名的数学家

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格里高利·佩雷尔曼

格里戈利·佩雷尔曼(Grigori Perelman，俄语：Григорий Яковлевич Перельман，1966年6月13日——)，男，俄罗斯数学家。他是一位Ricci流的专家，成功破解著名的“庞加莱猜想”。这位俄罗斯的数学奇才，拒绝数学界最高荣誉“菲尔茨奖”........

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欧几里得

辽宁师范大学梁宗巨

　　欧几里得(Euclid，拉丁文为 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大．数学．
　　欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements，以下简称《原本》)闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而对于他的生平，现在知道的却很少．他生活的年代，是根据下列的记载来确定的．雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注，写了一个《几何学发展概要》，常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)，简称《概要》，是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一．另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection)，下面简称《汇编》．《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，约公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说．他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，约公元前417—前369年)的成果，可能他也是这个学派的成员．《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题，可见他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)．
　　通过亚里士多德(Aristotle)的著作，也可以核对欧几里得的年代．《原本》中建立公设、公理，显然受到亚里士多德逻辑思想的影响．亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”，和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同，也没有提到欧几里得．可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的，他的活动年代应在亚里士多德之后．
　　另一方面，欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane，约公元前300年)《运行的天体》(On moving sphere)的命题．而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus，约公元前315—前241年，曾是柏拉图学园的导师)的老师．
　　此外，帕波斯在《汇编》(卷7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起．这说明欧几里得在亚历山大教过学．
　　综上所述，欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后．　　《概要》还记述了这样一则轶事：托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答道：

这句话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言．斯托比亚斯(Stobaeus，约公元500年)的记载略有差异，他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话：“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”现多数学者取前说．理由是在门奈赫莫斯的时代，几何学尚未形成严整的独立学科．
　　斯托比亚斯还记载另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利”．由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的独创．而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得．
　　除《原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传．几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures)，此外还有光学、天文学和力学等，多已散失．

《原本》产生的历史背景

　　欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．
　　《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有 300多年的历史(见［11］)．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．
　　接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．
　　希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心．雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆．问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能划直线的尺)和圆规．希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题．这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步．作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oeno－pedes，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律．
　　智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)，孕育着近代极限论的思想．后来经过欧多克索斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法，较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2．(见［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．)
　　埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题．无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾．例如卷Ⅸ命题20说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多．只说直线可任意延长而不是无限延长．
　　原子论学派的德谟克利特(Democritus，约公元前410年)用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的 1/3，后来也是《原本》中的重要命题．
　　柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
　　这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量．《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作．
　　柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件．
　　到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了．
　　建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，约公元前460年)，勒俄(Leo或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius，公元前4世纪)等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．

《原本》的版本和流传

　　欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius，约公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世纪前半叶)等人都注释过．最重要的是赛翁(Theon of Alexandria，约公元 390年)的修订本，对原文作了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础．赛翁虽生活在亚历山大，但离开欧几里得已有7个世纪，他究竟作了多少补充和修改，在19世纪以前是不清楚的．
　　19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去．其中有两种欧几里得著作的手抄本，以后为 F．佩拉尔(Peyrard， 1760—1822)所得．(见［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版，一种就是《原本》，另一种是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本．《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中，无论是圆心角或圆周角，两角之比等于所对弧之比)．赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明．而梵蒂冈本没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得原著．
　　9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世纪)译；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)译，后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，约826—901)所修订，一般称为伊沙格-塔比本；(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)译．
　　现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)从阿拉伯文译过来的．后来杰拉德(Gerard ofCremona，约1114—1187)又从伊沙格-塔比本译出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文．两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书．在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上．从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物．它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》．
　　15世纪以后，学者们的注意力转向希腊文本，B．赞贝蒂(Zamberti，约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文，1505年在威尼斯出版．
　　目前权威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麦人)、 H．门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia”(《欧几里得全集》，1883—1916出版)，是希腊文与拉丁文对照本．最早完整的英译本(1570)的译者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．现在最流行的标准英译本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英国人)译注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《欧几里得几何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修订版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是欧几里得研究的历史总结，又对每章每节都作了详细的注释．对其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种，此书导言均有所评论．
　　中国最早的汉译本是1607年(明万历35年丁未)意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci， 1552—1610)和徐光启(1562—1633)合译出版的．这是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门．所根据的底本是德国人C．克拉维乌斯(Clavius，1537—1612)校订增补的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV”(《欧几里得原本 15卷》， 1574初版，以后再版多次)．徐、利译本只译了前6卷，定名为《几何原本》，“几何”这个名称就是这样来的．
　　有的学者认为元代(13世纪)《原本》已经传入中国，根据是元代王士点、商企翁《元秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽列的四擘算法段数十五部》的书目，其中兀忽列的应是Euclid的音译．(见[15]，p．139；[16]．)但也有可能仍是阿拉伯文本，只是译出书名而已．后说似更可信．
　　克拉维乌斯本是增补本，和原著有很大出入．原著只有13卷，卷XIV，XV是后人添加上去的．卷XIV一般认为出自许普西克勒斯(Hypsicles，约公元前180)之手，而卷XV是6世纪初大马士革乌斯(Damascius，叙利亚人)所著．(见［12］，p．119，182．)
　　利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后，徐光启“意方锐，欲竟之”，利玛窦不同意，说：“止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余．”三年之后，利玛窦去世，留下校订的手稿．徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改，重新刊刻传世．他对未能完成全部的翻译而感遗憾，在《题＜几何原本＞再校本》中感叹道：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟焉．”
　　整整250年之后，到1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie， 1815—1887)和李善兰(1811—1882)共同译出．但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本．伟烈亚力在序中只提到底本是从希腊文译成英文的本子，按照英译本的流传情况，可能性最大的是I．巴罗(Barrow，1630—1677，牛顿的老师)的15卷英译本，他在1655年将希腊文本译成拉丁文，1660年又译成英文．
　　李、伟译本(通称‘清译本”)至今已有100多年，现已不易看到，况且又是文言文，名词术语和现代有很大差异，这更增了研读的困难，因此重新翻译是十分必要的．
　　徐、利前6卷的译本(通称“明译本”)在“原本”之前加上“几何”二字，称译本为《几何原本》．清译本的后9卷沿用这个名称一直到现在．这“几何”二字是怎样来的？目前有三种说法：(1)几何是拉丁文geometria字头geo的音译．此说颇为流行，源出于艾约瑟(Joseph Edkins，1825—1905，英国人)的猜想，记在日本中村正直(1832—1891)为某书所写的序中．(2)在汉语里，“几何”原是多少、若干的意思，而《原本》实际包括了当时的全部数学，故几何是“mathematica”(数学)或“magnitude”(大小)的意译．(3)《原本》前6卷讲几何，卷Ⅶ—Ⅹ是数论，但全用几何方式来叙述，其余各章也讲几何，所以基本上是一部几何书．内容和中国传统的算学很不相同．为了区别起见，应创新词来表达．几何二字既和“geometria”的字头音近，又反映了数量大小的关系，采用这两个字可以音、意兼顾．这也许更接近徐、利二氏的原意．

《原本》内容简介

　　明、清译本因为是修订增补本，和现行的希思英译本有相当大的出入，下面以希思本为主，兼顾明、清译本，作一简要的介绍．
　　卷1首先给出23个定义．如1．点是没有部分的(A point isthat which has no part)； 2．线只有长而没有宽(A line is bread－thless length)，等等．还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．前7个定义实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到．
　　明译本(即克拉维乌斯增补本)在原文的基础上加入很多说明，将23个定义拆成“界说三十六则”．一开头还对“界说”加以界说：“凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说．”下面指出几何研究的对象：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度．”可见在明译本中，几何(几何学)研究的是由点、线、面、体构成的图形，和数学研究的对象不同，两者有广狭之分．但在别的地方，几何就是“大小”、“多少”的意思，即通常所说的“量”，和“数”是有区别的．如卷Ⅴ第2界：“若小几何能度大者，则大为小之几倍”，现可译为“当一个较大的量能被较小的量量尽时，较大的量叫做较小量的倍量(multiple)”．
　　定义之后，是5个公设，头3个是作图的规定，第4个是“凡直角都相等”．这几个都是显而易见的，没有引起什么争论，第5个就很复杂：“若一直线与两直线相交，所构成的同旁内角小于二直角，那么，把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交”．这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．
　　公设后面，还有5条公理，如1．等于同量的量彼此相等；5．整体大于部分；等等．以后各卷不再列其他公理．在《原本》中，公设(postulate)主要是关于几何的基本规定，而公理(axiom)是关于量的基本规定．将两者分开是从亚里士多德开始的，现代数学则一律称为公理．
　　由于平行公设不象其他公理那么简单明了，人们自然会怀疑，欧几里得把它列为公设，不是它不可能证明，而是没有找到证明．这实在是这部千古不朽巨著的白璧微瑕．从《原本》的产生到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这唯一的“污点”，最后导致非欧几何的建立．
　　这一卷在公理之后给出48个命题．前4个是：
　　1．在已知线段上作一等边三角形．
　　2．以已知点为端点，作一线段与已知线段相等．
　　3．已知大小二线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等．
　　4．两三角形两边与夹角对应相等，则这两三角形相等．
　　这里两三角形“相等”，指的是“全等”，但在这一卷命题35以后，相等又有另外的含义，它可以指面积相等．现在已把图形全等(congruent)与等积(equiareal或equivalent)区分开来，而在《原本》中是用同一个字眼(equal)来表示的．不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来运算，面积相等是“拼补相等”．
　　命题5颇有趣：等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等．
　　现在通常是用引顶角平分线来证明的，但作角的平分线是命题9，这里还不能用，只能用前4个命题以及公设、公理来证．
　　证法是延长AB至D，AC至E［公设2］，在AD上任取一点B＇，在AE上截取AC＝AB＇［命题3］，连接B＇C，BC＇［公设1］．接着证△AB＇C≌△ABC＇［命题4］，故知B＇C＝BC＇，∠BB＇C＝∠CC＇B，又BB＇＝CC＇，于是△BB＇C≌△BC＇C．由此就不难推出命题的结论．

　　中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到命题5，觉得线和角很多，一时很难领会，因此这个命题被戏称为“驴桥”(pons asinorum，asses’ bridge，意思是“笨蛋的难关”)
　　后面的命题包括三角形、垂直、平行、直线形(面积)相等等关系．
　　命题44：用已知线段为一边，作一个平行四边形，使它等于已知三角形，且有一个角等于已知角．
　　设AB是已知线段，S是已知三角形，α是已知角．

　　延长AB，作∠EBC=α，根据43命题，可作一个EBCD=S．过A作 FA∥EB交 ED的延长线于 F，连FB并延长之，交DC的延长线于G(因∠EDC与∠DEB互补，但∠EFB＜∠DEB，故∠EDC＋∠EFB小于二直角，按平行公设，FB与DC延线必相交)，过G作GN∥BC交 EB，FA的延长线于 M，N．因AM=EC=S，故AM即为所求．
　　欧几里得的术语是“将平行四边形AM贴合到线段AB上去”．普罗克洛斯评注《原本》时指出，“面积的贴合”(application of areas)是古希腊几何学的一种重要方法，它是毕达哥拉斯学派发现的．(见［2］，vol．I，p．343．)
　　如果已知角α是直角，则所求的平行四边形是矩形，矩形另一边未知，设为x．命题化为解一次方程ax=S的问题，或用几何作图进行除法S÷a运算的问题．
　　命题47就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．”这里相等仍然是指拼补相等，不牵涉到长度、数的关系．本卷最后一个命题(命题48)是勾股定理的逆定理．
　　卷Ⅱ包括14个命题，用几何的形式叙述代数的问题，即所谓“几何代数学”(geometrical algebra)．一个数(或量)用一条线段来表示，两数的积说成两条线段所构成的矩形，数的平方根说成等于这个数的正方形的一边．
　　命题1：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和．

　　相当于恒等式

a(b＋c+d +…)=ab＋ac＋ad＋…

　　命题4：将一线段任意分为两部分，在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两部分线段所构成的矩形的二倍．相当于(a＋b)2=a2＋2ab+b2．
　　命题5是值得注意的，它相当于二次方程的解法．今用现代术语、符号解释如下：
　　设C是线段AB的中点，D是另一任意点，则AD与DB所构成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形．
　　证明］完成□CEFB，连对角线EB，作DG∥CE交EB于H，过H作 KM∥AB，作 AK⊥KM．因AL=CM， CH=HF，DB=HD，故AD与DB所构成的矩形=AH=AL＋CH=CM+HF，同加上CD(=LH)上的正方形□LG，即得命题的结论．
　　1756年，R．西姆森(Simson，1687—1768)注释《原本》的英译本时指出，将本命题(记为Ⅱ5)稍加改变，即相当于二次方程的解法．　　已知线段AB=a，求其上一点D，使AD与DB所构成的矩形等于已知□b2(以b为边的正方形)．设DB=x，列成方程得(a-x)x=b2或x2-ax+b2=0．由Ⅱ5，AD与DB所构成的AH=□CF-□LG，利用勾股定理(147)，作一个正方形等于二正方形的差是轻而易举的，现□CF，□b2已知，作两者之差即得□LG，由此得CD及x．具体的作法是：取AB中点C，作CE⊥AB，在CE上取O点，使OC=b，以O为心，CB为半径作弧交AB于D，D＇，则 D就是所求的点，由于对

　　Ⅱ5的另一种形式是恒等式

用的恒等式．
　　若令 a=(2n+1)2，b=1，代入上式化简为

(2n+1)2＋(2n2+2n)2=(2n2＋2n+1)2．

可得由毕达哥拉斯求出的勾股数组(用正整数表示直角三角形的三边)：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1．
　　与此相仿，命题6相当于求解另一种类型的方程x2＋ax-b2=0．
　　命题11：分已知线段为两部分，使它与一小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形．相当于解方程x2＋ax-a2=0．这就是将线段分成“中末比”，后来叫做“黄金分割”的著名问题．后面卷Ⅳ命题10“作一等腰三角形，使底角是顶角的两倍”，也就是作出36°及72°角，从而能作出正5边形和正10边形．卷Ⅵ命题30：“截已知线段成中末比”，都是同一问题的不同表现形式．卷命题9再次提出正10边形、正6边形与中末比的关系，可见欧里几得很重视这个分割．
　　命题12，13是三角学中的余弦定理：

c2=a2＋b2-2abcos C，

　　不过也是用几何的语言来叙述的，没有出现三角函数．
　　卷Ⅲ有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形等．

　　较引人注目的是命题16：过直径AB端点A的垂线AD必在圆外，半圆周ACB与AD之间不可能再插入其他直线，半圆周ACB与AB之间的角比任何锐角都大，剩下的角(与AD间的角)比任何锐角都小．
　　与AD间的角究竟算不算角？在历史上有很大争论．在普罗克洛斯的评注中称它为“牛角”(horn－like angle)，这绰号在欧几里得以前早已有，在《原本》中没有使用，也没有说它的值是零．若作一系列切于A点的圆，似乎圆越小，“牛角”越大，但命题的结论并非如此．如果说它的值是零，角边应处处重合，而图形不是这样．这些疑问按现在曲线交角的定义已经解决，“牛角”的值是零．
　　卷Ⅳ有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图．
　　最后一题是正15边形的作图．普罗克洛斯认为和天文学有关，因为在埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276—前195)之前，希腊天文家认为黄赤交角(黄道与天球赤道交角)是24°，即圆周角360°的 1/15．后来埃拉托塞尼测出是180°的11/83，约23°51＇20″．　　卷Ⅴ是比例论．后世的评论家认为这是《原本》的最高的成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在两个正整数m，n使

为A与B无法相比．这样就很难建立关于一切量的比例理论．摆脱这一困境的是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪)，他用公理法重新建立了比例论，使它适用于所有可公度与不可公度的量．可惜他的著作已全部失传，好在还有相当一部分保存在《原本》中，如卷Ⅴ就主要取材于欧多克索斯的工作，当然也有欧几里得本人的加工整理，有的还散见于卷Ⅻ，Ⅵ，Ⅹ，之中．
　　卷Ⅴ首先给18个定义．定义3：比是两个同类量之间的大小关系．定义4：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”(ratio)．这样就突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制．实际上，如果承认了“阿基米德公理”或“欧多克索斯公理”(在卷Ⅹ命题1正式使用)：“两个有限的同类量，任一个加大适当的倍数后就能大于另一个”，任何两个有限量都有比，不必考虑可否公度．尽管不承认这个“比”是数，仍然不妨碍以此为起点建立适用于一切量的比例论．
　　现在已经有严格建立的实数理论和完整的比例论，如果A∶B=C∶D，则有

A∶nB=mC∶nD

　　(m，n是任意正整数)，从而
　　由mA＞nB可推出mC＞nD，
　　由mA＜nB可推出mC＜nD，
　　由mA=nB可推出mA=nB．
　　这是比例的基本性质．《原本》巧妙地利用这一性质来作比例的定义，即
　　定义4：设有A，B，C，D4个量， A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果

　　则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．
　　这定义是整个理论的基础，由此推出25个有关比例的命题．
　　近代实数理论中的“戴德金分割”实际上受这比例定义的启发．　　

　　

m1A＞n1B，

m2A＜n2B，

于是全体有理数构成一个“戴德金分割”．如果mA=nB，说明

　　看出来，分划的思想和上述比例定义是一脉相承的．尽管两者的思想很接近，但欧几里得始终不把A∶B和数联系起来考虑，因而从来没有出现A∶B与C∶D相加或相乘的情况．这是时代的局限性，无理数理论的产生，足足拖延了两千多年．
　　卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，共33个命题．处理相似直线形中的各种成比例的线段等．其中命题27—30颇重要．
　　命题27：设C是线段AB中点，在AC上作ACDE [原文的说法是将平行四边形贴合(apply)到AB上]，又在AB的部分线段KB上作KBFG∽AD，延长FG交CD于P，交AE于H，求证AG＜AD．

　　因KF∽AD∽CM，故对角线BG，BD重合． KM=CF=AP，两端同加上CG，即知AG=磬折形PCBMLG＜CM=AD．本题给出求极大极小的一种途径．和代数方法比较：

即

这2次方程有实根的充要条件是判别式非负，即

这正是命题的结论．x=b时S取最大值．　　

是矩形，它的周长是常数2a．于是推出有相同周长的矩形中，以正方形面积最大的结论．
　　命题29相当于某种类型的2次方程解法：作ADFC贴合到AB上，使其等于已知面积S，且AC边超出AB的部分BC上的BEFC与已知P相似．

　　作法是取AB中点G，在GB上作GBMK∽P，另作QR，使其面积等于GM与S之和(根据Ⅵ，25)，延长KM至N，KG至H，使KN=LR，KH=LQ，完成KHFN，连对角线KF，完成BEFC， ADFC．因为BN=HB=DG，又HN=QR=GM＋S，故知磬折形GHFNMB=S=HC+BN=HC＋DG=DC．故DC即为所求．

本命题就是这2次方程的几何解法．　
个词，命题27所作的平行四边形未占满整个线段，这叫做“不足”

罗尼奥斯用到圆锥曲线上，希腊文“不足”转化成 ellipes(椭圆)，“过剩”转化为 hyperbola(双曲线)，“贴合”变成parabola(抛物线)．
　　卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ是数论，分别有39，27，36个命题，讨论正整数的性质与分类．数被看作是线段，两数的乘积叫做平面(pla－ne)或平面数(定义16)，这两个数叫做平面的边．三个数的乘积叫做立体(solid)或立体数(定义17)，这三个数叫做立体的边．
　　这一卷许多内容和卷Ⅴ相同，欧几里得为什么不把卷Ⅴ的结论直接搬过来用，而非要重新论证一遍不可？这大概是他不把数看作普通的量，因为卷Ⅴ中讨论的量包括可公度和不可公度量，而这一卷只牵涉到有理数．也可能他认为数论可以建立在较简单的基础上，所以单独处理．
　　卷首共给出22个定义．定义20：如果第1数之为第2数的某个倍数或某个部分，与第3数之为第4数的某个倍数或某个部分相同，则这4个数成比例．这定义完全回到毕达哥拉斯学派可公度量的比例论上去．
　　定义22：一个数等于它自身的部分(即真因子)之和，这数叫做完全数．
　　命题1，2就是“欧几里得辗转相除法”(Euclidean algorithm)的出处．两数辗转相除，最后得到最大公约数，如最大公约数是1，则两数互素．命题4—20是数的比例问题，命题21—32是关于素数的问题．
　　命题30：某素数能整除两数之积，则此素数至少能整除两数之一．这在数论中是很重要的．
　　命题31：任何合数必被某一素数整除．在证明中提出“任何正整数集必有最小数”(现在叫做良序性)的假定．
　　命题33—39讨论最小公倍数．
　　卷Ⅷ讲连比例(实际就是等比数列)，平面数、立体数的性质．
　　卷Ⅸ有几个命题是值得注意的．命题14：如果某一数是被某些素数所整除的数中之最小者，则这一数不能被这些素数以外的任何素数整除．这就是算术基本定理：合数的素因子分解是唯一的．
　　命题20：素数的个数比任意给定的素数都多．证明是用反证法，设 A， B， C是给定的素数，则 ABC+ 1者是素数或者含有异于A，B，C的素因子，两者都可以推出有多于A，B，C的素数存在．
　　命题35导出等比数列的求和公式，在形式上和现在常见的不同．
　　设a1，a2，a3，…，an，an+1是等比数列，命题结论是

　　如将数列改写为a，ar，ar2，…，arn-1，arn，前n项和记作Sn，上式即化为常见的形式

　　接着命题36证明了数论中一个有名的定理：若2n-1是素数，则(2n-1)2n-1是完全数．
　　事实上，设等比数列1，2，22，…，2n-1的和P=1+2+22+…+2n-1=2n-1是素数，则2n-1P被下列各数整除：1，2，…，2n-1，P，2P，…，2n-2P且不被任何其他小于它自身的数整除，而这些因子的和正好等于2n-1P，
　　1＋2+…+2n-1+P+2P+…＋2n-2P
　　=P＋P(2n-1-1)=(2n-1)2n-1．
　　现在形如2n-1(n是素数)的素数叫做“梅森素数”，因M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾深入研究而得名．有一个梅森素数就相应有一个完全数．前4个完全数6，28，496，8128已为希腊人所知．　　卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，约占全书的1/4，和其他各卷不很相称．包含115个命题，有的版本是117个命题(如清译本)．主要讨论无理量

　　即2次或4次不尽根，这只是无理量的极小一部分，欧几里得使用“有理”、“无理”的术语，和现代的意义不同．“有理”的原文是

的”(rational)．如果给定一个叫做有理的线段A，若另一线段B和A有公度，就说B是“线段可公度有理量”．用现代的术语来说，就是设A是有理量(线段)，m是任意有理数，则mA是“线段可公度有理量”．但

“正方形可公度”(commensurable in square)是《原本》的特殊用语．“线段可公度有理量”显然都是“正方形可公度有理量”，但反过来，“正

种情形特别叫做“仅正方形可公度有理量”．不管那一种情形，都叫有

　　本卷将无理量分为13大类，各给专门的名称．当时没有符号，叙述起来相当困难．用现代的眼光看，这种分类没有多少用处，甚至可以说是“作茧自缚”，它没有推进无理量的发展．
　　这一卷命题1非常重要：给定大小两个量，从大量中减去它的一大半，再从剩下的量中减去它的一大半，这手续重复下去，可使所余的量小于所给的小量．
　　这是极限论的雏形，也是“穷竭法”的理论基础，和后面各卷有密切关系．在证明中实际默认了阿基米德公理．
　　有的版本最后还有命题117，证明正方形一边与对角线不可公度，有时叫做“欧几里得奇偶数证法”，经考证这是后人搀入的，所以后来的校订注释者只将它放入附录中．
　　卷Ⅺ是立体几何，讲空间中的平面、直线、垂直、平行、相交等关系，还有多面角、平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题，共39个命题．

　　卷Ⅻ是穷竭法(method of exhaustion)的应用．这是希腊人创造的强有力的证明方法，一般认为经欧多克索斯的手而臻于完善，以后被收入《原本》的卷Ⅻ中．
　　命题2是相当典型的，从中可以看到穷竭法的基本精神．要证明的是：圆与圆之比等于其直径平方之比．
　　作圆内接□AC，外切□EF，因□EF=2□AC，又□EF大于圆，故□AC包含圆而积的一半以上．取中点 M，完成AMB，因AMB=2△AMB，又AMB大于弓形AMB，故△AMB包含弓形AMB一半以上．□AC的每一边都加上这样的△，就得到内接正8边形，它包含□AC以及圆与□AC之差的一半以上．同理作正16边形，它包含正8边形及圆与正8边形之差的一半以上．重复这个手续，每次边数加倍，根据卷Ⅹ命题1，可得到一个边数足够多的内接正多边形，与圆面积之差小于任给的小量．
　　现有圆面积S1，S2，直径各为d1，d2，要证明
　　

　　设等式不成立而有

　　S3是大于或小于S2的某一面积．不妨设S3＜S2，作S2的边数足够多的内接正多边形P2，使得S2-P2＜S2-S3，即S3＜P2＜S2．在S1内作与 P2相似的内接正多边形P1，根据卷Ⅻ第1命题，

　　于是有

P1∶P2=S1∶S3

　　或

P1∶S1=P2∶S3，

　　但S1＞P1，故S3＞P2，与前面不等式P2＞S3矛盾．同理可证若S3＞S2也一样产生矛盾．
　　下面用类似的方法证明了“锥体体积等于同底等高的柱体的1/3”(命题7，10)，“球体积的比等于直径立方的比”(命题 18)等．全卷共18个命题．
　　卷是最后一卷，共18个命题．前一部分研究了中末比的若干性质，最后6个命题讨论5种球内接正多面体的作图法．

《原本》的一些存在问题

　　(一)公理化结构是近代数学的主要特征．而《原本》是完成公理化结构的最早典范，它产生于两千多年前，这是难能可贵的．不过用现代的标准去衡量，也还有不少缺点．首先，一个公理系统都有若干原始概念或称不定义概念．点、线、面就属于这一类．而在《原本》中一一给出定义，这些定义的本身就是含混不清的．例如卷Ⅰ的定义4：“直线是这样的线，在它上面的点都是高低相同地放置着的”就很费解，而且这定义在以后的证明中完全没有用到．其次是公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观．此外，有的公理不是独立的，即可以由别的公理推出(如第4公设“凡直角都相等”)．这些缺陷直到1899年D．希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)([14])出版才得到了补救．尽管如此，毕竟瑕不掩瑜，《原本》开创了数学公理化的正确道路，对整个数学发展的影响超过了历史上任何其他著作．
　　(二)全书的组织安排也是可以改进的．如卷Ⅴ已建立了一般量的比例论，而且在卷Ⅵ中已用之于几何，但后面的卷Ⅶ的数论却没有用它．这几卷数论基本上是毕达哥拉斯学派的成果，在理论水平上远逊于卷Ⅴ．其实卷Ⅱ已提出几何代数学，接下去讲数论是顺理成章的．
　　卷Ⅹ份量过于庞大，而且大部分和前后没有联系，现在证明其用处甚微．整个《原本》并不企图将当时已有的几何知识纳入其中(例如三角形三个高交于一点这样普通的定理也未收入)，只是精选最基本的命题作为《原本》的内容．本着这种精神，卷Ⅹ应大大压缩．
　　(三)有的书指出，《原本》的证明常常是以偏概全的，即对一般性定理只给出特例的证明，或者只用了某些具体数据而忽略了普遍性，这种情况的确比比皆是．不过批评者可能不了解欧几里得的用意．《原本》当时是作为教科书或讲义来使用的，如果一个问题有若干种情形，证明了其中一种之后，其余的留给学生自证，这在今天也是司空见惯的．以卷Ⅰ命题7为例，从线段AB的两端分别作一直线交于一点C，则在同一侧不可能再有交于另一点D的两线段AD，BD，使得AC=AD，BC=BD．证明是用反证法，设D点落在△ABC之外，由此推出矛盾．而D点落在△ABC内的情形就没有讨论．后世有的注释者如克拉维乌斯认为不够全面，把所有可能情形都增补上去(见明译本)，包括D点落在AC或BC的延长线上以及△ADB完全被包含在△ABC之中等等．希思译本保留了原书的面貌，只在注释中加以说明．
　　还有一种以偏概全的情形是只用某个具体的数字来证明一般性的结论．如卷Ⅸ命题20：素数的个数比任意给定的素数都多．证明时只给定A，B，C三个素数，由此推出还有别的素数存在．现在的严格证法无非是将三个改为任意n个，这在方法上并没有什么区别．

《原本》对我国数学的影响

　　中国传统数学最明显的特点是以算为中心．虽然也有逻辑证明，但却没有形成一个严密的公理化演绎体系，这也许是最大的弱点．明末《原本》传入，应该是切中时弊，正好弥补中算之不足．可是实际情况并不理想．
　　徐光启本人对《原本》十分推崇，也有深刻的理解．他认为学习此书可使人“心思细密”．在译本卷首的《几何原本杂议》中
　　说：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也．”在他的大力倡导下，确实也发挥一定的作用，可惜言者谆谆，听者藐藐，要在群众中推广，仍然有很大的困难，他在《杂议》中继续写道：“而习者盖寡，窃意百年之后，必人人习之．”他只好把希望寄托于未来．
　　明末我国正处在数学发展的低潮，《原本》虽已译出，学术界是否看到它的优点，大有疑问．事实上，明清两代几乎没有人对《原本》的公理化方法及逻辑演绎体系作过专门的研究．康熙以后，清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策．知识分子丧失了思想、言论自由，为了逃避现实，转向古籍的整理和研究，以后形成以考据为中心的乾嘉学派．徐光启之后，数学界的代表人物是梅文鼎(1633—1721)，他会通中西数学，对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献，然而却没有认识到公理方法的重要性．他认为西方的几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西．他在《几何通解》中写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也．故其最难通者，以勾股释之则明．……信古《九章》之义，包举无方．”又在《勾股举隅》中说：“勾股之用，于是乎神．言测量至西术详矣．究不能外勾股以立算，故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也．”类似的说法还有多处．他见到的只是几何的一些命题，至于真正的精髓——公理体系及逻辑结构，竟熟视无睹．梅文鼎这种“古已有之”的观点，也是妄自尊大和保守思想的反映．由于他当时的威望，确实产生了一些消极的影响．

其他著作

　　欧几里得还有好几种著作，可惜流传下来的不多．
　　(一)《已知数》(The data)是除了《原本》以外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，包含94个命题，后来被收入帕波斯的《分析荟萃》(Treasury of Analysis)中．内容和《原本》卷Ⅰ—Ⅵ相仿，但问题的提法不同．例如开头所给出的定义，是解释何谓“已知的”．定义1：面积、线段、角叫做已知的，如果可以作出和它们相等的同类量．定义5：一个圆叫做已知的，如果它的半径已知．等等．
　　全篇的中心内容是指出图形内的某些元素若为已知，则另外的元素也是已知的(即可以确定)．如命题84：若两条线段以一定的夹角构成一个已知面积，又两线段的差已知，则两线段即为已知．这相当解联立方程

y－x=a

xy=b2

　　或2次方程

x2＋ax-b2=0．

　　(二)《图形的分割》(On divisions of figures)是另一本几何著作，但不是希腊文本．现有的两种存本都来自阿拉伯文本．第一种的拉丁文本由J．迪伊(Dee，1527—1608)发现并于 1570年出版，这种版本不甚完整．另一种为F．韦普克(Woepcke，1826—1864)在巴黎所发现，于1851年出版，现有英译校订本(［3］)．此书的中心思想是作直线将已知图形分为相等的部分、成比例的部分或分成满足某种条件的图形．共36个命题．如命题1：作平行于底边的直线将三角形分成相等的两部分．命题4：作平行于上下底的直线将梯形分为相等的两部分．命题29：作二平行弦将已知圆分成给定的比例．
　　(三)下面几种几何著作已失传．《纠错集》(Pseudaria，或Book of fallacies)目的在指出初学几何者常见的错误，引导他们走上正确的道路，普罗克洛斯曾提到此书．《推论集》(Porisms)是一部较高级的几何学，在帕波斯的《分析荟萃》中有较详细的描述．“Porism”这个词有双重意义，一是普通的推论(corollary)，二是指某些与定理不同的命题，定理一般要求证明某个结论，而“porism”是要找出某种事物而不仅仅证明它成立或存在．如要根据给定条件找出圆心等．按帕波斯的说法，欧几里得曾写了四卷的《圆锥曲线》(Conics)，它是后来阿波罗尼奥斯8大卷《圆锥曲线论》的基础．另一本失传的著作《曲面轨迹》(Surface loci)是讨论轨迹的问题．
　　(四)几本应用数学著作．《观测天文学》(Phaenomena)是一本几何天文学，最先使用地平圈(Horizon)，子午圈(meridian)等术语，参考了奥托利科斯的工作及不知名作者的球面几何学．《光学》(Optics)是希腊文的第一本透视学，从12个假设(公设)出发推出61个命题．假设1是“人看到物体，是光线从眼睛出发射到所看的物体上去”．这是从柏拉图以来的传统观点．命题6是“处于平行位置，大小相同但距离不同的物体，在眼中看到的大小并不与远近成比例”．这相当于证明了当α＜β＜π/2时

　　此外，欧几里得还写过音乐和力学的书．看来他是很博学的，不象人们通常认为的那样，欧几里得的贡献只是初等几何．不过经过两千多年的历史考验，影响最大的仍然是《原本》．

extras · 发表于 23.4.2010 22:32:11

本帖最后由 extras 于 26.4.2010 20:36 编辑

欧拉

　欧拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学．
　　欧拉的祖先原来居住在瑞士东北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城——林道．16世纪末，他的曾祖父汉斯·乔治·欧拉(HansGeorg Euler)带领全家顺莱茵河而下，迁居巴塞尔．这个家族几代人多为手艺劳动者．欧拉的父亲保罗·欧拉(Paul Euler)则毕业于巴塞尔大学神学系，是基督教新教的牧师．1706年，保罗与另一位牧师的女儿玛格丽特·勃鲁克(Margarete Brucker)结婚．翌年春，欧拉降生．1708年，保罗举家迁居巴塞尔附近的村庄——里亨(Riehen)．欧拉就在这田园静谧的乡村度过他的童年．
　　欧拉的父亲很喜爱数学．还在大学读书时，他就常去听雅格布·伯努利(Jakob Bernouli)的数学讲座．他亲自对欧拉进行包括数学在内的启蒙教育，并盼望儿子成为教门的后起之秀．贤惠的母亲为了使欧拉及时受到良好的学校教育，把他送到巴塞尔外祖母家生活了几年，入那里的一所文科中学念书．可是，这所学校不教数学．勤勉好学的欧拉独自随业余数学家J．伯克哈特(Bu-rckhart)学习．欧拉聪敏早慧，酷爱数学．他曾下苦功研读C．鲁道夫(Rudolf)的《代数学》(Algebra，1553)达数年之久．
　　1720年秋，年仅13岁的欧拉进了巴塞尔大学文科．当时，约翰·伯努利(Johann Bernoulli)任该校数学教授．他每天讲授基础数学课程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座．欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众．他勤奋地学习所有的科目，但仍不满足．欧拉后来在自传中写道：“……不久，我找到了一个把自己介绍给著名的约翰·伯努利教授的机会．……他确实忙极了，因此断然拒绝给我个别授课．但是，他给了我许多更加宝贵的忠告，使我开始独立地学习更困难的数学著作，尽我所能努力地去研究它们．如果我遇到什么障碍或困难，他允许我每星期六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……无疑，这是在数学学科上获得成功的最好的方法．”约翰的两个儿子尼吉拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II)、丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)，也成了欧拉的挚友．
　　1722年夏，欧拉在巴塞尔大学获学士学位．翌年，他又获哲学硕士学位．但授予这一学位是在1724年6月8日的会议上正式通告的．此前，他为了满足父亲的愿望，于1723年秋又入神学系．他在神学、希腊语、希伯莱语方面的学习并不成功．他仍把大部分时间花在数学上．尽管欧拉后来彻底放弃了当牧师的念头，但他却终生虔诚地信奉基督教．
　　欧拉18岁开始其数学研究生涯．1726年，他在《博学者》(Acta eruditorum)上发表了关于在有阻尼的介质中的等时曲线结构问题的文章．翌年，他研究弹道问题和船桅的最佳布置问题．后者是这年巴黎科学院的有奖征文课题．欧拉的论文虽未获得奖金，却得到了荣誉提名．此后，从1738年至1772年，欧拉共获得巴黎科学院12次奖金．
　　在瑞士，当时青年数学家的工作条件非常艰难，而俄国新组建的圣彼得堡科学院正在网罗人才．1725年秋，尼古拉第二和丹尼尔应聘前往俄国，并向当局力荐欧拉．翌年秋，欧拉在巴塞尔收到圣彼得堡科学院的聘书，请他去那里任生理学院士助理．然而，故土难离．欧拉开始用数学和力学方法研究生理学，同时仍期望在巴塞尔大学找到职位．恰好，这时该校有一位物理学教授病故，出现空席．欧拉向学校教授评议会递交了“论声音的物理学原理”(Dissertatio physica de sono，1727)的论文，争取教授资格．在激烈的竞争中，未满20岁的欧拉落选了．1727年4月5日欧拉告别故乡，5月24日抵达圣彼得堡．从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起．他再也没有回过瑞士．但是，出于对祖国的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍．
　　欧拉到达圣彼得堡后，立即开始研究工作．不久，他获得了在真正擅长的领域从事研究工作的机会．1727年，他被任命为科学院数学部助理院士．他撰写的关于圣彼得堡科学院学术会议情况的调查报告，也开始在《圣彼得堡科学院汇刊(1727)》(Comme－ntarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae)第二卷(St．Petersburg，1729)上发表．尽管那些年俄国政局动荡，圣彼得堡科学院还处在艰难岁月之中，但周围的学术气氛对发展欧拉的才华特别有利．那里聚集着一群杰出的科学家，如数学家C．哥德巴赫(Goldbach)、丹尼尔·伯努利，力学家J．赫尔曼(Hermann)，三角学家F．梅尔(Maier)，天文学家和地理学家J．N．德莱索(Delisle)等．他们同欧拉的个人情谊与共同的科学兴趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，欧拉成为物理学教授．1733年，丹尼尔·伯努利返回巴塞尔后，欧拉接替了他的数学教授职务，担负起领导科学院数学部的重任．这对亲密的朋友，以后通信40多年，促进了科学的竞争和发展．是年冬，欧拉和科学院预科学校的美术教师、瑞士画家G．葛塞尔(Gsell)的女儿柯黛林娜·葛塞尔(Katharina Gsell)结婚．翌年，其长子约翰·阿尔勃兰克(Johann Albrecht)降生．1740年，卡尔(Karl)出世．恬静、美满的家庭生活伴随着欧拉科学生涯的第一个黄金时期．
　　还在圣彼得堡科学院建成之初，俄国政府就责成它除了进行纯科学研究之外，还要培养、训练俄国科学家．为此，科学院建立了一所大学和预科学校，大学办了近50年，预科学校一直办到1805年．俄国政府还委托科学院制定俄国的地图，解决各种具体技术问题．欧拉积极参与并领导了科学院的这些工作．从1733年起，他和德莱索成功地进行了地图研究．从30年代中期开始，欧拉以极大的精力研究航海和船舶建造问题．这些问题对于俄国成为海上强国，是具有重大意义的．欧拉是各种技术委员会的成员，又担任科学院考试委员会委员．他既要为科学院的期刊撰稿、审稿，还要为附属大学、预科学校准备讲义、开设讲座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在数学研究上．
　　在圣彼得堡的头14年间，欧拉以无可匹敌的工作效率在分析学、数论和力学等领域作出许多辉煌的发现．截止1741年，他完成了近90种著作，公开发表了55种，其中包括1936年完成的两卷本《力学或运动科学的分析解说》(Mechanica sive motus scie－ntia analytice exposita)．他的研究硕果累累，声望与日俱增，赢得了各国科学家的尊敬．欧拉从前的导师约翰·伯努利早在1728年的信中就称他为“最善于学习和最有天赋的科学家”，1737年又称他是“最驰名和最博学的数学家”．欧拉后来谦逊地说：“……我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件．”
　　由于过度的劳累，1738年，欧拉在一场疾病之后右眼失明了．但他仍旧坚韧不拔地工作．他热爱科学，热爱生活．他非常喜欢孩子(他一生有过13个孩子，除了5个以外都夭亡了)．写论文时往往膝上抱着婴儿，大一点的孩子则绕膝戏耍．他酷爱音乐．在撰写艰深的数学论文时，他的“那种轻松自如是令人难以置信的”．
　　1740年秋冬，俄国政局再度骤变，形势极不安定．欧拉此时与圣彼得堡科学院粗鲁、专横的顾问J．D．舒马赫尔(Schuma－cher)也产生了磨擦．为了使自己的科学事业不受损害，欧拉希望寻求新的出路．恰好这年夏天继承了普鲁士王位的腓特烈(Frederick)大帝决定重振柏林科学院，他热情邀请欧拉去柏林工作．欧拉接受了邀请．1741年6月19日，欧拉启程离开圣彼得堡，7月25日抵达柏林．
　　柏林科学院是在G．W．莱布尼茨(Leibniz)的大力推动下于1700年创立的，后来它衰落了．欧拉在柏林25年．那时，他精力旺盛，不知疲倦地工作．他鼎力襄助院长P．莫佩蒂(Maupe－rtuis)，在恢复和发展柏林科学院的工作中发挥了重大作用．
　　在柏林，欧拉任科学院数学部主任．他是科学院的院务委员、图书馆顾问和学术著作出版委员会委员．他还担负了其他许多行政事务，如管理天文台和植物园，提出人事安排，监督财务，以及历书和地图的出版工作．当院长莫佩蒂外出期间，欧拉代理院长．1759年莫佩蒂去世后，虽然没有正式任命欧拉为院长，但他实际上一直领导着科学院的工作．欧拉和莫佩蒂的友谊，使欧拉能对柏林科学院的一切活动，尤其是在选拔院士方面，施加巨大影响．
　　欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金等问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，设计改造费诺运河(1749年)，曾主管普鲁士皇家别墅水力系统管系和泵系的设计工作．他和德国许多大学的教授保持广泛联系，对大学教科书的编写和数学教学起了促进作用．
　　在此期间，欧拉一直保留着圣彼得堡科学院院士资格，领取年俸．受该院委托，欧拉为其编纂院刊的数学部分，介绍西欧的科学思想，购买书籍和科学仪器，同时推荐研究人员和课题．他在培养俄国的科学人才方面起了重大的作用．他还经常把自己的学术论文寄往圣彼得堡．他的论文约有一半是用拉丁文在圣彼得堡发表的，另一半用法文在柏林出版．另外，他还先后当选为伦敦皇家学会会员(1749年)、巴塞尔物理数学会会员(1753年)及巴黎科学院院士(1755年)．
　　柏林时期是欧拉科学研究的鼎盛时期，其研究范围迅速扩大．他与J．K．达朗贝尔(D’Alembert)和丹尼尔·伯努利展开的学术竞争奠定了数学物理的基础；他与A．克莱罗(Clairaut)和达朗贝尔一起推进了月球和行星运动理论的研究．与此同时，欧拉详尽地阐述了刚体运动理论，创立了流体动力学的数学模型，深入地研究了光学和电磁学，以及消色差折射望远镜等许多技术问题．他写了大约380篇(部)论著，出版了其中的275种．内有分析学、力学、天文学、火炮和弹道学、船舶建造和航海等方面的几部巨著，其中1748年出版的两卷集著作《无穷分析引论》(Introdu－ctio in analysin infinitorum)在数学史上占有十分重要的地位．
　　欧拉参加了18世纪40年代关于莱布尼茨和C．沃尔夫(Wolff)的单子论的激烈辩论．欧拉在自然哲学方面接近R．笛卡儿(Descartes)的机械唯物主义，他和莫佩蒂都是单子论的“劲敌”．1751年，S．柯尼格(Knig)以耸入听闻的新论据，发表了几篇批评莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．欧拉翌年撰文反驳，并同莫佩蒂用更浅显的语言来解释最小作用原理．除了这些哲学和科学的争论以外，对于数学的发展来说，欧拉参加了另外三场更重要的争论：与达朗贝尔关于负数对数的争论；与达朗贝尔、丹尼尔·伯努利关于求解弦振动方程的争论；与J．多伦(Dollond)关于光学问题的争论．
　　1759年莫佩蒂去世后，欧拉在普鲁士国王的直接监督之下负责柏林科学院的工作．欧拉同腓特烈大帝之间的关系并不融洽．1763年，当获悉腓特烈想把院长的职务授予达朗贝尔后，欧拉开始考虑离开柏林．圣彼得堡科学院立即遵照卡捷琳娜(Catherine)女皇旨意寄给欧拉聘书，诚挚希望他重返圣彼得堡．但是达朗贝尔拒绝长期移居柏林，使腓特烈一度推迟就院长入选作最后的决定．“七年战争”之后，腓特烈粗暴地干涉欧拉对柏林科学院的事务管理．1765年至1766年，在财政问题上，欧拉与腓特烈之间引发了一场严重的冲突．他恳请普鲁士国王同意他离开柏林．1766年7月28日，欧拉重返圣彼得堡，他的三个儿子和两个女儿也回到俄国，伴于身旁．
　　欧拉的家安置在涅瓦河畔离圣彼得堡科学院不远的舒适之处．他的长子阿尔勃兰克这年成为科学院院士、物理学部教授，三年后又被任命为科学院的终身秘书．1766年，欧拉父子还同时当选为科学院执行委员．欧拉的工作是顺心的，然而，厄运也接二连三地向他袭来．回到圣彼得堡不久，一场疾病使欧拉的左眼几乎完全失明．这时，他已经不能再看书了．只能勉强看清大字体的提纲，用粉笔在石板上写很大的字母．1771年，欧拉双目完全失明．这一年，圣彼得堡的一场特大火灾又使欧拉的住所和财产付之一炬，仅抢救出欧拉及其手稿． 1773年 11月，欧拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父异母的妹妹莎洛姆·葛塞尔(SalomeGsell)成为欧拉的第二个妻子．
　　欧拉晚年遭受双目失明、火灾和丧偶的沉重打击，他仍不屈不挠地奋斗，丝毫没有减少科学活动．在他的周围，有一群主动的合作者，包括：他的儿子阿尔勃兰克和克利斯朵夫(Christoph)； W．L．克拉夫特(Krafft)院士和A．J．莱克塞尔(Lexell)院士；两位年轻的助手N．富斯(Fuss)和M．E．哥洛文(Golovin)．欧拉和他们一起讨论著作出版的总计划，有时简要地口述研究成果．他们则使欧拉的设想变得更加明确，有时还为欧拉的论著编纂例证．据富斯自己统计，七年内他为欧拉整理论文250篇，哥洛文整理了70篇．欧拉非常尊重别人的劳动．1772年出版的《月球运动理论和计算方法》(Theoria motuum lunae， nova methodoPertractata)是在阿尔勃兰克、克拉夫特和莱克塞尔的帮助下完成的，欧拉把他们的名字都印在这本书的扉页上．
　　重返圣彼得堡后，欧拉的著作出版得更多．他的论著几乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《积分学原理》(Institutiones calculi integralis， 1768—1770)和《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》(Lettresà une princesse d’AllemagneSur divers sujets de physique et de philosophie， 1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者产生于欧拉给普鲁士国王的侄女的授课内容．这本文笔优雅、通俗易懂的科学著作出版后，很快就在欧洲翻译成多种文字，畅销各国，经久不衰．欧拉是历史上著作最多的数学家．
　　欧拉的多产也得益于他一生非凡的记忆力和心算能力．他70岁时还能准确地回忆起他年轻时读的荷马史诗《伊利亚特》(Iliad)每页的头行和末行．他能够背诵出当时数学领域的主要公式和前100个素数的前六次幂．M．孔多塞(Condorcet)讲述过一个例子，足以说明欧拉的心算本领：欧拉的两个学生把一个颇为复杂的收敛级数的17项相加起来，算到第50位数字时因相差一个单位而产生了争执．为了确定谁正确，欧拉对整个计算过程进行心算，最后把错误找出来了．
　　1783年9月18日，欧拉跟往常一样，度过了这一天的前半天．他给孙女辅导了一节数学课，用粉笔在两块黑板上作了有关气球运动的计算，然后同莱克塞尔和富斯讨论两年前F．W．赫歇尔(Herschel)发现的天王星的轨道计算．大约下午5时，欧拉突然脑出血，他只说了一句“我要死了”，就失去知觉．晚上11时，欧拉停上了呼吸．
　　欧拉逝世不久，富斯和孔多塞分别在圣彼得堡科学院和巴黎科学院的追悼会上致悼词．孔多塞在悼词的结尾耐人寻味地说：“欧拉停止了生命，也停止了计算．”
　　欧拉的菩作在他生前已经有多种输入了中国，其中包括著名的、1748年初版本的《无穷分析引论》．这些著作有一部分曾藏于北京北堂图书馆．它们是18世纪40年代由圣彼得堡科学院赠给北京耶稣会或北京南堂耶稣学院的．这也是中俄数学早期交流的一个明证．19世纪70年代，清代数学家华蘅芳和英国人傅兰雅(John Fryer)合译的《代数术》(1873)和《微积溯源》(1874)，都介绍了欧拉学说．在此前后，李善兰和伟烈亚力(Alexander Wylie)合译的《代数学》(1859)、赵元益译的《光学》(1876)、黄钟骏的《畴人传四编》(1898)等著作也记载了欧拉学说或欧拉的事迹(详见文献［32］)．中国人民是很早就熟悉欧拉的．欧拉不仅属于瑞士，也属于整个文明世界．著名数学史家A．П．尤什凯维奇(Юшкевич)说，人们可以借B．丰唐内尔(Fontenelle)评价莱布尼茨的话来评价欧拉，“他是乐于看到自己提供的种子在别人的植物园里开花的人．”
　　在欧拉的全部科学贡献中，其数学成就占据最突出的地位．他在力学、天文学、物理学等方面也闪现着耀眼的光芒．　
数学
　

　　欧拉是18世纪数学界的中心人物．他是继I．牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一．在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起．他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法．欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因．其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想．因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述．他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子．欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点．现代版的《欧拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷(74部分；近况详见文献［1］)中有29卷属于纯粹数学．
　　欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一．但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学．这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关．欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础．他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域．他被同时代的人誉为“分析的化身”．
　　欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比．他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法．只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足．他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性．欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者．
　　这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解．譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
　　欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师．他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现．但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的．他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的．
　　欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示
号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今．
　　在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19世纪最著名的数学家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．
　　罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路．
, P# c+ ~% D1 Z1 l; l2 U* X　　1．数论
　　古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，P．de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．
　　欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760

要的发现是二次互反律．它表述在1783年的一篇论文中，但未给予证明．这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意．二次互反律是18世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现．后来，A．M．勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它．高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801年发表了二次互反律的完整的证明．他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”．二次互反律后来引起了许多数学家，如E．E．库默尔(Kummer)、D．希尔伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作．1950年，I．R．沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律．
　　欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研究．费马重新发现了求解方程x2-Ay2=1的问题(其中，A是整数但非平方数)，J．沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题．欧拉在1732—1733年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了．1759年，
后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)开始对这个问题进行全面研
　　究．对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明 n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如
　　(Vollstndige Anleitung Zur Algebra， 1770，德文版)一书中详尽地叙述了这个证明．此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。
　　欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河．他利用调和级数

　　的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：

　　
函数ζ(s)．1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有

　　黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ函数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家．19世纪和20世纪，ζ函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿达马(Hadama- rd)等人关于素数分布的研究中更是如此．
　　欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题．J．H．兰伯特(Lambert)1768年证明e和π是无理数时，曾用连分数表示e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的．1873年，C．埃尔米特(Hermite)证明e是超越数．1882年，F．林德曼(Lindemann)应用欧拉公式eiπ=-1 (欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题．欧拉常数

　　的超越性的猜测，则至今尚未解决．
$ A. P% E; K% k　　2．代数
　　17世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对G．卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有n个形如a＋bi的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19世纪有了更精确的证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于19世纪和20世纪代数学教科书的编写产生极大影响． . ?. z5 o& L& t6 Y' _
　　3．无穷级数
　　在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题

　　伯努利兄弟、J．斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它．1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数2K＞0，

ζ(2K)=a2kπ2k，

　　这里a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示．欧拉还给出了当2K＋1是前面几
性质至今尚不清楚．
　　欧拉大约在1732年发现了上述求和公式，他于1735年给出了证明．C．马克劳林(Maclaurin)不谋而合地在几年后又独立地发现了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．这个公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特灵奠基的．欧拉的《微分学原理》(Introductio calculi differentialis， 1755)是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子．借助于这个求和公式，1735年，欧拉把前述的欧拉常数γ的值计算到小数点后第16位

γ=0.57721566…．

　　欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：

　　它发表在1755年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗1759年的相应工作．
　　欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的．
　　形式观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对19世纪末、20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响． 0 }4 G) |/ d6 d* U9 t
　　4．函数概念
　　18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中．这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此．专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹．

图1 《无穷分析引论》的扉页，洛桑，1948年

　　《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极其重要．
　　在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利等许多数学家卷入的关于弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论．它促使欧拉去推广自己的函数概念．1755年，欧拉在《微分学原理》一书中给函数下了一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数．”不过，在《无穷分析引论》中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述． * Y O r& p p8 `
　　5．初等函数
　　《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论．其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式

e±xi=cosx±isinx

　　的一个推导．虽然R．柯特斯(Cotes)在1714年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用．欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式

　　　
　　虑了正自变量的对数函数．1751年，欧拉发表了完备的复数理论．他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的．欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前1747—1748年在莱布尼茨和约翰·伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争论．但他的工作当时并未被人们接受．
; d& H7 L& `7 J \5 Y　　6．单复变函数
　　通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747—1751年间先后得到了(用现代术语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论．他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展．1752年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数u(x，y)＋iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程．177年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程

　　其要点是借助于虚代换z=x＋iy，利用实函数去计算复函数的积分，展

　　欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究．他在1768年的一篇论文中，利用复变函数，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法．1775年，他又证明球面不可能全等地映入平面．这里，他再一次用了复变函数而且讨论了相当一般的保角表示．
　　欧拉的这些思想，19世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展．譬如，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的． 0 M( e/ t) N5 {- W
　　7．微积分学
　　欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支．
　　在《微分学原理》中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式．他在1734年的一篇论文中证明，若z=f(x，y)，则

　　导出了函数f(x，y)恰当微分的必要条件．1736年，他又揭示了关于齐次函数的定理，即若z是x和y的n次齐次函数，则

　　他还就函数f(x)和f(x，y)的极值问题，得到许多重要的结果．
　　欧拉在《积分学原理》第一卷中，用相当现代的方式叙述了不定积分的方法．他创造了“欧拉代换”等许多新方法．他计算了许多困难的定积分，进一步奠定了特殊函数论的基础．例如，1729年欧拉就研究了序列1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函数和Γ函数，继而还发现了B函数和Γ函数的许多性质，如：

　　在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理．1770年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序．
　　《微分学原理》和《积分学原理》是欧拉那个时代的标准课本．他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上．这至少为后来基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路． & g# w# }1 G `% ~2 g
　　8．微分方程
　　《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现．他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科．
　　在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名词．1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低．欧拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法．他在1734—1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在1768—1770年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程．欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究．1768年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法．这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件x=x0，y=y0的方程

　　的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程．这个现称“欧拉折线法”的方法，为19世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径．
　　欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分方程的研究．他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的．数学物理中的许多问题都可以归结为二阶线性方程．弦振动问题是一个著名的例子．1747年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程

　　得到形如两个任意函数之和的解：

　　欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究．他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法．于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)发表为止．其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了．欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程．例如，位势方程

　　最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中．1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解．

/ m2 ]3 w1 O, N" ^　　9．变分法
　　欧拉从1728年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题．然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广泛使用了几何论证．书中系统地总结了欧拉在18世纪30年代和40年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分

　　取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程

　　以及大量应用的例子．这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程．
　　18世纪50年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”(the calculus of variation)． 1770年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值． ( ]% P; w" k* e3 T
　　10．几何学
　　18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程．
　　在微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪60年代和70年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件．1775年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论．

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　　欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平．1735年，欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图3，有7座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏．)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质．其中，有一条是：如果用V，E和F分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有V-E＋F=2．次年他给出了这条性质的一个证明．尽管100年后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识V-E＋F这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉．他之所以对这一关系感兴趣，是要用它来作多面体的分类．欧拉示性数V-E＋F以及由H．庞加莱(Poicaré)提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点．”他用图形(图4)表示了这种关系．　
力学
　

　　欧拉在1736年的《力学》导言中，概述了对这门科学各个分支的巨大研究计划．与其前辈采用综合法、几何法来研究力学不同，欧拉第一个意识到把分析方法引入力学的重要性．欧拉系统而成功地将分析学用于力学的全面研究．他的《力学或运动科学的分析解说》(图5)的书名就清楚地表达了他的这一思想．欧拉在力学的各个领域都有突出贡献，他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人．

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　　1．一般力学
　　《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动．欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”．他所提供的基本概念和定律接近我们今天所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义．
　　1765年，欧拉的著作《刚体运动理论》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅(Ковaлескaя)于1888年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题． 3 Q8 x2 |5 I, {& P1 C
　　2．流体力学
　　欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752年至1755年，欧拉相继写了“流体运动原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流体运动的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流体运动理论续篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．这三篇论文于1757年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题．
　　除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔·伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用．　
天文学
　

　　对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关．这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金．
　　17世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745年，克莱罗和达朗贝尔用万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18年，而实际观察则表明它应该是9年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院1752年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753年，他的《月球运动理论》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一书出版．在这部著作中，欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致．
　　欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755年，格丁根大学的天文学家T．迈尔(Mayer)根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过10年的航海实践，1765年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作．
　　1772年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19世纪末，当G．W．希尔(Hill)发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价．
　　欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．　
物理学
　

　　18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
　　1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
　　欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
　　欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
　　欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．

extras · 发表于 23.4.2010 22:34:44

魏尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)，德国数学家。生于德国西部威斯特伐利里的小村落奥斯滕费尔德，卒于柏林。父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断，14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。从预科学校一毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把他送到波恩大学学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。卡尔对法律和商业毫无兴趣，在波恩大学他把相当一部分时间用在数学上，他和阿贝尔（Abel，Niels Henrik，1802.8.5-1829.4.6）一样，“直接向大师们而不是他们的学生学习”，他常常独自钻研拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749.3.23-1827.3.5）的《天体力学》、雅可比（Jacobi，Carl Gustav Jacob，1804.12.10-1851.2.18）的《椭圆函数新理论基础》等著作。大学四年，卡尔没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。在他家的一位朋友的建议下，1839年5月卡尔被送到蒙斯特学院学习，以准备教师资格考试。在蒙斯特学院，卡尔遇到一位不可多得的良师—古德曼（Gudermann，Christoph，1798.3.25-1852.9.25)，古德曼还指导他作出了关于把椭圆函数表示成幂级数的商的成果，这是椭圆函数理论的一个重要发现。1841年，卡尔取得了教师正式证书。26岁的维尔斯特拉斯从此开始长达15年的中学教书生涯，其中包括30岁到40岁这一段通常被认为是科学发明创造的黄金岁月。1842年，卡尔到普鲁士一个偏僻小村的一所大学预科学校预备班任数学和物理的助理教师，不久晋升为正式教师。除了数学和物理，他还教德文、地理、书法和体操。白天，他忙着上课、批改作业，一到晚上，他就关上房门，点起蜡烛，通宵达旦地在数学之宫神游，攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中一篇《阿贝尔积分理论》一文，发表在当时德国中小学发行的一种不定期刊物“数学简介”上。如果这篇文章有机会让德国专业数学家看到，肯定会引起巨大反响。1848年，卡尔调到勃朗斯堡大学预科学校任教。直到1853年，卡尔将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克列尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（简称《数学杂志》），才使他时来运转。第二年也就是1854年第47卷上，杂志全文刊登了卡尔的这篇论文，随即引起了轰动。哥尼斯堡大学的理查劳斯教授敦促哥尼斯堡大学授予卡尔博士学位，并立即启程亲自把证书送到勃朗斯堡。1856年，经库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）荐举，卡尔被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选为柏林科学院院士，他后来又转到柏林大学任教授，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄。

　　魏尔斯特拉斯热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦。他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。

主要贡献　　1、在解析函数方面

　　他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。

　　2、在椭圆函数方面

　　椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。

　　3、在代数领域

　　1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。

　　4、在变分学方面

　　1879年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。

　　5、在微分几何方面

　　魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。

　　6、在数学分析方面

　　他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。他改进了波尔查诺（Bolzano，Bernard，1781.10.5-1848.12.18）、柯西、阿贝尔的方法，早在1841年至1856年，作中学教师的魏尔斯特拉斯，就给出了今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义（ε-δ定义），以及完整的一套类似的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。

　　为了说明直觉的不可靠， 1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。

　　早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。

　　1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。

　　另外，魏尔斯特拉斯还研究了天文学中的n体问题和光的理论。

　　魏尔斯特拉斯不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家，他高尚的风范和精湛的艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。他培养了一大批有成就的数学人才，其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15-1891.2.10，俄国女数学家、作家、政论家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法国数学家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法国数学家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典数学家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法国数学家）、L.柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法国数学家）等。

extras · 发表于 23.4.2010 22:37:19

牛顿

　　牛顿，I．(Newton，Isaac)1643年1月4日(儒略历1642年12月25日)生于英格兰林肯郡格兰瑟姆镇沃尔索普(Woolsthorpe)村；1727年3月31日(儒略历1727年3月20日)卒于伦敦肯辛顿．数学、力学、物理学、天文学、化学、自然哲学．
　　依萨克·牛顿出身于农民家庭．祖父罗伯特·牛顿(RobertNewton)是一位富裕的农庄主．父亲(亦名依萨克·牛顿)继承了田庄，但与牛顿的母亲汉娜·埃斯库(Hannah Ayscough)结婚不到半年即病故．牛顿是遗腹子，而且早产，生后勉强存活．牛顿3岁时，母亲改嫁给邻村牧师B．史密斯(Smith)，牛顿被留在沃尔索普由外祖母抚养．大约从5岁开始，牛顿被送到附近斯吉林顿和史托克走读小学读书．1653年，母亲汉娜再度守寡，携牛顿的三个异父弟妹回到沃尔索普村．两年后，牛顿进入格兰瑟姆中学．少年牛顿不是神童，在校成绩并不突出．但他喜欢读书．在沃尔索普的农舍里保存有近200本牛顿少年时代读过的书籍．牛顿从中学起就有作读书笔记的习惯．有一本又大又厚的笔记本，原是史密斯牧师的神学摘记，牛顿将它继承下来并称之为“废书”(Waste Book)．“废书”后又被带到剑桥用作力学与数学笔记，其中记录了牛顿早年研究万有引力与微积分的心得，是牛顿早期科学发现的重要见证．
　　作为中学生的牛顿还酷爱玩具制作．他所制作的玩具实际上是各种机械模型，包括风车、木钟、日晷以及折叠式提灯(冬日清晨上学路上照明用)等等．在格兰瑟姆牛顿寄宿的克拉克药店卧室里，堆满了这类自制的玩具．
　　1659年，17岁的牛顿被母亲召回沃尔索普管理田庄．但牛顿对务农不感兴趣．一有机会，仍埋首书卷．在这种情况下，有两个人对他的前途起了决定性作用．牛顿的舅父W．埃斯库(Ays－cough)和格兰瑟姆中学校长J．史托克斯(Stokes)先生竭力劝说汉娜让牛顿复学．史托克斯校长对牛顿母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”他甚至答应减收学费并让牛顿到自己家里用餐．他们终于说服了牛顿的母亲．1660年秋，牛顿在辍学九个月后又回到格兰瑟姆，为升学作准备．
　　1661年6月，牛顿入剑桥大学，成为三一学院的减费生(Su－bsizar)．入学前，牛顿已阅读过威廉舅舅送给他的一本桑德生(San－derson)《逻辑学》，这对他顺利掌握大学头二年的逻辑与哲学课程大有裨益．这一时期，牛顿还阅读了亚里士多德(Aristotle)的《工具篇》、《伦理学》，R．笛卡儿(Descartes)的《哲学原理》(Prin－cipia philosophiae)以及 T．霍布斯(Hobbes)、J．马吉卢斯(Magirus)等人的哲学著作．从三年级起，牛顿开始接触大量自然科学著作，其中包括G．伽里略(Galilei)的《恒星使节》(Side－reus nuncius)、《两大世界体系的对话》(Dialogo dei massimi－systemi)，J．开普勒(Kepler)的《光学》(Astronomiae parsOptica)以及P·伽桑逖(Gassendi)的哥白尼天文学概述等．
　　根据J．康杜德(Conduitt)和 A．德·莫阿弗(De Moivre)的记述，牛顿在数学上很大程度是依靠自学．1663年，牛顿从斯图布里奇集市购得一本占星书，因缺乏三角知识看不懂其中的天象图，遂又买来三角课本和欧几里得(Euclid)《几何原本》(Ele－ments)阅读．但他的注意力很快被其他数学著作所吸引．下面是牛顿本人的回忆：“1664年圣诞节前夕，当时我还是一个高年级生，我买到了范·舒滕(van Schooten)的《杂论》(Miscellanies)和笛卡儿的《几何学》(La géométrie)(半年前我已读过笛卡儿的《几何学》与w．奥特雷德(Oughtred)的《数学入门》(Claviemathematicae))，同时借来了J．沃利斯(Wallis)的著作．”根据三一学院保存的牛顿读书笔记，可以进一步了解到牛顿大学时代数学阅读的范围，涉及的作者还有：F．韦达(Viéte)、P．费马(Fermat)、 C．惠更斯(Huygens)、J．德维特(de Witt)、F．德博内(de Beaune)、J．胡德(Hudde)和 H．范·休雷特(van Heuraet)等．在所有这些著作中，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》(Arithmetica Infinitorum)的影响是决定性的，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿的领域——解析几何与微积分．
　　牛顿在广泛阅读的同时也听取大学的各种课程，特别是I．巴罗(Barrow)1664年后开设的卢卡斯(Lucas)讲座．牛顿后来追溯流数概念的来源时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题．”
　　1665年1月，剑桥大学评议会通过了授予牛顿文学士的决定．同年8月，大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡．随后两年里，除偶尔回校及到邻镇布思比小住外，牛顿都是在家乡沃尔索普度过．这段时间成为牛顿科学生涯中的黄金岁月：制定微积分，
　　发现万有引力，提出光学颜色理论……，可以说描绘了他一生大多数科学创造的蓝图．
　　1667年复活节后不久，牛顿回到剑桥，但对自己的重大发现却未作宣布．这年 10月他被选为三一学院初级院委(minor fe－llow)；翌年4月，获硕士学位，同时成为高级院委(major fe－llow)．
　　1669年10月，牛顿继巴罗任卢卡斯教授．牛顿大学毕业后，曾作过巴罗的助手并协助修改后者的《几何与光学讲义》(Lec－tiones opticae et geometricae，1669)．巴罗认识到牛顿的才华，他自动辞去卢卡斯教授之职而给牛顿以机会．巴罗让贤，在科学史上一直被传为美谈．
　　作为卢卡斯教授，牛顿自1670年起主持了一系列重要的科学讲座．1670—1672年光学讲座，总结了牛顿的光学研究，其讲义经修订后于1704年正式出版，这就是著名的《光学》(Opticks)；接着牛顿用了整整十年(1673—1683)时间讲授代数；1684—1685年的卢卡斯讲座主题是运动学，这是由1684年8月E．哈雷(Ha－lley)的一次访问引起的．哈雷专程到剑桥向牛顿请教在引力服从反平方律时行星的轨道．不久牛顿将答案写成论文寄给皇家学会，同时将论文扩充为《论运动》(De motu corporum)的讲义，即1684年秋季开始的卢卡斯讲座内容，并且也是《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica)第一卷的初稿．此后便是牛顿全力创作《原理》的时期，至1687年春，《原理》第三卷“宇宙体系”告成，“宇宙体系”也是这一年卢卡斯讲座的题目．在哈雷的敦促与资助下，《原理》于同年夏正式出版．这部划时代的巨著奠定了牛顿在科学史上的不朽地位．
　　在任卢卡斯教授期间(1669—1701)，除了上述领域外，牛顿继续致力于改进完善自己早年的微积分工作以及其他方面的数学研究，同时还花费了大量的精力探讨化学及炼金术．
　　1680年代末，牛顿一度卷入政治斗争．他曾作为剑桥大学九人委员会成员之一，在抵制国王詹姆士二世派遣一名亲信的天主教徒到剑桥任职的行动中起了重要作用．牛顿因此于1689年1月当选为代表剑桥大学的议员而进入了国会．1701年又再度当选．
　　1693年秋，长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的忧郁症，病虽经治愈，但他从此结束了剑桥宁静的学者生活．1696年，牛顿通过他的学生、财政大臣C．蒙塔古(Montague)的关系而谋得伦敦造币局总监之职，遂移居伦敦，并指定W．惠斯顿(Whi－ston)代理卢卡斯教授．1699年，牛顿因督办铸币有方而升任造币局长，这促使他于1701年10月下决心最终辞去卢卡斯教授之职．牛顿晚年就在伦敦度过．除了造币局的工作，他于1703年起出任皇家学会会长(牛顿早在1672年就已当选为皇家学会会员)．1705年，牛顿被女王安娜封爵，达到了他一生荣誉之巅．1727年3月31日，牛顿在患肺炎与痛风症后溘然辞世，葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷厅隆重举行．当时参加了牛顿葬礼的F．M．A．伏尔泰(Voltaire)“看到英国的大人物们都争抬牛顿的灵柩”，感叹说：“英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王．”据说这位法国作家禁不住虔诚地从牛顿所戴的桂冠上摘下一片叶子珍藏纪念．诗人A．波普(Pope)三年后在为牛顿所作墓志铭中写下了这样的名句：“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中．上帝说：‘让牛顿出世！’于是一切都豁然明朗．”剑桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身雕像，供世人瞻仰．
　　在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位，这不仅是因为这些成就开拓了崭新的近代数学，而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法实现了自然科学的一次巨大综合而开拓了近代科学．
　　二项定理的发现 牛顿数学生涯中第一个创造性成果乃是关于任意次幂的二项展开定理．根据牛顿本人回忆，他是在“ 1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积(或计算
　　牛顿对二项定理的原始推导，写在他1664—1665年间的一本读书笔记上而被保存至今．但牛顿迟至1676年才在致皇家学会秘书H．奥尔登堡(Oldenburg)的两封信中正式公布这项发现，这两封信是为了答复G．W．莱布尼茨(Leibniz)的有关询问而写．在《前信》(epistola prior，1676年6月13日)中，牛顿写道：“由于他(莱布尼茨)很想了解英国人在这一领域的工作，而我本人若干年前曾钻研过这一理论，所以我将自己得到的一些结果寄给您，以满足(至少部分满足)他的要求．”牛顿接着便以下列形式首次叙述了二项定理：

　　并指出“此处P＋PQ表示要求其根或任意次幂或幂的根的量；P表示该量的首项，Q则是首项相除后的余项，m/n 是 P＋PQ的幂指数，不论其是整数还是分数、正数还是负数”，而“在计算过程中要求的各商项用A，B，C，D等来表示，即第一项Pm/n记作A；第二项
　　莱布尼茨复函要求进一步说明二项定理的来源．牛顿于是在《后信》(epistola posterior，1676年10月24日)中追述了自己发现二项定理的思路．
　　如所周知，沃利斯在《无穷算术》中考虑数列

　　
沃利斯影响但却采取了崭新的途径：他不是考虑数列而是考虑一函数序列

的插值．当n为偶数时，牛顿利用沃利斯
　　f0(x)＝1(x)，
　　
　　…
　　
　　牛顿试图对上述级数序列的系数插值，当n＝1时就将得到四分之一的单位圆面积．为此他注意到上述序列中所有级数的第一项都是x，第二项(0/3)x3，(1/3)x3，(2/3)x3，(3/3)x3则构
牛顿指出当n为偶数时，诸系数amn构成帕斯卡三角，且满足关系am，n+2＝am-1,n＋am，n．牛顿接着便利用类比推理假定对奇数n，插值后的am，n此关系仍成立，由此便可从已得到的a0n＝1，a1n＝n/2而逐步推算出其余的amn来．如牛顿算出f1(x)的前七项am1之值为

& P' S, \0 R1 w2 ]8 r

　　由此看出amn的一般形式

　　结果逐项微分便立即得到二项定理：

　　其中

　　牛顿在关于二项定理的早期研究中，根据同样的思路用插值法计算

　　这实质上是对数级数的最早推导．牛顿又通过逐项微分进而得到几何级数

　　在后来的文献中牛顿便抛弃了插值法而将此类展开看作是二项定理当指数取负值时的特例，如在《前信》中，牛顿给出了例子

等等．
　　在牛顿之前，正整数幂的二项展开早为人们熟知．牛顿将其推广到正负有理数幂的情形，这是从有限向无限的飞跃，这一飞跃为无穷级数研究开辟了广阔的前景．寻找一些熟知的函数的无穷级数表示，是牛顿同时代数学家们的热门课题．牛顿凭借自己发现的二项定理而能得到其它一系列函数的无穷级数．例如就在发正弦级数

　　同样还得到了 arc tanx的级数展开．稍后，他运用反演法从已知的 logx与 arc sin x的无穷展开推出指数级数、正弦级数以及余弦级数：

　　
　　等等．牛顿为能发现这么多函数级数而自豪．在17—18世纪，无穷级数是微积分不可缺少的工具．
　　微积分的制定 微积分的发明、制定是牛顿最卓越的数学成就．
　　微积分所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大、极小值问题等，在牛顿之前即已受到人们的研究，有的(如求积问题)甚至可以远溯古代．17世纪上半叶，天文、力学与光学等自然科学的发展使这些问题的解决越益成为燃眉之急．当时几乎所有的科学大师都竭力寻求有关的数学新工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法，并且正是在牛顿诞生前后的一个时期内，取得了迅速的进展，其中最重要的如开普勒的旋转体体积计算法(1615)、费马求极大极小值的方法(1629)、B．卡瓦列里(Cavalieri)的“不可分量原理”(1635)、笛卡儿的解析几何及切线构造法(1637)、沃利斯的分数幂积分(1655)、巴罗的微分三角形(1664—1665)等等．这一系列前驱性的工作，对于求解各类具体无穷小问题作出了宝贵贡献，但却缺乏一般性，尚不能满足当时科学的普遍需要．牛顿超越前人的功绩是在于，他能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分与积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的也是最关键的一步，并为其深入发展与广泛应用铺平了道路．
　　流数论的初建 牛顿对微积分的研究始于1664年秋．当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生了兴趣并试图寻找更好的方法．就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量．在1665年夏瘟疫迫使他离开剑桥前不久，牛顿接连写了几份手稿，致力于笛卡儿、费马、胡德等人算法的改进．其中5月20日手稿引进了一种带双点的字母记号：对于量a，记号相当于导数的齐流数记号混为一谈．
　　1665年夏至1667年春牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续研究微积分并取得了突破性进展．据他自述，1665年11月发明正流数术(微分法)，次年5月又建立了反流数术(积分法)．1666年10月，牛顿着手整理前两年的研究而写成一篇总结性论文，此文现以《1666年10月流数简论》(The october 1666 tract on fluxions)著称，当时虽未正式发表，却曾在牛顿的朋友与同事中传阅．《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献．
　　牛顿在《流数简论》中，事实上以速度形式引进了流数概念，但未使用“流数”这一术语．他提出流数计算的基本问题如下：
　　(a)“设有二个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…．已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系．”
　　(b)“已知表示线段x和运动速度p，q之比p/q的关系方程式，求另一线段y．”
牛顿对多项式情形给出(a)的解法：“将所有的项移至方程一边，
　　相等的倍数．(若还有更多的未知量，则依此类推．)令所有乘积之和等于零，此方程就给出了速度p，q，r，…的关系式．”这就是说，对多项式f(x，y)＝Σaijxiyi＝0问题(a)的解为

　　为了“证明”上述结果，牛顿采用了时间t的无穷小瞬o的概念，并指出：“正如速度为p的物体A在某一瞬描画的无穷小线段为p×o，速度为q的物体B在同一瞬内将描画出线段q×o……，这样．若在某一瞬已描画的线段是x和y，则至下一瞬它们将变成x＋po和y＋qo．”牛顿分别以x＋po和y＋qo代换方程中的x和y，例如在方程x3－abx＋a3－dyy＝0中作这样的代换后，牛顿利用二项展开得

x3＋3pox2＋3p2o2x＋p3o3－dy2

－2dqoy－dq2o2－abx－abpo＋a3＝0，

　　消去和为零的项(x3－abx＋a3－dyy＝0)，剩下
　　3px2o＋3p2xo2＋p3o3－2dqoy－dq2o2－abpo＝0，
　　以o除之得

3px2＋3p2xo＋p3o2－2dqy－dq2o－abp＝0．

　　此时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略之得3px2－abp－2dqy＝0即欲求证的解．
　　对于问题(b)，牛顿给出的解法实际上是问题(a)的解的反运算．特别重要的是，《流数简论》中有一个问题讨论了如何借助于这种反运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”．
　　牛顿是这样推导微积分基本定理的：如图1，设 ab＝x，△abc＝y为已知曲线 q＝f(x)下的面积．作 de∥ab⊥ad∥be＝p＝1，当垂线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积□abed＝x，
　　在牛顿以前，面积总是被看作无限小不可分量之和．牛顿却从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积．面积计算可以看成是求切线的逆过程，这事实以往虽然也曾被少数人(如牛顿的老师巴罗)模糊地猜测到，但只有牛顿有足够的敏锐与能力将这种互逆关系作为一般规律明确揭示出来．不仅如此，牛顿在《流数简论》中还指出：“一旦(反微分)问题可解，许多问题也都将迎刃而解”．《流数简论》的其余部分就用大量篇幅讨论正、反微分运算的各种应用，处理了求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等共16类问题，展示了牛顿的算法的普遍性与系统性．

　　向不可分量观点的摇摆《流数简论》标志着系统的微积分算法的诞生，当然它在许多方面是不成熟的．在完成这部著作后，牛顿于1667年春返回剑桥，从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，《分析学》是这条道路上的第一个脚印．
　　1669年7月，正当巴罗考虑辞去卢卡斯教授职位之际，牛顿交给他一篇题为《用无限多项方程的分析学》(De Analysi per Ae－quationes Infinitas，简称《分析学》)的论文手稿．巴罗阅后立即函告当时皇家学会的数学顾问J．柯林斯(Collins)道：“此间一位朋友数日前交给我一篇文章，其中提出了计算量的幂次的方法，与N．墨卡托(Mercator)先生处理双曲线的方法相仿但却更为一般；……这位朋友是研究这方面问题的卓越天才．”几天后，巴罗便将这份手稿寄给了柯林斯，柯林斯复制的副本从此保存在皇家学会，但《分析学》直到1711年才正式发表．
　　《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作．1668年9月，苏格兰学者墨卡托发表了《对数技术》(Loga－rithmotechnia)一书，其中陈述了对数级数，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果．与此同时，牛顿在《分析学》中利用这些级数来计算面积、积分、流数以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数方法紧密结合的特点．
　　关于微积分本身，牛顿在《分析学》中不失时机地对自己的方法作了简短说明．论文一开始就叙述了计算曲线y＝f(x)下面积的法则．其
　　牛顿取x(而不是时间t)的无究小瞬o，并以x＋o代x，以z＋oy代z，则

　　用二项定理展开后，以o除方程两边，略去含o的项即得y＝axm/n．
　　了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理．
　　与1666年10月《流数简论》不同，牛顿在《分析学》中迴避了流数概念及其运动学背景．《分析学》使用的无穷小瞬o的概念在性质上是含糊的，牛顿有时直截了当地令其为零，因而带上了浓厚的不可分量色彩．
　　成熟的流数法 《分析学》是急就篇．两年后牛顿又写成了一部论述流数法的专著——《流数法与无穷级数》(The method offluxions and infinite series，简称《流数法》)．《流数法》可以看作是1666年10月《流数简论》的直接发展．牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对于以物体运动速度为原型的流数概念作了进一步提炼．正是在这部著作中，牛顿首次使用了“流数”(fluxion)这一术语．他后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释：
　　“我把时间看作是连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长．我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬．”(原始文献［9］，Vol．Ill，p．17．)
　　《流数论》以清楚的流数语言表述微积分的基本问题为：“已知流量间的关系，求流数关系”，以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”．与《流数简论》类似，牛顿从时间的无穷小瞬o出发来推导其流数算法．
　　流数语言的使用使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功．以极大、极小值的确定为例，牛顿借流数概念给出了下述法则：“一个量在取极大或极小值的一瞬，它既不向前也不向后流动；因为如果它向前流动或增加的话，那么它就比原来大，并将变得更大；反之，若它向后流动或减少的话，情况恰好相反．因此，(用前述方法)求出它的流数，并且令此流数等于零”，这相当于通过方程f′(x)＝0来求函数f(x)的极值点．
　　《流数法》虽脱稿于1671年，但直到1736年才正式发表，当时牛顿已经去世．该书原用拉丁文写成，第一版却是英文本，由J．科尔森(Colson)根据W．琼斯(Jones)的拉丁文抄本译出．需要指出的是，琼斯的抄本在符号上没有忠于原作．《流数论》拉丁文原稿中并未出现带点流数记号，而是仍以字母l，m，n，r等表示变量v，x，y，z等的流数．这种表述形式使流数方法不易被读者理解，故琼斯抄本便将原稿中所有表示流数的字母统统换成当时已广为使用的标准点记号了琼斯的做法，这酿成了后人以为牛顿本人在《流数法》中已引进标准流数记号的误解．
　　《曲线求积术》与首末比方法 无论是《分析学》还是《流数法》，都是以无穷小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：在《流数法》中变量x，y的瞬p×o，q×o随时间瞬o而连续变化，而在《分析学》中变量x，y的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无穷小微元．大约到80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出．首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》中公布，其详尽的分析表述则是在《曲线求积术》(De quadratura curvarum)中给出的．在牛顿所有的微积分论文中，《曲线求积术》写作最晚但发表最早．关于其具体撰写日期，过去一般认为是在1676年，现已弄清，牛顿是在1691年才写成这部著作，最初拟作为他的未完成著作《几何学》(Geometria)的第二卷，后来改变计划而作为《光学》的附录于1704年公诸于世．
　　《曲线求积术》可以看作是牛顿最成熟的微积分著述．在这里，牛顿迴避了无穷小量并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬o的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说，它们构成初生增量的最初比，但可用任何与之成比例的线段来表示．”接着牛顿借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．他举例说明自己的新方法如下：为了求y＝xn的流数，设x变为x＋o，xn为(x＋o)n＝

　　然后“设增量o消逝，它们的最终比就是1/nxn－1，”这也是x的流数与xn的流数之比．
　　这就是所谓“首末比方法”，它相当于求函数自变量与应变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．　　牛顿在《曲线求积术》中第一次引进了后来被普遍使用的流数记号：“用字母x，y，x，v表示不定量，并用带点的同样字母或变化率，可称之为相同量z，y，x，v的二次流数，并记作量著名的记法曾于1693年首先公布在沃利斯的《代数学》(De algebra tractatus)新版本中．
　　《原理》与微积分牛顿微积分方法的第一次公开表述，出现在1687年《自然哲学的数学原理》之中．
　　《原理》中并没有明显的分析形式的微积分运算．整部著作是以综合几何的语言写成．但牛顿在第一卷第一章开头部分通过一组引理(共11条)建立了“首末比方法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中“首末比方法”本身亦强烈地诉诸几何直观．

　　第一卷引理Ⅰ“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终亦变为相等”，可以看作是初步的极限定义．在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积：如图2，在曲线acE与直线Aa，AE围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab，Bc，Cd，…，同时作矩形aKbl，bLcm，cMdn，…．牛顿首先设所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时，……内接形AKbLcMdD、外接形AalbmcndoE与曲线形AabcdE相互的最终比是等量比．”然后指出当矩形之宽互不相等(如图设最大宽度为AF)但都无限缩小时，上述最终比仍是等量之比．牛顿还而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”，等等．
　　牛顿在第一卷第一章评注中说他“提出这些引理作为前提，以避免古代几何学家所使用的烦琐的归谬法”．另一方面牛顿又阐明了首末比法与不可分量法的区别：虽然“此处所做的事情与用不可分量法所做的一样，但现在这些原理是经过证明的，我们可以更放心地使用它们．所以，如果我偶尔将量看作由许多微小元素组成，或是用微小的曲线来代替直线的话，我的意思不是指不可分量，而是指消逝的可分量；不是指确定部分的和与比，而是指和与比的极限”．
　　牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评，并意识到争论的焦点将在于“最终比”概念．为了答复这类批评，他在前述引理的评注中对于什么是“最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量的比所趋向的极限．它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它．”
　　尽管《原理》表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向，但并不意味着牛顿已完全摒弃无穷小观点．在第二卷第二章中，人们可以看到无穷小瞬方法的陈述．该章引理Ⅱ指出：“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各边的瞬乘以这些边的幂指数及系数并逐项相加．”此处所谓“生成量”，即雏形的函数概念．牛顿说明这类量的例子有“积、商、根……”等，并把它们看成是“变化的和不定的”；生成量的瞬则是指函数的微分．因此，上述引理实际上相当于一些微分运算法则．例如，牛顿分别以a，b，c，…表示任意量 A， B， C，…的瞬，他
　
早年一般流数法的基础．
　　《原理》在创导首末比方法的同时保留了无穷小瞬，而其中对“瞬”概念的解释所使用的语言仍然是含混的——牛顿说：“有限元素不是瞬，而是瞬所生成的量．我们应把它们想象成有限量的初生元．”牛顿的这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议．实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机还远不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同的解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度．
　　《原理》将几何形式的微积分用于引力、流体阻力、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力，为微积分的应用开辟了广阔前景．牛顿在这样做时实际上获得了一些微分方程的解，后来有一批数学家致力于将牛顿的动力学工作翻译成分析的形式，推动了18世纪常微分方程的研究．牛顿本人在个别场合也曾以分析形式处理过若干微分方程．
　　优先权争论在微积分的发明上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉．莱布尼茨从1684年开始发表微积分论文．当牛顿1687年在《原理》中首次公布流数方法时，曾加有这样一段评注：
　　“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值与极小值、作切线及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，……这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法写给我看了．他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别．”
　　然而在1726年《原理》第3版中，牛顿却删去了这段文字，原因是其间他与莱布尼茨关于优先权问题发生了争执．争端最先是由瑞士数学家 N．法蒂奥·德迪勒(Fatio de Duillier) 1699年寄给皇家学会的一本小册子引起的，其中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”“曾从牛顿那里有所借鉴”．莱布尼茨对此作了反驳，并在1705年为《教师学报》(Acta erudi－torum)所写对牛顿《光学》的匿名评论中含蓄地批评牛顿在《曲线求积术》中“用流数偷换莱布尼茨的微分”．随着争论的展开，皇家学会遂于1712年指定一个专门的委员会进行调查，并于翌年初公布了著名的《通报》(Commercium Epistolicum)．《通报》宣布“确认牛顿为第一发明人”，并说“那些将第一发明人的荣誉归于莱布尼茨先生的人，他们对他与柯林斯和奥尔登堡先生之间的通信一无所知”．直到最近才弄清，这份《通报》完全是牛顿本人的手笔．鉴于委员会主要是由牛顿的朋友E．哈雷、W．琼斯、B．泰勒(Taylor)和A．棣莫弗(De Moiver)等人组成，莱布尼茨向皇家学会申诉了调查对他“不公”．作为回答，他于同年7月起草、散发了一份《快报》(Charta Volans，牛顿讥之为“飞页”)，气愤地指责牛顿“想独占全部功劳”．《快报》还引用一位“领头数学家”的判断说牛顿70年代所发明的只是无穷级数而不是流数法．所谓“领头数学家”指的是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)，他是追随莱布尼茨卷入争论的欧陆国家数学家的主要代表．当相互指控越演越烈时，一些中立的学者试图进行调解．据牛顿本人称：汉诺威选侯(后英王乔治一世)访问英国时，莱布尼茨的一些朋友想充当和事佬，但“他们未能使我屈服”．莱布尼茨1716年去世后，由于法国数学物理学家P．瓦里克农(Varignon)再三斡旋，伯努利首先表示愿意和解，年迈的牛顿此时对争论亦已感到厌倦，终于在1722年重印《通报》的最后关头发出了停战信号：他听从瓦里克农的劝告删去了伯努利的名字和一些过激言辞．这场延续了20余年的优先权之争虽然从此逐渐平息，但对18世纪英国与欧陆国家数学发展上的分道扬镳产生了消极的影响．
　　莱布尼茨1676年10月访问伦敦期间，曾在皇家学会借阅了牛顿《分析学》手稿抄本并作了摘录．这成为他涉嫌剽窃的主要事实．但从后来公布的莱布尼茨笔记本获知，莱布尼茨当时仅摘录到有关级数的部分．他也不可能从牛顿在《原理》评注中提到的《后信》中了解流数法的奥秘，因为牛顿在信中只以字谜形式隐述了流数法的基本问题．而在1693年10月牛顿致函莱布尼茨向他揭露谜底以前，后者始终不解其云．现有充分的资料证实：牛顿和莱布尼茨是各自独立完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿先于莱布尼茨，但就发表而言，莱布尼茨则早于牛顿．值得补充的是，尽管发生了纠纷，两位学者从未怀疑过对方的科学才能．有一则记载说，1701年，在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王后问到对牛顿的评价时，莱布尼茨回答道：“纵观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作．”
　　《普遍算术》与代数 1683年秋，牛顿将自己的卢卡斯代数讲义存入了剑桥大学图书馆．牛顿原打算随即加以修改、发表，但1684年夏哈雷的访问打断了这一计划，其后牛顿便将主要精力投入《原理》的写作．直到1707年，牛顿的代数讲义才经他本人同意由W．惠斯顿整理出版，定名《普遍算术》(Arithmeticauniversalis)．《普遍算术》初版(拉丁文)含有许多错误，牛顿本人颇不满意，遂亲加校订并于1722年出版了修订本．
　　《普遍算术》主要讨论代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用．书中首先陈述了代数基本概念与基本运算，接着便用大量实例显示了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行深入探讨，引出了方程论方面的丰富结果．
　　像A．吉拉尔(Girard)和笛卡儿等人一样，牛顿未加证明地叙述了代数基本定理．但《普遍算术》对于虚根(牛顿称之为“不可能根”)的出现却作了更深入的考察，这使牛顿在许多场合能走得比前人远．
　　G．卡尔达诺(Cardano)曾猜测代数方程的虚根必然成对出现，牛顿则是第一个对此事作出明确论证的人．牛顿在《普遍算术》中使用了连续性原理，来说明两个互不相等的根如何连续变化为相等根然后又变为虚根．他通过几何实例来解释自己的论证：设圆CDEF与椭圆ACBF相交于点C，D，E，F (图3)，由交点向已知直线AB引垂线CG，DH，EI，FK，若通过求任一垂线之长得到一方程，则在圆与椭圆相交的四点，该方程应有四个实根(即四条垂线之长)．但若圆心保持不动而圆径逐渐缩减，当点E与F趋于重合时，圆与椭圆变为相切，则表示现已重合的垂线EI和FK的两根亦将变为相等．若圆进一步缩小而不再在点E/F处与椭圆接触，而仅在另二点C、D处与其相交，那么四根中表示现已变得不可能的垂线EI和FK的那两个根亦将相应地成为不可能．牛顿将这种例证推而广之，指出“在所有方程中，通过这样地增加或减小它们的项，两不相等根起先趋于相等，然后变成不可能．结果是：不可能根的数目将永远是偶数”．

　　牛顿对笛卡儿符号法则的推广亦在于对虚根情形的分析．笛卡儿法则是说：一方程正根最多个数等于系数变号的次数，负根最多个数则等于两个+号或两个-号连续出现的次数．正如牛顿指出的那样，若方程有虚根，则上述法则既不能给出真正的正、负根个数，也不能给出虚根的实际个数．于是牛顿便在《普遍算术》中提出了他自己的改进法则．
　　牛顿的法则由两部分组成．第一部分用来确定虚根个数，即所谓“不完全法则”(imcomplete rule)：将其中每项分数除以前项分数，所得分数置于方程中间各项上方，若一中间项平方与其上方分数的乘积大于左右二项之积，就在该项下方记以+号，否则记以-号，同时在首项与末项下方皆记以+号，那么虚根个数恰等于下方所记符号变号的次数．例如方程

x3+px2+3p2x-q=0，

　　按上述法则操作得：

x3+px2+3p2x-q=0

+ - + +

　　下标的符号序列+，-，＋，+中包含两次变号，故方程有二个虚根．
　　牛顿法则的第二部分即所谓“完全法则(complete rule)，可借以进一步确定方程正负根的个数．根据笛卡儿法则可以判别方程正根的最多个数．牛顿认为这中间可能“隐藏”着虚根，并称其为“不可能正根”．同样地可以定义“不可能负根”．牛顿完全法则是说：在“不完全法则”中得到的方程下标符号序列中，考察变号上方诸项的符号，不可能正根的个数恰等于这些项本身的变化次数，而不可能负根的个数则等于不变号的次数．例如方程：

x5-4x4+4x3-2x2-5x-4=0

+ + - + + +

　　按“不完全法则”操作得到的下标符号序列中变号者为+，-，＋，这说明有两个不可能根，而上方诸项-4x4+4x3-2x2变号二次，标志着二个不可能正根．但因方程本身各项系数符号序列+，-，＋，-，-，-中共有三次变号，故最多正根个数为3，其中“隐藏”两个不可能根，结果方程计有一个真正的正根，二个负根和二个虚根．
　　根据现存的牛顿手稿可知，牛顿早在1665—1666年间就已发现了他的符号法则．牛顿法则的证明相当困难，直到1865年才由J．西尔维斯特(Sylvester)给出第一个严格的证明(西尔维斯特证明了包含牛顿法则为特例的更普遍的定理)．
　　《普遍算术》中有关方程论最突出的贡献或许是表述方程根与系数关系的幂和公式，这公式现以牛顿的名字命名，它为代数方程根的对称函数理论奠定了基础．对于方程

a0xn+a1xn-1＋a2xn-2＋…+an-1x＋an＝0，

　　作n个根x1，x2，…，xn的i次幂和Si=xi 1 ＋…+xi n (i=1，2，…，n)，牛顿公式相当于
　　a0S1＋a1=0，
　　a0S2＋a1S1+2a2=0，
　　………
　　a0Sn+a1Sn-1＋a2Sn-2+…＋nan=0．
　　牛顿在《普遍算术》中运用上述公式来推算方程的根限．他给出的法则中最重要的一条可用现代语言表述如下：若有方程

f(z)=a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an=0(a0＞0)，

　　则每一个使f(z)及导数f′(z)，f″(z)，…，fn-1(z)皆为正的数z=L必为f(z)=0的正根的上限．类似地可以求出方程负根的下限，牛顿进而讨论了如何通过这些根限公式去逼近方程的数值根．
　　《普遍算术》对于代数本身的见解也有重要的意义．牛顿在前言中写道：“人们或者像在通常算术中那样用数字进行计算，或者像分析数学家习惯的那样借助普遍变量(species，直译“类”)来进行计算．这两种运算都依赖于同样的基础并服务于同样的目标，算术采用确定的和特殊的方法，而代数则采用不定的和普遍的方法，以致由这种运算得到的所有结论几乎都可以称作为定理．”在这里，牛顿像F．韦达一样将代数看作是“变量算术”(Arithme-tica specisa)，而将通常算术看作是“数字算术”，但他在代数中更加自由地运用变量，并主张代数与算术相互结合而形成数学的基础：“在算术中，问题的解决是从已知量出发逐步推算出未知量．代数却相反，把未知量当作已知量，并由之出发去反推已知量，好象这些已知量是要求的量，最终通过某种方式达到某种结论—也就是说某个方程，而从这方程则可解出真正的未知量．这正是代数的优越性．运用这种技巧，一些极困难的问题可以迎刃而解，而这些问题的解决单靠算术是无济于事的．不过，算术运算对代数来说又必不可少．二者似应相互结合而形成统一的完善的计算科学”——这就是牛顿“普遍算术”的真谛．牛顿的观点在当时英国反响不大，却很快吸引了欧洲大陆数学家的注意(这同微积分情形形成对照)．1707年11月间约翰·伯努利致函莱伯尼兹说他“正急切地盼望能读到一本书，…此书篇幅不大，但却大大胜过了法国出版的同类巨卷著作”．伯努利指的就是刚出版的《普遍算术》．《普遍算术》后来成为发行最多的牛顿数学著作，对于18世纪数学中代数与分析方法优势的确立颇有影响．
　　几何研究 牛顿对解析几何与综合几何两方面都有贡献．
　　1664年秋，牛顿在学习掌握笛卡儿《几何学》时，即已面临大多数同时代数学家所关心的问题：描绘大量尚属未知的曲线并研究它们的性质．这方面的探讨导致了他在解析几何领域最重要的工作．
　　自阿波罗尼奥斯(Apollonious)时代起，希腊数学家已对圆锥曲线作了透彻的研究，笛卡儿在《几何学》卷2中将希腊人的综合工作翻译成了解析语言．然而对于高次曲线，无论古希腊人还是笛卡儿却都知之不多．希腊人将所有高于二次的曲线统称为“线性曲线”(linear line)，对此他们只给出了个别实例如蚌线(conchoid)、蔓叶线(cissoid)．笛卡儿向他的同时代人展示了三叉线(trident)和叶形线(folium)，其后数十年间，数学家们新认识的三次曲线总共只增添了二种，即沃利斯的立方抛物线与W．尼尔(Neile)的半立方抛物线．在牛顿之前，也没有人能够像把非退化二次曲线分成椭圆、双曲线与抛物线那样对三次曲线分类．牛顿从1664年起试图追随笛卡儿按方程次数对曲线分类的思路来解决这一课题．1667—1668年和1678—1679年间，他又两度回到高次曲线的研究并获重大进展．但如其一贯所为，牛顿迟疑于结果的发表，直到1695年，他才将以前的结果总结成专论《三次曲线枚举》(Enumeratio linearum tertii ordinis)并作为《光学》的附录发表(1704)．
　　《三次曲线枚举》首先根据平面曲线与直线相交所产生的交点数来定义曲线的阶，同时指出圆锥曲线的许多概念与性质可以被推广至高次曲线．例如牛顿提出了适合高次曲线的一般直径理论(在这理论中n次曲线的直径被定义为该曲线与一平行直线簇中每一条的n个交点的重心轨迹)和一般渐近线理论等．《三次曲线枚举》的这个引论部分以著名的“牛顿定理”为高潮，牛顿定理相当于说：平面上的点关于一三次曲线的三个纵坐标之积与相应的三横坐标之积保持常数比．
　　在上述一般性讨论之后，牛顿便转向其理论的精粹——三次曲线分类．他注意到任一三次曲线至少有一个实渐近方向，取与此方向平行的直线为坐标轴之一，牛顿导出了三次曲线方程的四类基本形式：
　　(i)xy2＋ey=ax3＋bx2+cx＋d，
　　(ii)xy=ax3＋bx2＋cx＋d，
　　(iii)y2=ax3＋bx2+cx+d，
　　(iv)y=ax3＋bx2＋cx＋d．
　　它们分别相应于一般立方双曲线、笛卡儿三叉线、发散抛物线(牛顿用语)和立方抛物线．牛顿并未证明这四类方程穷举了一切可能(1729年法国数学家F．尼科尔(Nicole)证明了这一点)．对第(i)和第(iii)类情形牛顿又区分出许多子类，结果他总共列举了72种三次曲线．对此后来J．斯特林(Stirling，1717)、G．克莱姆(Cramer，1746)等人又追加了6种．数学家们还发现了其他不同的对高次曲线分类的原则．
　　除了分类，牛顿在《三次曲线枚举》中还将圆锥曲线的射影定义推广到高次曲线．他大胆地指出：“正像所有的圆锥曲线都可看作是圆的投影一样，所有的三次曲线都可以看作是五种发散抛物线(即由方程y2=ax3＋bx2＋cx+d确定的曲线)的投影．”这个重要的事实到1731年才由A-C．克莱罗(Clairaut)严格证明．
　　《三次曲线枚举》是解析几何发展新的一页．以往只了解少数特例的三次曲线，现在可以从整体上进行分类并考察其性质，这激发了包括克莱姆、欧拉直到19世纪的J．普吕克(Plücker)等人对高次代数曲线的系统研究．

　　牛顿关于解析几何的工作在他的《流数法》一书中也有大量记述(该书拉丁文本最初甚至用名《解析几何》)，其中最重要的是各种坐标系的采用．牛顿在用流数法计算切线问题时指出：“作切线可用不同的方法，这取决于曲线与直线的不同关系”，他所说的“曲线与直线的不同关系”，意味着不同的坐标系．事实上，牛顿在《流数法》中引进了9种不同的表示曲线上任意点D的坐标“模式”(mode)，其中“模式3”与“模式7”分别为双极坐标系与一般极坐标系．以一般极坐标为例，牛顿是在求作所谓“机械曲线”(mechanical curve，即超越曲线)的切AG为半径的圆弧，牛顿将曲线ADE看作是当AG绕中心A旋转时其上方f(x，y)=0确定，于是可用流数法求出x与y的流数关系并据以确定切线DT的位置(实际上，借助一些初等几何的推导，牛顿获得流

由此可确定Gt，而切线DT∥Gt)．很清楚，这
角与矢径．他还以极坐标形式给出了阿基米德螺线和费马螺线的方程：
的创始人．极坐标后又为雅各·伯努利(Jakob Bernoulli)独立引进(1691)．
　　牛顿对古典几何的研究则开始较晚．在70年代后期，牛顿表现出探索古希腊几何宝库的巨大热情．这方面的具体背景尚待探明，D．怀特赛德(Whiteside)认为主要是受到笛卡儿《几何学》中关于帕普斯问题的论述(牛顿在准备卢卡斯代数讲义过程中又重研了笛卡儿《几何学》)以及费马对两部失传希腊几何著作—阿波罗尼奥斯《平面迹线》(Plane loci)和欧几里得《衍论》(Porisms)的考证论文(1679)的激励．这导致了牛顿古典几何研究的高产时期(特别是1678—1679年间)．从现存牛顿手稿看，这一时期最有代表性的作品是《古代立体轨迹问题求解》(Solutio problem atisveterum de loco solido，以下简称《立体轨迹》)．
　　《立体轨迹》是一篇由13个命题组成的短论，其中心结果是关于帕普斯问题的解答．所谓帕普斯问题是说：
　　已知三［或四］条直线，求一点之轨迹，使由该点向这些直线所引与其成已知交角(不同直线可有不同交角)的三［或四］线段中，二线段之乘积与另一线段之平方[或另二线段之乘积]成定比．此轨迹习称三
　　交比P(ACDB)．)
　　帕普斯和阿波罗尼奥斯都已猜测到三-四线轨迹为圆锥曲线，但未能作出证明．笛卡儿在《几何学》中用解析方法证实了希腊人的猜测，而牛顿《立体轨迹》则在历史上第一次用综合法确立了三-四线轨迹与圆锥曲线的等价性(命题1，2)．利用此种等价性，牛顿以全新的本质上是射影的方式重新定义圆锥曲线．《立体轨迹》命题5证明了：圆锥曲线上四点A，B，C，P，过P作PQ∥AC，PS∥AB且分别交AB，AC于Q，S，若对曲线上任何第五点D，连接DB，DC分别交PQ，PS于R，T，则PR与PT之比恒为常数．反之，若PR与PT成定比，则点D必落在过A，B，C，P之圆锥曲线上(图6)．不难看出，这相当于将圆锥曲线定义为两个分别会聚于确定极B与C的线束B(D)与C(D)的交点D的轨迹，而线束B(D)，C(D)通过某作平行移动的直线(l)与已知角UPQ两边相交所得的点偶(R，T)．对此，《立体轨迹》命题12又作了基本的推广：一轨迹线是圆锥曲线，当且仅当它能作为二线束(分别具有确定极)的交点集画出，这二线束可通过某种“单几何”(simple geometry)来相互确定．牛顿所谓的“单几何”，实质是点集与点集、点集与线集之间的一一对应．《立体轨迹》的其他一些命题用相当篇幅讨论了这种一一对应理论．牛顿后来对高次曲线的射影分类即以此为基础．他将那些可在射影下相互交换的图形看成一类，并提供了相应的作图技巧(这方面的内容后构成《原理》中专门的一节——第一卷引理XXII“将图形变换成同类的其他图形”)．

　　牛顿的上述工作超越了他的时代，预示着19世纪以J．V．彭斯列(Poncelet)、J．施泰纳(Steiner)和M．沙勒(Chasles)等为代表的综合射影几何的复兴．牛顿本人并未意识到这一点，他像大多数前辈一样将自己所获得的结果纳入欧几里得几何的框架．《立体轨迹》并未正式发表，但其中绝大部分命题后来都被载入《原理》(第一卷第五章“论焦点均未知时求轨道之法”)．《原理》还包括了牛顿关于古典几何的其他许多优美的定理．这些纯几何的结果成为《原理》数学论证的基础．
　　90年代初，牛顿曾想集一生几何研究之大成而编纂三卷本专著《几何学》(Geometria)，整个计划未能实现，但一、二卷有手稿留下．牛顿无疑是一位几何学大师，在这方面，相对于其他领域而言，人们对他的工作了解尚不充分．
　　数值分析、概率论、挑战问题 除了微积分、代数与几何以外，牛顿的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多的领域．
　　现今任何一本数值分析教程都不能不提到牛顿的名字——牛顿-高斯公式、牛顿-斯特林公式、牛顿-拉弗森公式……，这反映了牛顿对该领域广泛而卓越的贡献．
　　牛顿的插值法研究有两个来源．第一个来源是追随沃利斯《无穷算术》寻求内插求积公式的努力，如前所述这导致了二项定理的发现．第二个来源是函数表的计算，这把他引向了有限差分插值理论．
　　由于实际需要，17世纪的数学家们热衷于各种函数表的编制．他们遇到的一个典型问题是如何根据函数二已知值来计算中间值，即插值．1675年春，一位叫J．史密斯(Smith)的学者致函牛顿求教自然数1—10000的平方根、立方根及四次方根表的编算，激起了牛顿对此问题的兴趣．他在给史密斯的复信(1675．5．8)中制定了一种计算开方根表的方案：先算出每组100个根

(100p)1/k，1≤p≤100(k=2，3，4)，

　　然后利用一、二、三次调整差分算出每二个值之间的其他99个值．在其后撰写的两份手稿中，牛顿提出了一系列差分插值公式．这两份手稿是：《差分法则》(Regula differentiarum)和《差分方法》．(Methodus differentialis)初稿．据D．怀特赛德考均完成于1676年左右．
　　在《差分法则》中，牛顿重新发现了所谓布里格斯(Briggs，1624)关系即等间距向前差分公式，并将其推广到了不等间距情形．牛顿的推导是以“调整差”(adjusted differences)为基础．如图7所示，对插值结点A，B，C，D，E，F，G，…，牛顿作下列量：　　
　　

　　(式中以A，B，C，D，…代替相应纵坐标p，q，r，s，…)．此即n次调整差的递推定义，用现代记号表示为：
　　
　　
　　于是可知f(x)之n阶调整差为常数．牛顿接下去的做法相当于从n阶调整差出发逆推，逐项展开差分而得：

(x-xn)△n(x0，x1，…xn)+…．

　　这就是调整差形式的牛顿一般插值公式，其等间距情形有时又称牛顿-格雷戈里(Gregory)公式(J．格雷戈里1670年曾独立发现)．
　　在《差分方法》初稿中，牛顿则建立了中心差分公式．他首先讨论了两种等间距情形．
　　情形1．奇数插值点．牛顿导出的公式相当于：

(δα0，α=1，2，…表中心差分)．

extras · 发表于 23.4.2010 22:37:41

此式后为J．斯特林重新获得(1719)，故又名牛顿-斯特林公式．
　　情形2．偶数插值点．导出的公式相当于：
　　

　　现以牛顿-贝赛尔(Bessel)公式著称，R．科茨(Cotes)1708年也独立发现此式．
　　《差分方法》初稿接着便将上述中心差分公式推广到不等间距情形．值得注意的是，牛顿在《差分方法》初稿中放弃调整差而定义了均差(divided difference)：

　　在此后的有关著述中，牛顿便一概使用均差语言．
　　根据《差分法则》与《差分方法》初稿的内容，如果说牛顿在1676年左右已奠定了近代差分插值理论的基础，那并不夸张．但这两份手稿当时都没有发表．大约10年后，牛顿才在《原理》中首次将《差分法则》所获得的结果公诸于世．《原理》第三卷引理Ⅴ(“求作一抛物线使经过若干已知点”)以均差形式陈述了牛顿一般插值公式：

f(x)=f(x0)十(x-x0)f(x0，x1)＋(x-x0)(x-x1)

f(x0，x1，x2)+…＋(x-x0)(x-x1)…

(x-xn)f(x0，x1，…xn)十…．

　　牛顿唯一正式发表的关于差分插值法的系统论文《差分方法》，是以上述1676年初稿为基础修改而成．修改工作迟至1710年才进行，1711年与《分析学》等同时刊载于W．琼斯编辑的牛顿数学短篇论文集(原始文献［4］)．与初稿不同的是，正式发表的《差分方法》首先概要证明了牛顿一般插值公式，然后作为特例给出牛顿-斯特林公式和牛顿-贝塞尔公式．这体现了牛顿建立统一的差分插值理论的努力．牛顿早在《差分法则》中就表达过这种统一的意向，他在该文最后写道：“还可以提出其他这类法则，但我希望用一个一般的法则来概括所有这些公式．”
　　代数方程数值求解的迭代方法如今也以牛顿的名字命名．这方法最先在《原理》第一卷命题XXXI中作为解开普勒方程的工具正式公布，但早在1669年前已被发现．牛顿《分析学》中有一例三次方程y3-2y-5=0，牛顿的解法如下：首先观察得根的整数部分为2，作代换y=2＋p，获方程p3＋6p2＋10p—1=0，略去高次项得p≈0.1，再作代换p=0.1＋q，获方程

q3＋6.3q2＋11.23q+0.061=0，

　　略去高次项，得q≈-0.0054，继续此步骤至下一步q=-0.0054+r，求得r≈-0.00004853，此时y≈2.09455147(末位数应为8．牛顿后在《流数法》中作了更正)．容易看出，牛顿的解法相当于对方程f(x)=0给出迭代程序
　　Ei(=xi+1-xi)=-f(xi)/f′(xi) (i=1，2，…)，
　　其中xi为逐次近似根．牛顿的公式后被J．拉弗森(Raphson)在形式上加以改进并发表在《一般方程分析》(Analysis aequa-tionum universalis，1690)一书中，拉弗森的程序相当于

xi+1=xi-f(xi)/f′(xi)，

　　这就是所谓牛顿-拉弗森公式．
　　虽然牛顿并未留下任何概率论专作，但在他的许多著述中却不乏概率论的思想与方法．牛顿早期数学手稿中就有关于概率定义的讨论，特别是他1664—1666年间对惠更斯《赌博计算》(De-ratiociniis in ludo aleae)所作的一份注记中，已出现几何概率概念，牛顿写道：
　　“当机会之比…是无理数时，仍可用同样的方法计算期望值，设半径ab，ac，将水平圆面bcd分成abec和abdc两部分(如图8)，其面
　　我赢得a；若它落在另一部分，则赢得b，此时期望值等于
　　这说明牛顿引用了几何概率来处理机会的无理数比，可能是目前所了解的关于几何概率的最早记载．此外，牛顿在编年学研究(《古代王国修正编年》，Chronology of ancient kingdoms amen-ded， 1728)中借概率原理从考古数据来推断古代王朝年代，其方法触及大数律基础．在牛顿的天文和光学著作中，还有大量与误差理论有关的论述．牛顿在古典概率论方面的工作对同时代的棣莫弗和后来的拉普拉斯等人不无影响．

　　牛顿1696年到造币局任职后，基本上停止了创造性的数学研究活动．即使这样，他身上仍然闪耀着伟大数学家智慧的光华．牛顿晚年曾两次面对波及全欧的数学挑战．第一次是约翰·伯努利于1696年6月在《教师学报》(Acta eru-ditorum)上提出的．问题有两个，第一问题即最速降落线问题：求一曲线AEG使重物在自身重力作用下将沿此曲线由已知点A最速降落至点G．问题提出后半年仍未解决，伯努利遂于1697年元旦发表著名的“公告”(Programma)，再次向“全世界最能干的数学家”挑战．1月29日牛顿从造币局下班回到寓所，发现一封法国来信，转达了伯努利的挑战．牛顿利用晚饭后的时间一举解决了两个问题，并将结果写成短文匿名发表在《哲学汇刊》(Philosophical Transaction，1697，No．224)上．伯努利读后惊呼“从这锋利的爪我认出了雄狮”．对最速降落线问题牛顿从几何上解答为摆线．三年后他又给出一个分析证明．此证明记载在D．格雷戈里的回忆录中，如图设AB=x，BE=y，牛顿对无限小增量BC=CD=o考虑无限小降落E→N→G，他求出从E→N，从N→E的时间分别为：

　　其中2p=GL=2yo＋2yo2，q=FN，牛顿然后固定x，o，p而令q变动，寻求N在水平线FC上的位置使降落E→N→G所需时间(R＋S)最少，并给出了作为局部极小条件的流数方程．

　　牛顿对最速降落线问题的解答与伯势利、莱布尼茨和法蒂奥·德迪勒(Fatio De Duillier)等人的结果一起推动了变分法的早期发展．
　　另一次挑战涉及所谓“等交曲线”问题，即求一曲线(或曲线簇)与已知曲线簇相交成给定角．一个重要的特例是交角为直角的情形即“正交轨线”．这问题最先也是由约翰·伯努利提出．1715年莱布尼茨又重新提出来对准英国数学家主要是牛顿挑战．年逾古稀的牛顿也是用一个晚上作出了解答．这一次当伯努利看到《哲学汇刊》(1716)上刊出的匿名解答后却说“未见雄狮利爪”，他以为作者是泰勒．牛顿的解答是解的存在性，但除列举特例外，未能给出一般解．
　　数学方法 在数学方法上，牛顿的思想存在着不同的侧面，并且是随着他一生不同的时期而变化、发展．
　　在牛顿的早期数学研究中，演绎倾向显然无足轻重．牛顿发明微积分，主要是依靠了高度的归纳算法的能力，并没有多少综合几何背景．从现在仍保存在三一学院的牛顿大学时代读过的《几何原本》上可以看到他当时对该书的评语——trivial(平易无聊)，以致于他1664年参加津贴生考试(巴罗主考)时因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过．而几乎在同时他开始研究微积分问题，并且不到一年就做出了基本发现．牛顿后来对早年未学好欧氏几何颇感后悔，认为“不该先让自己致力于笛卡儿和其他代数学家的著作”，“欧几里得作为一个杰出的作家本来是应该首先受重视的”．对于数学史来说，幸运的是牛顿实际并没有像这样倒过来做，但上述自白反映了他思想上的转折．70年代以后，牛顿对演绎方法益趋重视，其结果如前所述，是他在古典几何领域的丰收和《原理》中演绎的力学体系．牛顿在《原理》第一版序言中赞美几何演绎的作用，认为“从极少数原理出发，而能推出如此丰富的结果，这正是几何学的光荣”．
　　牛顿在《原理》中不遗余力给微积分披上几何外衣，使流数术带上了僵硬呆板的弱点，在客观上阻碍了18世纪英国分析的发展．但这决不意味着牛顿主观上对分析方法有任何贬抑．相反，他在1704年《光学》中谈到分析方法时说：“在自然哲学中也像在数学中一样，对于困难事物的研究，总是首先使用分析方法，然后再用综合方法．”牛顿后来曾多次说明《原理》中命题的分析来源，特别是在他1710年代末撰写的《原理》新序言(手稿，未发表)中可以看到这样的典型论述：
　　“分析有助于发现真理，而发现的确定性则应通过综合证明来体现，…本着上述理由，我在《原理》中采用了综合方法去证明各卷中的命题，而这些命题原先是我通过分析途径发现的．…对于当今通晓代数的数学家来说，这种综合的论证方式确有令人不快之处，原因也许是太烦琐、太泥古了；或者因为它不能充分揭示发现的奥秘．当然，我也完全可以用分析方式来叙述那些本来就是通过分析发现的事实，而不必像现在这样绞尽脑汁．但本书是为那些对几何原理造诣颇深的学者而写，旨在奠定物理学的几何证明基础．”(原始文献［9］，Vol．VIII．)
　　考虑到牛顿早先的分析发现，似乎没有理由怀疑他的自述．况且除了几何模式，《原理》中确实有意保留了“分析方法的样板”，即第一卷命题XLV及第二卷命题X．牛顿还指出“通过对命
　　题综合证明的逆推，也可以对发现这些命题的分析方法有所了解”．
　　牛顿有时被认为“爱几何方法甚于纯分析方法”，他甚至说过“代数是数学愚人的分析学”(研究文献［3］)．另一方面，牛顿又常遭批评说他过分强调分析与归纳的作用．其实正如I．B．科恩(Cohen)所说，对牛顿的一些说法不能断章取义．牛顿的思想是复杂的，有时确实是矛盾的．但全面考察仍然可以找到主旋律．事实上，牛顿比他的任何同时代人都更加强调数学方法的“双重性”．他曾明确说过：“数学科学的方法是双重的，即综合与分析，或称合成与分解．”(原始文献[9]，Vol．VIII．)在《普遍算术》中他竭力提倡算术与代数“作为综合与分析”二者应“结合在一起研究”．而关于代数与几何，他的看法是：“这两门科学不应混淆．古人不遗余力地将它们截然分开，以致在几何中从未使用过算术名词．近人则相反，将二者混淆起来而丧失了体现几何美的简单性”，也就是说他既反对将代数与几何“混淆起来”，也反对二者的“截然分开”．认识分析与综合的区别，致力于二者的结合，这种双重方法也被牛顿推广于整个自然哲学而显示出巨大功效．诚如R．科茨(Cotes)在《原理》第二版序中指出的：“这是哲学探讨的无可比拟的最好方法，我们的著名作者(指牛顿)最先正确地掌握了这个方法，并且认为只有这个方法才值得他用他的卓越劳动去加以发扬光大．”
　　几乎所有的牛顿传记都把他描写成一个心不在焉、沉迷于科学研究的人．据他的助手回忆，牛顿忘记吃饭是常事．他的仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动．牛顿偶尔上食堂用餐，有时出门便陷入思考，兜个圈子又回到家里，竟把吃饭一事置之脑后．他不倦地工作，往往一天伏案写作18至19小时．当他在花园中散步，常会突然想起什么而急忙跑回书房往正在构思的论文上写下几行．在艰深的研究之后，他有时阅读或撰写一些较轻松的东西作为休息．W．惠威尔(Whewell)在《归纳科学史》(Hi-story of inductive sciences)中写道：“除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别．当有人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：‘老是想着它们’．另一次他宣称：如果他在科学上做了一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考，‘心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明’．”
　　牛顿总是谦逊地将自己的科学发现归功于前人的启导．他在谈到他的光学成就时曾说过这样的名言：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上”(1676．2．5致胡克的信)．临终前他对友人说：“我不知道世人将怎样看我．我自己认为我不过是一个在海边玩耍的小孩，偶然拣到一些比寻常更光滑的卵石或更美丽的贝壳并因此沾沾自喜．而在我面前，却仍然是一片浩瀚未知的真理的海洋．”
　　牛顿对于发表自己的科学著作极度谨慎．除了两篇光学论文外，牛顿绝大多数著作都是在朋友们再三敦促下才发表．这或许反映了他内心的矛盾：一方面为自己的科学发现感到骄傲，希望获得公众承认．另一方面又担心自己的思想超越大多数同时代人太远、惧怕批评而不愿发表结果．这种心理僵局导致他许多重要论著长年湮没无闻，同时也招来优先权的麻烦，成为他与莱布尼茨、R．胡克(Hooke)、J．弗拉姆斯提德(Flamsteed)等人一系列争端的部分缘由，而在这些争端中，牛顿有时表现出偏执、不公．
　　可能是因为早年经历所致，牛顿性格沉郁内向．但幸而这没有妨碍他后来在造币局与皇家学会的职位上显示出行政能力．牛顿不善于在公众场合表达自己的思想，但作为皇家学会会长，他却能赢得多数会员拥护，连选连任领导这个最高学术机构长达四分之一世纪．牛顿初任会长时，针对学会面临的学术与财政困难，制订了一份“皇家学会振兴计划”，计划将“自然哲学”分成五个主要领域——数学与力学；天文与光学；动物、解剖与生理学；植物学；化学．对每个领域指定一位公认的专家负责，主持每周的学术讨论．“计划”还声明皇家学会只任命在科学上有建树的人．在牛顿任职期间，皇家学会吸收了大批年轻有为的会员，其中包括C．麦克劳林(Maclaurin)、R．科茨、W．琼斯、H．彭伯顿(Pemberton)等，他们形成牛顿学派的中坚．牛顿推动理事会通过一项向会员捐款的规定，从而克服了学会的债务危机．牛顿是个一丝不苟的人，他甚至命令学会职员H．亨特(Hunt)守在大门前向会员募捐．也是在牛顿的奔波努力下，皇家学会在建院50年之际从破旧的格雷沙姆学院搬进了克兰大院(Crane Court)新址．牛顿始终如一认真对待皇家学会的工作．据学会记录，他出席了任职期间总共177次理事会中的167次，直到临终前不久还抱病在伦敦主持了一次会议．
　　牛顿一生过着近乎清教徒式的简朴生活，即使成为贵族后亦未变其本色．但他对于公益事业和亲友的困难，常能慷慨解囊．牛顿有许多亲戚，他们中几乎每个人都分享到他的慷慨．他的异父妹妹安娜丈夫去世后，牛顿为其三个孩子买了保险年金，并将外甥女凯瑟琳(Catherine Barton)接到伦敦居住、接受教育．格兰瑟姆的克拉克先生回忆说：有一次牛顿给了他一张数目可观的支票，作为他一位远房侄女的嫁妆，后来这位女士不幸守寡，牛顿还一直接济她和她母亲的生活．牛顿还经常向剑桥大学、皇家学会捐款．
　　牛顿待人接物带着一种自然的尊严和彬彬有礼，同时也富有人情．林肯郡的肖特(Short)先生说一次他“携全家到伦敦塔拜访依萨克爵士，并参观铸币，受到他盛情款待，每人获赠金质纪念章一枚以作纪念”．牛顿有时会出席亲友的婚礼，每当此种场合，他“通常拿出100英镑给新娘作贺礼”，并“一反平日的严肃，而显得轻松愉快、和蔼可亲”．
　　牛顿终身未娶．晚年由外甥女凯瑟琳协助管家．凯瑟琳教养有素，在伦敦社交界颇有名气．当年侨居英国的伏尔泰记道：“牛顿有一位非常迷人的外甥女，就是现在的康杜德夫人．她曾经征服了哈里发克斯大臣(即财政部长蒙塔古)．在这方面，如果没有一个漂亮的外甥女，流数术和万有引力也将无济于事．”伏尔泰与凯瑟琳本人有直接交往，后者曾亲口告诉他那个现已家喻户晓的苹果落地故事①．凯瑟琳的丈夫康杜德亦是牛顿的崇拜者，平时细心记录牛顿的言论、轶闻，牛顿有许多事迹即借以留传下来．对科学史来说尤为重要的是，在牛顿去世后，康杜德夫妇在亲属们围绕遗产的纠纷中不惜代价保全了牛顿的手稿．这些手稿后又传给了他们的后代朴茨茅斯(Portsmouth)伯爵家族，在汉普郡朴茨茅斯庄园沉睡了近一个世纪，直到1888年，朴茨茅斯家族将部分科学手稿赠送给剑桥大学，世称“朴茨茅斯手稿”．其余的手稿则于1936年在伦敦公开拍卖而分散到世界各地的图书馆与博物馆里．现存的牛顿手稿中，仅数学手稿(不包括《原理》)就有5000多页，最近已全部整理、注译出版(原始文献［9］)．它们是牛顿数学思维的伟大记录，正如A．爱因斯坦(Einstein)在纪念这位科学巨匠诞生300周年时所评价的那样：“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历好多个世纪而继续发出光和热．”

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傅里叶

　

　　傅里叶，J．B．J．(Fourier，Jean Baptiste Joseph)1768年3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎．数学、物理学．
　　傅里叶出身平民，父亲是位裁缝．9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好．他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭到拒绝．后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究．可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教．
　　在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱．出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象．1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教，协助J．L．拉格朗日(Lagrange)和G．蒙日(Monge)从事数学教学．这一年他还讽刺性地被当作罗伯斯庇尔(Robespierre)的支持者而被捕，经同事营救获释．1898年，蒙日选派他跟随拿破仑(Napoleon)远征埃及．在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动，但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究．
　　1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学校，但因拿破仑赏识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员．由于政声卓著，1808年拿破仑又授予他男爵称号．此后几经宦海浮沉，1815年，傅里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究．但是，失业、贫困以及政治名声的落潮，这时的傅里叶处于一生中最艰难的时期．由于得到昔日同事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究．
　　1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员．初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十八所拒．后来，事情澄清，于1817年就职科学院，其声誉又随之迅速上升．他的任职得到了当时年事已高的 P．S．M．de 拉普拉斯(Laplace)的支持，却不断受到 S．D．泊松(Poisson)的反对．1822年，他被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职位．1827年，他又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员．
　　傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他们的忠诚爱戴，并成为他们的至交好友．在他帮助过的科学家中，有知名的 H．C．奥斯特(Oersted)、P．G．狄利克雷(Dirichlet)、N．H．阿贝尔(Abel)和 J．C．F．斯图姆(Sturm)等人．有一件令人遗憾的事，就是傅里叶收到．伽罗瓦(Galois)的关于群论的论文时，他已病情严重而未阅，以致论文手稿失去下落．
　　傅里叶去世后，在他的家乡为他树立了一座青铜塑像．20世纪以后，还以他的名字命名了一所学校，以示人们对他的尊敬和纪念．
　　傅里叶的科学成就主要在于他对热传导问题的研究，以及他为推进这一方面的研究所引入的数学方法．早在远征埃及时，他就对热传导问题产生了浓厚的兴趣，不过主要的研究工作是在格勒诺布尔任职期间进行的．1807年，他向科学院呈交了一篇很长的论文，题为“热的传播”(Mémoire sur la propagation de la chaleur)，内容是关于不连结的物质和特殊形状的连续体(矩形的、环状的、球状的、柱状的、棱柱形的)中的热扩散(即热传导，笔者注)问题．其基本方程是

　　这是三维情形．
　　在论文的审阅人中，拉普拉斯、蒙日和 S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)都是赞成接受这篇论文的．但是遭到了拉格朗日的强烈反对，因为文中所用如下的三角级数(后来被称为傅里叶级数)

　　表示某些物体的初温分布与拉格朗日自己在19世纪50年代处理弦振动问题时对三角级数的否定相矛盾．于是，这篇文章为此而未能发表．不过，在审查委员会给傅里叶的回信中，还是鼓励他继续钻研，并将研究结果严密化．
　　为了推动对热扩散问题的研究，科学院于1810年悬赏征求论文．傅里叶呈交了一篇对其1807年的文章加以修改的论文，题目是“热在固体中的运动理论”(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，文中增加了在无穷大物体中热扩散的新分析．但是在这一情形中，傅里叶原来所用的三角级数因具有周期性而不能应用．于是，傅里叶代之以如下的积分形式(后来被称为傅里叶积分)：

　　这篇论文在竞争中获胜，傅立叶曾获得科学院颁发的奖金．但是评委——可能是由于拉格朗日的坚持——仍从文章的严格性和普遍性上给予了批评，以致这篇论文又未能正式发表、傅里叶认为这是一种无理的非难，他决心将这篇论文的数学部分扩充成为一本书．他终于完成了这部书：《热的解析理论》(Théorie anatylique de la chaleur)，于1822年出版．他原来还计划将论文的物理部分也扩充成一本书，名为《热的物理理论》(Théorie physiquede la chaleur)．可惜这个愿望未能实现，虽然处理热的物理方面的问题也是他的得奖论文中的重要内容，而且在他的晚年的研究工作中甚至是更重要的内容．
　　《热的解析理论》，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过的重要历史文献，在数学史，乃至科学史上公认是一部划时代的经典性著作．然而，对于傅里叶在数学上和数学物理上工作的具体评价，历来众说纷坛．有些人只注意了傅里叶级数和傅里叶积分本身的推导，从非时代的严格性标准来要求他．实际上，要全面地理解傅里叶的成就，还应该注意到以下两个方面：一是他把物理问题表述为线性偏微分方程的边值问题来处理．这一点，连同他在单位和量纲方面的工作，使分析力学超出了I．牛顿(Newton)在《原理》(Principia)中所规定的范畴．二是他所发明的解方程的强有力的数学工具产生了一系列派生学科，在数学分析中提出了许多研究课题，极大地推动了19世纪及以后的数学领域中的第一流的工作，并且开拓了一些新的领域(见后文)．况且，傅里叶的理论和方法几乎渗透到近代物理的所有部门．
　　傅里叶在《热的解析理论》这部基本著作中，写进了他的差不多所有有关的工作，而且在此书的各个版本中几乎丝毫未加更动．因此，把这些内容与其他没有发表的、为人引述的、散见于各处的资料联系贯串起来，就可以切实地概现他的全部研究成果，以及他表述和处理问题的风格．同时，通过这些材料，也可以看出，在某些关键之处，傅里叶未能克服的困难和他失败的原因．
　　傅里叶在热的分析理论方面的第一件工作中，采用了这样的模型：热是由分立粒子间的穿梭机制传送的，其物理理论是简单的混合过程，所用数学属于18世纪50年代．在他所从事研究的问题中，其一是关于排列在一圆环上的n个粒子．他获得在n为有限的情形下的完全解．他想把结果推广到连续的情形，未能成功，因为当n无限增大时，指数上的时间常数趋于零，从而使所得的解与时间无关．后来他才明白应如何修正他的传输模型以避免这一反常的结果．此外，在他集中注意于完全解及其困难时，他未能意识到，当t=0时，他的解给出一个内推公式，可用以得到连续情形下的傅氏级数．(拉格朗日前此之所以未能发现傅氏级数也可类似地来解释，而并非象通常所认为的那佯，是由于顾虑到严格性所致．)
　　傅里叶成功地建立的热传导方程可能是得益于 J．B．毕奥(Biot)早先关于金属条中的稳定温度的工作，毕奥区分了体内传导和体外辐射．但是毕奥的分析，由于用了一个错误的物理导热模型而导出一不正确的方程．傅里叶则因构建了较好的物理模型而克服了困难，容易地获得一、二维情形下充分显示与时间的关系的类似于(1)这一型的方程．
　　傅里叶的杰作是选择这样一种情形的问题来应用他的方程的，即一条半无穷的带，一端是较热的均匀温度，沿其边则是较冷的均匀温度；具有极其简单的、导源于伯努利兄弟(Bernoullis)和L．欧拉(Euler)的分析力学传统中的物理意义．稳定情形无非就是笛卡儿坐标下的拉普拉斯方程．傅里叶可能试用过复变函数方法(这样的解见于他的《热的解析理论》一书)．但其后就用分离变数法得到了级数解和以下边界条件的方程

　　用无穷矩阵的方法来求方程(4)的解，并将它推广到任意函数f(x)，这一工作曾屡次遭受评议．但不应忘记，这一工作是在柯西-魏尔斯特拉斯(Cauchy-Weierstrass)的正统理论建立之前几十年做的．傅里叶不是一个头脑简单的形式主义者；他精于处理有关“收敛”的问题，在他讨论锯齿形函数的级数表示时就显示出了这种能力．有关傅里叶级数的收敛性的几种基本证明，例如狄利克雷的证明，其主要思想均可在傅里叶的著作中找到．而且，比任何人更早，他已看到，在计算傅氏级数的系数时，对一给定的三角级数逐项积分，是不能保证其正确性的．
　　傅里叶的三角级数展开的使人震惊之处在于，他示明一种似乎是矛盾的性质：在一有限区间内，完全不同的代数式之间的相等性．对于很广泛的一类函数中的任何一个函数，都可以相应地造出一个三角级数，它在指定的区间内具有与这函数相同的值．他用例子说明，那给定的函数甚至可以在基本区间内分段有不同的代数表示式．虽然三角级数展开和任意函数两者都曾为其他人(包括泊松)用过，但前者只限于有关周期现象的问题，而后者，当作为偏微分方程的解出现时，由于其性质，是假定不可能用代数式表示的．
　　关于傅里叶这一首次成功的研究结果的早期记载，说明了这个结果的生命力和他本人对此成果的惊异．在他的工作中，有受到蒙日影响的痕迹，如用曲面表示解，以及确定方程的解的边界值的分离表示．此后，傅里叶满怀信心地进入了新的领域．在三维情形遇到了一些困难，但把原方程分为两个方程就解决了．这两个方程，一个与内部传导有关，一个则与表面上的温度梯度所产生的辐射有关．应用于球体时运用球坐标，结果是一非谐的三角级数展开，其中的本征值是一超越方程的诸根．傅里叶运用他关于方程式论的知识，论证了这些根的实数性．当然，这一问题曾使他困惑了多年．在圆柱体的热传导问题中他又作了进一步的推广，其傅里叶解就是如今所称的贝塞耳(Bessel)函数．所用的技巧由傅里叶后来的同事 J． C．佛朗索(Francois)、斯图姆和 J．刘维尔(Liouville)全面地予以普遍化．
　　在研究沿一条无穷长的线上的热传导问题时发展出来的傅里叶积分理论，可能是基于拉普拉斯把热扩散方程的解表示为一任意函数的积分变换的思想，这函数表示初始的温度分布．傅里叶通过对有限区间中级数展开的推广，分别导出了对原点是对称的和反对称的情形之下的余弦和正弦变换．逐渐地他才认识到，把一给定的函数分解为偶函数和奇函数的普遍性．
　　傅里叶在这方面的创造性工作于1817—1818年间又最后一次绽发光辉，他成功地洞察到积分变换解与运算微积之间的关系．当时，傅里叶、泊松、柯西之间形成了三足鼎立之争．后二人于1815年已开始运用这样的技巧，但是傅里叶针对泊松的批评给予了摧毁性的反击．他展示了几个方程的积分变换解，这几个方程是长期以来未能得到分析的，同时他还指出了导至系统理论之门径．其后，柯西运用复变函数中的残数(residue)理论也获得了同样的结果．
　　作为一位数学家，傅里叶对于实际问题中的严格性的关心，不亚于除柯西和阿贝尔以外的任何人．但他未能想到极限理论本身的重要意义．在对他1811年获奖论文的评议中，关于缺乏严格性和普遍性的批评，长久以来是被误解了．那些批评，其动机有许多是带有非学术成分的．泊松和毕奥，是在热扩散理论方面被他超过的劲敌，多年来总是力图贬低傅里叶的成就．关于严格性的批评，可能是根据泊松的观点，即认为在球形问题中出现的本征值未能证明是实数，而复数根将导致在物理上是不可能的解．(泊松自己在数年后为傅里叶解决了这一问题．)所谓傅里叶级数解(2)缺乏普遍性，可能是将它同拉普拉斯早先得到的积分解对比，而在后者中，被积函数清楚地含有任意函数．
　　傅里叶的机智在于分析力学方面．他对分析技巧和符号表示极为精
观力，使他的研究能够获得成功．在他之前，分析力学中出现的主要方程常是非线性的，所用解法都是专设的近似法．当时，微分方程领域也象是一个尚无通路的丛林．傅里叶为解偏微分方程创造了和说明了一种连贯的方法，即可以把一个方程及其级数解按照不同的物理情况清楚地分离为不同的分部来加以分析．我国数学家、微分方程方面的著名学者申又枨教授(1901—1978)曾经说：傅里叶的创造，是给各种类型的偏微分方程(波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程等)提供了一种统一的求解方法，就好比从前解“四则问题”时，各种难题有各种解法，而运用代数方程以后，就有了统一的简便的解法．这个比喻，很好地形容了傅里叶的方法在微分方程领域的重要意义和广泛的实用价值．事实上，傅里叶的方法是如此之强有力，以致过了整整一个世纪，非线性微分方程才重新在数学物理学中突起．
　　对傅里叶来说，每一数学陈述(尽管不是形式论证中的每一中间阶段)都应有其物理含意，包括展示真实的运动和能够(至少原则上)被测量两个方面．他总是如是地说明他的解，使所得到的极限情况能为实验所检验，而且一有机会他就自己动手来作实验．
　　傅里叶早年草设的物理模型虽很粗糙，但在他1807年所写的文章里，就已全面地把一些物理常数揉进他的热传导理论中．对物理意义的关注，使他看到在他的形式技法中所存在的潜力，能检验在傅里叶积分解的指数上出现的成群的物理常数的相关性．由此出发，他得出了关于单位和量纲的全面理论，虽然其中一部分是L．卡诺(Lazare Carnot)曾预期到的．这是自伽利略以来在物理量的数学表示理论方面第一个有成效的进展．与他同时代的人，如毕奥，在同一问题上的混乱情形相比，就更显示出傅里叶的成就．
　　虽然傅里叶多年从事热的物理理论的研究．但是他最初基于热辐射现象方面的贡献却未能存在长久．他对他的理论的各种应用都很关心，诸如对温度计的作用和房间供暖问题的分析，以及最重要的、对地球年龄下限首次作出的科学的估算等．令人不解的是，傅里叶相信热作为宇宙中的首要媒介的重要性，但他似乎对于热作为一种动力方面的问题却不感兴趣，以致对 S．卡诺(Sadi Carnot，是 L．卡诺的儿子)有关热动力问题的著名论文毫无所知．
　　和傅里叶的著名的热传导问题的成就相比，他在数学的其他方面的工作就鲜为人知了．首先是他对方程式论有着长时间的浓厚兴趣．早在16岁时他就作出了对笛卡儿正负号法则的一个新证明．这一法则可表述如下：
　　设f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am，则f(x)的诸系数具有一系列正负号．如果把同号的两相邻系数称为“不变”，异号的称为“变”，那么 f(x)的正(或负)根的数目最多等于序列中“变”(或“不变”)的数目．
　　傅里叶的证明方法是这样的：以(x+p)乘f(x)，得一新的多项式，它比 f(x)多了一个系数，使系数序列中多了一个正负号，同时多了一个正(或负)根 p；并且可以看出系数序列中“变”(或“不变”)的数目至少增加1个．因为傅里叶的这一成果很快就成为标准的证法，所以证明的详情可见于任何一本讲述这一法则的教科书，虽然人们未尝知道这一证法的发明者就是青年傅里叶．
　　傅里叶还把笛卡儿法则推广到估计在一给定区间[a，b]内f(x)的实根数，并于1789年向科学院递交了一篇文章，其中有他对自己的定理的证明，可惜文章在巴黎那革命动荡的年代里丢失了．大约30年后这篇文章才得以发表．由于另有一位兼职数学家比当(Ferdinand Budan de Bois-Laurent)也发表过类似的结果，所以关于在给定区间内n次代数方程的实根数的判定法，后来被称为傅里叶-比当定理．直到傅里叶逝世之前，他始终没有中断过方程式论方面的研究，并且计划写出一部七卷本的专著：《方程判定之分析》(Analyse des équations déterminées)．他已写出头两卷，但他预感到生前大概不可能完成这部著作，于是写了一个全书提要．1831年，即他逝世的第二年，由他的友人纳维(Navier)将这部未完成的著作编辑出版．从全书提要中，可以看出傅里叶对方程式论有过十分广泛的研究．其中最重要的是各种区分实根和虚根的方法，对牛顿-拉夫逊(Raphson)求根近似法的改进，对D．伯努利求循环级数中相继项之比的极限值的法则的推广，等等．由于傅里叶还有线性不等式的求解法和应用方面的工作以及他对这一问题的出众的理解，因而也被后人称为线性规划的先驱．
　　在傅里叶的最后的岁月里，当他支持统计局的工作时，他的研究接触到概率和误差问题．他写下了一些关于根据大量观测来估计测量误差的重要文章，发表于1826年和1829年的统计局报告上．
　　傅里叶对力学问题也作过相当多的探讨，他曾发表过关于虚功原理的文章．
　　纵观傅里叶一生的学术成就，他的最突出的贡献就是他对热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就为数学物理学的前进开辟了康庄大道，极大地推动了应用数学的发展．从而也有力地推动了物理学的发展．
　　傅里叶大胆地断言：“任意”函数(实际上是在有限区间上只有有限个间断点的函数)都可以展成三角级数，并且列举大量函数和运用图形来说明函数的三角级数展开的普遍性．虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创出“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念．l837年狄利克雷正是研究了傅里叶级数理论之后才提出了现代数学中通用的函数定义．1854年 G．F．B．黎曼(Riemann)在讨论傅里叶级数的文章中第一次阐述了现代数学通用的积分定义．1861年魏尔斯特拉斯运用三角级数构造出处处连续而处处不可微的特殊函数．正是从傅里叶级数提出来的许多问题直接引导狄利克雷、黎曼 G．G．斯托克斯(Stokes)以及从 H．E．海涅．(Heine)直至 G．康托尔(Cantor)、H．L．勒贝格(Lebesque)、F．里斯(Riesz)和E．费希(Fisch)等人在实变分析的各个方面获得了卓越的研究成果，并且导致一些重要数学分支，如泛函分析、集合论等的建立．傅里叶的工作对纯数学的发展也产生了如此深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且，这种影响至今还在发展之中．
　　傅里叶之所以能取得富有如此深刻内容的成就，正如撰写过傅里叶传记的两位作者所说：这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到．从傅里叶的著作中，我们看到：他坚信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学发现的最富饶的源泉”．这一见解是傅里叶一生从事学术研究的指导性观点，而且已经成为数学史上强调通过研究实际问题发展数学(包括应用数学和纯粹数学)的一派数学家的代表性格言．
　　傅里叶的研究成果又是表现数学的美的典型，傅里叶级数被一些科学家称颂为“一首数学的诗”．他的工作还引起了他的同时代的哲学家的重视．法国哲学家、实证主义的创始人 A．孔德(Comte)在《实证哲学教程》(Cours de philosophie positive，1842)中，把牛顿的力学理论和傅里叶的热传导理论都看作是实证主义基本观点在科学中的重要印证．而辩证唯物主义哲学家 F．恩格斯(Engels)则把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家 G．W．F．黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论，他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗．

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笛卡儿

　　笛卡儿，R．(Descartes，René)1596年3月31日生于法国图赖讷省拉艾镇(现名拉艾-笛卡儿镇)；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩．科学方法、自然哲学、数学、物理学、生理学．
　　笛卡儿的父亲若阿基姆·笛卡儿(Joachim Descartes)是布列塔尼省伦诺地方法院的评议员，按现代术语讲，他既是律师又是法官．当时涉及法律事务的职位在很大程度上是世袭的；从事这一职业的人在社会上有相当的独立性和一定的特权，属于所谓的穿袍贵族阶层，其地位介于贵族和资产者之间．其母让娜·布罗沙尔(Jeanne Brochard)出身同一社会阶层，1597年去世，给笛卡儿留下一笔遗产，使他在此后的一生中有了可靠的经济保障，得以从事自己喜爱的工作．
　　有关笛卡儿早年生活的资料很少，只知他幼年体弱，丧母后由一位保姆照料；他对周围的世界充满好奇心，因此父亲说他是“小哲学家”．8岁(1604年)时入拉弗里舍镇的耶稣会学校读书，校方出于对他健康的关心，特许他不受校规约束，早晨可躺到愿意去上课时为止．据说他因此养成了清晨卧床长时间静思的习惯，几乎终生不变．该校的教学大纲规定，学生在前五年学习人文学科(即拉丁语、希腊语和经典作家的作品)、法语(包括写作诗歌与散文)、音乐、表演和绅士必备的技艺——骑马和击剑．后三年课程的总称是哲学，包括逻辑学(亚里士多德(Aristotle)的三段论演绎法)、一般哲学(对亚里士多德的《尼寇马克(Nicomach)的伦理学》的详尽分析)、物理、数学、天文学及形而上学(指托马斯·阿奎那(Thomas Aquinas)的哲学和天主教学者对此所作的注释)．在涉及科学的课程中，只有数学和天文学含有较新的研究成果．笛卡儿曾对诗歌怀有浓厚的兴趣，认为“诗是激情和想象力的产物”，人们心中知识的种子犹如埋在燧石中，哲学家“通过推理”使之显露，“而诗人靠想象力令其迸发火花，因而更加光辉．”(见于他的早期著作《奥林匹克》．)笛卡儿后来回忆说，这所学校是“欧洲最著名的学校之一”，但他对所学的东西颇感失望，因为教科书中那些看来微妙的论证，其实不过是些模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，唯一给他安慰的是具有自明推理的数学．这所学校对笛卡儿的另一个影响是使他养成了对宗教的忠诚．他在结束学业时暗下决心：一是不再在书本的字里行间求学问，而要向“世界这本大书”讨教，以“获得经验”；二是要靠对自身之内的理性的探索来区别真理和谬误．
　　1612年他从拉弗里舍的学校毕业；1616年获普互捷大学的法律学位．此后，笛卡儿便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路．当时正值欧洲历史上第一次大规模的国际战争——30年战争时期(1618—1648)，他从1618年起开始了长达10年的漫游与军旅生活．他曾多次从军，在一些参战的王公贵族麾下听命．他从戎的目的主要是为了弥补学校教育的不足，并无明显的宗教或政治倾向．他1618年参加了信奉新教的奥伦治王子的军队，一年半后又到对立的信奉天主教的巴伐利亚公爵手下服务．笛卡儿自己评论这段生活的用词是“太空闲，太放荡”．看来，他不大可能实地参战，因而有足够的时间思考．在这期间有几次经历对他产生了重要影响．1618年他与荷兰哲学家、医生兼物理学家I．皮克曼(Beeckman)相识；据说因笛卡儿在短时间内独立解决了几道公开求答的数学难题而引起皮克曼对他的注意．他向笛卡儿介绍了数学的最新进展，包括法国数学家F．韦达(Viète)在代数方程论方面的工作；给了他许多有待研究的问题，特别是有关声学与力学的课题．与皮克曼的交往，使笛卡儿对自己的数学与科学能力有了较充分的认识，他开始认真探寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍适用性的方法，以期获取真正的知识．1619年3月26日，他在给皮克曼的信中说，他脑中第一次闪现出“一种全新的科学，它可能用一种一般化的方法解决所有与量有关的领域中的问题，不论这种量是连续的还是数值的”．笛卡儿在1637年出版的《方法论》中，描述了他在1619年11月10日经过独立思考得出的两个结论：第一，如果要发现真正的知识，必须靠自己去实行整个研究计划，正如一件上好的艺术品或一幢完美的建筑，总是出自一个能人之手；第二，在方法上，必须从怀疑当时的哲学的所有内容为出发点，并寻找自明的确定的原理，在此基础上重新构作出一切科学．据笛卡儿的第一位传记作家、17世纪的A．巴耶(Baillet)说，那天笛卡儿“充满激情”，当晚做了三个梦，增强了他创立新学说的信心：在第一个梦中，笛卡儿由于右脚无力而被一阵狂风吹得立足不稳；第二个梦境是他被刮到一间风力不能施威的屋内被一声霹雳唤醒，周围充满火花；第三个梦里，他先是拿着字典，后在一本书中读到“我将追求什么样的生活道路？”这样的字句，最后，一位陌生人给了他几首拉丁文诗句，他认出那是奥索尼乌斯(Ausonius)的两首诗的开头几句．据称笛卡儿醒来之前已圆了梦，第一梦提醒他过去的错误，第二梦表示真理降临其身，第三梦为他开辟了通向真正的知识的道路．梦后笛卡儿为感谢上苍，立愿去洛雷塔朝拜圣母像(1624年他如愿以偿)．有些学者把这一天定为解析几何的诞生日．
　　1626—1628年间，笛卡儿居留法国，结交了许多科学界的朋友，深受M．梅森(Mersenne)神父和贝吕勒主教(Cardinal deBérulle)的影响．梅森神父博学多才，他所在的修道院是当时科学家们聚会之所，又是探讨科学问题的信件的传递中心．梅森把笛卡儿的科学思想与著作介绍出去，并收集各地学者的反映与批评转告给他，成为笛卡儿最忠实的朋友和顾问．贝吕勒是位颇有影响力的主教．据巴耶说，笛卡儿在一次有主教参加的聚会上，用简明的类似于数学证明的方法，严格区分真正的科学知识和那些仅仅为可能成立的命题，从而驳倒一位与会者的“一种新哲学”．贝吕勒深有感触，专门召见笛卡儿，以上帝代表的身份劝导他应献身于一项神圣的事业，即用他的充分而完美的方法去研究医学和力学．为顺应天意，笛卡儿决定避开战争、远离社交活动频繁的城市，寻找一处适于研究的环境．1628年秋，他移居荷兰，开始长达20年的潜心研究和写作生涯，这期间除短期出访外一直在荷兰各地隐居．
　　1628—1630年间，他撰写了第一篇方法论的论文：《指导思维的法则》(未最终完稿，1701年刊于他的选集中)；1630—1633年间，他从事多个学科的研究，涉及光的本质、折射现象、物质的性质与结构、数学、生理学与解剖学．他的目标在于用他的方法建立一个包罗万象的知识框架，为此他准备出版一本定名为《世界体系》(Le monde)的书，计划写“论光”(Le lumièse)和“论人”(L’ho mme)两部分．1633年初稿即将完成之际，梅森写信告诉他 G．伽里略(Galilei)因宣传N．哥白尼(Copernicus)的学说而遭天主教宗教裁判所的审判；笛卡儿遂取消了出版该书的打算，因为书中显然含有哥白尼的观点，他甚至未按惯例把手稿全部寄给梅森．其实笛卡儿并没有放弃自己的基本主张，其后三年中，他专心论证他的新方法具有坚实的哲学基础，相信自己的形而上学原理最终能被神学家所接受．1637年，笛卡儿发表了《方法论》(Discoursde la méthode)．这部著作一反当时学术界的常规，用法文而不用拉丁文撰写，以便普通人也能阅读．该书正文占全书篇幅的约七分之一，包含了未发表的《世界体系》中的重要内容，简要阐述了他的机械论的哲学观和基本研究方法，以及他的经历．书的其余部分给出了三个应用实例，现一般称为三个“附录”，它们都可独立成篇，是笛卡儿最主要的科学论著．它们是《折光》(La dioptrique)，其中提出了折射定律；《气象》(Les météores)，用于阐释与天气有关的自然现象，提出了虹的形成原理；《几何学》(La géometrie)，用于清晰地表明他的方法的实质，包含了解析几何的基本思想．这部著作的出版引起了一些学者(包括费马)和他的争论．1638—1640年间，笛卡儿进一步探究其学说的哲学方面，用拉丁文撰写了《形而上学的沉思》(meditationes de prima philosophia)，其论点大体在《方法论》中出现过，只是有的观点更激烈．梅森收集到不少对该书的批评(包括来自英国哲学家T．霍布斯(Hobbes)和法国数学家兼哲学家P．伽桑逖(Gassendi)的)．1640年，笛卡儿正式发表此书，并加进了各种批评意见和他的简要的辩驳．这本书使笛卡儿作为哲学家的名声大震，也招致了涉及宗教的纷争．他被谴责为无神论者；地方行政当局甚至要传讯他．后经有势力的朋友斡旋，才使事态平息．其后九年间，笛卡儿试图把他的哲学与科学理论完善化、系统化，以期获得神学界的支持．1644年，他的《哲学原理》(Principiae philosophiae)问世，该书除重述其哲学信条外，还试图把一切自然现象(包括物理的、化学的和生理的)纳入一种符合逻辑的机械论模式．其历史功绩在于排除科学中的神学概念和目的论解释．他的研究纲领是用力学概念解释一切物理和生理现象，同时将力学与几何相联系，这种借助某种力学模型研究自然的方式，体现了现代科学的精神．但由于机械论的局限，书中的具体结论不少是错误的，或者很快就过时了．
　　笛卡儿的《哲学原理》题献给伊丽沙白公主——信奉新教的波希米亚国王腓特烈五世的女儿．他们在1643年相识后成了好友，经常通信，内容涉及从几何到政治学，从医学到形而上学的广阔领域，特别谈到人的机体与灵魂的相互作用问题以及笛卡儿的一种并不系统但已初具轮廓的伦理学观点．这些通信的价值不亚于笛卡儿跟梅森神父，以及跟法国神学家A．阿尔诺(Arnauld)之间的通信．
　　1649年，笛卡儿出版了一本小书《激情论》(Traité despassions de l'me)，探讨属于心理生理学的问题，他认为这是他的整个知识体系中不可或缺的部分．同年秋天，笛卡儿很不情愿地接受了23岁的瑞典女皇克里斯蒂娜(Christina)的邀请，到斯德哥尔摩为女皇讲授哲学．晨思的习惯被打破了，每周中有三天他必须在清晨五点赶往皇宫去履行教师的职责．1650年2月1日，他受了风寒，很快转为肺炎，10天后便离开了人世．他的著作在生前就遭到教会指责，他死后的1663年，更被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中．但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡儿成为17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一．
　　笛卡儿是欧洲近代哲学的主要开拓者之一，黑格尔称他是“现代哲学之父”；同时又是一位勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域有值得称道的创见，而其建立解析几何的数学成就在科学史上有划时代的意义．其主要学术贡献可归纳如下．
　　方法论 16—17世纪欧洲社会中新旧思想的对立和斗争十分尖锐．科学领域不断涌现的新发现和新理论，成为新兴阶级向旧秩序斗争的武器．哥白尼的“日心说”世界体系，J．开普勒(Kepler)的行星运动理论和实验光学，W．吉尔伯特(Gilbert)的磁力说，A．维萨里(Vesalius)的人体解剖学，W．哈维(Harvey)的血液循环学说，伽里略的力学是各专门学科领域中最杰出的成就．而F．培根(Bacon)和笛卡儿则是提出科学方法论的两位代表人物．培根稍早于笛卡儿提出必须从根本上除经院哲学的旧传统，要对整个认识体系重新加以研究；他主张把科学建立在实验的基础上．笛卡儿赞同培根彻底破除旧哲学体系的观念，但强调以理性为主导的认识自然的方法．
　　笛卡儿的方法论跟他的哲学研究紧密相联．他把哲学看成一种完整的知识体系，并形象地比喻成一棵大树：树的干是物理学，研究客观物质世界的形成与本质，属于自然哲学的范畴；树的根是形而上学，研究心智(或者说灵魂)、上帝及作为一切推理的出发点的所谓“第一原理”；树的枝叉代表其它科学，最重要的有医学、机械学(即力学)和伦理学．笛卡儿认为“我们不是从树根、树干而是从其枝叉上采集果实的”，因此哲学的最终目的在于对具体科学的了解，从而使人类成为“自然的主人”．笛卡儿在对他的哲学的各个组成部分的探索中，发展起他的方法论体系．
　　笛卡儿指出当时流行的经院哲学及其所属的知识体系有致命的弊病：它们的结论往往是推测性的，既不清晰又缺乏统一性；造成这种状况的根源有二：所使用的概念模糊，缺少普遍适用的统一的研究方法．
　　为了从根本上给科学奠定牢固的基础，笛卡儿提出一种批判的怀疑方法．他在《方法论》中写道：“在我的一生中，必须有一次严肃地把我以前接受到心里的一切见解统统去掉，重新开始从根本做起．”他论证说经院中的科学和书本上的学问往往互相冲突，纷乱而无根据，它们只是靠经院的权威和影响强施于人的；由习惯形成的见解往往始于初次的印象或儿时的信仰，虚妄可疑之处比比皆是；由感官获得的印象常常用假象欺骗人们；人的肌体本身的活动同样可能在梦中经历，因此无法准确判定某个对象是梦中幻影还是醒时的经验所得．笛卡儿的怀疑终止于“我思故我在”这一著名的命题：“当我把一切事物都想成是虚假的时候，这个进行思维的‘自我’必然非是某种东西不可；我认识到‘我思故我在’这条原理十分牢靠、十分确实，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻．于是，我断定我能毫不犹豫地承认它是我所探求的哲学中的第一原理．”以此为出发点，笛卡儿使用诸如“结论中所含的完善性决不能多于原因中所含的完善性”等属于经院哲学范畴的准则，推证出完善的上帝的存在；再通过上帝这一媒介，推出物质世界是不依赖“自我”的客观存在．笛卡儿认为“自我”是一种精神实体，其基本特性是能思维，但无广延性，不占据空间；外在客观世界(包括人的肉体)是一种物质实体，具广延性而无思维功能．此即笛卡儿二元论哲学的精髓．
　　笛卡儿的怀疑方法只施于知识领域而不触及社会问题，他为自己规定了服从法律，笃守宗教信仰及遵照明哲之士共同接受的意见办事等行为准则，理由是“除了我的思想，没有一件东西完全在我的能力范围之内”，同时也为了“能够尽可能地过最幸福的生活”．
　　笛卡儿的怀疑方法具有很强的主观主义特征，把“自我”这种精神实体的确实性(或者说存在性)放在物质的确实性之前．但正是由于他突出强调了“自我”这种具有理性思维特质的本体在认识中的作用，对后世哲学家注重认识论的研究有极大的影响．
　　在建立自己的知识体系时，笛卡儿提出了以数学为楷模的理性演绎方法．他认为人们能完全弄清楚的东西，“即便是形体，真正说来也不是为感官或想象力所认识，而只是为理智所认识；它们之被认识，并不是由于被看见或摸到了，而只是由于被思想所理解或了解了”(《形而上学的沉思》)．在研究各门科学时，无例外地要使用所有人共有的同一种理性，这是存在普遍适用的方法的基础．问题在于如何运用理性，只要能找到并应用能正确指导理性思维的方法，就必然能创立一门协调统一的科学．他强调数学所展示的由最少的极清晰的概念，经确定的推理得到大量确凿结论的方法，同样可以在其它科学中实行．他的这一观念推翻了自亚里士多德以来否认在数学以外的科学中能得到如数学一样的确实性的观念．在《方法论》中，他提出四条推理准则：“一、决不把任何我没有明确地认识其为真的东西当作真的加以接受，即小心避免仓促的判断和偏见，只把那些十分清楚明白地呈现于我的心智之前，使我根本无法怀疑的东西放进我的判断之中；二、把我所考察的每一个难题，都尽可能地分成细小的部分，直到可以而且适于加以圆满解决的程度为止；三、按照次序引导我的思想，以便从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点上升到对复杂对象的认识，即便是那些彼此间并无自然的先后次序的对象，我也给它们设定一个次序；四、在探求和审视过程中遇到困难时，应尽量把一切情形都列举出来，使我确信毫无遗漏．”按笛卡儿的理想，任何具体问题的解答都应从完全确实的概念出发演绎而得．但是在他从事具体的科学研究时，笛卡儿承认了两种推理模式的合法性，一种是众所周知的几何式的证明，另一种是在力学、光学和天文学中使用的论证．在回答关于他讨论折射问题的文章是否不失为一种证明时，他写道：“要求我对依赖于客观世界的事作几何的论证，等于要求我做不能做到的事．如果限制我使用‘证明’这个词仅指几何证明，那么人们将不得不说阿基米德(Archimedes)没有证明任何力学问题，威特洛(Vitellio)没有证明任何光学问题，托勒密(Ptolemy)没有证明天文学问题等等，这当然不是大家所主张的．”这种非几何论证的特点是“事先假定某些东西，它们跟经验没有明显的矛盾，作者就可以进行前后一致的论证而不犯逻辑错误，即使他们的假设不是绝对真实的”．这里，笛卡儿实际上提出了用假设模型作系统研究的设想．他本人在对宇宙及人的研究中就采用了这种方法．为了给这种方法确立理论依据，他提出人造物体和自然界的事物具有同一性．笛卡儿在《哲学原理》中写道：“机械学中成立的法则肯定在自然界也成立，……(所有人造的东西同时也是自然的)：由这样或那样一些齿轮构作的时钟并不比一棵树(它是从这一颗或那一颗种子生长出来结出特殊果实的东西)更少自然的成份．”由此他确认：正象可以根据所见的某种机器或其一部分推论出如何制造未见过的机器或其一部分，他能从自然事物的可见的部分或结果出发，推断出未见到的部分或原因．他的这一观念跟当时流行的亚里士多德的看法相悖，后者认为自然之物(无论是有生命还是无生命)跟人造物是绝对不同质的．
　　实验方法在笛卡儿的以理性判断为最高准则的认识论体系中占有重要地位．他用许多年时间研究解剖学，对狗、猫、兔子、鳕鱼、鳍鱼作活体解剖，又从屠宰场搞来牲畜的眼、肝和心脏进行研究；他描述过关于测量空气重量及振动弦的实验；他记述了对虹、霓以及其它光学现象的观察．他把许多实践活动和经验知识收进他的科学体系．对于实验方法的意义，他认为“自然的力量如此广大”，作为推理出发点的“原则又如此简单和一般，以至我很难观察到一种特殊结果，它不能直接由那些原则以几种不同的方式推断出来”，“我最大的困难在于去找出该结果倒底依哪一种方式依赖于那些原则”(《方法论》)．他的结论是，实验能帮他方便地作出选择．在《哲学原理》的序言中，笛卡儿不无遗憾地写道：“假如我能做一切必要的实验来论证和支持我的理论，我一定会努力去完成整个计划，…不过，做这些事费用浩大，若无公家资助，以我个人的家产实在难以实现，…我想我因而未能为后人的切身利益效力，他们是会原谅我的．”
　　笛卡儿对经由他的方法得到的知识的真理性建立了一条基本准则，他说“凡是我们极清楚、极明白地设想到的东西都是真的”，而且“只要严格地把我的意志限制在我的认识限度以内，使它只对理智向他清楚明白地提出的东西作判断，我就绝不会犯错误”．另一方面，在具体的科学领域，他也把理论的应用过程作为检验该理论真理性的一种途径．他说在他的《折光》、《气象》中，一开始就提出若干假设，这不会使他的证明失效而丧失真理，因为推理过程前后紧密交织在一起，前面的东西也被作为其结果的后面的东西所论证，而“经验对绝大多数这类结果作出非常肯定的判决”．
　　自然哲学 笛卡儿应用他的方法研究自然界，建立了宇宙万物形成和运行的机械模式，提出了对空间与物质的基本特性的看法，冲破了经院哲学宇宙观的完全神秘的观念的羁绊．
　　他认为就物质实体的本质属性而言，我们能清楚明白理解的只有广延性，即物体得以占据空间的性质；这种广延性体现在物体的形态、体积和运动中．同时，我们也能清楚地理会形态、体积和运动三者发生变化的原理和规则，“人类的自然知识，皆由这些根源而来”．笛卡儿自始至终运用的原理仅涉及空间和运动两类．
　　在笛卡儿眼里，自然界中的所有物体都是同质的，每一具体事物保有各自恒定的广延量，它不会因形态或运动状态的改变而变化．同一物体的体积从广延的角度看既不会膨胀也不会缩小，我们通常所见到的物体膨胀或收缩，只是组成物体的可分的具广延性的各部分之间的距离加大或缩小造成的．宇宙间的任何一部分空间，对由什么东西来占据它不起任何作用，它对占据者及其接替者是绝对“中立”的．在笛卡儿的体系中，空间与物质等同，因此不存在纯粹的真空．接着，笛卡儿试图用机械运动这一简单运动形式来解释世间千变万化的物体的共性与个性．为了给运动以无限的活动舞台，他假定物质(即空间)的无限可分性，否定了物质由不可再分的原子组成的观念．由于笛卡儿没有假定运动是物质本身的属性，所以必须借助上帝的力量．他认为上帝在创世时一次把运动赋予了物质，同时确定了“自然规律”；以后自然界在这些规律支配下便永恒地运动下去，宇宙间的运动总量也永远不再改变．
　　关于什么是运动，笛卡儿定义说：“运动是指物体的位移，从当时跟它直接相触的物体旁转移到当时不直接与它接触的物体旁．”他又认定一个物体在某一瞬间的位置应是相对于同一时刻另一个被认为是静止的物体而言的，所以运动和静止都是相对的概念．
　　根据上述空间与运动的性质，一个物体的运动必然引起一连串物体的运动，它们形成一个封闭的环路．据此，笛卡儿描述了宇宙形成的主要轮廓．太初时期，弥漫整个空间的原始物质必呈庞大的旋涡状运动形式，其中有的原始物质因摩擦逐渐成粉尘状的火，形成太阳和恒星；有的磨损成小球状，成为气或以太，是构成星际空间的原料；在宇宙形成过程中，环绕每一物质团有次一级的旋涡状流，如月球就在地球周围的旋流中运行．在旋涡中，重的物质向旋涡中心靠拢，轻的物质朝边缘散开，…，笛卡儿的旋涡理论盛行将近一个世纪，直到1牛顿(Newton)的宇宙模型取而代之才消声匿迹．
　　笛卡儿还提出了三条运动定律．1．物体的运动或静止状态的改变需要有原因，如不发生跟另一物体的接触而受到作用，原物体的状态保持不变；2．运动的基本形态是直线运动，作曲线运动需要在原来使物体作直线运动的原因之外持续附加另外的原因．这两条定律合起来，相当于40年后牛顿得到的运动的惯性定律．3．碰撞定律．“一个运动物体碰上另一物体，如它沿直线继续运动的量小于另一物体阻止它前进的量，则它并不损失运动，而只是改变运动方向；如果前者使另一物体运动的量大于后者阻止它前进的量，则它要失去一些运动，失去的正好等于它给予另一物体的．”由于笛卡儿拒绝引入他认为是超自然的质量概念，而在实际上用体积代替了质量，使他无法研究物体的动力学性质．他甚至错误地坚持，一个硬物撞上另一个体积比它大的静止物体时，将被反弹回去而不损失任何运动．这是导致他的具体的力学研究成果甚微的原因．
　　笛卡儿在研究自然界中的有生命物时，全部采用解释无生命物体时使用的原理，把它们看成是自然界中的机器，如蜘蛛只是一种自然的织机，鼹鼠则是一种自动挖掘机，只不过它们的活动比人造的机器更复杂更多样罢了．对于人，笛卡儿认为这是一种精神与物质的联合体：即由具广延性而无思想的肉体(包括脑)和有思想而无广延的“自我”(居住在脑中松果腺内)结合而成，它们之间的相互关系成为笛卡儿生理学的研究对象．但就肉体而言，它只是一部受机械运动原理支配的机器．
　　笛卡儿的机械论自然观在历史上起过重要的启蒙作用．在他生活的时代，流行的自然观把自然界的事物看成是异质的，它们分成各种等级，处于宇宙边缘的上帝是至高无上的，接着是位于天上的各种等级的天神天使，下面是地上的各种不同等级的人、动物、植物和矿物．笛卡儿强调无机界与有机界的同质性，为破除关于自然界的等级观念，客观地研究自然奠定了基础．另一方面，中世纪的人们普遍认为上帝参与宇宙每日每时的活动，派各级天使推动天体运行，随时观察并指导地球上的一切事件，极大阻碍了去科学地了解自然．笛卡儿明确地、一贯地坚持自然界在整体上由规律所支配，因而推动了真正的自然科学研究．
　　数学笛卡儿的数学成就与他的数学观有密切联系．他对数学的看法散见于他的哲学与方法论著作，而其主要数学成果则集中于《几何学》．
　　笛卡儿认为，希腊人的综合几何只研究一些非常抽象而看来无用的问题；它过于依赖图形，束缚了人的想象力；它虽给出了大量真理，但并未告诉人们“事情为什么会是这样的，也没说明这些真理是如何发现的”．对于当时流行的代数，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学．他对三段论逻辑的评价是它不能产生任何新的结果．因此，他在《方法论》中提出必须把逻辑、几何、代数三者的优点结合起来而丢弃它们各自的缺点，从而建立一种“真正的数学”，“普遍的数学”．他发现在帕普斯(Pappus)和丢番图(Diophantus)的著作中有这种数学的踪迹．笛卡儿明确指出数学应研究“一切事物的次序和度量性质”，不管它们是“来自数、图形、星辰、声音或其它任何涉及度量的事物”，因而在实际上提出了科学数学化的任务．
　　关于具体数学对象的本质，笛卡儿接近柏拉图(Plato)的观点．以三角形为例，他说：“我想象一个三角形的时候，虽然在我以外的世界的任何地方也许没有这样一种形态，甚至从来没有过，但是这种形态毕竟具有明确的本性、形式或本质，这种本性是不变的、永恒的，不是我捏造的，而且不以任何方式依赖我的心灵”，三角形的性质如三内角和等于两直角等是“如此清楚，因此不会是纯粹的虚无，而具有真实性．”
　　笛卡儿的具体数学研究，首先着力于寻求有普遍适用性的符号推理形式．韦达在笛卡儿之前引入了符号化的代数，并应用代数方法解几何问题．但他的符号代表的只是数；同时，为了保持方程中各项的几何意义，他书写的方程必须是齐次的．笛卡儿引进了本质上可代表任何一种量的符号体系．在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a，b，c等代表已知量；x，y，z等代表未知量，这种用法一直延续至今．
　　为了使代数方法在几何中顺利应用，他设计了一种办法最终取消了要求方程必须是齐次的限制．他用数字上标代替过去数学家们使用的“平方”、“立方”这些词语表达法．他认为这样做避免了“平方”、“立方”这些词语在维数方面的内涵给运算带来的困难：因为在几何中，平方这个词指面积，立方指体积，它们跟直线有质的不同；而对于一个量而言，其平方或立方跟该量本身并无质的区别．他先引进所谓的单位量和比例式1∶x=x∶x2=x2∶x3= …，他说在这个式子中，x只通过一个“关系”(指比)跟单位量联系在一起，x2则要通过两个“关系”与单位量发生关系，其余依此类推．因此数字上标仅表示跟单位量联系所需的“关系”的数目，而不再具有维数方面的意义．据此，他毫不犹豫地把算术语言引进几何，定义了直线段的加、减、乘、除、乘方和开方．以线段相乘为例．对于两根线段a，b的积，过去的数学家只把它理解为以a和b为边的矩形；而笛卡儿可用“关系”概念把a·b仍看成一个线段：选定一单位长，其它的长度可以此为参照画出，据1∶a=b∶ab，立即可作出两个相似三角形而得到a·b的长度(图1)．

　　在《几何学》的第一部分中，笛卡儿利用上述观念解答“仅需直线和圆的作图问题”．办法是先假定解已得到，并赋予作图时所用到的每一条线段一个符号(不论它们是已知的还是未知的)；然后不区分已知与未知线段，“用最自然的方法表出这些线段间的关系，直到能找出两种方式表达同一个量，这便得到一个方程．”在导出方程解的表达式后，再用几何办法画出解所对应的线段．这部分内容在韦达及其他一些学者的工作中已出现过，只是笛卡儿用的符号和他的观念更先进．
　　笛卡儿在《几何学》的第二部分中，用“不确定的”代数方程表示并研究几何曲线．这是他于1631—1632年间研究三线和四线帕普斯问题时形成的重要方法．四线帕普斯问题可简述如下：设给定四条直线AB，AD，EF和GH，要求找出满足下列条件的点C的轨迹：从C引与四条已知直线成给定交角(四个交角不一定要相等)的直线CB，CD，CF和CH，使得CB·CF=CD·CH(见图2)．

　　笛卡儿的解法包含了解析几何的主要思想．他假定C点已找到，并令AB为x，CB为y；经过对各线段间几何关系的分析，用已知量表出CD，CF和CH，代入CB·CF=CD·CH，就得到形如y2=Ay+Bxy+Cx+Dx2的方程，其中系数是由已知量组成的简单代数式，于是，任给一个x的值，可用直线和圆规画出对应的y．当x变化时，相应直线段y的端点C就画出一条曲线．笛卡儿在这个问题中为确定C点位置，选直线AB为基线(相当于一根坐标轴)，取点A为度量线段长的起点(相当于坐标原点)，x的值是从A沿基线量出的线段长，y值表示另一根线段的长，该线段从基线上出发与基线成给定的交角(相当于另一坐标轴)，具体位置随x的改变而平移．这是一种斜角坐标系．在《几何学》中，笛卡儿根据问题特点选用他的轴系，但没有出现过标准的现称笛卡儿坐标的直角坐标系．
　　笛卡儿顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系的选取应使曲线对应的方程尽量简单；定义几何曲线为那些可用x和y的有限次代数方程表出的曲线；据代数方程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方法等．笛卡儿的这些成就为牛顿、G．W．莱布尼茨(Leibniz)等一大批数学家的新发现开辟了道路．
　　笛卡儿对方程的纯代数理论也有重要贡献．在《几何学》的第三部分中，他把方程中所有的项移至等号的一侧，另一侧则为0．相当于把方程记作P(x)=0的形式．他经由归纳得出如下结论：每一个n次方程皆可表成(x-a)(x-b)…(x-s)=0，其中a，b，…，s是方程的根，由于每个根必出现在其中的某个二项式因子中，为使x的最高次幂为n，就要求有n个这样的因子，笛卡儿在这里相当于提出并直观论证了代数基本定理——n次方程有n个根(A．吉拉尔(Girard)首先于1629年叙述过该定理)．他还首次给出了一般形式的求代数方程正根和负根个数的法则(现称笛卡儿符号法则)．在一系列的例子中，他说明如何能改变一个方程的根的符号，怎样使方程增根或减根，并给出消去n次方程中xn-1项的方法．
　　笛卡儿的数学观也造成了他在具体研究中消极的一面．他坚持亚里士多德关于“直”和“曲”有本质区别的观念，因而拒绝任何求曲线长度的探索，认为费马的极大极小方法和切线法则违反了严格的演绎推理的要求．
　　物理学 16—17世纪物理学的发展主要集中于力学、光学、磁学等领域，笛卡儿重点涉足光学与力学研究．
　　笛卡儿的光学理论与应用主要见于《论光》、《方法论》及其三个附录中．他在1619年读了开普勒的光学著作后，一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射律以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．
　　笛卡儿认为光是一种“运动趋势”，一种“瞬动的冲击”，靠充满宇宙间可见物体之间的微粒传到人的眼睛，这种传递是沿直线在瞬时内实现的．他把光的传播比喻为盲人的手杖：凡它触到的对象所发出的作用和压力，能立即传给盲人，使他“看”到对象本身．这是接近光的波动说的一种解释．但是在探讨光的反射和折射现象并试图作定量描述时，笛卡儿又采用运动中的球碰撞平面这种光的粒子模型．他首先区分了刻画球的运动的两个因素，一是“速度”(相当于我们现称的速率)；二是与速度相伴的所谓“限定量”．这后一概念本身是含糊的，笛卡儿借助它讨论“速度”的方向与分解，因此他在对速度进行具体运算时，实际上把速度看成为向量．

　　笛卡儿这样分析光的反射机制．想象一个球在点A离开球拍，沿直线匀速运动至B，与坚硬且保持不动的物体表面CD相撞(图3)．由于表面不动，因此球不损失“速度”，经过跟从A到B所需的相同时间t1，必将到达以B为心、AB为半径的圆周上．又因物体表面不能穿透，球必反弹．至于朝那个方向反弹呢？笛卡儿考虑运动球在碰撞前的“限定量”可分解成两部分，一部分与CD面垂直(即AC)，一部分与CD面平行(AG)，碰撞后只有垂直分量发生改变，水平分量仍等于AH，故经时间t1球还应到达直线EF上(与BH的距离正好等于AH的直线)．由此推出，球应到达圆周与EF的一个交点F处．据相似三角形性质知，入射角ABH等于反射角HBF．
　　当光线射到透明物体上时，笛卡儿采用球穿过碰撞面损失一部分“速度”的模型分析折射现象(图4)．他设球在碰撞前后的“速度”比为p∶q．由于始终保持匀速运动，球从B再次到达圆周上的时间跟经过AB所需的时间之比亦为p∶q，即要花费较多的时间才能到达圆上，故笛卡儿考虑碰撞后的“限定量”的水平分量应比碰撞前的长，即FH∶AH=p∶q．由此推出球到圆周的精确位置应是圆与直线EF的交点I．

　　当碰撞介面两边的介质密度不同时，笛卡儿认为光通过稠密介质的能力强．就光的模型而言，若碰撞面下的介质比上面的更稠密，则球在碰撞时象又被球拍击了一下，因而获得了额外的“速度”．根据与上面类似的论证，球将发生偏离现象．
　　总之，无论上述哪种情形，碰撞前后的“速度”比依赖于介质的相对密度，就固定的两种介质而言，p∶q等于常数．由FH∶AH=BE∶BC=p∶q，得

　　于是有

　　这就是著名的折射定律．由于笛卡儿使用“限定量”这种不明确的概念，他的分析很难令人信服，但结论是正确的．笛卡儿倒底如何得到他的折射定律仍是值得探讨的谜．W．斯耐尔(Snell)曾在1621年发现了折射定律的结论，笛卡儿在他的结果发表前很久就得到了自己的这条定律(1626年)．
　　笛卡儿的其它光学研究包括：对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形；设计了矫正视力的透镜；根据太阳光在球状水滴中的折射与内部反射，解释了主虹与副虹形成的原理，并用定量方法导出虹出现的条件；设计了能完全聚焦的透镜，透镜所呈曲面由现称笛卡儿卵形线的曲线旋转而得．
　　笛卡儿对力学的主要贡献是提出了宇宙的机械运动模式(见自然哲学部分)．对于日常所遇见的力学现象，笛卡儿由于缺少实验与定量研究，只依据他的某些自然哲学原理作判断，导致了若干错误的结论．如由于他否认真空的存在，进而否定了伽里略关于真空中的摆与自由落体运动的定律．他本人曾根据他的碰撞律，阐述了弹性体沿同一直线运动并相撞时的七条定性法则．其中只有第一条是显然的：两个大小相等的同样的坚硬物体，以相同速度接近并相撞，每一物体将沿直线反弹回去而不损失“速度”．其余六条都和经验不符．
　　笛卡儿的力的概念是指引起运动的作用；他定义摆心为摆动物体上力达到平衡的点；他把离心力解释为物体保持其“限定量”的一种趋势．这些概念在科学上没有价值，但为像C．惠更斯(Huygens)这样的科学家提供了研究课题和超越前人的舞台．
　　笛卡儿还研究过一些静力学问题，像如何用较小的力举重物．他认为将a磅物体提升b英尺所需的力能将na磅的重物提升b/n英尺．
　　生理学 15—16世纪解剖学(包括人体解剖)的发展为生理学研究奠定了实验基础．用机械原理解释人体局部功能的科学家也不乏例证：L．达·芬奇(da Vinci)把动物骨骼的运动视为杠杆运动；哈维把血液运动归于心脏肌肉收缩这一机械原因等．笛卡儿则系统地把动物和人体看作一种生物机器，这一观念对17世纪生理学研究产生过直接的重要影响．他关于动物和人的功能的主要见解载于《法则》、《论人》、《方法论》、《哲学原理》和《激情论》等著作中．
　　笛卡儿特别关注对人的研究，他认为人是具广延性的肉体和不具广延性但能思想的“自我”的联合体，是动物中最复杂的一类．但因为他“对动物还没有充分的认识”，说不准其发生、成长的全过程，于是他只研究一种模型，一种上帝制造的世间机器．它像真人一样有由心脏、脑、胃、血管、神经、骨骼组成的肉体，它们是用像制造钟或水磨一样的原理制造的，不过更加精密和完善；这种“人”还有居于脑中松果腺内的非物质的心灵．
　　笛卡儿用机械论的观点仔细分析了“人”的生理过程．他认为一种无光的发热的“火”是人体的原动力，它能经由呼吸得到不断的更新．空气在进入心脏的“左凹处”之前与血液混合，使它的热增加；接着血液通过连续不断的循环把能量带给身体的各部分．身体各部分还需要营养，营养物微粒在所经过的路径碰到适合它进入的细孔，便进入相应的器官．“人”的神经遍布全身，是一种中空的细丝状管道，内部充满一种他称为“动物精气”的极精微的物质．这种精气能流入肌肉，此时肌肉便胀大，拉紧两端，引起肌肉收缩．
　　在讨论外界刺激与“人”的知觉的关系时．亦即“人”对客观世界的认识时，笛卡儿表明他在某种程度上主张反映论的观点．他说“除非外界对象在我们神经中引起某种局部运动，我们便无从知觉它们．”即使极远的恒星亦如此．以视觉为例，笛卡儿认为外界物体的光经晶状体到达由视神经末端组成的视网膜，接着，能产生光和色的感觉的微粒引起神经末端轻微的晃动，这种晃动经神经传到脑部，引起脑内部的晃动，从而导致脑中某种精气流的发生，居于松果腺内的心灵能辨认出精气流的模式，便形成有关形状、颜色、远近等知觉．此时，心灵又独立地控制松果腺中精气的运动，使它沿另外的神经引起肌肉的运动，从而对外界刺激作出反映．笛卡儿还用相似的办法解释了“人”如何知觉人体内部各器官所产生的自然欲望(如饥、渴等)以及情感上的喜、怒、哀、乐等．
　　按照严格的二元论哲学，精神与物质这两种不同质的本体是不能相互作用的．当笛卡儿不得不解释人与客观世界的关系时，他承认了它们的相互作用．但笛卡儿并没说明这种作用的细节．他曾说：“我们可以发现自我与肉体的结合，但却无法理解它．”
　　为了使生理学的机械理论趋于完善，笛卡儿曾对动物的繁衍十分注意．他的一些通信及手稿表明，他甚至试图通过解剖来了解动物的生殖问题．在去世前不久，他完成了“胎儿的形成”一文(1664年发表)．文章阐述的机制十分含混，很少科学价值，但确实反映了笛卡儿彻底的机械论世界

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哈密顿

　哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力学、数学、光学．
　　哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算木；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
　　哈密顿自幼喜欢算术，计算很快．1818年遇到美国“计算神童”Z．科耳本(Colburn)后对数学产生了更深厚的兴趣．1820年再相逢时，哈密顿已阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并对天文学有强烈爱好，常用自己的望远镜观测大体；还开始读P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天体力学》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此书中的一个错误．同年开始进行科学研究工作，对曲线和曲面的性质进行了系列研究，并用于几何光学．他的报告送交爱尔兰科学院后，R．J．布林克莱(Brinkley)院士评论说：“这位年轻人现在是这个年龄(17岁)的第一数学家．”
　　1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖．他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视．
　　1827年6月10日，年仅22岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授．
　　哈密顿有兄弟姐妹八人，家庭负担很重；为减轻父亲经济压力，他毕业后带着三个妹妹住到敦辛克天文台．哈密顿不擅长天文观测，在天文台工作的五年中，仍主要从事理论研究；但因与外界很少联系，工作成果并未引起重视．
　　1832年，哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家．他从S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作《纯理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响．
　　1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．
　　在对复数长期研究的基础上，哈密顿在1843年正式提出了四元数(quaternion)，这是代数学中一项重要成果．
　　由于哈密顿的学术成就和声望，1835年在都柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为主席，同年被授予爵士头衔．1836年，皇家学会因他在光学上的成就而授予皇家奖章．1837年，哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院院长，直到1845年．1863年，新成立的美国科学院任命哈密顿为14个国外院士之一．
　　哈密顿的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒绝，哈密顿却终身不能忘情．在恋爱生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海伦·贝利(Helen Bayly)结婚．虽然生育二子一女，终因感情不合而长期分居．哈密顿经常不能正规用餐，而是边吃边工作．他去世后，在他的论文手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物．
　　哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得．仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿．
　　他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献． + f, C1 ?8 \0 q
　　1．经典力学的新里程碑
　　经典力学自牛顿创立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力学”(1788)之前，称为牛顿力学；1788年以后称拉格朗日力学；1834年，哈密顿的著名论文“一种动力学的普遍方法”发表后，又称为哈密顿力学，它是力学发展中的新里程碑，在现代力学和物理学中有广泛应用．哈密顿的贡献主要有下列三个内容．
　　(1)哈密顿原理哈密顿在1824—1832年间对几何光学的系列研究基础上，认为可找到一种普遍原理，他认真研究了L．欧拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函数

L=T-V，(1)

　　建立了等式

　　其中T，V为所讨论的力学系统总动能和势能．势能V不仅为广义坐标qi的函数，还依赖广义速度qi(=dqi/dt)和时间t．当V只依赖于广义坐标时，S就可化为拉格朗日原理中的作用．另外，哈密顿认为力学系统的实际运动不一定使作用S为最小；故哈密顿提出的原理叫做稳定作用原理．由S的一阶变分为0，可导出力学系统的运动方程．虽然方程中的函数有改变，但仍称为拉格朗日运动方程：

　　(2)哈密顿正则方程组从哈密顿原理求出的运动方程(3)是二阶常微分方程组．1835年，哈密顿利用广义动量

　　作为另一组变量，并引入一个新的函数

　　H是pi，qi，t的函数．用H可把运动方程(3)式化为一阶方程组：

　　这样的方程组后来被称为哈密顿正则方程组，函数H则称为哈密顿函数；pi，qi称正则共轭变量．
　　哈密顿在提出正则方程组(5)时指出，可选择适当的变换，使变换后的新变量仍为正则共轭变量，但新哈密顿函数可能少包含某些新坐标——循环坐标．每增加一个循环坐标，运动方程可降低二阶，由此可作为正则方程组的一种原则解法．这种使运动方程保持正则方程组形式的变换，称为正则变换．后来有很大发展，并有广泛应用．
　　(3)哈密顿-雅可比方法哈密顿结合作用和正则方程组的定义，引入辅助函数W

　　对于满足正则方程组(5)式的解qi，pi有

　　由此可把W表示为广义坐标qi和n个任意常数ai以及时间t的函数，而且满足关系

　　(8)式实际上是函数W=W(qi，αi，t)对自变量qi，t的一个偏微分方程．这样就把正则方程组(2)式的解与偏微分方程(8)式的解联系起来了．
　　后来经过C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正则变换使新哈密顿函数等于0，也得到偏微分方程(8)；而且证明，对(8)式的任意一个完全解(即解出的函数W包含全部n个广义坐标qi，n个独立积分常数ai和时间t)，

W=W(qi，αi，t)，(9)

　　由相应关系

　　解出的

pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11)

　　就是原正则方程组(2)式的通解，其中βi为另外n个独立积分常数．
　　这就给出了正则方程组的另一种原则解法，叫做哈密顿-雅可比方法；偏微分方程(8)就称为哈密顿一雅-比方程．积分常数ai，βi称为正则常数．这些成果不仅推动力学的发展，也在变分法和微分方程的发展中有重要作用．
　　哈密顿的力学贡献很快在天体力学中广泛应用，用哈密顿正则方程组和正则变换建立天体运动方程及相应解法，促使天体力学在19世纪后期形成了发展高潮．
　　但在19世纪的数学界，对哈密顿力学有争议．例如著名数学家F．克莱因(Klein)就说过：哈密顿的结果很漂亮，但没有用．以后的情况否定了这种看法．
　　20世纪以来，在现代物理学各分支，如波动力学、量子力学、相对论、原子物理学的建立过程中，哈密顿力学都起了重要作用．量子力学理学的基石．50年代以后，一批数学和力学家们用现代数学提高了哈密顿力学的深度，其中代表作是苏联著名力学家B．И．阿诺德(ApHoлЬД)所著的《经典力学的数学方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英译本)．该书在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密顿力学，使哈密顿力学现代化．
　　人们还发现，哈密顿正则方程组在计算方法上有特殊优点，只要适当建立相应的数值积分方法，可使误差积累很慢，适用于计算步数很大的课题．中国计算数学家冯康等建立的辛积分法，符合哈密顿方程组的特点，计算效果很好，受到国际上的重视． + k6 i( T. x N
　　2．四元数的创立者
　　哈密顿研究四元数花的时间最多，前后约30年．早在1827年，他就开始研究复数性质，到1837年正式提出复数

　　不是a与bi的和，而是实数a，b的有序偶(a，b)．只要明确有序偶的运算规则，就可不用i而建立全部复数理论．由此诞生复数代数．
　　复数可以表示平面上的向量，但实用向量应是三维的，是否有“三维复数”？1830年后，不少著名数学家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密顿在弄清复数之后，仍按实数性质探求这种具有三个分量的“复数”．他终于成功了，可是所得的新数只能是四个分量，而且不符合乘法交换律．哈密顿在1843年把所得的新数命名为四元数，它的一般形式为

p=a＋bi+cj+dk， (12)

　　其中a，b，c，d是实数；a称为四元数的数量部分，另三项是向量部分．i，j，k称定性单元，类似于三维坐标轴方向的单位向量；b，c，d为某点在三维坐标系中的坐标，即四元数的向量分量．研究成果载于他的《四元数讲义》(Lectures on quaternion，1853)．
　　哈密顿定义四元数的和差即为数量部分及各向量分量的和差；四元数的乘积中，各分量相乘仍用实数乘法规则，但定义

　　这样，四元数的乘法不符合交换律，但符合结合律．
　　哈密顿还引进了四元数P的逆

p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14)

　　而

N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15)

　　称为四元数P的模．
　　另外，哈密顿还提出了以后通用的微分算子

　　对于任一函数u(x，y，z)，有

　　哈密顿创立四元数后非常高兴，自认为与微积分一样重要，会成为数学和物理学中的一种关键工具．虽然这种估计有点过分，但四元数的创立，对后来代数学的发展确有重大作用，因为人们可以脱离实数和复数的传统规则，根据需要自由地创造各种数系，建立相应的代数学．不久后发展起来的向量代数和线性结合代数(linear associative algebra)都受到四元数的直接推动． * a0 N5 @& i! `' E- l9 s! F1 A
　　3．几何光学的重要贡献
　　哈密顿的第一个研究课题就是几何光学，早在进大学前就开始了，所花的时间仅次于四元数．他的主要贡献是用数学分析方法来研究几何光学，并把所得结果推广到动力学，从而提出哈密顿原理，大多数结果载于1827年发表的论文“光束理论”(Theoryof systems of rays)及后来的补充中，具体贡献如下．
　　(1)等作用曲面点光源射出的光束经曲面镜反射或折射后，存在与光线正交的曲面族．哈密顿证明多次反射或折射后同样存在这种曲面族．在证明过程中，用到他本人发展了的最小作用原理，认为起点在垂直于光线的曲面上变化，经多次反射或折射后，相应的终点定出了垂直于光线的一个曲面．哈密顿称这些曲面为等作用面．把光当作微粒或波时，结论都相同．这就把几何光学与力学中最小作用原理联系起来，哈密顿后来称这种原理为变作用原理(prnciple of varying action)
　　(2)特征函数根据多次反射(或折射)后的光束与一曲面族正交，将坐标为(x，y，z)的光线方向余弦记为α，β，γ，它们应为x，y，z的函数．哈密顿认为，方向余弦必须是某函数的梯度，即存在函数V=V(x，y，z)，有：

　　因此V应满足偏微分方程：

　　哈密顿称此方程的解V(x，y，z)为特征函数．显然，若在均匀各向同性介质中，V代表光源到(x，y，z)处的光线长度，则是一个解．哈密顿宣称：“特征函数包含了几何光学的全部．”
　　在1832年发表的“光束理论”第三个补充中，哈密顿把特征函数推广到能用于初始点变化，以及不均匀和各向异性介质的情况．这样，利用特征函数可把光学系统表示为初始和最终光线有关变量的函数；用最小作用原理可定出两固定点之间的光程，于是特征函数就把光学长度表示为变初始点和终端点的函数．哈密顿还把特征函数用于其他领域，取得下列重要结果．
　　①哈密顿在第三个补充中，用特征函数研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后发现：在双轴晶体情况，存在四个劈锥状尖点，他由此预言：单光线以适当方向射入双轴晶体后，在晶体内折射成一个锥面，射出晶体后成为一个窄柱面；光线聚焦成一锥面射入双轴晶体后，在晶体内与单光线一样，射出晶体后成为一个窄锥面．这个预言在1832年底，由三一学院的H．洛依德(Lloyd)用实验证实．
　　②光线作为粒子运动时，与质点的力学运动相似．哈密顿从1833年起，用特征函数研究动力学课题．最初把特征函数作为一质点从初始点到终端点运动过程的作用，后来才推广到n个质点系统的情况，从最小作用原理到变作用原理，终于形成了著名的哈密顿原理．相应的特征函数V具体表示为V=tH+S．(18)
　　其中t为时间，H为n体系统的哈密顿函数，S即(2)式定义的作用．
　　另外，哈密顿的研究工作还涉及数学力学和光学的广泛领域，提出了不少新的看法．例如，他由动力学普遍方法引伸出所谓主关系算法(calculus of Principal relation)，用变分法解某些全微分方程；提出用速端曲线(hodograph)表示轨道运动；又提出不仅研究光的动力学，还要研究光在晶状介质传播中黑暗的动力学，并命名为暗动力学(skotodynamics)；他对光在介质中传播的研究导致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的区分．可惜这些工作未能深入开展下去．

零下68度 · 发表于 23.4.2010 23:12:18

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